2025北师大版高中数学必修第一册同步练习题--1.4 随机事件的运算（含解析）

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2025北师大版高中数学必修第一册
第七章　概率
§1　随机现象与随机事件
1.4　随机事件的运算
基础过关练
题组一　事件的运算
1.(2022云南玉溪一中期中)某试验E的样本空间Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)},事件A={(1,0),(0,1)},事件B={(0,1),(0,0)},则事件A∩B=(　　)
A.{(1,0),(0,1),(0,0)}　　　　　B.{0,1}
C.{(0,1)}　　　　　D.{(1,0)}
2.抛掷一枚骰子,记“朝上的面的点数是1或2”为事件A,“朝上的面的点数是2或3”为事件B,则(　　)
A.A B
B.A=B
C.事件A+B表示朝上的面的点数是1或2或3
D.事件AB表示朝上的面的点数是1或2或3
3.(多选题)(2023安徽芜湖期末)从5个女生和4个男生中任选两个人参加某项活动,有如下随机事件:A=“至少有一个女生”,B=“至少有一个男生”,C=“恰有一个男生”,D=“两个都是女生”,E=“恰有一个女生”.下列结论正确的有(　　)
A.C=E　　　B.A=B
C.D∩E≠ 　　　D.B∩D= ,B∪D=Ω
4.(2022陕西宝鸡金台期中)一批产品共有100件,其中5件是次品,95件是合格品,从这批产品中任意抽5件,现给出以下四个事件:A=“恰有1件次品”,B=“至少有2件次品”,C=“至少有1件次品”,D=“至多有1件次品”,并给出以下结论:①A+B=C;②B+D是必然事件;③A+C=B;④A+D=C.其中正确的结论为　　　　　.(填序号即可)
5.在抛掷一枚骰子,观察其朝上面的点数的试验中,事件A表示“不大于4的偶数点数出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,则事件A∪包含的样本点为　　　　.
6.某电路如图所示,用A表示事件“灯泡变亮”,用B,C,D依次表示事件“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”,则A=　　　　　　　　　.
(用B,C,D间的运算关系式表示)
7.掷一枚骰子,设事件A=“出现奇数点”,B=“出现偶数点”,C=“出现的点数小于3”,D=“出现的点数大于2”,E=“出现的点数是3的倍数”.求:
(1)A∩B,B∩C;
(2)A∪B,B∪C;
(3)∩C,∪C,.
8.试验E:箱子里有3双不同的手套,随机拿出2只,记随机事件A为“拿出的手套配不成对”;随机事件B为“拿出的是同一只手上的手套”;随机事件C为“拿出的手套一只是左手的,一只是右手的,但配不成对”.
(1)写出试验E的样本空间Ω,并指出样本点的个数;
(2)分别用样本点表示随机事件A、随机事件B、随机事件C,并指出每个随机事件的样本点的个数;
(3)写出A∩B,B∩C,A∩C,B∪C.
题组二　互斥事件与对立事件
9.(2024黑龙江大庆中学月考)湘西州有甲、乙两个草原供游客休闲旅游,暑假期间龙龙和他的家人到湘西州旅游.记事件E=“只去甲草原”,事件F=“至少去一个草原”,事件G=“至多去一个草原”,事件H=“不去甲草原”,事件I=“一个草原也不去”.下列命题正确的是(　　)
A.E与G是互斥事件　　　B.F与I是对立事件
C.F与G是互斥事件　　　D.G与I是互斥事件
10.(2024四川绵阳南山中学实验学校月考)袋内装有8个红球、2个白球,从中任取2个球,其中是互斥而不对立事件的是(　　)
A.至少有一个白球与全部都是红球
B.至少有一个白球与至少有一个红球
C.恰有一个白球与恰有一个红球
D.恰有一个白球与全部都是红球
11.(多选题)(2024四川雅安名山第三中学月考)甲、乙两人参加某商场举行的抽奖活动,中奖名额不限,设事件A为“甲中奖”,事件B为“乙中奖”,事件C为“甲、乙中至少有一人中奖”,则(　　)
A.A与B为互斥事件　　　
B.B与C为对立事件
C.A∩B与为互斥事件　　　
D.与C为对立事件
12.(2023陕西师范大学附属中学月考)从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花,点数从1~10各1张)中任取一张.
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”;
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”;
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.
判断上面给出的每对事件是不是互斥事件,是不是对立事件,并说明理由.
答案与分层梯度式解析
第七章　概率
§1　随机现象与随机事件
1.4　随机事件的运算
基础过关练
1.C　∵A={(1,0),(0,1)},B={(0,1),(0,0)},∴A∩B={(0,1)}.
故选C.
2.C　由已知得A={1,2},B={2,3},则A∩B={2},A∪B={1,2,3},所以事件A+B表示朝上的面的点数为1或2或3,故选C.
3.AD　对于A,事件C,E均为“1个男生1个女生”,则C=E,A正确;
对于B,事件A为“1个男生1个女生或2个女生”,B为“1个男生1个女生或2个男生”,则A≠B,B错误;
对于C,事件D为“两个都是女生”,E为“1个男生1个女生”,包含的样本点不相同,则D∩E= ,C错误;
对于D,事件B为“1个男生1个女生或2个男生”,D为“两个都是女生”,则B∩D= ,B∪D=Ω,D正确.故选AD.
4.答案　①②
解析　由于事件A“恰有1件次品”和事件B“至少有2件次品”的和表示事件“至少有1件次品”,即事件C,故A+B=C,即①成立.
由于事件B“至少有2件次品”和事件D“至多有1件次品”至少有一个发生,故B+D是必然事件,即②成立.
由于A+C=C,而C≠B,所以A+C≠B,故③不成立.
由于A+D=D,而D≠C,所以A+D≠C,故④不成立.
故答案为①②.
5.答案　2,4,5,6
解析　该试验的样本空间Ω={1,2,3,4,5,6},A={2,4},B={1,2,3,4},所以={5,6},所以A∪={2,4,5,6}.
6.答案　B∩(C∪D)(或(BC)∪(BD))
解析　由题图可得“灯泡变亮”即“开关Ⅱ与开关Ⅲ至少有一个闭合”且“开关Ⅰ闭合”,因此A=B∩(C∪D)=(BC)∪(BD).
7.解析　由题意得A={1,3,5},B={2,4,6},C={1,2},D={3,4,5,6},E={3,6}.
(1)A∩B= ,B∩C={2}.
(2)A∪B={1,2,3,4,5,6},B∪C={1,2,4,6}.
(3)易得={1,2,4,5},
∴∩C={2},∪C={1,2,3,5},∪={1,2,4,5}.
8.解析　(1)分别设3双手套为a1a2,b1b2,c1c2,其中a1,b1,c1分别代表左手的3只手套,a2,b2,c2分别代表右手的3只手套.试验E的样本空间Ω={(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,c1),(a1,c2),(a2,b1),(a2,b2),(a2,c1),(a2,c2),(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b2,c1),(b2,c2),(c1,c2)},样本点的个数为15.
(2)随机事件A={(a1,b1),(a1,b2),(a1,c1),(a1,c2),(a2,b1),(a2,b2),(a2,c1),(a2,c2),(b1,c1),(b1,c2),(b2,c1),(b2,c2)},样本点的个数为12.
随机事件B={(a1,b1),(a1,c1),(b1,c1),(a2,b2),(a2,c2),(b2,c2)},样本点的个数为6.
随机事件C={(a1,b2),(a1,c2),(a2,b1),(a2,c1),(b1,c2),(b2,c1)},样本点的个数为6.
(3)A∩B={(a1,b1),(a1,c1),(b1,c1),(a2,b2),(a2,c2),(b2,c2)};
B∩C= ;
A∩C={(a1,b2),(a1,c2),(a2,b1),(a2,c1),(b1,c2),(b2,c1)};
B∪C={(a1,b1),(a1,c1),(b1,c1),(a2,b2),(a2,c2),(b2,c2),(a1,b2),(a1,c2),(a2,b1),(a2,c1),(b1,c2),(b2,c1)}.
9.B　事件F包含“只去甲草原”“只去乙草原”“甲、乙两个草原都去”三种情况;
事件G包含“只去甲草原”“只去乙草原”“一个草原也不去”三种情况;
事件H包含“只去乙草原”“一个草原也不去”两种情况.
对于A,C,D,两个事件均有可能同时发生,都不是互斥事件;
对于B,事件F与I不可能同时发生,且必有一个发生,是对立事件,故B正确.故选B.
方法技巧　判断互斥事件与对立事件时要牢记对立事件一定是互斥事件,但互斥事件不一定是对立事件,两个事件都是不可能同时发生的事件,但对立事件还需要满足必有一个发生.
10.D　对于A,事件“至少有一个白球”包含“2个白球”“1红1白”,与事件“全部都是红球”不可能同时发生,但必有一个发生,故为对立事件,不符合题意;
对于B,事件“至少有一个红球”包含“2个红球”“1红1白”,结合A知两个事件的交事件为“1红1白”,不是互斥事件,不符合题意;
对于C,两事件均为“1红1白”,为同一事件,不符合题意;
对于D,结合C知两事件不可能同时发生,但可能同时不发生,即“2个白球”,是互斥而不对立事件,符合题意.故选D.
11.CD　对于A,B,两个事件均有可能同时发生,A,B错误;
对于C,事件A∩B为甲、乙都中奖,事件为甲、乙都不中奖,两事件不可能同时发生,所以A∩B与为互斥事件,C正确;
对于D,事件∩表示甲、乙都不中奖,事件∩与C不可能同时发生,但必有一个发生,故两事件为对立事件,D正确.故选CD.
12.解析　 (1)是互斥事件,不是对立事件.
理由:从40张扑克牌中任取1张,“抽出红桃”与“抽出黑桃”这两个事件不可能同时发生,所以是互斥事件.由于还可能抽出“方块”或者“梅花”,所以两个事件可能都不发生,因此,二者不是对立事件.
(2)既是互斥事件,又是对立事件.
理由:从40张扑克牌中任取1张,“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”这两个事件不可能同时发生,但必有一个发生,所以它们既是互斥事件,又是对立事件.
(3)既不是互斥事件,也不是对立事件.
理由:从40张扑克牌中任取1张,“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生,如抽得的牌点数为10,因此,二者不是互斥事件,当然也不可能是对立事件.
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