2025北师大版高中数学必修第一册同步练习题--1_1　集合的概念与表示（含解析）

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2025北师大版高中数学必修第一册
第一章　预备知识
§1　集合
1.1　集合的概念与表示
基础过关练
题组一　集合的概念与元素的特性
1.(2024江西景德镇期中)下列几组对象中不能组成集合的是(　　)
A.高中数学必修第一册课本中所有的难题
B.2023年参加杭州亚运会的全体运动员
C.小于9的所有素数
D.方程x2=1的实数根
2.已知集合S中的三个元素a,b,c是△ABC的三条边长,那么△ABC一定不是(　　)
A.锐角三角形　　　B.直角三角形
C.钝角三角形　　　D.等腰三角形
3.(多选题)(2024四川雅安名山第三中学月考)若集合A={x|px2+2x+1=0}中有且只有一个元素,则实数p的值为(　　)
A.0　　　　B.-1　　　　C.2　　　　D.1
4.(多选题)下列说法正确的是(　　)
A.集合{(2,4)}和{(4,2)}表示同一个集合
B.不等式2x-5<7的整数解组成的集合是无限集
C.集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一个集合
D.数1,0,5,组成的集合中有7个元素
题组二　元素与集合的关系
5.(2023陕西西安南开高级中学月考)下列关系中,正确的个数为(　　)
①∈R;②∈Q;③0 N;④∈Z;⑤-3∈Z.
A.5　　　　B.4　　　　C.3　　　　D.2
6.(2024山东日照实验高级中学段考)集合A={x|3x+2>m},若-1 A,则实数m的取值范围是(　　)
A.m<-1　　　　B.m>-1　　　　C.m≥-1　　　　D.m≤-1
7.(2024山东济宁育才中学月考)已知集合A={x|x=2m-1,m∈Z},B={x|x=2n,n∈Z}且x1,x2∈A,x3∈B,则下列判断不正确的是(　　)
A.x1·x2∈A　　　B.x2·x3∈B
C.x1+x2∈B　　　D.x1+x2+x3∈A
8.(2024四川成都双流棠湖中学期中)已知集合A={1,2,3},B={a-b|a∈A,b∈A},则集合B中元素个数为(　　)
A.5　　　　B.6　　　　C.8　　　　D.9
9.(2024广东深圳德琳学校月考)已知集合A={1-a,a2-6a+1,2 023},若-4∈A,则实数a的值为　　　　.
10.集合A是由形如m+n(m∈Z,n∈Z)的所有实数组成的集合,试分别判断a=-)2与集合A的关系.
11.已知数集M满足条件:若a∈M,则∈M(a≠0,a≠±1).
(1)若3∈M,试由此确定M中一定含有的其他元素;
(2)若a∈M(a≠0,a≠±1),试由此确定M中一定含有的其他元素.
题组三　集合的表示
12.已知集合A={x∈N|x2+x-6=0},则集合A用列举法可表示为(　　)
A.{2}　　　B.{3} C.{-2,3}　　　D.{-3,2}
13.(2024四川成都双流中学月考)方程组的解组成的集合是(　　)
A.{1,6}　　　B.{x=3,y=2}
C.{(1,6)}　　　D.{(3,2)}
14.(2022河南驻马店第一高级中学期中)集合A=用列举法可以表示为(　　)
A.{3,6}
B.{1,2,4,5,6,9}
C.{-6,-3,-2,-1,3,6}
D.{-6,-3,-2,-1,2,3,6}
15.(2023北京第五中学月考)集合{1,,…}用描述法可表示为　　　　.
16.用区间表示下列集合:
(1)不等式2x-6<0的所有实数解组成的集合;
(2)使有意义的所有实数x取值的集合.
17.选择适当的方法表示下列集合:
(1)能整除12的所有正整数组成的集合;
(2)方程(2x-1)(x+1)=0的所有实数根组成的集合;
(3)一次函数y=2x+5的图象上所有点组成的集合.
答案与分层梯度式解析
第一章　预备知识
§1　集合
1.1　集合的概念与表示
基础过关练
1.A　A选项中的对象不具有确定性,不能组成集合;B,C,D选项中的对象可以组成集合,故选A.
2.D　因为集合中的元素必须是互异的,所以三角形的三条边长两两不相等,故选D.
3.AD　当p=0时,A={x|2x+1=0}=,符合题意;
当p≠0时,若集合A中有且只有一个元素,则方程px2+2x+1=0有两个相等的实数根,∴Δ=4-4p=0,解得p=1.故选AD.
4.BC　集合{(2,4)}和{(4,2)}中的元素表示不同的两点,所以是不同的集合,故A错误;解不等式2x-5<7,得x<6,满足条件的整数有无数个,所以其整数解组成的集合是无限集,故B正确;C中两个集合中的元素完全相同,故表示同一个集合,故C正确;因为,所以数1,0,5,组成的集合中只有5个元素,故D错误.
5.C　由题意得①②⑤正确,③④错误,所以正确的个数为3,故选C.
6.C　由题意得3×(-1)+2≤m,即m≥-1,故选C.
7.D　集合A表示奇数集,集合B表示偶数集,由x1,x2∈A,x3∈B,知x1,x2是奇数,x3是偶数.
对于A,因为两个奇数的乘积为奇数,所以x1·x2∈A,A正确;
对于B,因为一个奇数和一个偶数的乘积为偶数,所以x2·x3∈B,B正确;
对于C,因为两个奇数的和为偶数,所以x1+x2∈B,C正确;
对于D,因为两个奇数与一个偶数的和为偶数,所以x1+x2+x3∈B,D错误.
故选D.
8.A　∵集合A={1,2,3},B={x|x=a-b,a∈A,b∈A},
∴当a=1,b=1时,a-b=1-1=0;
当a=1,b=2时,a-b=1-2=-1;
当a=1,b=3时,a-b=1-3=-2;
当a=2,b=1时,a-b=2-1=1;
当a=2,b=2时,a-b=2-2=0;
当a=2,b=3时,a-b=2-3=-1;
当a=3,b=1时,a-b=3-1=2;
当a=3,b=2时,a-b=3-2=1;
当a=3,b=3时,a-b=3-3=0,
∴B={-2,-1,0,1,2},共有5个元素.
故选A.
9.答案　1
解析　若1-a=-4,则a=5,此时a2-6a+1=-4,不满足集合中元素的互异性,舍去.
若a2-6a+1=-4,则a=5或a=1,
当a=5时,1-a=-4,不满足集合中元素的互异性,舍去;
当a=1时,1-a=0,符合题意.
综上所述,实数a的值为1.
10.解析　∵a=-,而0,-1∈Z,
∴a∈A.
∵b=,而 Z,∴b A.
∵c=(1-2,而13,-4∈Z,∴c∈A.
11.解析　(1)∵3∈M,∴=-2∈M,
∴∈M,∴∈M,∴=3∈M.
∴M中一定含有的其他元素为-2,-.
(2)∵a∈M(a≠0,a≠±1),∴∈M,∴∈M,∴∈M,
∴=a∈M.易知a,均不相等,
∴M中一定含有的其他元素为.
12.A　解方程x2+x-6=0,可得x=2或x=-3,因为x∈N,所以x=2,则A={2}.故选A.
13.D　解方程组得∴方程组的解组成的集合是{(3,2)}.故选D.
14.C　由∈Z,x∈N+,可得x=1,2,4,5,6,9,此时的值分别为3,6,-6,-3,-2,-1.故选C.
15.答案　{x|x=,n∈N+}
解析　因为1=,
所以1,,…即,…,
故集合{1,,…}用描述法可表示为{x|x=,n∈N+}.
16.解析　(1)因为2x-6<0,所以x<3,用区间表示为(-∞,3).
(2)由题意得x+5≥0,故x≥-5,
用区间表示为[-5,+∞).
17.解析　(1)用列举法可以表示为{1,2,3,4,6,12}.
(2)用列举法可以表示为.
(3)用描述法可以表示为{(x,y)|y=2x+5}.
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