2025北师大版高中数学必修第一册同步练习题--2.1函数概念（含解析）

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2025北师大版高中数学必修第一册
第二章　函数
§1　生活中的变量关系　§2　函数
2.1　函数概念
基础过关练
题组一　依赖关系与函数关系
1.下列变量之间不存在依赖关系的是(　　)
A.扇形的圆心角与它的面积
B.某人的体重与其饮食情况
C.水稻的亩产量与施肥量
D.某人的衣着价格与视力
2.下列变量之间的关系,是函数关系的是(　　)
A.光照时间和果树的亩产量
B.某地蔬菜的价格和蔬菜的供应量
C.等边三角形的边长和面积
D.等腰三角形的底边长和面积
题组二　函数的概念及其应用
3.(2023安徽六安舒城晓天中学期中)下列四个式子中,y是x的函数的是(　　)
A.y2=x　　　B.y=
C.y=　　　D.y=
4.(2023浙江宁波期中联考)下列各图中,不可能是函数图象的是(　　)
5.(2024天津第三中学期中)下列各组函数中是同一个函数的是(　　)
A.f(x)=x0与g(x)=1
B.f(x)=x2-x与g(t)=t2-t
C.f(x)=与g(x)=()2
D.f(x)=2x-1与g(x)=2x+1
题组三　函数的定义域
6.(2023福建福州三中期中)函数f(x)=的定义域为　　　　.
7.(2024四川成都七中期末)函数f(x)的定义域是[0,3],则f(2x-1)的定义域是　　　　.
8.(2024江苏苏州期中)若函数f(x)=的定义域为R,则a的取值范围为　　　　.
题组四　函数值及函数的值域
9.函数y=的值域是(　　)
A.[1,+∞)　　　　B.(0,1]　　　　C.(-∞,1]　　　　D.(0,+∞)
10.已知f(2x-1)=4x+6,则f(5)的值为(　　)
A.26　　　　B.24　　　　C.20　　　　D.18
11.(2023河北定州期中)若函数f(x)满足f(ab)=f(a)f(b),且f(2)=3,f(3)=2,则f(18)=(　　)
A.18　　　　B.12　　　　C.11　　　　D.7
12.函数y=(x∈[0,1)∪(1,3])的值域为　　　　　　.
13.已知函数f(x)=x2+x-1.
(1)求f(2),f;
(2)若f(x)=5,求x的值;
(3)若0能力提升练
题组一　函数的概念及其应用
1.(2024福建莆田锦江中学期中)下列各组函数表示同一个函数的是(　　)
A.f(x)=x2,g(x)=x
B.f(x)=,g(x)=x·
C.f(x)=g(t)=|t|
D.f(x)=x+1,g(x)=
2.下列各式能确定y是x的函数的是(　　)
A.x2+y2=1　　　B.|x-1|+=0
C.y=　　　D.=1
题组二　函数的定义域
3.(2023重庆育才中学期中)已知函数y=f(x)的定义域为[-1,3],则函数g(x)=的定义域是(　　)
A.[-1,1)∪(1,3]　　　B.[-3,1)∪(1,5]
C.[0,2]　　　D.[0,1)∪(1,2]
4.(2023河南郑州外国语学校月考)函数f(2x+1)的定义域为,则函数g(x)=f(x-2)·f(x-3)的定义域为(　　)
A.[1,4]　　　B.[0,5]　　　　
C.[0,20]　　　D.[1,9]
5.(2023吉林长春东北师大附中期中)函数f(x)=的定义域为R的一个充分不必要条件是(　　)
A.m≥　　　　B.m≥　　　　C.m≥　　　　D.m≥
6.(2024四川成都七中期末)已知集合A={x|x≥4},g(x)=的定义域为B,若A∩B= ,则实数a的取值范围是　　　　.
题组三　函数的值和值域
7.(2023山东潍坊安丘期中)函数y=3x+6的值域为(　　)
A.(-∞,6]　　　　B.(-∞,-6]　　　　C.[2,+∞)　　　　D.[4,+∞)
8.(2023辽宁丹东四中期末)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),且f(1)=2,则f(-3)=(　　)
A.2　　　　B.3　　　　C.6　　　　D.9
9.(2023吉林长春吉大附中期中)函数f(x)=2x+的值域为　　　　　　　　.
10.(2024云南昆明八中期中)已知函数f(x)=,
(1)求f(2)+f的值;
(2)求证:f(x)+f为定值;
(3)求2f(1)+f(2)+f+…+f(2 023)+f的值.
11.求下列函数的值域:
(1)y=;
(2)y=x+.
答案与分层梯度式解析
第二章　函数
§1　生活中的变量关系　§2　函数
2.1　函数概念
基础过关练
1.D　
2.C　
3.C　对于A,D,并非对于变量x的每一个值,变量y都有唯一确定的值与之对应,
所以y不是x的函数;
对于B,因为不等式组无解,
所以不存在实数x,使y=有意义,
所以y不是x的函数;
对于C,y=中,对于变量x的每一个值,变量y都有唯一确定的值与之对应,
所以y是x的函数.故选C.
4.D　对于D,取x的一个值,可能对应两个y值,故不是函数图象.
5.B　对于A,f(x)的定义域为{x|x≠0},g(x)的定义域为R,故不是同一个函数;
对于B,f(x)与g(t)的定义域和对应关系都相同,故是同一个函数;
对于C,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为{x|x≥0},故不是同一个函数;
对于D,f(x)与g(x)的定义域相同,但是对应关系不相同,故不是同一个函数.故选B.
6.答案　[1,2)∪(2,+∞)
解析　依题意得解得x≥1,且x≠2,
因此函数f(x)的定义域为[1,2)∪(2,+∞).
7.答案　
解析　因为f(x)的定义域是[0,3],所以0≤x≤3,
由0≤2x-1≤3,得≤x≤2,
所以f(2x-1)的定义域为.
解题模板　已知f(x)的定义域为A,求抽象函数f(φ(x))的定义域时,可令φ(x)∈A,进而求出x的取值范围,即为f(φ(x))的定义域.
8.答案　(-2,2)
解析　由函数f(x)=的定义域为R,得x2+ax+1=0无解,
∴Δ=a2-4<0,解得-29.B　∵x2+1≥1,∴0<≤1,即函数的值域为(0,1].
10.D　f(5)=f(2×3-1)=4×3+6=18.故选D.
11.B　因为f(ab)=f(a)·f(b),
所以f(18)=f(2)·f(9)=f(2)·f(3)·f(3),
因为f(2)=3,f(3)=2,所以f(18)=3×2×2=12.
故选B.
12.答案　(-∞,-4]∪[5,+∞)
解析　y=,
因为x∈[0,1)∪(1,3],
所以x-1∈[-1,0)∪(0,2],可得y≤-4或y≥5.
故函数的值域为(-∞,-4]∪[5,+∞).
13.解析　(1)f(2)=22+2-1=5,
f.
(2)∵f(x)=x2+x-1=5,
∴x2+x-6=0,
解得x=2或x=-3.
(3)f(x)=x2+x-1=,
∵0能力提升练
1.C　A中,两个函数的定义域相同,均为R,g(x)=x|x|,f(x)与g(x)的对应关系不同,故不是同一个函数;
B中,f(x)与g(x)的定义域为(-∞,0],g(x)=x·,f(x)与g(x)的对应关系不同,故不是同一个函数;
C中,f(x)=两函数的定义域和对应关系均相同,故是同一个函数;
D中,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),定义域不同,故不是同一个函数.故选C.
2.D　对于A,当x∈(-1,1)时,都有y=±,即有两个y与之对应,故不满足函数的概念,故错误;对于B,|x-1|+=0表示(1,-1),(1,1)两个点,即对于x=1,有y=±1与之对应,故不满足函数的概念,故错误;对于C,满足y=的x构成的集合为 ,故不满足函数的概念,故错误;对于D,当x∈[1,2]时,有唯一的y与之对应,满足函数的概念,故正确.故选D.
3.D　由题意可知-1≤2x-1≤3且x-1≠0,解得0≤x≤2且x≠1,
所以函数g(x)的定义域为[0,1)∪(1,2].故选D.
4.A　由f(2x+1)的定义域为,可知f(x)的定义域为[-2,2]由-≤x≤,得-2≤2x+1≤2,
则函数g(x)=f(x-2)·f(x-3)满足即解得1≤x≤4,
所以函数g(x)=f(x-2)·f(x-3)的定义域为[1,4].故选A.
方法总结　已知f(φ(x))的定义域为A,求f(x)的定义域,即已知x∈A,求φ(x),φ(x)的范围即为f(x)的定义域.
5.C　若f(x)的定义域是R,则mx2+2x+2≥0在R上恒成立,
当m=0时,显然不成立;
当m≠0时,只需解得m≥.
故函数f(x)=的定义域为R的充分不必要条件构成的集合是的真子集,结合选项知选C.
6.答案　(-∞,3]
解析　由1-x+a>0,得x7.A　令t=,则x=1-t2,t≥0,
∴y=3(1-t2)+6t=-3t2+6t+3=-3(t-1)2+6≤6,
因此,函数y=3x+6的值域为(-∞,6].
故选A.
8.C　解法一:令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0)+0,
解得f(0)=0;
令x=1,y=-1,得f(0)=f(1)+f(-1)-2,又f(1)=2,
所以f(-1)=0;
令x=y=-1,得f(-2)=f(-1)+f(-1)+2=2;
令x=-2,y=-1,得f(-3)=f(-2)+f(-1)+4=6.
解法二:因为f(1)=2,所以f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)+2×1×1=6,
所以f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)+2×1×2=12.
令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0)+0,解得f(0)=0,
所以f(0)=f(3+(-3))=f(3)+f(-3)+2×3×(-3)=0,所以f(-3)=6.
方法总结　解决抽象函数问题常用赋值法,赋值的关键是条件与结论的关系.
9.答案　(-∞,-2]∪[2,+∞)
解析　函数f(x)的定义域为{x|x≠0},
当x>0时,f(x)=2x+≥2,
当且仅当2x=,即x=时,等号成立;
当x<0时,f(x)=-≤-2,
当且仅当-2x=-,即x=-时,等号成立.
所以函数f(x)的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).
10.解析　(1)因为f(x)=,
所以f(2)+f=5.
(2)证明:f(x)+f=5,为定值.
(3)由(2)可知f(x)+f=5,
所以2f(1)+f(2)+f+…+f(2 023)+f+…+=5×2 023=10 115.
11.解析　(1)解法一:y=,
令t=x2-x+1,则t=≥,
∴0<≤4,2<2+≤6,即2故函数y=的值域为(2,6].
解法二:易知函数的定义域为R.
由y=得(y-2)x2-(y-2)x+y-5=0,此方程必有实数解.
若y=2,则-3=0,显然不成立,故y≠2,
∴Δ=[-(y-2)]2-4(y-2)(y-5)≥0,
整理得(y-2)(y-6)≤0,解得2≤y≤6.
综上可得,2故函数y=的值域为(2,6].
(2)令t=,则t≥0,x=,
则y=(t+1)2-1(t≥0),则y≥-,
故函数y=x+的值域为.
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