2025北师大版高中数学必修第一册同步练习题--2.2函数的表示法（含解析）

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2025北师大版高中数学必修第一册
第二章　函数
§1　生活中的变量关系　§2　函数
2.2　函数的表示法
基础过关练
题组一　函数的表示方法
1.观察下表:
x -3 -2 -1 1 2 3
f(x) 5 1 -1 -3 3 5
g(x) 1 4 2 3 -2 -4
则f(f(-1)-g(3))=(　　)
A.-1　　　　B.-3　　　　C.3　　　　D.5
2.(2024河南郑州中牟期中)如图,四边形OABC为直角梯形,AB∥OC,BC⊥OC,AB=1,OC=BC=2,记梯形OABC位于直线l:x=t(0A　　　B　　　　
C　　　D
3.(2022甘肃兰州期中)如图,某灌溉渠的横断面是等腰梯形,底宽为2,渠深为1.8,斜坡的倾斜角为45°.(无水状态不考虑)
(1)试将横断面中水的面积A(h)表示成水深h的函数;
(2)确定函数A(h)的定义域和值域.
题组二　函数解析式的求法
4.(2023山东泰安肥城期中)已知函数f(x-1)=x2-1,则f(x)=(　　)
A.x2　　　B.x2+2x
C.x2-2x　　　D.x2-2x+2
5.(2024江苏无锡江阴四校期中)已知函数g(-6,则g(x)的最小值是(　　)
A.-6　　　　B.-8　　　　C.-9　　　　D.-10
6.(2023江苏海安高级中学期中)已知f(2x+1)=3x-2,且f(a)=4,则a=(　　)
A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5
7.已知函数f(x)满足2f=1+x,其中x∈R且x≠0,则函数f(x)的解析式为　　　　　　　.
8.已知函数f(x)=x2+2x-1,g(x)为一次函数,若g(f(x))=2x2+4x+3,则g(x)=　　　　.
9.已知函数f(x)满足af(x)+f(-x)=bx,其中a≠±1,求函数f(x)的解析式.
题组三　分段函数及其应用
10.已知f(m)=其中[m]表示不超过m的最大整数,则f(5.2)=　　(　　)
A.3.71　　　　B.4.24　　　　C.4.77　　　　D.7.95
11.(2023黑龙江齐市一中期中)已知f(x)=若f(x)=3,则x的值是(　　)
A.1　　　B.1或
C.1,或±　　　D.
12.函数f(x)=x+的图象是(　　)
A　　　　B
C　　　D
13.(2024浙江温州苍南金乡卫城中学月考)具有性质f=-f(x)的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,下列函数:①f(x)=x-;②f(x)=x+;③f(x)=满足“倒负”变换的函数是(　　)
A.①②　　　B.①③　　　　
C.②③　　　D.①
14.(多选题)(2024广东东莞第四高级中学期中)已知函数f(x)的图象由如图所示的两条线段组成,则(　　)
A.f(f(1))=3
B.f(2)=f(0)
C.f(x)=-x+1+2|x-1|,x∈[0,4]
D. a>0,不等式f(x)≤a的解集为
15.(2022山西大同期中)已知函数f(x)=
(1)画出函数f(x)的图象;
(2)当f(x)≥2时,求实数x的取值范围.
能力提升练
题组一　函数的表示方法及应用
1.已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是{1,2,3},其对应关系如表:
x 1 2 3
f(x) 2 1 3
　
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
则方程g(f(x))=x+1的解组成的集合为(　　)
A.{1}　　　B.{2}　　　　
C.{1,2}　　　D.{1,2,3}
2.如图,点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动,M是CD的中点,则当P沿A→B→C→M运动时,关于点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y=f(x)的图象大致是(　　)
题组二　函数解析式的求法
3.(2023山东潍坊安丘期中)定义在R上的函数f(x)满足f(x-1)=2f(x),当0A.x(x-1)　　　B.x(1-x)
C.　　　D.
4.(多选题)已知f(2x+1)=x2,则下列结论正确的是　　(　　)
A.f(-3)=4　　　B.f(x)=
C.f(x)=x2　　　D.f(3)=9
5.已知函数f(x)的定义域和值域都为R,且f(0)=1,若对任意x,y∈R,都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,则f(2 021)=(　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.2 022　　　　D.2 021
6.(2023山西名校期中联考)已知一元二次函数f(x)满足f(x+1)=f(x)-4x+2.
(1)若f(0)=1,求f(3)的值;
(2)若f(2)<2,证明:f(x)<4.
7.(2023天津南开中学期中)(1)已知函数f(x-3)=x2-4x+6,求f(x)的解析式;
(2)已知f(x)+2f=3x-2,求f(x)的解析式.
题组三　分段函数及其应用
8.(2023江苏南通如皋期中)已知函数f(x)=则方程x2-f(x-1)=1的解的集合为　　(　　)
A.{-2,0}　　　B.{-2,1}
C.{-2,0,1}　　　D.{0,1}
9.(2024江苏连云港赣榆期中)函数f(x)=的值域是(　　)
A.[-1,3]　　　B.[-1,4]　　　　
C.[-2,4]　　　D.[-2,2]
10.已知函数f(x)=则使得f(x)≥1成立的x的取值范围为(　　)
A.[-1,1]　　　B.(-1,1)
C.(-1,+∞)　　　D.[-1,+∞)
11.(2023河南郑州外国语学校月考)已知函数f(x)=若f(f(x))=2,则x的取值范围是　　　　.
12.(2024浙江杭州钱塘联盟期中)若函数f(x)=的值域为R,则实数a的取值范围是　　　　.
13.如图,等腰梯形ABCD中,∠B=∠C=45°,底边BC的长为7 cm,腰长为2 cm,当一条垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时,直线l把梯形分成两部分,设BF=x cm(014.某一时期,一种疫情使全球海运受到极大影响,为此各相关企业在积极拓展市场的同时,也积极进行企业内部细化管理,某集装箱码头在货物装卸上进行大力改进,改进后单次装箱的成本C(单位:万元)与货物量x(单位:吨)满足函数关系式C=3+x,单次装箱的收入S(单位:万元)与货物量x的函数关系式为S=已知单次装箱的利润L(单位:万元)满足L=S-C,且当x=2时,L=3.
(1)求k的值;
(2)当单次装箱货物量为多少吨时,单次装箱的利润最大 最大为多少
答案与分层梯度式解析
第二章　函数
§1　生活中的变量关系　§2　函数
2.2　函数的表示法
基础过关练
1.D　由题表得f(-1)=-1,g(3)=-4,f(3)=5,
∴f(f(-1)-g(3))=f(-1-(-4))=f(3)=5,
故选D.
2.C　易得OA所在的直线方程为y=2x,
当0所以f(t)=由一次函数和二次函数的性质和图象可知,函数y=f(t)的图象大致为选项C.故选C.
3.解析　(1)依题意灌溉渠中水的横断面是等腰梯形,其下底为2,上底为2+2h,高为h,所以A(h)=·h=h2+2h(0(2)由(1)知,函数A(h)=h2+2h的定义域是(0,1.8],
显然A(h)=(h+1)2-1在(0,1.8]上随h的增大而增大,又当h=0时,h2+2h=0,当h=1.8时,h2+2h=6.84,所以函数A(h)的值域为(0,6.84].
4.B　解法一:∵f(x-1)=x2-1=(x-1)2+2(x-1),
∴f(x)=x2+2x.
解法二:令t=x-1,则x=t+1,
∵f(x-1)=x2-1,
∴f(t)=(t+1)2-1=t2+2t,
则f(x)的解析式是f(x)=x2+2x.
5.A　∵g(+2)2-10,∴g(x)=x2-10(x≥2),∴g(x)min=g(2)=-6.
6.D　令t=2x+1,则x=,
所以f(t)=3×,
所以函数f(x)的解析式为f(x)=,
所以f(a)==4,解得a=5.
故选D.
7.答案　f(x)=(x≠1)
解析　2f=1+x①,
用-x替换x,可得2f=1-x②,
由①②可得f-x,
令t=,则t≠1,x=,所以f(t)=,
所以f(x)=(x≠1).
8.答案　2x+5
解析　因为g(x)为一次函数,所以可设g(x)=kx+b(k≠0),则g(f(x))=k(x2+2x-1)+b=kx2+2kx+b-k=2x2+4x+3,
则解得所以g(x)=2x+5.
9.解析　在原式中以-x替换x,得af(-x)+f(x)=-bx,
所以消去f(-x),得f(x)=.
10.C　f(5.2)=1.06×(0.5×[5.2]+2)=1.06×(2.5+2)=4.77.故选C.
11.D　当x≤-1时,令x+2=3,得x=1,舍去;
当-1当x≥2时,令2x=3,得x=,舍去.
综上,x的值为.故选D.
12.C　函数f(x)=x+作出函数图象,如图,故选C.
13.B　对于①,f=-f(x),满足“倒负”变换.
对于②,f=f(x)≠-f(x),不满足“倒负”变换.
对于③,当0当x=1时,f=0=-f(x);当x>1时,f=-f(x),满足“倒负”变换.
故选B.
14.AC　由题图得,f(x)=
f(1)=0,f(0)=3,
∴f(f(1))=f(0)=3,故A正确;
f(2)=2-1=1≠f(0),故B错误;
对于C,当0≤x≤1时,f(x)=-x+1-2x+2=-3x+3,当1由题图可知,若不等式f(x)≤a的解集为,则-3×+3=m-1,解得m=,故D错误.
故选AC.
15.解析　(1)函数f(x)的图象如图所示.
(2)当x≤0时,由x2=2得x=-舍去),
当x>0时,由4-2x=2得x=1,
结合图象知,当f(x)≥2时,x≤-或0所以实数x的取值范围为(-∞,-]∪(0,1].
能力提升练
1.C　当x=1时,g(f(1))=g(2)=2=1+1,
∴x=1是方程的解;
当x=2时,g(f(2))=g(1)=3=2+1,
∴x=2是方程的解;
当x=3时,g(f(3))=g(3)=1≠3+1,
∴x=3不是方程的解.
∴方程的解组成的集合为{1,2}.
2.A　当P在AB(不包括点A,包括点B)上时,S△APM=·BC·AP=,0当P在BC(不包括点B,包括点C)上时,S△APM=1-S△ADM-S△PCM-S△ABP=,1当P在CM(不包括点C,M)上时,S△APM=.结合选项知A正确.
3.C　当1所以f(x)=.
故选C.
4.AB　令t=2x+1,则x=,
因为f(2x+1)=x2,所以f(t)=,
则f(x)=,故B正确,C错误;
f(-3)==4,故A正确;
f(3)==1,故D错误.
故选AB.
5.C　当x=0时,f(1)=f(0)f(y)-f(y)+2=2,
当y=0时,f(1)=f(x)f(0)-f(0)-x+2=2,
因此f(x)=x+1,所以f(2 021)=2 022.
6.解析　(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
因为f(x+1)=f(x)-4x+2,
所以a(x+1)2+b(x+1)+c=ax2+bx+c-4x+2,
即2ax+a+b=-4x+2,
所以解得故f(x)=-2x2+4x+c,
因为f(0)=1,所以c=1,
所以f(3)=-18+12+1=-5.
(2)证明:由(1)得f(x)=-2x2+4x+c,
因为f(2)<2,所以-8+8+c<2,解得c<2,
又因为f(x)=-2x2+4x+c=-2(x-1)2+2+c≤2+c,
所以f(x)<4.
7.解析　(1)令t=x-3,则x=t+3.
因为f(x-3)=x2-4x+6,
所以f(t)=(t+3)2-4(t+3)+6=t2+2t+3,
故f(x)=x2+2x+3.
(2)f(x)+2f=3x-2①,
将x用替换,可得2f(x)+f -2②,
①②联立,消去f,解得f(x)=(x≠0).
8.B　当x≥1时,f(x-1)=x-1,则x2-f(x-1)=1,即x2-x+1=1,解得x=1或x=0(舍去);
当x<1时,f(x-1)=1-x,则x2-f(x-1)=1,即x2+x-1=1,解得x=-2或x=1(舍去).
综上所述,x=1或x=-2.故选B.
9.C　当-3≤x≤0时,f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2,
则当x=-1时,f(x)min=-2,当x=-3时,f(x)max=4-2=2,则f(x)∈[-2,2];
当0综上所述,f(x)∈[-2,4].故选C.
10.D　当x≤1时,由f(x)≥1可得,-x2+2≥1,即x2≤1,所以-1≤x≤1;
当x>1时,由f(x)≥1可得,x+-1≥1,
即x2-2x+1=(x-1)2≥0,该式恒成立,所以x>1.
综上可得,使得f(x)≥1成立的x的取值范围为[-1,+∞).故选D.
11.答案　{2}∪[-1,1]
解析　设f(x)=t,则f(t)=2,
当t∈[-1,1]时,满足f(t)=2,此时-1≤f(x)≤1,无解;当t=2时,满足f(t)=2,此时f(x)=2,即-1≤x≤1或x=2.故答案为{2}∪[-1,1].
12.答案　[-1,0]
解析　当x≥1时,f(x)=x+≥2=4,当且仅当x=2时等号成立.
当x<1时,f(x)=ax2+2x+3,若a=0,则f(x)=2x+3,其值域为(-∞,5),此时函数的值域为R,满足题意.
若a>0,则函数f(x)=ax2+2x+3的图象开口向上,不满足题意;
若a<0,函数f(x)=ax2+2x+3图象的对称轴为直线x=-,
当-≥1,即-1≤a<0时,f(x)当-<1,即a<-1时,f(x)≤f+3,要使函数的值域为R,则-+3≥4,解得-1≤a<0,舍去.
综上所述,当-1≤a≤0时,f(x)的值域为R.
13.解析　如图,分别过点A,D作AG⊥BC,DH⊥BC,垂足为G,H.因为四边形ABCD是等腰梯形,∠B=∠C=45°,AB=2 cm,所以BG=AG=DH=HC=2 cm,又BC=7 cm,所以AD=GH=3 cm.
①当点F在BG(不含点B)上,即x∈(0,2]时,y=S△BFE=x2;
②当点F在GH(不含点G)上,即x∈(2,5]时,y=2+(x-2)·2=2x-2;
③当点F在HC(不含点H,C)上,即x∈(5,7)时,y=-(x-7)2+10.
所以y与x的函数解析式为
y=
14.解析　(1)由题意可得L=
因为x=2时,L=3,
所以3=2×2++2,解得k=18.
(2)由(1)可得当0所以L=2(x-8)++18≤-2+18=6,当且仅当2(8-x)=,即x=5时取等号.
当x≥6时,L=11-x≤5.
所以当x=5时,L取得最大值6.
所以单次装箱货物量为5吨时,单次装箱的利润最大,为6万元.
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