2025北师大版高中数学必修第一册同步练习题--2_1　必要条件与充分条件（含解析）

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2025北师大版高中数学必修第一册
第一章　预备知识
§2　常用逻辑用语
2.1　必要条件与充分条件
基础过关练
题组一　必要条件与充分条件的判断
1.(2024天津第二十中学统练)已知a∈R,则“a>1”是“<1”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.(2023河南许平汝联盟第一次联考)在四边形ABCD中,AB∥CD,则“∠BAD=90°”是“四边形ABCD为直角梯形”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.设集合A={x∈R|x-2>0},B={x∈R|x<0},C={x∈R|x<0,或x>2},则“x∈(A∪B)”是“x∈C”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.(多选题)(2024山东济宁育才中学月考)下列选项中,p是q的必要不充分条件的有(　　)
A.p:a≤1,q:a<1
B.p:A∩B=A,q:A∪B=B
C.p:两个三角形全等,q:两个三角形面积相等
D.p:x2+y2=1,q:x=1,y=0
5.(2024山西太原第十二中学月考)如果A是D的充分不必要条件,B是C的充要条件,A是C的必要不充分条件,则下列说法正确的是(　　)
A.A是B的必要不充分条件
B.B是D的充分不必要条件
C.C是D的充要条件
D.B是D的既不充分也不必要条件
6.(2022福建厦门双十中学阶段测试)下图是由电池、开关和灯泡组成的电路,假定所有零件均能正常工作,则电路中“开关K1和K2有且只有一个闭合”是“灯泡L亮”的　　　　条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
7.判断下列命题中p是q的什么条件.
(1)p:x>1,q:x>1或x<-1;
(2)p:△ABC有两个角相等,q:△ABC是正三角形;
(3)a,b∈R,p:a2+b2=0,q:a=b=0.
题组二　必要条件与充分条件的探究与证明
8.设a是实数,则a<5成立的一个必要不充分条件是(　　)
A.a<6　　　B.a<4　　　　
C.-59.(2023山西忻州联考)ab+b-a-1=0的一个充分不必要条件是(　　)
A.a=1　　　B.a=b
C.b=1　　　D.ab=1
10.(多选题)(2024四川成都双流中学月考)一元二次方程x2+4x+n=0有正数根的一个充分不必要条件是(　　)
A.n=4　　　B.n=-5
C.n=-1　　　D.n<0
11.(2024河南新高中创新联盟名校调研)已知ab≠0,求证:a3+b3+ab-a2-b2>0的充要条件是a+b>1.
题组三　利用必要条件与充分条件求参数
12.(2023广东佛山段考)若“x=2”是“m2x2-(m+3)x+4=0”的充分不必要条件,则实数m的值为(　　)
A.1　　　　B.-或1　　　　D.-1或-
13.(多选题)(2023山东青岛第一中学阶段检测)已知关于x的方程x2+(m-3)x+m=0,则下列说法正确的是(　　)
A.当m=3时,方程的两个实数根之和为0
B.方程无实数根的一个必要条件是m>1
C.方程有两个正根的充要条件是0D.方程有一个正根和一个负根的充要条件是m<0
14.(2023河北高碑店崇德实验中学月考)已知集合A={x|x<-1,或x>2},B={x|2a≤x≤a+3},若“x∈A”是“x∈B”的必要条件,则实数a的取值范围是　　　　.
15.(2023江苏南京金陵中学月考)已知p:-2≤x≤6,q:1-m≤x≤1+m,m>0.
(1)若p是q的充分条件,求实数m的取值范围;
(2)若p是q的必要条件,求实数m的取值范围.
能力提升练
题组一　必要条件与充分条件的判断
1.(2022北京首师大附中月考)下列说法错误的是(　　)
A.“A∩B=B”是“B= ”的必要不充分条件
B.“x=3”的一个充分不必要条件是“x2-2x-3=0”
C.“|x|=1”是“x=1”的必要不充分条件
D.“m是实数”的一个充分不必要条件是“m是有理数”
2.(2023上海进才中学月考)设a,b,c是非零实数,式子所有可能取的值组成的集合记为P,满足{x|mx-1=0} {x|3x2+2x-1=0}的实数m所有可能取的值组成的集合记为Q,已知α:x∈P,β:x∈Q,则α是β的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
题组二　必要条件与充分条件的探究与证明
3.(2023广东东莞四中阶段测试)方程x2+kx+2=0与x2+2x+k=0有一个公共实数根的充要条件是(　　)
A.k=3　　　B.k=0
C.k=1　　　D.k=-3
4.若a,b都是实数,试从①ab=0;②a+b=0;③a(a2+b2)=0;④ab>0中选出适合的条件,用序号填空:
(1)“a,b都为0”的必要条件是　　　　;
(2)“a,b都不为0”的充分条件是　　　　;
(3)“a,b至少有一个为0”的充要条件是　　　　.
5.(2024河北邢台翰林高级中学月考)已知a,b是实数,求证:a4-b4-2b2=1成立的充要条件是a2-b2=1.
题组三　利用必要条件与充分条件求参数
6.(2022四川绵阳开元中学月考)已知集合A=,B={x|x+m>1}.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,则实数m的取值范围为　　　　.
7.已知命题p:1-c0),命题q:x>7或x<-1,若p是q的既不充分也不必要条件,则c的取值范围是　　　　.
8.(2024江苏沭阳月考)在①A∪B=B;②“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件;③A∩B= 这三个条件中任选一个,补充到本题第(2)问的横线处,并解答下列问题.
已知集合A={x|2a-1(1)当a=-时,求A∩( RB);
(2)若　　　　,求实数a的取值范围.
答案与分层梯度式解析
第一章　预备知识
§2　常用逻辑用语
2.1　必要条件与充分条件
基础过关练
1.A　当a>1时,有<1,充分性成立;当<1时,a可以小于0,必要性不成立,所以“a>1”是“<1”的充分不必要条件.故选A.
2.D　若∠BAD=90°,则四边形ABCD为矩形或直角梯形,若四边形ABCD为直角梯形,则∠BAD不一定为90°,所以“∠BAD=90°”是“四边形ABCD为直角梯形”的既不充分也不必要条件.故选D.
3.C　A∪B={x∈R|x<0,或x>2},C={x∈R|x<0,或x>2},∴A∪B=C,∴“x∈(A∪B)”是“x∈C”的充要条件.
4.AD　对于A,a≤1 /a<1,但a<1 a≤1,
∴p是q的必要不充分条件,A正确;
对于B,由A∩B=A,得A B,由A∪B=B,得A B,
∴p是q的充要条件,B错误;
对于C,两个三角形全等,则面积一定相等,但两个三角形面积相等,不一定全等,
∴p是q的充分不必要条件,C错误;
对于D,当x=1,y=0时,x2+y2=1,
当x2+y2=1时,x=1,y=0不一定成立,如x=-1,y=0,∴p是q的必要不充分条件,D正确.故选AD.
5.AB　由题意得D /A / C B,
故A是B的必要不充分条件,A正确;B是D的充分不必要条件,B正确,D错误;C是D的充分不必要条件,C错误.故选AB.
6.答案　充分不必要
解析　当开关K1和K2有且只有一个闭合时,灯泡L亮,当灯泡L亮时,开关K1和K2也有可能都闭合,故电路中“开关K1和K2有且只有一个闭合”是“灯泡L亮”的充分不必要条件.
7.解析　(1)因为“x>1”能推出“x>1或x<-1”,即p q,但“x>1或x<-1”推不出“x>1”,如x=-2,即q / p,所以p是q的充分不必要条件.
(2)因为“△ABC有两个角相等”推不出“△ABC是正三角形”,即p / q,但“△ABC是正三角形”能推出“△ABC有两个角相等”,即q p,所以p是q的必要不充分条件.
(3)若a2+b2=0,则a=b=0,即p q;若a=b=0,则a2+b2=0,即q p,故p q,所以p是q的充要条件.
8.A　
9.C　由ab+b-a-1=0,可得(a+1)(b-1)=0,解得a=-1或b=1,所以选项C符合题意.故选C.
10.BC　由一元二次方程x2+4x+n=0有实数根知Δ=16-4n≥0,即n≤4,设方程的两实数根分别为x1,x2,则x1+x2=-4,
又方程x2+4x+n=0有正数根,所以x1,x2一正一负,
所以x1x2=n<0,结合选项知B,C正确.
11.证明　充分性(条件 结论):
因为ab≠0,所以a2-ab+b2=b2>0,
又a+b>1,所以a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)>a2-ab+b2,即a3+b3+ab-a2-b2>0,所以充分性成立;
必要性(结论 条件):
因为a3+b3+ab-a2-b2=(a+b)(a2-ab+b2)+ab-a2-b2=(a+b-1)(a2-ab+b2)>0,
而a2-ab+b2=b2>0,所以a+b-1>0,
所以a+b>1,所以必要性成立.
综上,a3+b3+ab-a2-b2>0的充要条件是a+b>1.
导师点睛　对于充要条件的证明问题,可分别证明充分性与必要性,此时应明确谁是条件,谁是结论.充分性是由条件成立来证明结论成立,而必要性则是由结论成立来证明条件成立.
12.B　因为“x=2”是“m2x2-(m+3)x+4=0”的充分不必要条件,所以当x=2时,4m2-2m-2=0,解得m=-或m=1.
当m=1时,m2x2-(m+3)x+4=0可化为x2-4x+4=0,所以x=2,此时“x=2”是“m2x2-(m+3)x+4=0”的充要条件,舍去;
当m=-时,m2x2-(m+3)x+4=0可化为x2-10x+16=0,解得x=2或x=8,此时“x=2”是“m2x2-(m+3)x+4=0”的充分不必要条件.
综上所述,m=-.故选B.
13.BD　对于选项A,当m=3时,方程为x2+3=0,方程没有实数根,所以选项A错误;对于选项B,如果方程没有实数根,则Δ=(m-3)2-4m=m2-10m+9<0,解得11是1则解得0所以方程有两个正根的充要条件是014.答案　(-∞,-4)∪(1,+∞)
解析　因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件,所以B A.
当B= 时,满足B A,此时2a>a+3,解得a>3;
当B≠ 时,要想满足B A,则或
解得a<-4或1综上,实数a的取值范围是(-∞,-4)∪(1,+∞).
15.解析　因为m>0,所以1-m<1+m,
不妨设P={x|-2≤x≤6},Q={x|1-m≤x≤1+m}.
(1)若p是q的充分条件,则P Q,
所以解得m≥5,
因此m的取值范围是{m|m≥5}.
(2)若p是q的必要条件,则Q P,
所以解得m≤3,又因为m>0,
故m的取值范围是{m|0解题模板　研究充分性、必要性时,可转化为集合间的关系,若p,q对应的集合为P,Q,则p是q的充分条件 P Q,p是q的必要条件 Q P.
能力提升练
1.B　易知A,C,D正确,由x2-2x-3=0,解得x=3或x=-1,故“x=3”的一个必要不充分条件是“x2-2x-3=0”,因此B中说法错误.故选B.
2.A　对于集合P,
当a,b,c全正时,=3,
当a,b,c两正一负时,=-1,
当a,b,c一正两负时,=-1,
当a,b,c全负时,=3,
所以P={-1,3}.
对于集合Q,
因为{x|mx-1=0} {x|3x2+2x-1=0}=,
所以若{x|mx-1=0}= ,则m=0;
若{x|mx-1=0}={-1},则-m-1=0,即m=-1;
若{x|mx-1=0}=,则m-1=0,即m=3.
所以Q={0,-1,3}.
因为P Q,Q P,
所以α是β的充分不必要条件.
故选A.
3.D　设方程x2+kx+2=0与x2+2x+k=0有公共实根x1,
则两式相减得(k-2)x1=k-2,
若k=2,则两方程相同,为x2+2x+2=0,且无实数根,
若k≠2,则x1=1,所以1+k+2=0,解得k=-3.
当k=-3时,两方程分别为x2-3x+2=0,x2+2x-3=0,
方程x2-3x+2=0的两个实数根分别为1,2,
方程x2+2x-3=0的两个实数根分别为1,-3,
即方程x2+kx+2=0与x2+2x+k=0有一个公共实数根.
综上可知,方程x2+kx+2=0与x2+2x+k=0有一个公共实数根的充要条件是k=-3.
故选D.
4.答案　(1)①或②或③　(2)④　(3)①
解析　①ab=0 a=0或b=0,即a,b至少有一个为0;
②a+b=0 a,b互为相反数,即a,b可能均为0,也可能一正一负;
③a(a2+b2)=0 a=0或
④ab>0 或即a,b同号且都不为0.
∴“a,b都为0”的必要条件是①或②或③;“a,b都不为0”的充分条件是④;“a,b至少有一个为0”的充要条件是①.
5.证明　先证明充分性:若a2-b2=1,则a4-b4-2b2=(a2-b2)(a2+b2)-2b2=a2+b2-2b2=a2-b2=1,故充分性成立;
再证明必要性:若a4-b4-2b2=1,则a4-b4-2b2-1=0,即a4-(b4+2b2+1)=0,
即a4-(b2+1)2=0,
即(a2+b2+1)(a2-b2-1)=0,
因为a2+b2+1≠0,所以a2-b2-1=0,即a2-b2=1,故必要性成立.
所以a4-b4-2b2=1成立的充要条件是a2-b2=1.
6.答案　
解析　因为y=x2-,x∈,
所以当x=时,y取得最小值;当x=2时,y取得最大值2,
所以A=,
因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件,所以A B,
而B={x|x+m>1}={x|x>1-m},
所以1-m<,解得m>,
所以实数m的取值范围为.
7.答案　(0,+∞)
解析　设命题p对应的集合为A,命题q对应的集合为B,则A={x|1-c0},B={x|x>7或x<-1}.
因为p是q的既不充分也不必要条件,
所以A∩B= 或A不是B的子集且B不是A的子集,所以①或②或③,
解不等式组①得c≤2,解不等式组②得c>2,解不等式组③得c>6.
又c>0,所以c的取值范围为(0,+∞).
8.解析　(1)当a=-时,集合A=x-23或x<-1},
所以A∩( RB)={x|-2(2)若选择①A∪B=B,则A B,
当A= 时,2a-1≥a+1,解得a≥2,满足A B;
当A≠ 时,解得0≤a<2.
所以实数a的取值范围是[0,+∞).
若选择②“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,则A B,
当A= 时,2a-1≥a+1,解得a≥2,满足A B;
当A≠ 时,解得0≤a<2.
所以实数a的取值范围是[0,+∞).
若选择③A∩B= ,
当A= 时,2a-1≥a+1,解得a≥2,满足A∩B= ;
当A≠ 时,或解得a<-2.
所以实数a的取值范围是(-∞,-2)∪[2,+∞).
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