2025北师大版高中数学必修第一册同步练习题--3.1 对数函数的概念 3.2 对数函数y=log2x的图象和性质（含解析）

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2025北师大版高中数学必修第一册
第四章　对数运算与对数函数
§3　对数函数
3.1　对数函数的概念　3.2　对数函数y=log2x的图象和性质
基础过关练
题组一　对数函数的概念
1.给出下列函数:①y=x2;②y=log3(x-1);③y=log(x+1)x;④y=logπx.其中对数函数的个数为(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
2.(2023甘肃天水期末)函数 y=loga(x+2)+1(a>0且a≠1)的图象过定点(　　)
A.(1,2)　　　　B.(2,1)　　　　C.(-2,1)　　　　D.(-1,1)
3.若函数f(x)=log(a+1)x+a2-2a-8是对数函数,则a=　　　　.
题组二　反函数
4.(2023北京大兴月考)如果函数f(x)的图象与函数y=2x-1的图象关于直线y=x对称,那么f(x)的解析式是(　　)
A.f(x)=log2(x+1)　　　B.f(x)=log2x+1
C.f(x)=log2(x-1)　　　D.f(x)=log2x-1
5.(2024福建宁德福安一中月考)已知函数y=ex和y=ln x的图象与直线y=2-x交点的横坐标分别为a,b,则(　　)
A.a>b　　　　B.a+b<2　　　　C.ab>1　　　　D.a2+b2>2
题组三　对数函数y=log2x的基本性质
6.(2024山东泰安宁阳第四中学月考)函数y=的定义域是(　　)
A.[1,2]　　　B.[1,2)　　　　
C.　　　D.
7.(2022河北部分学校三联)函数f(x)=log2(1-x2)的单调递减区间为(　　)
A.(-∞,0)　　　　B.(-1,0)　　　　C.(0,1)　　　　D.(0,+∞)
8.已知函数f(x)=若f(x0)>2,则x0的取值范围是(　　)
A.-14　　　B.x0<-1或x0>4
C.09.(2024云南下关第一中学月考)若2a+log2a<22b+log2b+1,则(　　)
A.ln(2b-a+1)<0　　　B.ln(2b-a+1)>0
C.ln|a-2b|>0　　　D.ln|a-2b|<0
10.(多选题)(2024广东揭阳期末)下列结论正确的有(　　)
A.函数y=的最小值为2
B.函数f(x)=log2(2x-1)+1的图象恒过定点(1,1)
C.f(x)=log2(x2-mx+1)的定义域为R,则m∈(-∞,-2)∪(2,+∞)
D.f(x)=log2(x2-mx+1)的值域为R,则m∈(-∞,-2]∪[2,+∞)
11.(2024湖南株洲期末)若函数f(x)=log2(3-ax)在[-1,3]上的最大值为2,则实数a=　　　　.
12.(2023江苏南京六合励志学校调研)已知f(x)=logax+loga(4-x)(a>0且a≠1),且f(2)=2.
(1)求a的值及f(x)的定义域;
(2)求f(x)在上的值域.
答案与分层梯度式解析
第四章　对数运算与对数函数
§3　对数函数
3.1　对数函数的概念
3.2　对数函数y=log2x的图象和性质
基础过关练
1.A　函数y=logax(a>0,且a≠1)叫作对数函数,故①②③不是对数函数,④是对数函数.
2.D　因为y=logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0),
y=loga(x+2)+1的图象可以由y=logax的图象向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到,
所以y=loga(x+2)+1的图象过定点(-1,1).故选D.
3.答案　4
解析　由题意可知解得a=4.
4.B　因为函数f(x)与函数y=2x-1的图象关于直线y=x对称,所以两函数互为反函数,由y=2x-1得x-1=log2y,整理得x=log2y+1,所以f(x)=log2x+1.
5.D　在同一平面直角坐标系中作出函数y=ex和y=ln x的图象以及直线y=2-x,如图,
由图象可知0易知A(a,ea),B(b,ln b),或A(a,2-a),B(b,2-b),
因为函数y=ex和y=ln x互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称,而A,B分别为y=ex和y=ln x的图象与直线y=2-x的交点,所以点A,B关于直线y=x对称,故a=2-b,则a+b=2,B错误;
由0因为02ab,∴2(a2+b2)>(a+b)2,
结合a+b=2,得a2+b2>2,D正确.故选D.
6.C　由题意得即解得x≥,故选C.
7.C　易得f(x)的定义域为(-1,1).因为y=1-x2在(0,1)上单调递减,在(-1,0)上单调递增,函数y=log2x为(0,+∞)上的增函数,所以f(x)的单调递减区间为(0,1).
8.A　当x0≤0时,不等式化为>2,
即x0+2>1,解得x0>-1,∴-1当x0>0时,不等式化为log2x0>2,解得x0>4,
∴x0>4.
综上,x0的取值范围是-14,故选A.
9.B　2a+log2a<22b+log2b+1=22b+log2(2b),
令f(x)=2x+log2x,其中x>0,则f(a)因为函数y=2x,y=log2x在(0,+∞)上均为增函数,
所以函数f(x)=2x+log2x在(0,+∞)上为增函数,
所以2b>a>0,则2b-a>0,所以2b-a+1>1,则ln(2b-a+1)>ln 1=0,A错误,B正确;
无法确定|a-2b|与1的大小,C,D错误.故选B.
10.BD　y=≥2,当且仅当,即=1时等号成立,此式无解,所以函数y=的最小值不为2,故A错误;
令2x-1=1,得x=1,则f(1)=log21+1=1,故f(x)=log2(2x-1)+1的图象恒过定点(1,1),故B正确;
若f(x)=log2(x2-mx+1)的定义域为R,则x2-mx+1>0在R上恒成立,
所以Δ=(-m)2-4<0,解得-2若f(x)=log2(x2-mx+1)的值域为R,则x2-mx+1≤0在R上有解,
所以Δ=(-m)2-4≥0,解得m≤-2或m≥2,故D正确.故选BD.
11.答案　-
解析　若a=0,则f(x)=log23,不满足题意,所以a≠0;
若a>0,则y=3-ax在[-1,3]上为减函数,所以无解;
若a<0,则y=3-ax在[-1,3]上为增函数,所以解得a=-.
综上,a=-.
12.解析　(1)由f(2)=2得loga2+loga(4-2)=2,即2loga2=2,所以loga2=1,解得a=2,
所以f(x)=log2x+log2(4-x),
由得0(2)f(x)=log2x+log2(4-x)=log2[x(4-x)]=log2[-(x-2)2+4],
设t(x)=-(x-2)2+4,x∈,则t(x)max=t(2)=4,
又t(1)=3,t,所以t(x)min=t,
即t(x)∈,
所以f(x)max=log24=2,f(x)min=log2=log27-2,
所以f(x)在上的值域为[log27-2,2].
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