2025北师大版高中数学必修第一册同步练习题--3.2指数函数的图象和性质（含解析）

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2025北师大版高中数学必修第一册
第三章　指数运算与指数函数
§3　指数函数
3.2　指数函数的图象和性质
基础过关练
题组一　指数(型)函数的图象
1.(2023江西贵溪实验中学月考)在同一坐标系内,当1A　B　C　D　
2.已知函数y=ax、y=bx、y=cx、y=dx的大致图象如图所示,则下列不等式一定成立的是(　　)
A.b+d>a+c　　　B.b+dC.a+d>b+c　　　D.a+d3.(2024福建漳州第一中学期中)函数f(x)=3|x|的图象是(　　)
A　　　　B　　　　C　　　　D
4.(2024广东深圳罗湖外语学校期中)已知函数f(x)=ax+b的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式;
(2)将f(x)的图象向左平移1个单位长度,得到g(x)的图象,求g(x)·f(-x)的最大值.
题组二　指数(型)函数的单调性及其应用
5. (2024福建厦门第一中学期中)设集合U=R, M={x|x<1},N=,则{x|x≥2}=　　(　　)
A. U(M∪N)　　　B.N∪( UM)
C. U(M∩N)　　　D.M∪( UN)
6.(2024吉林省实验中学期中)设a=1.4,则(　　)
A.a>b>c　　　B.c>a>b
C.c>b>a　　　D.a>c>b
7.(2024江西南昌三中月考)函数f(x)=的单调增区间为(　　)
A.(-∞,-1]　　　B.(-∞,1]
C.[1,+∞)　　　D.[3,+∞)
8.(2024河南前20名校期中)设a>0且a≠1,函数f(x)=有最大值,则不等式>1的解集为　　　　.
9.若函数y=ax(a>0,且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值的差为,则a的值为　　　　.
10.(2023山东莱西期中)已知指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象过点M,g(x)=f ,h(x)=f(x)+2g(x).
(1)若f(x)>g(-x)+6,求x的取值范围;
(2)判断h(x)在[0,+∞)上的单调性.
题组三　指数(型)函数性质的综合应用
11.(2023天津大港一中期中)函数f(x)=,x∈[-1,2]的值域是(　　)
A.(-∞,8]　　　B.
C.　　　D.(0,8]
12.(2024云南昆明第一中学期中)已知函数f(x)=3x3+(e为常数,e=2.718 281…),且f(a2)+f(3a-4)>0,则实数a的取值范围是　　(　　)
A.(-4,1)　　　
B.(-1,4)
C.(-∞,-1)∪(4,+∞)　　　
D.(-∞,-4)∪(1,+∞)
13.(2024陕西榆林普通高中质量检测)已知[x]表示不超过x的最大整数,如[-1.2]=-2,[1.5]=1,[3]=3,若f(x)=,g(x)=f(x-[x]),则g=　　　　,函数g(x)的值域为　　　　.
14.(2024重庆第二外国语学校期中)已知函数f(x)=m+n的图象经过原点,且无限接近直线y=1但又不与该直线相交.
(1)求f(x)的解析式;
(2)函数g(x)=+f(x),x∈[0,2],求g(x)的最小值.
15.(2024河南南阳六校期中)已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象经过点(4,4).
(1)求a的值;
(2)比较f(-2)与f(m2-2m)(m∈R)的大小;
(3)求函数g(x)=a|x-1|(-3≤x≤3)的值域.
能力提升练
题组一　指数(型)函数的图象及其应用
1.(2024福建永安第九中学期中)函数f(x)=的图象大致是(　　)
A　　　B　　　　
C　　　D
2.(多选题)(2024江西南昌三中月考)已知a>0,且a≠1,则函数f(x)=xa-ax(x>0)的图象可能是(　　)
A　　　　B　　　　C　　　　D
题组二　指数(型)函数的性质及其应用
3.(2024江西南昌第三中学期中)已知函数y=ax-a-x(a>0,a≠1)在其定义域上递减,则函数f(x)=(　　)
A.在(-∞,2)上递增,在(2,+∞)上递减
B.在(-∞,2)上递减,在(2,+∞)上递增
C.在(1,2)上递减,在(2,3)上递增
D.在(1,2)上递增,在(2,3)上递减
4.(2023北京海淀进修实验学校阶段练习)已知函数f(x)=-ax(a>1),则不等式f(2x2)+f(x-1)<0的解集为(　　)
A.(-∞,-1)∪　　B.
C.∪(1,+∞)　　D.
5.(多选题)(2023山东青岛第二中学期中)已知函数f(x)=|ax-1|(a>0,且a≠1),则下列结论正确的是(　　)
A.函数f(x)的图象恒过定点(0,1)
B.函数f(x)的值域为[0,+∞)
C.函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增
D.若直线y=2a与函数f(x)的图象有两个公共点,则实数a的取值范围是(0,1)
6.(2024广西南宁三中段考)已知函数f(x)=的值域为R,则a的取值范围是(　　)
A.[-1,2)　　　　B.(-1,2)　　　　C.　　　　D.
7.(2024北京人大附中月考)已知a>0且a≠1,函数f(x)=若f(x)在区间[0,2]上的最大值比最小值大,则a的值为(　　)
A.或2　　　　B.或2　　　　C.2或　　　　D.
8.(2024广东广州增城等五校期中)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=2x.
(1)求函数f(x)和g(x)的解析式,并判断函数f(x)的单调性;
(2)求函数F(x)=g(2x)-af(x)-1,x∈[0,1]的最小值.
答案与分层梯度式解析
第三章　指数运算与指数函数
§3　指数函数
3.2　指数函数的图象和性质
基础过关练
1.A　由12.B　如图,作出直线x=1,其与各函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c,d,a,b,
故c>d>a>b,所以b+d3.B　f(x)的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=3|-x|=3|x|=f(x),故f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,
f(0)=30=1,故排除C,D;当x>0时,f(x)=3x>1,排除A.故选B.
4.解析　(1)由题图可知f(0)=1+b=-1,f(1)=a+b=0,解得a=2,b=-2,所以f(x)=2x-2.
(2)依题意可得g(x)=f(x+1)=2x+1-2,
所以g(x)·f(-x)=(2x+1-2)(2-x-2)=2-2×2x+1-2×2-x+4=6-2(2x+1+2-x).
因为2x+1>0,2-x>0,所以2x+1+2-x≥2,当且仅当2x+1=2-x,即x=-时,等号成立,
所以g(x)·f(-x)=6-2(2x+1+2-x)≤6-4,
故g(x)·f(-x)的最大值为6-4.
5.A　函数y=在R上单调递减,则N=x<2=x={x|-1对于A,M∪N={x|x<2},因此 U(M∪N)={x|x≥2},A符合;
对于B, UM={x|x≥1},因此N∪( UM)={x|x>-1},B不符合;
对于C,M∩N={x|-1对于D, UN={x|x≤-1或x≥2},因此M∪( UN)={x|x<1或x≥2},D不符合.
故选A.
6.B　因为y=为增函数,1.44<,
所以1.4,即c>a,
因为y=1.2x为增函数,
所以1.4,即a>b,
故c>a>b.故选B.
7.A　令x2-2x-3≥0,解得x≤-1或x≥3,
所以f(x)的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞),
易知t=x2-2x-3的图象开口向上,对称轴为直线x=1,y=在[0,+∞)上单调递增,
所以y=在(-∞,-1]上单调递减,在[3,+∞)上单调递增,
因为y=在 R上单调递减,
所以f(x)=在(-∞,-1]上单调递增,在[3,+∞)上单调递减,
即f(x)=的单调增区间为(-∞,-1].
故选A.
解后反思　求复合函数的单调区间时要把握“同增异减”的原则,另外要注意函数的定义域对单调区间的影响.
8.答案　{x|2解析　∵函数f(x)=有最大值,
∴0不等式>1即>a0,
∴x2-5x+6<0,解得2故不等式的解集为{x|29.答案　或
解析　当a>1时,函数y=ax在[1,2]上单调递增,y的最大值为a2,最小值为a,
故有a2-a=,解得a=或a=0(舍去);
当0故有a-a2=,解得a=或a=0(舍去).
综上,a=或a=.
易错警示　解决与指数函数单调性(最大(小)值)有关的问题时,要注意底数对单调性的影响,当底数含有参数时,要注意对参数分类讨论.
10.解析　(1)由题意得,解得a=9,
∴f(x)=9x,g(x)=,
∴f(x)>g(-x)+6可整理为9x-3x-6>0,
令3x=t(t>0),则t2-t-6=(t+2)(t-3)>0,
∴t>3,即3x>3,∴x>1.
∴x的取值范围是(1,+∞).
(2)由题可知h(x)=9x+,
任取x1,x2∈[0,+∞),且x1则h(x1)-h(x2)=
=(
=(
=(
=·()-2].
∵x1,x2∈[0,+∞),且x1∴>30=1,
∴·(·()-2>0,
∴h(x1)-h(x2)<0,即h(x1)∴h(x)在[0,+∞)上单调递增.
11.B　令g(x)=x2-2x,x∈[-1,2],
则g(x)min=g(1)=-1,g(x)max=g(-1)=3,
所以g(x)∈[-1,3],
又y=2x在R上单调递增,
所以2-1≤f(x)≤23,即≤f(x)≤8.故选B.
12.D　f(x)的定义域为R,关于原点对称,
f(-x)=3(-x)3+=-f(x),
所以f(x)是R上的奇函数,
f(a2)+f(3a-4)>0,即f(a2)>-f(3a-4)=f(4-3a),
易知f(x)是R上的增函数,故a2>4-3a,即a2+3a-4>0,解得a>1或a<-4,
所以实数a的取值范围为(-∞,-4)∪(1,+∞),
故选D.
13.答案　
解析　g.
令t=x-[x],则t∈[0,1),则g(x)=f(t)=,
∵y=在R上单调递减,
∴≤,故g(x)的值域为.
14.解析　(1)∵f(x)的图象无限接近直线y=1但又不与该直线相交,∴n=1,
又∵f(x)的图象经过原点,∴f(0)=m+1=0,即m=-1,
∴f(x)=-+1.
(2)由(1)得g(x)=+1,x∈[0,2],
令t=,则t∈,
即g(t)=t2-t+1=,t∈,
故当t=,即x=1时,g(x)取得最小值,为.
15.解析　(1)因为f(x)=ax的图象经过点(4,4),
所以a4=4,又a>0且a≠1,所以a=.
(2)因为>1,所以f(x)=()x在R上单调递增,
又因为m2-2m-(-2)=(m-1)2+1>0,
所以m2-2m>-2,所以f(-2)(3)当-3≤x≤3时,-4≤x-1≤2,则0≤|x-1|≤4,
所以()0≤()|x-1|≤()4,
即1≤()|x-1|≤4,
所以g(x)的值域为[1,4].
能力提升练
1.B　函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,
且f(-x)==f(x),所以函数f(x)是偶函数,排除A,D;
令f(x)=0,得x=0,且只有一个解,排除C,故选B.
2.ABC　当0因此函数f(x)=xa-ax在(0,+∞)上单调递增,
f(0)=-1,f(a)=0,函数图象为曲线,A可能;
当a=1时,f(x)=x-1,在(0,+∞)上的图象是不含端点(0,-1)的射线,B可能;
当a>1时,令a=2,则f(x)=x2-2x,有f(2)=f(4)=0,此时f(x)的图象与x轴有两个交点,
当x∈(0,+∞)时,随着x的无限增大,y=ax的增长速度比y=xa的增长速度大,
因此存在正数x0,当x>x0时,恒成立,即f(x)<0,C可能,D不可能.故选ABC.
3.C　由-x2+4x-3≥0解得1≤x≤3,即函数f(x)=的定义域为[1,3],
因为y=ax-a-x=ax-在其定义域上递减,所以0当x∈(1,2)时,y=单调递增,y=ax(0当x∈(2,3)时,y=单调递减,y=ax(0故选C.
4.A　令u=ax,a>1,则y=-u(u>0).
u=ax在定义域内单调递增,y=-u在定义域内单调递减,
根据复合函数“同增异减”的单调性判断原则知f(x)单调递减,
因为f(-x)=ax-=-f(x),f(x)的定义域为R,关于原点对称,所以f(x)为奇函数.
因为f(2x2)+f(x-1)<0,
所以f(2x2)<-f(x-1)=f(1-x),
所以2x2>1-x,所以x∈(-∞,-1)∪.
故选A.
5.BC　y=|ax-1|的图象可由y=ax的图象向下平移1个单位长度,再将x轴下方的图象翻折到x轴上方得到,分a>1和0(a>1)　(0对于A,函数f(x)的图象恒过定点(0,0),故A错误;
对于B,函数f(x)的值域为[0,+∞),故B正确;
对于C,函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,故C正确;
对于D,由图象知,当直线y=2a与函数f(x)的图象有两个公共点时,0<2a<1,即0故选BC.
6.C　当x≥1时,f(x)=-1,函数t=x2+2x-2的图象开口向上,对称轴为直线x=-1,故函数t=x2+2x-2在[1,+∞)上单调递增,又y=2t在其定义域内单调递增,所以函数f(x)在[1,+∞)上单调递增,故f(x)≥f(1)=1, f(x)在[1,+∞)上的值域为[1,+∞);
当x<1时,设函数f(x)的值域为A,因为函数f(x)的值域为R,所以(-∞,1) A,
而当x<1时,f(x)=(2-a)x+3a,必有解得-≤a<2,
所以a的取值范围是.故选C.
7.D　①当0∵f(0)=a0=1>-1+a,∴f(x)的最大值为1,
而f(2)=-2+a∴1-(-2+a)=,解得a=,符合题意.
②当a>1时,函数f(x)在[0,1]上单调递增,在(1,2]上单调递减.
∵f(1)=a>-1+a,∴f(x)的最大值为a,
而f(2)=-2+a,f(0)=a0=1,
当a∈(1,3)时,-2+a<1,∴f(x)的最小值为-2+a,∴a-(-2+a)=,无解;
当a∈[3,+∞)时,-2+a≥1,∴f(x)的最小值为1,∴a-1=,解得a=,符合题意.
综上所述,实数a的值为或.故选D.
8.解析　(1)∵f(x)+g(x)=2x①,
∴f(-x)+g(-x)=2-x,
∵f(x)为定义在R上的奇函数,g(x)为定义在R上的偶函数,
∴-f(x)+g(x)=2-x②,
联立①②,得g(x)=(2x-2-x).
f(x)在R上单调递增,证明如下:
任取x1,x2∈R,且x1则f(x1)-f(x2)=,
∵x10,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)∴f(x)在R上单调递增.
(2)F(x)=g(2x)-af(x)-1=(2x-2-x)-1,
令t=2x-2-x,x∈[0,1],易知t单调递增,则t∈,
22x+2-2x=+2=t2+2,
令h(t)=,t∈,
当≤0,即a≤0时,h(t)在上单调递增,则h(t)min=h(0)=0;
当0<,即0当≥,即a≥3时,h(t)在上单调递减,则h(t)min=ha.
综上所述,当a≤0时,F(x)的最小值为0;
当0当a≥3时,F(x)的最小值为a.
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