2025北师大版高中数学必修第一册同步练习题--3.3对数函数y=logax的图象和性质（含解析）

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2025北师大版高中数学必修第一册
第四章　对数运算与对数函数
§3　对数函数
3.3　对数函数y=logax的图象和性质
基础过关练
题组一　对数型函数的图象及其应用
1.(2023广东广州第九十七中学阶段训练)若函数f(x)=loga(x-n)+m(a>0且a≠1)的图象恒过定点(3,-1),则mn=(　　)
A.-2　　　B.-3　　　　
C.1　　　D.2
2.(多选题)(2023陕西西安长安一中月考)下图是三个对数函数的图象,则(　　)
A.a>1　　　B.0C.2b<2c<2a　　　D.c3.(2024甘肃天水甘谷第二中学月考)函数f(x)=的图象大致为(　　)
A　　　B　　　　
C　　　D
4.(2022陕西礼泉期中)已知0A　　　B
C　　　D　
5.已知函数y=loga的图象经过第二、三、四象限,则实数a的取值范围为　　　　.
题组二　对数型函数的单调性及其应用
6.(2022山西名校月考)已知函数f(x)=在R上单调递增,则实数a的取值范围为(　　)
A.(1,+∞)　　　B.(2,+∞)
C.(1,2]　　　D.(1,e]
7.(2024陕西汉中多校联考)已知函数f(x)=lg(x2-ax+12)在[-1,3]上单调递减,则实数a的取值范围是(　　)
A.[6,+∞)　　　B.[6,7)
C.(-∞,-2]　　　D.(-13,-2]
8.(多选题)(2022广西河池八校联考)使lo(2x-3)>-2成立的一个充分不必要条件是(　　)
A.x>　　　B.
C.29.(2024浙江绍兴第一中学期中)设a=log63,b=lg 5,c=20.1,则(　　)
A.aC.c10.已知函数f(x)=loga(8-ax)(a>0,且a≠1),若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立,则实数a的取值范围是　　　　　.
11.(2022湖南部分学校联考)已知函数f(x)=loga(x2-2ax)(a>0且a≠1).
(1)若a=,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在[3,4]上单调递增,求a的取值范围.
题组三　对数型函数性质的综合应用
12.(多选题)(2024山东泰安第二中学月考)关于函数f(x)=lg的说法正确的是(　　)
A.定义域为(-1,1)　　　B.图象关于y轴对称
C.图象关于原点对称　　　D.在(0,1)上单调递增
13.(2024四川内江第二中学月考)设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数,例如:[-0.3]=-1,[1.7]=1.已知函数f(x)=log2x+2x,若x=[t],t∈(1,3),则函数y=f(x)的值域为(　　)
A.(2,5)　　　B.{2,5}　　　　
C.{3,5}　　　D.{5,8+log23}
14.(2022广东深圳第二高级中学月考)函数f(x)=lg的值域为R,则实数k的取值范围是　　　　.
15.(2023江苏常州第一中学检测)已知f(x)=1+log2x,x∈[1,8],设函数g(x)=[f(x)]2+f(x2),则g(x)max-g(x)min=　　　　.
16.设函数f(x)=log2(ax-bx),且f(1)=1,f(2)=log212.
(1)求a,b的值;
(2)当x∈[1,3]时,求f(x)的最大值.
17.(2023陕西西安八十三中月考)已知函数f(x)=log2(-x)是定义在R上的奇函数.
(1)求a的值;
(2)求使不等式f(x)≥1成立的x的取值范围.
能力提升练
题组一　对数型函数的图象及其应用
1.(2023广东深圳中学期中)已知log2a+log2b=0(a>0且a≠1,b>0且b≠1),则函数f(x)=与g(x)=logbx的图象可能是(　　)
A　　　B
C　　　D
2.已知函数f(x)=|lg(x+1)|,若f(a)=f(b)(aA.(a-1)(b-1)>1　　　
B.(a-1)(b-1)=1
C.(a-1)(b-1)<1　　　
D.以上均有可能
3.(2022河南南阳一中月考)已知k,则(　　)
A.m>n>k　　　B.mC.n4.(多选题)(2022广东中山纪念中学月考)若两个函数的图象经过平移后能够重合,则称这两个函数为“同形”函数,给出四个函数:f1(x)=log2(x+1),f2(x)=log2(x+2),f3(x)=log2x2,f4(x)=log2(2x),其中是“同形”函数的是(　　)
A.f2(x)与f4(x)　　　B.f1(x)与f3(x)
C.f1(x)与f4(x)　　　D.f3(x)与f4(x)
题组二　对数型函数的性质及其应用
5.(多选题)(2023辽宁省实验中学月考)已知函数f(x)=ln(e2x+1)-x,则(　　)
A.f(x)的定义域为R　　　
B.f(x)的值域为R
C.f(x)是偶函数
D.f(x)在区间[0,+∞)上是增函数
6.(2024黑龙江省实验中学月考)已知a∈,则f(x)=loga(x2-4x+3)的减区间为(　　)
A.(-∞,1)　　　B.(-∞,2)
C.(3,+∞)　　　D.(2,+∞)
7.(2024山东薛城舜耕实验学校月考)若f(x)=-x2+ax+2+lg(2-|x|)(a∈R)是偶函数,且f(1-m)A.　　　B.
C.　　　D.
8.(2023河南郑州外国语学校期中)已知f(x)=-m,g(x)=ln(x2+1),若 x1∈[-2,-1], x2∈[0,1],使得f(x1)≥g(x2),则实数m的最大值是　　　　.
9.(2024浙江绍兴第一中学期中)已知实数x,y满足ex+x-2 023=-ln(y+2 023),则ex+y+2 024的最小值是　　　　.
10.(2024河南郑州月考)已知函数f(x)=ax+b,g(x)=logax(a>0,且a≠1),其中a,b均为实数.
(1)若函数f(x)的图象经过点A(0,2),B(1,3),求a,b的值;
(2)如果函数f(x)的定义域和值域都是[-1,0],求a+b的值;
(3)若a满足不等式22a+1>25a-2,且函数g(2x-1)在区间[1,3]上有最小值-2,求实数a的值.
11.(2023安徽桐城中学月考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(-x)-f(x)=0且f(x)=log2(2x+1)+kx,g(x)=f(x)+x.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若关于x的不等式g(4x-a·2x+1)>g(-3)恒成立,求实数a的取值范围;
(3)设h(x)=x2-2mx+1,若对任意的x1∈[0,3],存在x2∈[1,3],使得g(x1)≥h(x2),求实数m的取值范围.
12.(2024黑龙江牡丹江第二高级中学期中)已知函数f(x)=loga(a>0且a≠1).
(1)判断并证明函数f(x)的奇偶性;
(2)若a=2,求函数y=f(2x)的值域;
(3)是否存在实数a,b,使得函数f(x)在区间上的值域为(1,2) 若存在,求a,b的值;若不存在,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
第四章　对数运算与对数函数
§3　对数函数
3.3　对数函数y=logax的图象和性质
基础过关练
1.A　因为函数f(x)的图象恒过定点(n+1,m),所以所以所以mn=-2.故选A.
2.ABC　由题图得a>1,0令y=1,由logbb=logcc=1及题图得b又y=2x是增函数,∴2b<2c<2a.故选ABC.
3.C　f(x)=的定义域为{x|x≠0,且x≠±1},关于原点对称,因为f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数,排除A,D;
当x∈(0,1)时,f(x)<0,排除B.故选C.
解题模板　函数图象的识辨可从以下方面入手:根据函数的定义域判断图象的左右位置,根据函数的值域判断图象的上下位置;根据函数的单调性判断图象的变化趋势;根据函数的奇偶性判断图象的对称性;根据函数图象的特征点排除不符合要求的图象.
4.B　当01,则y=a-x=在R上单调递增,y=logax在(0,+∞)上单调递减,故选B.
5.答案　
解析　∵函数y=loga的图象经过第二、三、四象限,∴解得6.C　根据题意得解得17.B　由复合函数“同增异减”的原则知函数y=x2-ax+12在[-1,3]上单调递减,由对数的真数大于0知x2-ax+12>0在[-1,3]上恒成立,
所以解得6≤a<7,
故实数a的取值范围是[6,7).故选B.
8.CD　∵lo,
∴lo4,∴0<2x-3<4,
∴不等式的解集为.
易得使不等式成立的一个充分不必要条件所对应的集合必须是集合的真子集.
结合选项知选CD.
9.A　令f(x)=logx,则a=log63=f(6),b=lg 5=f(10),
因为y=log2x在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以0因为y=2x在R上单调递增,所以c=20.1>20=1,所以a10.答案　
解析　当a>1时, f(x)=loga(8-ax)在[1,2]上单调递减,由f(x)>1恒成立,得f(x)min=loga(8-2a)>1,即8-2a>a,解得a<,又a>1,所以1当01恒成立,得f(x)min=loga(8-a)>1,即8-a4,又0综上,实数a的取值范围是.
易错警示　利用对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的单调性解决问题时,当底数a的值不确定时,要分01两种情况讨论.
11.解析　(1)当a=时,f(x)=(x2-x),
由x2-x>0,解得x<0或x>1,
故f(x)的定义域为(-∞,0)∪(1,+∞).
令t=x2-x=,则该函数在(-∞,0)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
因为函数y=t在(0,+∞)上是减函数,
所以f(x)的单调递增区间为(-∞,0),单调递减区间为(1,+∞).
(2)令g(x)=x2-2ax=(x-a)2-a2,则该函数在(-∞,a]上单调递减,在[a,+∞)上单调递增.
①当a>1时,要使f(x)在[3,4]上单调递增,
则g(x)在[3,4]上单调递增,且g(x)>0恒成立,
故解得a<,
又a>1,所以1②当0则g(x)在[3,4]上单调递减,且g(x)>0恒成立,
故无解.
综上,a的取值范围为.
12.ACD　f(x)=lg=lg ,令>0,即<0,解得-1f(x)的定义域关于原点对称,且f(-x)=lg =-f(x),所以f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,故B错误,C正确;
因为y=1-x在(0,1)上单调递减,所以y=-1在(0,1)上单调递增,又y=lg x在(0,+∞)上单调递增,所以y=lg在(0,1)上单调递增,故D正确.故选ACD.
13.B　当1当2≤t<3时,x=[t]=2,f(x)=log22+22=1+4=5.
∴函数y=f(x)的值域为{2,5}.故选B.
14.答案　
解析　令u=2kx2-x+,由题意得u=2kx2-x+能取到大于0的一切实数.
①当k=0时,u=-x+,
f(x)的值域为R,符合题意;
②当k≠0时,解得0综上所述,k的取值范围是.
15.答案　
解析　g(x)=+4log2x+2,
由题意得∴1≤x≤2,即g(x)的定义域为[1,2],
令t=log2x,x∈[1,2],则t∈,
则h(t)=t2+4t+2在上单调递增,
∴g(x)max=h,g(x)min=h(0)=2,
∴g(x)max-g(x)min=.
16.解析　(1)由得
∴即
(2)由(1)知f(x)=log2(4x-2x),
设t=2x,∵x∈[1,3],∴t∈[2,8].
令u=4x-2x=t2-t=,t∈[2,8],
∴当t=8,即x=3时,umax=56,
又y=log2u在(0,+∞)上单调递增,
∴当u最大时,y也最大,
∴f(x)的最大值为3+log27.
17.解析　(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(0)=log2=0,解得a=1,
检验:当a=1时, f(x)=log2(-x),定义域为R,f(-x)=log2(+x),且 x∈R,都有f(-x)+f(x)=log2[(+x)·(-x)]=log21=0,
所以f(x)是定义在R上的奇函数,故a=1.
(2)由(1)知f(x)=log2(-x).
f(x)≥1即log2(-x)≥1=log22,
得-x≥2,即≥x+2,
①当x+2<0,即x<-2时,≥x+2成立;
②当x+2≥0,即x≥-2时,
原不等式等价于x2+1≥x2+4x+4,解得-2≤x≤-.
综上,使不等式f(x)≥1成立的x的取值范围是.
能力提升练
1.B　由log2a+log2b=0(a>0且a≠1,b>0且b≠1),
可得log2(ab)=0,则ab=1,则b=,
则g(x)=logbx=x,
又f(x)=,所以g(x)与f(x)互为反函数,
则g(x)与f(x)的单调性一致,且两函数的图象关于直线y=x对称.故选B.
2.C　作出函数f(x)=|lg(x+1)|的图象,如图:
由图结合题意可知,-lg(a+1)=lg(b+1),-1所以lg(a+1)+lg(b+1)=lg[(a+1)(b+1)]=0,
所以(a+1)(b+1)=1,即ab+a+b=0,所以a+b=-ab,
所以(a-1)(b-1)=ab-a-b+1=1+2ab<1,故选C.
3.D　在同一平面直角坐标系中画出y=x的图象,如图所示:
根据图象知n4.AC　由题知f3(x)=log2x2=2log2|x|,
f4(x)=log2(2x)=log2x+1.
对于A,将f2(x)的图象先向右平移2个单位长度,再将所得图象向上平移1个单位长度,可以得到f4(x)的图象,故A符合;
对于C,将f1(x)的图象先向右平移1个单位长度,再将所得图象向上平移1个单位长度,可以得到f4(x)的图象,故C符合;
对于B,D,因为f3(x)为分段函数,其图象不能通过f1(x)或f4(x)的图象平移得到,故B,D均不符合.
故选AC.
5.ACD　因为e2x+1>1,
所以函数f(x)的定义域为R,故A正确;
f(x)=ln(e2x+1)-x=ln(e2x+1)-ln ex=ln=ln(ex+e-x),
因为ex+e-x≥2,当且仅当ex=e-x,即x=0时取等号,所以f(x)≥ln 2,故B错误;
因为f(-x)=ln(e-x+ex)=f(x),所以f(x)是R上的偶函数,故C正确;
函数t=ex在[0,+∞)上单调递增,且t=ex≥1,根据对勾函数的性质可知u=t+在[1,+∞)上单调递增,
又函数y=ln u为增函数,故函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数,故D正确.故选ACD.
6.C　由-x=0得=x,
在同一平面直角坐标系中画出函数y=与y=x的图象,如图所示,
由图可知,0由x2-4x+3>0,解得x<1或x>3,故f(x)的定义域为{x|x<1或x>3}.
当x∈(-∞,1)时,y=x2-4x+3单调递减,所以f(x)单调递增;
当x∈(3,+∞)时,y=x2-4x+3单调递增,所以f(x)单调递减.
所以函数f(x)的减区间为(3,+∞).故选C.
7.A　由2-|x|>0得-2若f(x)是偶函数,则f(-x)=f(x),
即-(-x)2-ax+2+lg(2-|-x|)=-x2+ax+2+lg(2-|x|),解得a=0,故f(x)=-x2+2+lg(2-|x|),
当0≤x<2时,f(x)=-x2+2+lg(2-x),
由y=-x2+2,y=lg(2-x)在[0,2)上均单调递减,知f(x)在[0,2)上单调递减,
则不等式f(1-m)解得-1所以实数m的取值范围是.故选A.
8.答案　2
解析　∵ x1∈[-2,-1], x2∈[0,1],使得f(x1)≥g(x2),∴f(x)min≥g(x)min.
∵f(x)在[-2,-1]上单调递减,∴f(x)min=f(-1)=2-m.
∵u=x2+1在[0,1]上单调递增且u≥1,y=ln u在(0,+∞)上单调递增,
∴g(x)=ln(x2+1)在[0,1]上单调递增,
∴g(x)min=g(0)=ln 1=0.
∴2-m≥0,解得m≤2,则实数m的最大值为2.
9.答案　2+1
解析　由ex+x-2 023=-ln(y+2 023),
得ex+x=+2 023-ln(y+2 023),
得ex+ln ex=+ln e2 023-ln(y+2 023)=+ln ,
令f(x)=x+ln x,则f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(ex)=f,所以ex=,
则ex+y+2 024=+(y+2 023)+1≥2+1,
当且仅当=y+2 023,即y=-2 023时等号成立,
所以ex+y+2 024的最小值是2+1.
解后反思　本题把ex+x-2 023=-ln(y+2 023)变形为ex+ln ex=,通过构造函数f(x)=x+ln x,利用函数的单调性得到ex=是解题的关键,这种构造函数的思想在解题中会经常用到,同学们平时要多积累总结.
10.解析　(1)因为函数f(x)=ax+b的图象经过点A(0,2),B(1,3),
所以解得
(2)当a>1时,函数f(x)=ax+b在[-1,0]上单调递增,
由题意可得无解;
当0由题意可得解得
所以a+b=-.
(3)因为22a+1>25a-2,所以2a+1>5a-2,解得a<1,
又a>0,所以0所以当x=3时,g(2x-1)取得最小值-2,
即g(2×3-1)=loga(2×3-1)=loga5=-2,解得a=.
11.解析　(1)由题知log2(2-x+1)-kx-log2(2x+1)-kx=0,
即2kx=log2(2-x+1)-log2(2x+1)=log2=-x,
所以k=-,故f(x)=log2(2x+1)-x.
(2)g(x)=f(x)+x=log2(2x+1)+x,
所以g(x)在R上单调递增,
所以不等式g(4x-a·2x+1)>g(-3)恒成立等价于4x-a·2x+1>-3,即a<恒成立.
设t=2x,则t>0,≥4,当且仅当t=,即t=2,即x=1时取等号,
所以a<4,故实数a的取值范围是(-∞,4).
(3)因为对任意的x1∈[0,3],存在x2∈[1,3],使得g(x1)≥h(x2),
所以g(x)在[0,3]上的最小值不小于h(x)在[1,3]上的最小值.
因为g(x)=log2(2x+1)+x在[0,3]上单调递增,
所以当x∈[0,3]时,g(x)min=g(0)=1.
又h(x)=x2-2mx+1的图象的对称轴为直线x=m,
所以当m≤1时,h(x)在[1,3]上单调递增,h(x)min=h(1)=2-2m,所以2-2m≤1,解得m≥,所以≤m≤1;
当1当m≥3时,h(x)在[1,3]上单调递减,h(x)min=h(3)=10-6m,所以10-6m≤1,解得m≥,所以m≥3.
综上可知,实数m的取值范围是.
12.解析　(1)函数f(x)是奇函数.
证明:由>0,解得x<-1或x>1,故f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),关于原点对称.
因为f(-x)=loga=-f(x),
所以f(x)是奇函数.
(2)当a=2时,f(x)=log2,
y=f(2x)=log2,
因为1+>0,所以2x-1<-2(舍去)或2x-1>0,
所以∈(0,+∞),1+∈(1,+∞),
所以log2∈(0,+∞),
所以y=f(2x)的值域是(0,+∞).
(3)f(x)=loga.因为函数f(x)在上的值域为(1,2),a>0,且a≠1,
结合f(x)的定义域可知 (1,+∞),
所以a>b>1.
①当0所以即
因为b>1,所以1+>1,所以1+=a无解或因为a>1,所以1+>1,所以1+=a2无解,
故此时不存在实数a,b满足题意;
②当a>1时,函数f(x)在上单调递减,
所以即
解得a=2或a=-(舍去),b=.
综上,存在a=2,b=满足题意.
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