2025北师大版高中数学必修第一册同步练习题--3_1　不等式的性质（含解析）

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2025北师大版高中数学必修第一册
第一章　预备知识
§3　不等式
3.1　不等式的性质
基础过关练
题组一　不等关系的表示
1.(2024广东深圳德琳学校月考)某公司运输一批木材,总重600吨,车队有两种货车,A型货车载重量为30吨,B型货车载重量为24吨,设派出A型货车x辆,B型货车y辆,则运输方案应满足的关系式是(　　)
A.5x+4y<100　　　B.5x+4y≥100
C.5x+4y>100　　　D.5x+4y≤100
2.某同学拿50元钱买纪念邮票,票面8角的每套5张,票面2元的每套4张,如果每种邮票至少买两套,那么买票面8角的x套与票面2元的y套用不等式组可表示为　(　　)
A.
C.
3.一个工程队规定要在6天内完成300立方米的工程,第1天完成了60立方米,现在要比原计划至少提前2天完成任务,则以后几天平均每天要完成的立方米数x应满足的不等式为　　　　　.
题组二　比较大小
4.已知a=,则下列选项正确的是(　　)
A.a>b>c　　　B.a>c>b
C.c>a>b　　　D.b>a>c
5.(2022江西萍乡一联)实数a,b,c满足a2=2a+c-b-1且a+b2+1=0,则下列关系成立的是(　　)
A.b>a≥c　　　B.c≥a>b
C.b>c≥a　　　D.c>b>a
6.(2024浙江温州平阳月考)明明的爸爸和妈妈的加油习惯是不同的,爸爸每次加油都说:“师傅,给我加250元的油”,而妈妈则说:“师傅,帮我把油箱加满”.如果明明的爸爸、妈妈都加油两次,两次的加油价格不同,妈妈每次加满油箱;爸爸每次加250元的油,我们规定谁的平均单价低谁就合算,那么爸爸、妈妈谁更合算呢 (　　)
A.妈妈　　　B.爸爸　　　　
C.一样　　　D.不确定
7.(2022吉林四平第一高级中学期中)古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理,它是使用天平称量物品质量的理论基础,当天平平衡时,左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臂长与右盘物品质量的乘积.某金店用一杆不准确的天平(两臂不等长)称黄金,某顾客要购买10 g黄金,售货员先将5 g的砝码放于左盘,将黄金放于右盘使之平衡后给顾客;然后又将5 g的砝码放于右盘,将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客,则顾客实际所得黄金的质量(　　)
A.大于10 g　　　
B.小于10 g
C.大于或等于10 g　　　
D.小于或等于10 g
8.(2023辽宁沈阳重点高中联合体期中)若a>b>1,y1=,则y1,y2的大小关系是　　　　.
题组三　不等式的性质及其应用
9.(2024天津第七中学月考)设a,b∈R,则“aA.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
10.(2024湖南部分学校联考)若a>b,d>c,且(c-a)(c-b)<0,(d-a)(d-b)>0,则(　　)
A.bC.c11.(多选题)(2024山东泰安一中期中)下列选项正确的是(　　)
A.若a>b,则>1
B.若a>b,c>d,则a-d>b-c
C.若ac2>bc2,则a>b
D.若a>b,则
12.(多选题)(2023四川成都七中期中)若a>b>0,则下列不等式中一定成立的是(　　)
A.　　　
B.a+
C.a+　　　
D.
13.(多选题)已知6A.　　　
B.a+2b∈{x|21C.a-b∈{x|-12D.
14.(2024山西大学附属中学月考)已知-1≤a+b≤1,-1≤a-b≤1,则2a+3b的取值范围为　　　　.
15.(2024江西南昌新民外语学校月考)实数a,b满足-3≤a+b≤2,-1≤a-b≤4.
(1)求实数a的取值范围;
(2)求3a-2b的取值范围.
题组四　不等式的证明
16.(2022河南信阳联考)已知a,b都是正数,且a≠b,求证:a5+b5>a2b3+a3b2.
17.(2024辽宁省实验中学月考)(1)已知A=a2-2b+,其中a,b,c为实数,求证:A,B,C中至少有一个为正数;
(2)求证:a4-b4≤4a3(a-b).
答案与分层梯度式解析
第一章　预备知识
§3　不等式
3.1　不等式的性质
基础过关练
1.B　由已知可得30x+24y≥600,即5x+4y≥100.
故选B.
2.A
3.答案　3x≥300-60
4.B　∵a-c=>0,
∴a>c.
∵c-b=),
而()>0,∴c>b,∴a>c>b.故选B.
5.D　由a2=2a+c-b-1可得(a-1)2=c-b≥0,
由a+b2+1=0可得a=-b2-1<-1,∴c>b,
又b-a=b2+b+1=>0,∴b>a.
综上,c>b>a.
6.B　设第一次加油单价为x元/升,第二次加油单价为y元/升,油箱加满为a升,则妈妈两次加油共需付款a(x+y)元,爸爸两次能加升油.
设爸爸两次加油的平均单价为M元/升,妈妈两次加油的平均单价为N元/升,
则M=,且x≠y,x,y>0,
因为N-M=>0,即N>M,
所以爸爸的加油方式更合算.故选B.
7.A　由于天平的两臂不等长,故可设天平左臂长为a cm,右臂长为b cm(a≠b),先称得的黄金的实际质量为m1 g,后称得的黄金的实际质量为m2 g.
由杠杆原理得bm1=a×5,am2=b×5,解得m1=,
则m1+m2=.
因为m1+m2-10=,a≠b,
所以>0,即m1+m2>10.
所以顾客实际所得黄金的质量大于10 g.故选A.
8.答案　y1>y2
解析　由a>b>1,得a-b>0,a-1>0,
则y1-y2=>0,故y1>y2.
9.A　当a0,b-a>0,
则>0,即,充分性成立;
当时,取a=1,b=-1,得不到a所以“a10.B　由a>b,(c-a)(c-b)<0,得c-a<0,c-b>0,即b∵(d-a)(d-b)>0,且d>c>b,∴d>a,∴d>a>c>b.
故选B.
11.BC　当a=2,b=-1时,,A,D均不正确;由c>d得-d>-c,结合a>b,可得a-d>b-c,故B正确;由ac2>bc2,得c2>0,则a>b,故C正确.故选BC.
12.AC　对于A,,因为a>b>0,所以<0,即,故A正确;
对于B,a+,取a=1,b=,则(a-b)<0,即a+,故B错误;
对于C,a+,因为a>b>0,所以(a-b)>0,即a+,故C正确;
对于D,,因为a>b>0,所以<0,即,故D错误.
故选AC.
13.AC　A中,因为15B中,30<2b<36,所以36C中,-18<-b<-15,所以-12D中,+1∈,故D错误.
故选AC.
14.答案　[-3,3]
解析　设2a+3b=λ(a+b)+μ(a-b)=(λ+μ)a+(λ-μ)b,λ,μ∈R,
则解得
故2a+3b=(a-b),
由-1≤a+b≤1,得-≤(a+b)≤,
由-1≤a-b≤1,得-≤-(a-b)≤,
所以2a+3b∈[-3,3].
15.解析　(1)a=[(a+b)+(a-b)],
由-3≤a+b≤2,-1≤a-b≤4,得-4≤(a+b)+(a-b)≤6,
所以-2≤[(a+b)+(a-b)]≤3,即-2≤a≤3,
故实数a的取值范围为[-2,3].
(2)设3a-2b=m(a+b)+n(a-b)=(m+n)a+(m-n)b,m,n∈R,
则解得
∴3a-2b=(a-b),
∵-3≤a+b≤2,-1≤a-b≤4,
∴-≤(a+b)≤1,-≤(a-b)≤10,
∴-4≤3a-2b≤11,
故3a-2b的取值范围为[-4,11].
16.证明　a5+b5-a2b3-a3b2=(a5-a3b2)+(b5-a2b3)=a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a3-b3)(a2-b2)=(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2).
因为a,b都是正数,所以a+b>0,a2+ab+b2>0,
因为a≠b,所以(a-b)2>0,
所以(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)>0,
所以a5+b5>a2b3+a3b2.
17.证明　(1)(反证法)假设A,B,C中没有正数,即A≤0,B≤0,C≤0,则A+B+C≤0.
而A+B+C=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+π-3>0,
这与假设矛盾,故假设错误,原命题正确.
(2)a4-b4-4a3(a-b)
=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)
=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)
=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]
=(a-b)[a2(b-a)+a(b-a)(b+a)+(b-a)(a2+ab+b2)]
=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)
=-(a-b)2[2a2+(a+b)2],
∵(a-b)2≥0,2a2+(a+b)2≥0,
∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]≤0,
∴a4-b4≤4a3(a-b)(当且仅当a=b时取等号).
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