2025北师大版高中数学必修第一册同步练习题--3_2　基本不等式（含解析）

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2025北师大版高中数学必修第一册
第一章　预备知识
§3　不等式
3.2　基本不等式
基础过关练
题组一　对基本不等式的理解
1.不等式x-2y+≥2成立的前提条件为(　　)
A.x≥2y　　　B.x>2y
C.x≤2y　　　D.x<2y
2.若实数a,b满足a>b>0,则下列不等式中恒成立的是(　　)
A.a+b>2
C.
3.(2024广东惠州实验中学月考)下列不等式以及不等式中的等号一定成立的是(　　)
A.≥2
B.x+3+≥2(其中x>-3)
C.≥2
D.x-1+≥2(其中x>2)
题组二　利用基本不等式比较大小
4.(2023江西抚州黎川一中月考)设A=(m,n为互不相等的正数),B=-x2+4x-2,则A与B的大小关系是(　　)
A.A>B　　　　B.A≥B　　　　C.A5.(多选题)(2023江苏南京师范大学附属中学期中)设a,b为正数,ab=4,则下列不等式中对一切满足条件的a,b恒成立的是(　　)
A.a+b≥4　　　B.a2+b2≤8
C.≥1　　　D.≤2
6.(多选题)(2024广西南宁第三十三中学月考)已知a>0,b>0,且a+b=1,则(　　)
A.ab≥　　　B.a2+b2≥　　　　
C.b-a<1　　　D.
题组三　利用基本不等式求最值
7.(2024湖南师大附中月考)已知x>2,则函数y=+4x的最小值是(　　)
A.6　　　　B.8　　　　C.12　　　　D.16
8.(2024宁夏石嘴山平罗中学期中)已知x>0,y>0,且x+4y=12,则xy的最大值为(　　)
A.8　　　　B.9　　　　C.18　　　　D.36
9.若正数x,y满足=1,则3x+4y的最小值是(　　)
A.24　　　　B.28　　　　C.25　　　　D.26
10.(2023陕西西北工业大学附属中学月考)当0A.8　　　　B.9　　　　C.10　　　　D.11
11.(2023广东深圳南头中学期中)
(1)已知x>0,求7-x-的最大值;
(2)已知0题组四　利用基本不等式证明不等式
12.(2023河北沧州开学考试)设a>0,b>0,给出下列不等式:
①a2+1>a;②≥4;③(a+b)·≥4;④a2+9>6a.
其中恒成立的是　　　　(填序号).
13.(2023北京师范大学附属中学期中)已知x>1,且x-y=1,求证:x+≥3.
14.已知a>0,b>0,a+b=1,求证:
(1)≥8;
(2)≥9.
题组五　利用基本不等式解决实际问题
15.(2022山东临沂期中联考)要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器,已知该容器的底面造价是每平方米40元,侧面造价是每平方米20元,则该容器的最低总造价是　　　　元.
16.(2024湖北天门江汉学校考试)为宣传2022年北京冬奥会,某公益广告公司拟在一张矩形海报纸ABCD上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形),宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2.为了美观,要求海报纸上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm.设直角梯形的高为x cm.
(1)当x=20时,求海报纸的面积;
(2)为节约成本,应如何选择海报纸的尺寸,可使用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小)
17.(2022广东普宁华侨中学月考)目前电动汽车越来越普及,对充电桩的需求量也越来越大,某商场计划在地下停车库安装公共充电桩,以满足顾客的需求.据市场分析,公共充电桩的历年总利润y(单位:万元)与营运年数x(x是正整数)成一元二次函数关系,营运三年时总利润为20万元,营运六年时总利润最大,最大为110万元.
(1)求出y关于x的函数关系式;
(2)求营运的年平均总利润的最大值(注:年平均总利润=历年总利润÷营运年数).
能力提升练
题组一　利用基本不等式求最值
1.(2022江西抚州南城二中月考)已知x≥,则有(　　)
A.最大值　　　B.最小值
C.最大值1　　　D.最小值1
2.(2022江西吉安新干中学期中)已知正数a,b满足a2+b2=ab+1,则a+b的最大值为(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.4　　　　D.
3.设a>0,b>0,且不等式≥0恒成立,则实数k的最小值为(　　)
A.0　　　　B.4　　　　C.-4　　　　D.-2
4.(2023黑龙江齐齐哈尔克东“五校联谊”期中)设x,y均为正数,且=1,则x+y+4的最小值为(　　)
A.12　　　　B.20　　　　C.13　　　　D.10
5.(多选题)(2024山东日照实验高级中学段考)已知m>0,xy>0,当x+y=2时,不等式≥4恒成立,则m的值可以是(　　)
A.1　　　　B.
6.(2024江苏常州北郊高级中学阶段调研)已知a>1,b>,且2a+b=4,则的最小值是(　　)
A.1　　　　B.　　　　C.2　　　　D.3
7.(2024河南新乡原阳第一高级中学月考)若正数x,y满足x+4y-xy=0,则的最大值为　　　　.
8.(2024江苏南通如东第一高级中学阶段测试)已知xy=1,且09.(2023湖北十堰普通高中六校协作体期中联考)
(1)若正数x,y满足x+3y=5xy,求3x+4y的最小值;
(2)求(x>1)的最小值.
10.(2022浙江精诚联盟联考)已知a>0,b>0.
(1)若a+b=4,求的最小值及此时a,b的值;
(2)若2a2+b2=4a+4b,求的最小值及此时a,b的值;
(3)若a2+3b2+4ab-6=0,求5a+9b的最小值及此时a,b的值.
题组二　利用基本不等式证明不等式
11.(2022湖北武汉中学月考)设a>0,b>0,a+b=2.证明:
(1)≥4;
(2)a3+b3≥2.
12.已知a,b,c均为正实数.
(1)求证:≥3;
(2)若a+b+c=3,证明:.
题组三　利用基本不等式解决实际问题
13.(2022江苏苏州期中)一家公司计划租地建造仓库储存货物,经过市场调查了解到下列信息:每月土地占地费y1(单位:万元)与仓库到车站的距离x(单位:km)成反比,每月库存货物费y2(单位:万元)与(4x+1)成正比;若在距离车站10 km处建仓库,则y1与y2的值分别为2和8.2.记两项费用之和为w万元.
(1)求w关于x的解析式;
(2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处,才能使两项费用之和最小 并求出最小值.
14.(2024广东汕尾华大实验学校月考)某火车站正在不断建设,目前车站准备在某仓库外,利用其一侧原有墙体,建造一间墙高为3米,底面积为12平方米,且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的背面靠墙,无须建造费用,因此甲工程队给出的报价为:屋子前面新建墙体报价为每平方米400元,左右两面新建墙体报价为每平方米150元,屋顶和地面以及其他报价共计7 200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米(2≤x≤6).
(1)当左右两面墙的长度为多少时,甲工程队报价最低
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标,其给出的整体报价为元(a>0),若无论左右两面墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,试求a的取值范围.
答案与分层梯度式解析
第一章　预备知识
§3　不等式
3.2　基本不等式
基础过关练
1.B　基本不等式成立的前提条件是各项均为非负数,又x-2y≠0,所以x-2y>0,即x>2y.故选B.
2.A　因为a>b>0,所以a+b>2,故A正确,B错误;
+2b≥2,当且仅当=2b,即a=4b时取等号,故C,D错误.
故选A.
3.B　对于A,当x<0时,不等式不成立,A错误;
对于B,因为x>-3,所以x+3>0,所以x+3+≥2=2,当且仅当x+3=,即x=-2时,等号成立,B正确;
对于C,因为≥2,所以≥2=2,当且仅当,即=1时等号成立,又≥2,所以等号取不到,C错误;
对于D,因为x>2,所以x-1>1,所以x-1+≥2=2,当且仅当x-1=,即x=2时等号成立,又x>2,所以等号取不到,D错误.故选B.
易错警示　利用基本不等式解题要注意验证“一正、二定、三相等”,只有三条同时满足才能得出结论.
4.A　因为m,n为互不相等的正数,所以≠,
所以A==2,
B=-x2+4x-2=-(x-2)2+2≤2,
所以A>B.故选A.
5.AC　A选项,由基本不等式得a+b≥2=4,
当且仅当即a=b=2时等号成立,故A正确;
B选项,当a=1,b=4时,ab=4,但a2+b2=17>8,故B错误;
C选项,由基本不等式得≥2=1,当且仅当即a=b=2时等号成立,故C正确;
D选项,当a=1,b=4时,ab=4,但,故D错误.
故选AC.
6.BCD　由基本不等式可得a+b=1≥2,故ab≤,当且仅当a=b=时等号成立,故A错误;
a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-,当且仅当a=b=时等号成立,故B正确;
b-a-1=b-a-a-b=-2a<0,故b-a<1,故C正确;
(≤1+1=2,当且仅当a=b=时等号成立,故≤,故D正确.
7.D　因为x>2,所以x-2>0,
所以y=+4(x-2)+8≥2+8=16,
当且仅当=4(x-2),即x=3时取等号,故选D.
8.B　xy=·4xy≤·=9,当且仅当x=6,y=时取等号,∴xy的最大值为9.故选B.
9.C　∵正数x,y满足=1,
∴3x+4y=(3x+4y)≥13+2=25,当且仅当x=2y=5时,等号成立,
∴3x+4y的最小值是25.
故选C.
10.B　∵00,
∴≥5+2=9,当且仅当x=时等号成立.
故选B.
解题模板　解决此类最大(小)值问题,常需找出各个分式间的关系,即“隐含条件”,如本题中的“x+(1-x)=1”是定值,从而得到解决问题的方法.
11.解析　(1)∵x>0,∴7-x-+9≤-2+9=-6+9=3,当且仅当x+2=,即x=1时,等号成立.
故7-x-的最大值为3.
(2)∵00,
∴x(1-3x)=×3x(1-3x)≤,当且仅当3x=1-3x,即x=时,等号成立.
故x(1-3x)的最大值为.
12.答案　①②③
解析　a2+1-a=>0,故①恒成立;
≥2=4,当且仅当ab=,即a=b=1时等号成立,故②恒成立;
(a+b)≥2+2=4,当且仅当,即a=b时等号成立,故③恒成立;
当a=3时,a2+9=6a,故④不恒成立.
综上所述,恒成立的是①②③.
13.证明　∵x>1,且x-y=1,∴x=1+y,且y>0,
∴x+≥1+2=3,
当且仅当y=1,x=2时取等号.
14.证明　(1)∵a>0,b>0,a+b=1,
∴,
≥2+2=4,当且仅当a=b=时,等号成立,
∴≥8.
(2)证法一:∵a>0,b>0,a+b=1,
∴1+,
同理,1+,
∴
=5+2≥5+4=9,
当且仅当a=b=时,等号成立,
∴≥9.
证法二:由(1)知,≥8,
故≥9,
当且仅当a=b=时,等号成立.
15.答案　320
解析　设容器底面相邻的两边长分别为a m,b m,总造价为y元.
∵长方体容器的容积为4 m3,高为1 m,
∴底面面积S=ab=4 m2,
∴y=40S+20[2(a+b)]=40(a+b)+160.
∵a+b≥2=4,当且仅当a=b=2时,等号成立,
∴y的最小值为320,故该容器的最低总造价是320元.
16.解析　(1)如图所示,由题意可得直角梯形较长的底边EF=1 440÷20÷2=36 cm,
∵海报纸上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm,
∴AD=20+2×2=24 cm,DC=36×2+2×4=80 cm,
故海报纸的面积为AD·DC=24×80=1 920 cm2.
(2)∵直角梯形的高为x cm,宣传栏的面积之和为1 440 cm2,
∴EF=,
∵海报纸上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm,
∴AD=x+4,DC=+8,
故S四边形ABCD=AD·DC=(x+4)+1 472≥2+1 472=192+1 472,
当且仅当8x=,即x=12时等号成立,
故当海报纸宽为(12+4)cm,长为(24+8)cm时,可使用纸量最少.
17.解析　(1)因为营运六年时总利润最大,最大为110万元,
所以一元二次函数的图象开口向下,且顶点坐标为(6,110),
可设y=a(x-6)2+110(a<0).
又营运三年时总利润为20万元,所以20=a×(3-6)2+110,解得a=-10,
则y=-10(x-6)2+110=-10x2+120x-250(x∈N+).
(2)由(1)得年平均总利润为+120≤-20+120=20,
当且仅当x=,即x=5时取“=”.
所以营运的年平均总利润的最大值为20万元.
能力提升练
1.D　∵x≥≥=1,当且仅当x-2=,即x=3时,等号成立,故有最小值1.
2.B　因为a2+b2=ab+1,a>0,b>0,
所以(a+b)2=3ab+1≤+1,当且仅当a=b=1时,等号成立,
所以(a+b)2≤4,即0所以a+b的最大值为2,故选B.
3.C　由≥0,得k≥-,即k≥--2,又+2≥4(当且仅当a=b时取等号),所以-≤-4,因此要使k≥-恒成立,需k≥-4,故实数k的最小值为-4.
4.A　因为x,y均为正数,且=1,
所以x+y+4=x+2+y+2=[(x+2)+(y+2)]·≥3=12,
当且仅当,即x=y=4时取等号.
故选A.
5.CD　+m+2≥+m+2),
当且仅当时,等号成立.
因为不等式≥4恒成立,所以+m+2)≥4,
整理得()≥0,
又>0,所以≥,即m≥2.
所以实数m的取值范围是[2,+∞).故选CD.
6.D　因为2a+b=4,所以(4a-4)+(2b-1)=3,
则≥3,
当且仅当,即a=,b=1时,等号成立.故选D.
7.答案　
解析　因为正数x,y满足x+4y-xy=0,所以x+4y=xy,即=1,
则x+y=(x+y)≥5+2=5+4=9,
当且仅当且=1,即x=6,y=3时取等号,
故x+y的最小值为9,则的最大值为.
8.答案　
解析　由xy=1且02),
则x-4y=x->0,
所以≤,
当且仅当即时等号成立,
故的最大值为.
9.解析　(1)因为x+3y=5xy,x>0,y>0,所以=5,
因此3x+4y=≥=5,
当且仅当,且=5,即x=1,y=时,等号成立,
所以3x+4y的最小值为5.
(2)令t=x-1,则x=t+1,t>0,
因此+2≥2+2,
当且仅当t=,即t=+1时,等号成立,
所以(x>1)的最小值为2+2.
10.解析　(1)∵a+b=4,a>0,b>0,
∴≥,当且仅当4a2=b2,即a=时取等号,
∴的最小值为,此时a=.
(2)∵2a2+b2=4a+4b,
∴≥2,
当且仅当2a2=b2,即a=1++2时取等号,
∴的最小值为,此时a=1++2.
(3)∵a2+3b2+4ab-6=0,∴(a+3b)(a+b)=6,
∴5a+9b=2(a+3b)+3(a+b)≥2=12,
当且仅当2(a+3b)=3(a+b),即a=时取等号,
∴5a+9b的最小值为12,此时a=.
11.证明　已知a>0,b>0,a+b=2.
(1),
易知ab≤=1(当且仅当a=b=1时取等号),
所以1+≥1+=4,故≥4.
(2)(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
=a3+b3+3ab(a+b)=a3+b3+6ab
≤a3+b3+6×=a3+b3+6,
当且仅当a=b=1时取等号,
又(a+b)3=23=8,所以a3+b3≥2.
12.证明　(1)因为a,b,c均为正实数,
所以≥2(当且仅当a=2b时等号成立),
≥2(当且仅当a=3c时等号成立),
≥2(当且仅当2b=3c时等号成立),
以上三式相加,得≥6(当且仅当a=2b=3c时等号成立),
所以≥3(当且仅当a=2b=3c时等号成立),
即≥3(当且仅当a=2b=3c时等号成立).
(2)由题可得(a+b)+(b+c)+(c+a)=6,
则不等式的左边=
=
≥3+2=,
当且仅当,a+b+c=3,即a=b=c=1时取“=”.
故≥成立.
13.解析　(1)设y1=(k1≠0),y2=k2(4x+1)(k2≠0),
∵在距离车站10 km处建仓库时,y1与y2的值分别为2和8.2,
∴k1=2×10=20,k2==0.2,
∴y1=,y2=0.2(4x+1)=0.8x+0.2,
∴w=y1+y2=+0.8x+0.2(x>0).
(2)∵w=+0.8x+0.2≥2+0.2=8.2,当且仅当=0.8x,即x=5时等号成立,
∴这家公司应该把仓库建在距离车站5 km处,才能使两项费用之和最小,最小值为8.2万元.
14.解析　(1)因为屋子的左右两侧墙的长度均为x米(2≤x≤6),底面积为12平方米,
所以屋子前面的墙的长度为米,
设甲工程队报价为y元,
则y=3××400+2×3x×150+7 200=900+7 200,2≤x≤6,
因为900+7 200≥900×2+7 200=14 400,
当且仅当=x,即x=4时等号成立,
所以当左右两面墙的长度为4米时,甲工程队报价最低,为14 400元.
(2)根据题意可知900+7 200>对任意的x∈[2,6]恒成立,
即对任意的x∈[2,6]恒成立,
所以a<对任意的x∈[2,6]恒成立,
因为a>0,+6≥2+6=12,
当且仅当x+1=,即x=2时等号成立,
所以0故当021世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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