2025北师大版高中数学必修第一册同步练习题--4_1　函数的奇偶性（含解析）

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2025北师大版高中数学必修第一册
第二章　函数
§4　函数的奇偶性与简单的幂函数
4.1　函数的奇偶性
基础过关练
题组一　奇偶性的概念及图象特征
1.(多选题)下列说法不正确的是(　　)
A.偶函数的图象一定与y轴相交
B.若f(0)=0,则函数f(x)是奇函数
C.若f(-2)≠f(2),则函数f(x)不是偶函数
D.图象过原点的奇函数必是单调函数
2.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是(　　)
3.若函数f(x)(f(x)≠0)为奇函数,则必有(　　)
A.f(x)f(-x)>0　　　B.f(x)f(-x)<0
C.f(x)f(-x)
4.(2023安徽淮北第一中学期中)已知偶函数f(x)的部分图象如图所示,且f(3)=0,则不等式xf(x)<0的解集为　　　　　　　.
题组二　奇偶性的判定
5.已知y=f(x),x∈(-a,a),F(x)=f(x)+f(-x),则F(x)(　　)
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数,也是偶函数
D.既不是奇函数,也不是偶函数
6.(多选题)(2023湖南长沙雅礼中学期中)下列函数中,其图象关于y轴对称的是(　　)
A.y=x+　　　B.y=
C.y=　　　D.y=x-
7.(多选题)(2023黑龙江绥化哈师大青冈实验中学期中)下列函数是偶函数且在(0,+∞)上单调递增的是(　　)
A.y=x　　　B.y=x2
C.y=(x-1)2　　　D.y=|x|
8.判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=;
(2)f(x)=;
(3)f(x)=
题组三　奇偶性的应用
9.(2023四川南充高级中学期中)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x+1,则f(1)+g(1)=(　　)
A.3　　　　B.1　　　　C.-1　　　　D.-3
10.(2023江苏连云港灌南期中)已知函数f(x)=ax2+a是定义在区间[2a,a2+1]上的偶函数,若g(x)=f(x-2),则g,g(3)的大小关系为(　　)
A.gg(3)
C.g　　　D.g(3)11.(多选题)(2023甘肃庆阳宁县一中期中)已知函数f(x)是定义在区间[-3,3]上的偶函数,且在区间[0,3]上是单调函数,f(3)A.f(-1)f(-1)
C.f(-1)f(3)
12.(2023天津和平期末)设f(x)是定义在[-2,2]上的偶函数,当x≥0时,f(x)单调递增,若f(1-m)-f(m)<0,则实数m的取值范围是(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
13. (2024甘肃民乐第一中学期中)已知f(x)为奇函数,且在(0,+∞)上单调递增,f(-2 015)=0,则xf(x)>0的解集为(　　)
A.(-∞,-2 015)∪(2 015,+∞)　　　
B.(-∞,-2 015)∪(0,2 015)
C.(-2 015,0)∪(0,2 015)　　　
D.(-2 015,0)∪(2 015,+∞)
14.(2024天津第五中学期中)已知函数y=f(x)是定义在区间[-1,1]上的奇函数,且 x1,x2∈[-1,1],当x1A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
15.(2024四川绵阳期中)若函数f(x)=(x+m+1)(x2-m)为奇函数,则m=　　　　.
16.(2022北京东直门中学月考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.
(1)现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,请补全函数f(x)的图象,并根据图象写出函数f(x)(x∈R)的单调递增区间;
(2)直接写出函数f(x)(x∈R)的值域;
(3)求出函数f(x)(x∈R)的解析式.
17.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-x2+2x.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上是单调的,求实数a的取值范围.
能力提升练
题组一　奇偶性的判定
1.已知F(x)=(x3-2x)f(x),且f(x)是定义在R上的奇函数, f(x)不恒等于零,则F(x)(　　)
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数,也是偶函数
D.既不是奇函数,也不是偶函数
2.下列函数是偶函数的是(　　)
A.f(x)=x3-　　　
B.f(x)=
C.f(x)=(x-1)·　　　
D.f(x)=|2x+5|+|2x-5|
3.(2023北京日坛中学期中)函数f(x)=的图象大致是(　　)
A　　　B
C　　　D
4.已知定义在R上的函数f(x)满足对任意x1,x2∈R,有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1,则(　　)
A.f(x)是偶函数　　　B.f(x)是奇函数
C.f(x)-1是偶函数　　　D.f(x)-1是奇函数
题组二　函数奇偶性的综合应用
5.(2024福建部分达标学校期中)定义在R上的偶函数f(x)满足对任意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有 <0且f(3)=0,则不等式(2x-3)f(x)>0的解集是(　　)
A.
B.∪(3,+∞)
C.(-∞,-3)∪
D.(-∞,3)∪(3,+∞)
6.(2024浙江嘉兴八校联盟期中)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且函数f(x+1)的图象关于原点对称,若f(0)=1,则f(-1)+f(2)=(　　)
A.0　　　　B.-1　　　　C.1　　　　D.2
7.(2024天津河东期中)已知函数f(x+2)是偶函数,当x1,x2∈[2,+∞)(x1≠x2)时,[f(x1)-f(x2)](x1-x2)<0恒成立,设a=f(1),b=f ,c=f ,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.cC.c8.(2023四川成都外国语学校期中)函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,若对任意x∈[0,t-1],均有f(x-t)≥f(2x),则实数t的最大值是(　　)
A.　　　　B.2　　　　C.　　　　D.3
9.已知函数f(x)=g(x)=xf(x),若g(2m)A.　　　　
B.
C.(-∞,-1)∪
D.
10.(2023重庆八中期中)已知函数f(x)为奇函数,当x≥0时,f(x)=x3++m-2,则f(f(-1))=　　　　.
11.已知函数f(x)=.
(1)证明:f(x)为偶函数;
(2)用定义证明:f(x)在(1,+∞)上单调递减;
(3)当x∈[-4,-2]时,求f(x)的值域.
12.(2023江苏连云港灌南期中)已知函数f(x)=是定义在R上的奇函数.
(1)求f(x)的解析式;
(2)证明:f(x)在[1,+∞)上单调递减;
(3)求不等式f(1+2x2)+f(2x-x2-9)>0的解集.
13.(2024湖南岳阳期末)已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时,f(x)<0,且f(1)=-2.
(1)求f(0)的值,并判断f(x)的奇偶性;
(2)判断f(x)的单调性,求f(x)在区间[-3,3]上的最大值;
(3)若f(x)答案与分层梯度式解析
第二章　函数
§4　函数的奇偶性与简单的幂函数
4.1　函数的奇偶性
基础过关练
1.ABD　A项,若定义域不包含0,则图象与y轴不相交;B项,令f(x)=x2,此时满足f(0)=0,但f(x)不是奇函数;易知C项中说法正确;D项,图象过原点的奇函数不一定是单调函数.故选ABD.
2.B　奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,观察选项知B中图象关于y轴对称,是偶函数,故选B.
3.B　∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),
又f(x)≠0,∴f(x)f(-x)=-[f(x)]2<0.
4.答案　(-∞,-3)∪(0,3)
解析　补全f(x)的图象如图所示.
当x>0时,要使xf(x)<0,则f(x)<0,所以0当x<0时,要使xf(x)<0,则f(x)>0,所以x<-3,
所以xf(x)<0的解集为{x|x<-3或05.B　∵F(x)的定义域为(-a,a),关于原点对称,且F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x),∴F(x)是偶函数.
6.BC　函数图象关于y轴对称,即函数为偶函数,通过分析选项知A、D为奇函数,B、C为偶函数,故选BC.
7.BD　对于A,y=x为奇函数,不符合题意;
对于B,y=x2为偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,符合题意;
对于C,y=(x-1)2的图象关于直线x=1对称,所以该函数不是偶函数,不符合题意;
对于D,y=|x|为偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,符合题意.
故选BD.
8.解析　(1)依题意得x2-1≥0,且1-x2≥0,即x=±1,
因此函数f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,且f(x)=0.
∵f(-x)=-f(x), f(-x)=f(x),
∴f(x)既是奇函数,也是偶函数.
(2)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称,
∴f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
(3)易得函数f(x)的定义域D=(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.任取x∈D,
当x>0时,-x<0,∴f(-x)=(-x)[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x);
当x<0时,-x>0,∴f(-x)=-x(1-x)=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
9.C　由题意得f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),则f(1)+g(1)=f(-1)-g(-1)=(-1)3-1+1=-1.
故选C.
10.B　由题意得,2a+a2+1=(a+1)2=0,所以a=-1,
所以f(x)=-x2-1,所以g(x)=-(x-2)2-1,
易得函数g(x)的图象开口向下,对称轴为直线x=2,
因为<|3-2|,
所以g>g(3).故选B.
11.BD　因为函数f(x)在区间[0,3]上是单调函数,3>1,且f(3)所以函数f(x)在区间[0,3]上单调递减.
由偶函数的性质,知函数f(x)在区间[-3,0]上单调递增.
对于A,-3<-1<0,故f(-3)对于B,0>-1,故f(0)>f(-1),故B正确;
对于C,f(-1)=f(1),故C错误;
对于D,f(3)=f(-3)故选BD.
12.D　因为f(x)是定义在[-2,2]上的偶函数,且当x≥0时,f(x)单调递增,
所以由f(1-m)解得所以实数m的取值范围是.故选D.
13.A　由f(x)为奇函数,且在(0,+∞)上单调递增,可得f(x)在(-∞,0)上单调递增,f(0)=0,f(2 015)=-f(-2 015)=0,画出f(x)的大致图象如图所示,
xf(x)>0等价于或
解得x>2 015或x<-2 015,
所以不等式xf(x)>0的解集为(-∞,-2 015)∪(2 015,+∞).故选A.
14.D　由题意得f(x)在区间[-1,1]上单调递增,
不等式f(1-x)+f(1-3x)<0,即f(1-x)<-f(1-3x),
因为函数y=f(x)是定义在区间[-1,1]上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),
所以f(1-x)则解得故原不等式的解集为.
故选D.
15.答案　-1
解析　函数f(x)=(x+m+1)(x2-m)的定义域为R,
由f(x)是奇函数,得f(-x)+f(x)=0,
即(-x+m+1)(x2-m)+(x+m+1)(x2-m)=0,
即2(m+1)(x2-m)=0,
而x2-m不恒为0,则m+1=0,解得m=-1.
16.解析　(1)根据偶函数的图象关于y轴对称,作出函数在R上的图象,如图.
结合图象可得f(x)的单调递增区间为(-1,0),(1,+∞).
(2)f(x)的值域为[-1,+∞).
(3)当x>0时,-x<0,因为当x≤0时,f(x)=x2+2x,
所以f(-x)=(-x)2+2(-x)=x2-2x.
因为f(x)为偶函数,所以f(x)=x2-2x,
所以f(x)=
17.解析　(1)设x<0,则-x>0,
则f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x,
又函数f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),
所以x<0时, f(x)=x2+2x.
当x=0时,满足f(x)=-x2+2x,
所以f(x)=
(2)根据(1)作出函数f(x)的图象,如图所示:
结合函数f(x)的图象,知所以1故实数a的取值范围是(1,3].
能力提升练
1.B　依题意得F(x)的定义域为R,且F(-x)=(-x3+2x)f(-x)=(x3-2x)f(x)=F(x),所以F(x)是偶函数,故选B.
2.D　选项A, f(x)=x3-(x≠0),定义域关于原点对称, f(-x)=-x3+=-f(x),所以f(x)是奇函数;
选项B, f(x)=(-1≤x≤1,且x≠0),定义域关于原点对称, f(-x)==-f(x),所以f(x)是奇函数;
选项C, f(x)=(x-1)·(-1≤x<1),定义域不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数,也不是偶函数;
选项D, f(x)=|2x+5|+|2x-5|(x∈R),定义域关于原点对称, f(-x)=|-2x+5|+|-2x-5|=|2x+5|+|2x-5|=f(x),所以f(x)是偶函数.故选D.
3.B　函数f(x)=的定义域为R,关于原点对称,
由f(-x)=-=-f(x),可得f(x)为奇函数,则函数f(x)的图象关于原点对称,可排除选项C;
当x>0时, f(x)>0,可排除选项A、D.故选B.
解题模板　已知函数解析式判断函数图象,一般先判断函数的奇偶性,再判断函数值的符号,必要时还可用特殊值判断.
4.D　解法一:令x1=x2=0,则有f(0)=2f(0)-1,解得f(0)=1;令x1=-x,x2=x,则有f(0)=f(x)+f(-x)-1,整理可得f(x)+f(-x)=2,因此函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数,A,B错误;对于f(x)+f(-x)=2,变形可得[f(x)-1]+[f(-x)-1]=0,因此函数f(x)-1是奇函数,故C错误,D正确.
解法二:设F(x)=f(x)-1,由f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1,可得f(x1+x2)-1=f(x1)-1+f(x2)-1,则F(x1+x2)=F(x1)+F(x2).令x1=x2=0,得F(0)=0;令x1=x,x2=-x,得F(0)=F(x)+F(-x)=0,所以F(x)=f(x)-1是奇函数,故选D.
5.C　由题意得f(x)在[0,+∞)上单调递减,
因为f(x)是偶函数,所以f(x)在(-∞,0)上单调递增,又f(3)=0,所以f(-3)=f(3)=0.
作出函数f(x)的大致图象如图所示,
所以当x<-3或x>3时,f(x)<0,当-30,
不等式(2x-3)f(x)>0等价于或
即或解得故不等式(2x-3)f(x)>0的解集为(-∞,-3)∪.故选C.
6.B　由f(x)是定义在R上的偶函数,知f(-x)=f(x),
因为f(x+1)的图象关于原点对称,所以f(x)的图象关于点(1,0)对称,即-f(x)=f(2-x),
令x=1,则-f(1)=f(1),即f(-1)=f(1)=0,
令x=2,则f(2)=-f(0)=-1,
所以f(-1)+f(2)=0-1=-1.故选B.
7.C　∵当x1,x2∈[2,+∞)(x1≠x2)时,[f(x1)-f(x2)]·(x1-x2)<0恒成立,∴f(x)在[2,+∞)上单调递减,
∵f(x+2)是偶函数,即f(2+x)=f(2-x),∴f(x)的图象关于直线x=2对称,
∴a=f(1)=f(3),c=f,
又f(x)在[2,+∞)上单调递减,
∴f,即f,
∴b>a>c,故选C.
8.A　因为区间[0,t-1]有意义,所以t-1>0,即t>1,
因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,f(x-t)≥f(2x),所以|x-t|≥|2x|,
两边平方并化简得3x2+2tx-t2≤0,
设g(x)=3x2+2tx-t2,其图象的对称轴为直线x=-,因为-<0,所以g(x)=3x2+2tx-t2在[0,t-1]上单调递增,
则g(x)max=g(t-1)=4t2-8t+3≤0,解得≤t≤,
又因为t>1,所以1故选A.
9.D　易知f(x)的定义域为R.
若x>0,则-x<0, f(-x)=-2x-x2=-(2x+x2)=-f(x),若x<0,则-x>0, f(-x)=x2-2x=-f(x),
又f(0)=0,∴f(x)是奇函数,
由g(x)=xf(x)得g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x),
∴g(x)是定义在R上的偶函数,
易得g(x)=当x≥0时,g(x)=x3+2x2,
∵y=x3在[0,+∞)上单调递增,y=2x2在[0,+∞)上单调递增,
∴g(x)在[0,+∞)上单调递增,
∵g(2m)因此|2m|<|1-m|,即4m2<(1-m)2,解得-1故实数m的取值范围为,故选D.
10.答案　-8-
解析　∵函数f(x)为奇函数,且在x=0处有意义,
∴f(0)=m-2=0,
∴当x≥0时,f(x)=x3+,
∴f(-1)=-f(1)=-(13+)=-2,
∴f(f(-1))=f(-2)=-f(2)=-(23+.
温馨提示　对于奇函数f(x)的求值问题,要注意当f(x)在x=0处有意义时,f(0)=0这一隐含条件的应用.
11.解析　(1)证明:易得函数f(x)的定义域是{x|x∈R,且x≠±1},关于原点对称.
任取x∈{x|x∈R,且x≠±1},
都有f(-x)==f(x),
∴f(x)为偶函数.
(2)证明:当x>1时, f(x)=,
任取x1,x2∈(1,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=,
∵10,x2-1>0,x2-x1>0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
∴f(x)在(1,+∞)上单调递减.
(3)由(1)(2)知函数f(x)在[-4,-2]上单调递增,
∴f(x)min=f(-4)=,
f(x)max=f(-2)==1,
∴f(x)的值域为.
12.解析　(1)∵函数f(x)为定义在R上的奇函数,
∴f(0)=0,f(-1)=-f(1),
∴b+2=0,,
∴b=-2,a=3.∴f(x)=.
(2)证明:任取x1,x2∈[1,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=
=,
∵x1-x2<0,1+>0,1-x1x2<0,
∴f(x1)-f(x2)>0,∴f(x)在[1,+∞)上单调递减.
(3)由f(1+2x2)+f(2x-x2-9)>0,得f(1+2x2)>-f(2x-x2-9).
∵函数f(x)为奇函数,
∴f(1+2x2)>f(x2-2x+9),
又∵1+2x2≥1,x2-2x+9=(x-1)2+8>1,且f(x)在[1,+∞)上单调递减,
∴1+2x2∴原不等式的解集为{x|-413.解析　(1)令x=y=0,则f(0+0)=2f(0),所以f(0)=0.
令y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0,
所以f(x)=-f(-x)对任意x∈R恒成立,
所以f(x)为奇函数.
(2)任取x1,x2∈R,且x10,
则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0,所以f(x2)所以f(x)在R上为减函数.
当x∈[-3,3]时,f(x)单调递减,
所以f(x)max=f(-3),
因为f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=3×(-2)=-6,且f(x)为奇函数,
所以f(-3)=-f(3)=6,
故f(x)在区间[-3,3]上的最大值为6.
(3)由(2)知f(x)在区间[-1,1]上单调递减,
所以f(x)≤f(-1)=-f(1)=2,
因为f(x)所以m2-2am>0对任意a∈[-1,1]恒成立,
令g(a)=-2am+m2,则即
解得m>2或m<-2.
故实数m的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞).
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