2025北师大版高中数学必修第一册同步练习题--4_2　分层随机抽样的均值与方差　4_3　百分位数（含解析）

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2025北师大版高中数学必修第一册
第六章　统计
§4　用样本估计总体的数字特征
4.2　分层随机抽样的均值与方差　4.3　百分位数
基础过关练
题组一　分层随机抽样的均值与方差
1.(2023河北衡水第十三中学月考)为调查某地区中学生的每天睡眠时间,采用分层随机抽样的方法抽取初中生800人,其每天睡眠时间的平均数为9小时,方差为1,抽取高中生1 200人,其每天睡眠时间的平均数为8小时,方差为0.5,则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为(　　)
A.0.96　　　　B.0.94　　　　C.0.79　　　　D.0.75
2.(2024江西部分学校期末质量检测)某班50名学生骑自行车和骑电动车到校所需时间统计如下:
到校方式 人数 平均用时/分钟 方差
骑自行车 20 30 36
骑电动车 30 20 16
则这50名学生到校时间的方差为(　　)
A.48　　　　B.46　　　　C.28　　　　D.24
3.(多选题)(2024湖北宜昌长阳一中月考)某学校高一年级有学生900人,其中男生500人,女生400人,为了获得该校高一全体学生的身高信息,现采用分层随机抽样的方法抽取容量为180的样本,经计算得男生样本数据的均值为170,方差为19,女生样本数据的均值为161,方差为28,则下列说法中正确的是(　　)
A.样本中男生有100人　　　
B.抽取的样本数据的方差为43
C.抽取的样本数据的均值为166　　　
D.抽取的样本数据的均值为165.5
4.A,B两个班共100人参加同一次期末考试,考试成绩情况见下表:
班级 人数 平均分
A m x
B n y
(1)已知A,B两个班总的平均成绩=93分.若x=95,y=90,则m=　　　,n=　　　;
(2)已知A,B两个班总的平均成绩=85.5分.若m=55,x=90,则n=　　　,y=　　　.
5.某公司共有A,B两个部门,A,B两个部门的人员2022年度业绩考核分数表分别如下:
A部门:
人员序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
分数 98 96 92 94 95 95 97 93 86 85
人员序号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
分数 95 87 93 92 98 96 94 87 83 86
人员序号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
分数 91 89 94 92 93 88 87 96 92 93
B部门:
人员序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
分数 97 96 97 94 95 96 97 94 86 88
人员序号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
分数 97 83 93 96 98 92 91 87 83 89
求:(1)该公司2022年度业绩考核分数的平均数;
(2)该公司2022年度业绩考核分数的方差(结果保留2位小数).
题组二　百分位数
6.(2024河南南阳联合体月考)“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标,常用区间[0,10]内的一个数来表示,该数越接近10表示满意程度越高,现随机抽取7位小区居民,他们的幸福感指数分别为5,6,7,8,9,5,4,则这组数据的75%分位数是(　　)
A.7　　　　B.7.5　　　　C.8　　　　D.9
7.(2024四川广安二中月考)某地区为了解最近11天该地区的空气质量,调查了该地区过去11天PM2.5的浓度(单位:μg/m3),数据依次为53,56,69,70,72,79,65,80,45,41,m(m>50).已知这组数据的极差为40,则这组数据的m%分位数为(　　)
A.71　　　　B.75.5　　　　C.79　　　　D.72
8.(2023河南邓州月考)已知一组数据按从小到大的顺序排列为0,4,5,x,8,10,12,15,且这组数据的中位数是7,则这组数据的45%分位数、75%分位数分别是(　　)
A.5.5,10　　　　B.5.5,12　　　　C.6,11　　　　D.6,10
9.(多选题)(2024安徽皖北六校期末联考)为了加深师生对党史的了解,激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情,某校举办了“学党史、育文化”的党史知识竞赛,并将1 000名师生的竞赛成绩(满分100分,成绩取整数)整理成如图所示的频率分布直方图,则下列说法正确的是(　　)
A.a的值为0.005
B.估计成绩低于60分的有25人
C.估计这组数据的众数为75
D.估计这组数据的85%分位数为86
10.(2023上海七宝中学模拟)某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况,随机抽取了部分党员,对他们一周的党史学习时间进行了统计,统计数据如表所示,则该单位党员一周的党史学习时间的40%分位数是　　　　小时.
党史学习时间/小时 7 8 9 10 11
党员人数 6 10 9 8 7
11.(2024浙江杭州富阳实验中学摸底考试)某校为了调查学生的数学学习情况,在某次数学测试后,抽取了100位同学的成绩,并绘制成如图所示的频率分布直方图,已知这100位同学的成绩范围是[50,100],数据分组为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].
(1)求x的值;
(2)估计这100位同学成绩的75%分位数.
答案与分层梯度式解析
第六章　统计
§4　用样本估计总体的数字特征
4.2　分层随机抽样的均值与方差　4.3　百分位数
基础过关练
1.B　估计该地区中学生每天睡眠时间的平均数为×8=8.4(小时),
估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为×[0.5+(8-8.4)2]=0.94.故选B.
2.A　由已知可得,骑自行车平均用时(单位:分钟)=30,方差=36,
骑电动车平均用时(单位:分钟)=20,方差=16,
骑自行车人数占总数的,骑电动车人数占总数的.
故这50名学生到校所需时间的平均数×20=24,
方差s2=×[16+(20-24)2]=48.
故选A.
3.ABC　样本中男生有×180=100(人),故A正确;
抽取的样本数据的均值为×161=166,故C正确,D错误;
抽取的样本数据的方差为×[28+(161-166)2]=43.故B正确.
故选ABC.
4.答案　(1)60;40　(2)45;80
解析　(1)A,B两个班总的平均成绩×90=93,且m+n=100,解得m=60,n=40.
(2)A,B两个班总的平均成绩×y=85.5,且55+n=100,解得n=45,y=80.
5.解析　(1)用ai(i=1,2,…,30)表示A部门人员的分数,用bi(i=1,2,…,20)表示B部门人员的分数.
由题意得,=91.9,
=92.45,
所以该公司2022年度业绩考核分数的平均数×92.45=92.12.
(2)因为≈16.36,
≈22.35,
所以该公司2022年度业绩考核分数的方差)2]
=×[22.35+(92.45-92.12)2]≈18.83.
6.C　这组数据从小到大排列为4,5,5,6,7,8,9,7×75%=5.25,所以这组数据的75%分位数是8.故选C.
7.C　因为这组数据的极差为40,最小值为41,所以m应为最大值,为40+41=81,
将这组数据从小到大排列为41,45,53,56,65,69,70,72,79,80,81,
因为81%×11=8.91,所以这组数据的81%分位数为79,故选C.
8.C　因为中位数为7,所以=7,所以x=6.
8×45%=3.6,所以45%分位数为从小到大排列后的第4个数据,即6;
8×75%=6,所以75%分位数为从小到大排列后的第6个数据与第7个数据的平均数,即=11.
故选C.
9.ACD　对于A,由(a+2a+3a+3a+5a+6a)×10=1,得a=0.005,故A正确;
对于B,估计成绩低于60分的有1 000×(2a+3a)×10=50 000a=250(人),故B错误;
对于C,估计这组数据的众数为75,故C正确;
对于D,设这组数据的85%分位数为m,则(90-m)×5×0.005+0.005×10=1-85%=0.15,解得m=86,故D正确.故选ACD.
10.答案　8.5
解析　因为(6+10+9+8+7)×40%=16,
所以40%分位数为从小到大排列后的第16个数和第17个数的平均数,即=8.5(小时).
11.解析　(1)由(0.005+0.016+0.039+x+0.01)×10=1,得x=0.03.
(2)设这100位同学成绩的75%分位数为m,
由0.05+0.16+0.39=0.6,0.05+0.16+0.39+0.3=0.9,得m∈[80,90),
由(m-80)×0.03=0.15,得m=85.
所以这100位同学成绩的75%分位数为85.
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