2025北师大版高中数学必修第一册同步练习题--单元整合练 函数性质的综合应用（含解析）

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2025北师大版高中数学必修第一册
单元整合练　函数性质的综合应用
1.(2024四川泸州泸县第一中学期中)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数,且在(0,+∞)上单调递减,若f(2)=0,则不等式(x-1)f(x-1)>0的解集为(　　)
A.(-3,-1)　　　B.(-1,1)∪(1,3)
C.(-3,0)∪(1,3)　　　D.(-3,-1)∪(2,+∞)
2.(2023天津一中期中)若y=f(x)是奇函数,且函数F(x)=af(x)+bx+2在(0,+∞)上有最大值8,则函数y=F(x)在(-∞,0)上有(　　)
A.最小值-8　　　B.最大值-8　　　　
C.最小值-4　　　D.最小值-6
3. (多选题)(2024河南郑州中牟期中)已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数x,y满足f(x+y)=f(x)+f(y)+,且f=0,当x>时,f(x)>0,则下列结论正确的是(　　)
A.f(0)=-　　　B.f(-1)=
C.f(x)为减函数　　　D.f(x)+为奇函数
4.(多选题)(2024福建漳州东山二中等校期中)已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的,且满足以下条件:
① x∈R,f(-x)=f(x);② x1,x2∈(0,+∞),当x1≠x2时,都有 >0;③f(-1)=0.
则下列选项成立的是(　　)
A.f(3)B.若f(m-1)C.若 >0,则x∈(-1,0)∪(1,+∞)
D. x∈R, M∈R,使得f(x)≥M
5.(2024重庆第八中学期末)设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时, f(x)=ax2+b.若f(3)+f(4)=6,则f =(　　)
A.-　　　　B.　　　　C.　　　　D.
6.(2023山东日照期中校际联考)已知f(x)=x+1,若f(2 022)=-2 019,则f(-2 022)=　　　　.
7.(2023辽宁铁岭昌图第一高级中学期中)定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足 x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,都有>0成立,且f(2)=4,则不等式>2的解集为　　　　.
8. (2024天津第四十七中学期中)已知函数f(x)=.
(1)若g(x)=f(x)-1,判断g(x)的奇偶性并加以证明;
(2)当a=时,
①用定义证明函数f(x)在[1,+∞)上单调递增,再求函数f(x)在[1,+∞)上的最小值;
②设h(x)=kx+5-2k,若对任意的x1∈[1,2],总存在x2∈[0,1],使得f(x1)≤h(x2)成立,求实数k的取值范围.
答案与分层梯度式解析
单元整合练　函数性质的综合应用
对应主书P49
1.B　根据题意得,f(x)在(-∞,0)上单调递减,f(0)=0,且f(-2)=0,画出函数f(x)的大致图象,如图所示,
当x-1>0时,x>1,由f(x-1)>0,得0当x-1<0时,x<1,由f(x-1)<0,得-2综上所述,x的取值范围是(-1,1)∪(1,3) .故选B.
2.C　∵y=f(x)和y=x都是奇函数,
∴y=af(x)+bx也为奇函数,
又∵F(x)=af(x)+bx+2在(0,+∞)上有最大值8,
∴y=af(x)+bx在(0,+∞)上有最大值6,
∴y=af(x)+bx在(-∞,0)上有最小值-6,
∴F(x)=af(x)+bx+2在(-∞,0)上有最小值-4,
故选C.
3.AD　对于A,令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0)+,解得f(0)=-,A正确;
对于B,令x=y=,得f(1)=f,
令x=1,y=-1,得f(0)=f(1)+f(-1)+,解得f(-1)=-,B错误;
对于C,因为f(-1)=-,所以f(-1)对于D,令y=-x,则f(x)+f(-x)+,
所以f(x)+,易知f(x)+的定义域为R,关于原点对称,所以f(x)+为奇函数,D正确.
故选AD.
4.ACD　由条件①得f(x)是偶函数,由条件②得f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f(3)若f(m-1)若>0,则或因为f(-1)=f(1)=0,所以x>1或-1因为f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(x)的图象是连续不断的,所以f(x)min=f(0),所以 x∈R,只需M≤f(0)即可,故D正确.
故选ACD.
5.B　由f(x+1)为奇函数,得f(-x+1)=-f(x+1),即f(x)=-f(2-x),由f(x+2)为偶函数,得f(-x+2)=f(x+2),即f(x)=f(4-x),
所以f(2-x)=-f(4-x),即f(x)=-f(x+2),所以f(x)=f(x+4),
因为f(-x+1)=-f(x+1)且f(-x+2)=f(x+2),
所以令x=1,可得f(0)=-f(2)且f(1)=f(3),
所以f(3)+f(4)=6,即f(3)+f(0)=6,即f(1)-f(2)=6,
因为x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b,所以a+b-(4a+b)=6,解得a=-2,
由f(-x+1)=-f(x+1),可得f(1)=-f(1),即f(1)=0,所以f(1)=a+b=0,所以b=2,
所以x∈[1,2]时,f(x)=-2x2+2,则f.故选B.
6.答案　2 021
解析　设g(x)=x,易得g(-x)=-g(x),且g(x)的定义域为R,关于原点对称,则g(x)是奇函数,所以g(x)+g(-x)=0.
又f(x)=g(x)+1,f(-x)=g(-x)+1,
两式相加得f(x)+f(-x)=2,
所以f(-2 022)=2-f(2 022)=2-(-2 019)=2 021.
7.答案　(2,+∞)
解析　令g(x)=,
因为 x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,都有>0成立,
所以不妨设0所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,
又因为f(2)=4,所以g(2)==2,故 >2可化为g(x)>g(2),
由g(x)的单调性可得x>2,即不等式 >2的解集为(2,+∞).
8.解析　(1)g(x)=f(x)-1=x+,为奇函数.证明如下:g(x)=x+的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,
g(-x)=-x-=-g(x),故g(x)为奇函数.
(2)①当a=时,f(x)=x++1,
任取x1,x2∈[1,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=x1+,
因为x1,x2∈[1,+∞),且x10,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)故函数f(x)在[1,+∞)上单调递增,
所以函数f(x)在[1,+∞)上的最小值为f(1)=1+.
②因为对任意的x1∈[1,2],总存在x2∈[0,1],使得f(x1)≤h(x2),所以f(x)在[1,2]上的最大值小于或等于h(x)在[0,1]上的最大值.
由①知当x∈[1,2]时,f(x)∈,
当k=0时,h(x)=5,符合题意.
当k>0时,h(x)=kx+5-2k在[0,1]上单调递增,h(x)∈[5-2k,5-k],
所以≤5-k,所以0当k<0时,h(x)=kx+5-2k在[0,1]上单调递减,h(x)∈[5-k,5-2k],
所以≤5-2k,所以k<0.
综上可得,k的取值范围为.
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