2025北师大版高中数学必修第一册同步练习题--单元整合练 幂函数、指数函数、对数函数的综合应用（含解析）

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2025北师大版高中数学必修第一册
单元整合练　幂函数、指数函数、对数函数的综合应用
1.(2023福建莆田第一中学月考)若对任意的x∈R,函数f(x)=a|x|始终满足0A　　　B
C　　　D
2.(2024辽宁沈阳第二中学段考)已知 f(x)=(m2-m-1)xm+4是幂函数,且 x1,x2∈R,x1≠x2,都有 >0,则不等式f(log2x)<8的解集为(　　)
A.(0,4)　　　　B.(4,+∞)　　　　C.　　　　D.
3.(2024江西上饶中学期中)已知函数f(x)=,若对任意的正数a,b,满足f(a)+f(2b-2)=0,则的最小值为(　　)
A.2　　　　B.4　　　　C.6　　　　D.8
4.(多选题)(2024河南南阳六校期中)已知2a=3b=6,则(　　)
A.ab=a+b　　　B.a+b>4
C.4a<8b　　　D.log2a+log2b>2
5.(多选题)(2024辽宁丹东质量监测)下列各式的大小关系正确的是(　　)
A.24.1>4.12　　　B.23.9>3.92
C.>log34　　　D.log45>log34
6.(2023湖北武汉期末)若对任意的x∈[2,8],总存在y∈[1,2],使得(y+2y+m)[(log2x)2+4]=log2x成立,则m的最小值是(　　)
A.-　　　　B.-　　　　C.-　　　　D.-
7.(2024湖北襄阳五中月考)已知函数f(x)=-ln|x|,则满足不等式f(log2x)<的x的取值范围是　　　　　　　　.
8.已知f(x)=ex-是奇函数.
(1)求实数a的值;
(2)求函数y=e2x+e-2x-2λf(x)在[0,+∞)上的值域;
(3)令g(x)=f(x)+x,求不等式g((log2x)2)+g(2log2x-3)≥0的解集.
答案与分层梯度式解析
单元整合练　幂函数、指数函数、对数函数的综合应用
1.B　因为当x∈R时,函数f(x)=a|x|始终满足0g(2)=loga=-loga2>0,排除A,D;
g=loga|2|=loga2<0,排除C.故选B.
2.A　因为f(x)=(m2-m-1)xm+4是幂函数,所以m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.
又 x1,x2∈R,x1≠x2,都有 >0,所以f(x)是单调递增函数,
当m=2时,f(x)=x6,该函数在R上不单调,不符合题意;
当m=-1时,f(x)=x3,该函数在R上为增函数.
所以f(log2x)<8等价于f(log2x)3.B　函数f(x)的定义域为R,
因为f(-x)==-f(x),
所以f(x)为奇函数,故f(a)=-f(2b-2)=f(2-2b),
因为f(x)=,且y=ex+1在R上为增函数,所以f(x)在R上为增函数,
所以a=2-2b,即a+2b=2,
则≥=4,
当且仅当即时等号成立,
故的最小值为4.故选B.
4.ABD　由题意可知a>0,b>0,
对于A,因为2a=3b=6,所以(2a)b=6b,(3b)a=6a,即2ab=6b,3ab=6a,则2ab·3ab=6b·6a,即6ab=6a+b,所以ab=a+b,故A正确;
对于B,ab=a+b≥2,当且仅当a=b时等号成立,
因为a≠b,所以ab>2,解得ab>4,所以a+b=ab>4,故B正确;
对于C,因为2a=3b,所以4a=22a=32b=9b>8b,故C错误;
对于D,设log2a+log2b=log2(ab)=t,则2t=ab>4,所以t>2,故D正确.故选ABD.
5.AC　对于A,B,由指数函数y=2x与幂函数y=x2可知,当x∈(4,+∞)时,有2x>x2,因为4.1∈(4,+∞),所以24.1>4.12,故A正确;
当x∈(2,4)时,有2x对于C,要比较与log34的大小,只需比较与4的大小,因为()3=81>43,所以>4,即>log34,故C正确;
对于D,因为log45>0,log34>0,所以<1,所以<1,即log456.B　(y+2y+m)[(log2x)2+4]=log2x即为y+2y+m=,令t=log2x,因为x∈[2,8],所以t∈[1,3],设h(t)=t+,t∈[1,3],则h(t)在[1,2]上单调递减,在[2,3]上单调递增,所以h(t)min=2+=4,
又因为h(1)=1+4=5,h(3)=3+,
所以log2x+∈[4,5],则∈.
又当y∈[1,2]时,函数f(y)=y+2y+m单调递增,所以y+2y+m∈[m+3,m+6],
由题意得所以m∈.
故选B.
7.答案　∪(2,+∞)
解析　函数f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,
因为f(-x)=-ln|x|=f(x),所以f(x)为偶函数.
当x>0时,f(x)=-ln x,
因为y=和y=-ln x在(0,+∞)上均单调递减,
所以f(x)=-ln x在(0,+∞)上单调递减,
因为f(1)=,且函数f(x)为偶函数,
所以f(log2x)<等价于f(|log2x|)所以|log2x|>1,则log2x<-1或log2x>1,
所以02,
所以x的取值范围为∪(2,+∞).
8.解析　(1)因为f(x)的定义域为R,f(x)为奇函数,所以f(0)=0,故1-a=0,即a=1.经检验,满足题意.
(2)设ex-=t(t≥0),则e2x+=t2+2,
设y=h(t)=t2-2λt+2=(t-λ)2+2-λ2,t∈[0,+∞).
①当λ≤0时,h(t)≥h(0)=2,所以函数的值域为[2,+∞);
②当λ>0时,h(t)≥h(λ)=2-λ2,所以函数的值域为[2-λ2,+∞).
(3)因为g(x)的定义域为R,f(x)为奇函数,
所以g(-x)=f(-x)+(-x)=-f(x)-x=-[f(x)+x]=-g(x),故g(x)为奇函数.
任取x1,x2∈R,且x1因为x1所以g(x1)-g(x2)<0,
所以g(x1)由g((log2x)2)+g(2log2x-3)≥0,
得g((log2x)2)≥-g(2log2x-3),
即g((log2x)2)≥g(-2log2x+3),
所以(log2x)2≥-2log2x+3,
所以(log2x)2+2log2x-3≥0,解得log2x≥1或log2x≤-3,故x≥2或0故原不等式的解集为∪[2,+∞).
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