2025北师大版高中数学必修第一册同步练习题--单元整合练 不等式在集合、逻辑关系及二次函数中的应用（含解析）

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2025北师大版高中数学必修第一册
单元整合练　不等式在集合、逻辑关系及
二次函数中的应用
1.(2024安徽合肥十中质量评价)已知集合A=x∈Z≤0,B={y|y=x2,x∈A},则集合A∪B的非空真子集的个数为(　　)
A.14　　　　B.15　　　　C.30　　　　D.62
2.(2024浙江温州十校联合体期中)若“x2-3x+2<0”是“x2-(2a+1)x+a2+a>0”的一个充分不必要条件,则a的取值范围是(　　)
A.02
C.a≤0或a≥2　　　D.13.(2024广东广州执信中学月考)若关于x的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集不为空集,则实数a的取值范围为(　　)
A.a-2C.aa<-2或a≥　　　D.aa≤-2或a≥
4.(多选题)(2024安徽淮南月考)已知不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<1或x>3},则下列结论正确的是(　　)
A.c<0
B.a+2b+4c<0
C.cx+a<0的解集为xx>-
D.cx2-bx+a>0的解集为xx<-1或x>-
5.(2024浙江绍兴柯桥中学月考)当x>0时,关于x的不等式(ax-1)(x2+bx-4)≥0恒成立,则b+的最小值为　　　　.
6.(2024浙江金华浦江建华中学检测)下列结论正确的有　　　　.(填序号)
①不存在实数a使得关于x的不等式ax2+x+1≥0的解集为 ;
②不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的一个必要条件是a<0且Δ=b2-4ac≤0;
③若函数y=ax2+bx+c(a≠0)对应的方程没有实根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R;
④不等式>1的解集为{x|x<1}.
7.(2024江苏淮安涟水第一中学第一次阶段检测)已知A={x|x2-7x+6<0},B={x|x2-4x+4t-t2<0}.
(1)当t=5时,求A∩B;
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,求实数t的取值范围.
8.(2024辽宁省实验中学月考)已知不等式2≤ax2+bx+c≤3的解集为{x|2≤x≤3}.
(1)若a>0,且不等式ax2+(b-3)x-c≤0有且仅有9个整数解,求a的取值范围;
(2)解关于x的不等式:ax2+(b-1)x+5<0.
答案与分层梯度式解析
单元整合练　不等式在集合、逻辑关系及
二次函数中的应用
1.D　由≤0得-1故B={0,1,4,9},所以A∪B={0,1,2,3,4,9},有6个元素,所以A∪B的非空真子集的个数为26-2=62.故选D.
2.C　令A={x|x2-3x+2<0},则A={x|1令B={x|x2-(2a+1)x+a(a+1)>0},则B={x|x>a+1或x若“x2-3x+2<0”是“x2-(2a+1)x+a2+a>0”的一个充分不必要条件,则A B,因此a+1≤1或a≥2,即a≤0或a≥2.故选C.
3.C　①当a2-4=0,即a=±2时,
若a=2,则原不等式为4x-1≥0,解得x≥,则不等式的解集为xx≥,不是空集;
若a=-2,则原不等式为-1≥0,无解,不符合题意.
②当a2-4≠0,即a≠±2时,
若不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集是空集,则有解得-2则当不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集不为空集时,有a<-2或a≥且a≠2.
综上可得,实数a的取值范围为aa<-2或a≥.故选C.
4.ABC　因为不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<1或x>3},
所以方程ax2+bx+c=0的两个根为1和3,且a<0,
由根与系数的关系得1+3=-,解得b=-4a,c=3a<0,A正确;
a+2b+4c=a-8a+12a=5a<0,B正确;
不等式cx+a<0可化为3ax+a<0,因为a<0,所以3x+1>0,解得x>-,所以不等式cx+a<0的解集为xx>-,C正确;
不等式cx2-bx+a>0可化为3ax2+4ax+a>0,因为a<0,所以3x2+4x+1<0,即(x+1)(3x+1)<0,解得-10的解集为,D错误.故选ABC.
5.答案　4
解析　由题意可得a≠0,
当a<0时,由x>0可得ax-1<0,
∵关于x的不等式(ax-1)(x2+bx-4)≥0恒成立,∴x2+bx-4≤0在(0,+∞)上恒成立,
∵函数y=x2+bx-4的图象是开口向上的抛物线,∴x2+bx-4≤0在(0,+∞)上不恒成立,故舍去;
当a>0时,若x>,则ax-1>0,此时x2+bx-4≥0,若0∴b+≥2,当且仅当4a=,即a=时等号成立,故b+的最小值为4.
6.答案　①②
解析　对于①,当a≥0时,不等式ax2+x+1≥0的解集不为 ,
当a<0时,要使不等式ax2+x+1≥0的解集为 ,只需Δ=1-4a<0,解得a>,因为a<0,所以不存在实数a使得关于x的不等式ax2+x+1≥0的解集为 ,①正确;
对于②,当a<0且Δ=b2-4ac≤0时,ax2+bx+c≤0在R上恒成立,故不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的一个必要条件是a<0且Δ=b2-4ac≤0,②正确;
对于③,函数y=ax2+bx+c(a≠0)对应的方程没有实根,故ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0恒成立,因此不等式ax2+bx+c>0的解集不一定为R,③错误;
对于④,由>1得>0,即(1-x)x>0,解得0故答案为①②.
7.解析　(1)A={x|x2-7x+6<0}={x|1当t=5时,B={x|x2-4x+4t-t2<0}={x|x2-4x-5<0}={x|-1∴A∩B={x|1(2)由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,得A B,
B={x|x2-4x+4t-t2<0}={x|(x-t)[x-(4-t)]<0},显然t≠4-t,∴t≠2.
①当4-t>t,即t<2时,B={x|t②当4-t2时,B={x|4-t综合①②得实数t的取值范围为(-∞,-2]∪[6,+∞).
8.解析　(1)∵a>0,∴由题可得ax2+bx+c≥2恒成立,且ax2+bx+c≤3的解集为{x|2≤x≤3},
故方程ax2+bx+c=3的两个根为2和3,
则解得
∴ax2+bx+c=ax2-5ax+6a+3≥2恒成立,
即≥-x2+5x-6=-恒成立,所以≥,所以0ax2+(b-3)x-c≤0,即ax2-(5a+3)x-(6a+3)≤0,
即[ax-(6a+3)](x+1)≤0,解得-1≤x≤6+,
∵不等式有且仅有9个整数解,故7≤6+<8,解得综上可得,a的取值范围为.
(2)当a>0时,由(1)得0ax2+(b-1)x+5<0,即ax2-(5a+1)x+5<0,即(ax-1)·(x-5)<0,
①当0②当a=时,原不等式的解集为 ;
③当当a<0时,由题意可得ax2+bx+c≤3恒成立,且ax2+bx+c≥2的解集为{x|2≤x≤3},
则解得
∴ax2+bx+c=ax2-5ax+6a+2≤3恒成立,即ax2-5ax+6a-1≤0恒成立,故Δ=25a2-4a(6a-1)≤0,
解得-4≤a<0.
ax2+(b-1)x+5<0,即ax2-(5a+1)x+5<0,即(ax-1)·(x-5)<0,该不等式的解集为xx<或x>5.
当a=0,b>0时,解得
则ax2+(b-1)x+5<0即5<0,无解;
当a=0,b<0时,解得
则ax2+(b-1)x+5<0即-2x+5<0,解得x>.
综上可得,当-4≤a<0时,不等式的解集为xx<或x>5;
当a=0,b>0时,不等式的解集为 ;
当a=0,b<0时,不等式的解集为xx>;
当0当a=时,不等式的解集为 ;
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