2025北师大版高中数学必修第一册同步练习题--单元整合练 概率与统计的综合应用（含解析）

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2025北师大版高中数学必修第一册
单元整合练　概率与统计的综合应用
1.(2023陕西西安第六中学模拟)某校分别统计了甲、乙两人星期一至星期五每天在“学习强国APP”上的学习积分情况,得到如下条形图:
则下列结论中错误的是 (　　)
A.甲的积分的众数大于乙的积分的众数
B.甲的积分的方差小于乙的积分的方差
C.在这5天中,随机抽取1天,乙的积分大于30分的概率为0.6
D.在这5天中,随机抽取1天,甲的积分大于30分的概率为0.4
2.(多选题)为弘扬文明、和谐的社区文化氛围,更好地服务社区群众,武汉市某社区组织开展了“党员先锋”“邻里互助”两个公益服务项目,其中某个星期内两个项目的参与人数(单位:人)记录如下:
项目日期 星期 一 星期 二 星期 三 星期 四 星期 五 星期 六 星期 日
“党员先锋” 24 27 26 25 37 76 72
“邻里互助” 11 13 11 11 127 132 143
下列说法正确的有(　　)
A.“党员先锋”项目参与人数的极差为52,中位数为25
B.“邻里互助”项目参与人数的众数为11,平均数为64
C.用频率估计概率,“党员先锋”项目连续3天参与人数不低于25的概率为
D.用频率估计概率,“邻里互助”项目连续2天参与人数不低于该项目参与人数的平均数的概率为
3.(多选题)(2023湖南怀化湖天中学期中)下列说法正确的有(　　)
A.事件A,B同时发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率小
B.抽查10件产品,事件“至少有2件次品”与“至多有一件次品”是对立事件
C.数据8,8,10,12,22,23,20,23,32,34,42,43的80百分位数是34
D.若P(A)=,且P(AB)=,则A,B是相互独立事件
4.已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试,学校决定利用随机数法从中抽取100人进行成绩的抽样调查,先将800人按001,002,…,800进行编号.
(1)部分随机数表如下:
7 6 7 7　8 7 3 3　9 9 7 4　6 7 3 2
7 0 8 6　2 8 8 8　8 5 1 9　1 6 2 0
2 9 7 9　7 9 9 1　9 6 8 3　5 1 2 5
4 3 9 9　5 5 1 9　8 1 0 6　8 5 0 1
如果从上表中第2行第3列的数开始向右读,请你依次写出最先抽取的3个人的编号;
(2)抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表:
地理 数学
优秀 良好 及格
优 秀 7 20 5
良 好 9 18 6
及 格 a 4 b
成绩分为“优秀”“良好”“及格”三个等级,横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩的人数,例如:表中数学成绩为“良好”的人数为20+18+4=42.
若在该样本中,数学成绩的优秀率是30%,求a,b的值;
②已知a≥10,b≥12,求在地理成绩“及格”的学生中,数学成绩“优秀”的人数比“及格”的人数少的概率.
5.(2024广东清远阳山南阳中学月考)近年来,我国居民体重“超标”成规模增长趋势,其对人的心血管安全构成威胁,国际上常用身体质量指数BMI=衡量人体胖瘦程度以及是否健康,中国成人的BMI数值标准是:BMI<18.5为偏瘦;18.5≤BMI<24为正常;24≤BMI<28为偏胖;BMI≥28为肥胖.某社区医院为了解居民体重现状,随机抽取了100名居民体检数据,将其BMI值分成以下五组:[12,16),[16,20),[20,24),[24,28),[28,32],得到相应的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中a的值,并估计该社区居民BMI值的样本数据的80%分位数;
(2)现从样本中利用分层随机抽样的方法从[16,20),[24,28)这两组中抽取6名居民,再从这6人中随机抽取2人,求抽取到的2人的BMI值不在同一组的概率.
答案与分层梯度式解析
单元整合练　概率与统计的综合应用
1.B　甲的积分的众数为30分,乙的积分的众数为20分,所以甲的积分的众数大于乙的积分的众数,A中结论正确;
从条形图可知,甲的积分不如乙的积分稳定,所以甲的积分的方差大于乙的积分的方差,B中结论错误;
在这5天中,有3天乙的积分大于30分,故乙的积分大于30分的概率为=0.6,C中结论正确;
在这5天中,有2天甲的积分大于30分,故甲的积分大于30分的概率为=0.4,D中结论正确.
故选B.
2.BC　对于A,“党员先锋”项目参与人数的极差为76-24=52,中位数为27,故A错误;
对于B,“邻里互助”项目参与人数的众数为11,平均数为=64,故B正确;
对于C,“党员先锋”项目连续3天参与人数不低于25的情况有(星期二,星期三,星期四),(星期三,星期四,星期五),(星期四,星期五,星期六),(星期五,星期六,星期日),
7天中任选连续3天有5种情况,所以“党员先锋”项目连续3天参与人数不低于25的概率为,故C正确;
对于D,“邻里互助”项目连续2天参与人数不低于该项目参与人数的平均数的情况有(星期五,星期六),(星期六,星期日),
7天中任选连续2天有6种情况,所以“邻里互助”项目连续2天参与人数不低于该项目参与人数的平均数的概率为,故D错误.
故选BC.
3.BCD　对于A,比如在抛掷一枚骰子1次的试验中,记事件A为朝上的点数小于或等于5,事件B为朝上的点数大于或等于2,则P(A)=,
则事件A,B同时发生,即朝上的点数小于或等于5且大于或等于2,共4种情况,其概率为,
A,B中恰有一个发生的概率为P(A,故A错误;
对于B,抽查10件产品,“至少有2件次品”即次品件数大于或等于2,“至多有一件次品”即次品件数小于或等于1,两个事件有且仅有一个会发生,互为对立事件,故B正确;
对于C,该组数据共有12个数,12×0.8=9.6,所以将该组数据从小到大排列后的第10个数34为该组数据的80百分位数,故C正确;
对于D,因为P(,所以P(B)=,所以P(AB)==P(A)P(B),所以A,B是相互独立事件,故D正确.
故选BCD.
4.解析　(1)由题表知,从第2行第3列的数开始向右读,最先抽取的3个人的编号依次为202,799,196.
(2)①由题意得×100%=30%,解得a=14,
b=100-(7+9+14)-(20+18+4)-(5+6)=17.
②a+b=100-(7+20+5)-(9+18+6)-4=31,
因为a≥10,b≥12,所以(a,b)的所有可能情况有(10,21),(11,20),(12,19),(13,18),(14,17),(15,16),(16,15),(17,14),(18,13),(19,12),共10种,
设当a≥10,b≥12时,在地理成绩“及格”的学生中,数学成绩“优秀”的人数比“及格”的人数少为事件A,
易知事件A包含的情况有(10,21),(11,20),(12,19),(13,18),(14,17),(15,16),共6种,
所以P(A)=,故所求概率为.
5.解析　(1)由频率分布直方图得(0.01+a+0.1+0.08+0.02)×4=1,解得a=0.04.
因为前三组的频率之和为(0.01+0.04+0.1)×4=0.6<0.8,
前四组的频率之和为0.6+0.08×4=0.92>0.8,
所以样本数据的80%分位数在[24,28)内,设为x,
则0.6+(x-24)×0.08=0.8,解得x=26.5,
故估计该社区居民身体质量指数BMI值的样本数据的80%分位数为26.5.
(2)由频率分布直方图可知BMI值在[16,20)内的频数为100×0.04×4=16,在[24,28)内的频数为100×0.08×4=32,所以两组人数比值为1∶2,
按照分层随机抽样的方法抽取6人,则在[16,20),[24,28)中分别抽取2人,4人,
记[16,20)这组2人的编号分别为a1,a2,[24,28)这组4人的编号分别为b1,b2,b3,b4,
故样本空间Ω={(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a1,b4),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a2,b4),(b1,b2),(b1,b3),(b1,b4),(b2,b3),(b2,b4),(b3,b4)},共15个样本点,
设事件A=“抽取到的2人的BMI值不在同一组”,
则A={(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a1,b4),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a2,b4)},共8个样本点,
故P(A)=,即从这6个人中随机抽取2人,抽取到的2人的BMI值不在同一组的概率为.
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