2025北师大版高中数学必修第一册同步练习题--第二章　函数（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2025北师大版高中数学必修第一册
第二章　函数
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.幂函数的图象过点,则它在[1,2]上的最小值为(　　)
A.-2　　　　B.-1　　　　C.1　　　　D.
2.已知f(x)=则f +f 的值等于(　　)
A.-2　　　　B.4　　　　C.2　　　　D.-4
3.已知函数f(2x-1)的定义域为(-1,2),则函数f(1-x)的定义域为(　　)
A.
C.(-2,4)`　　　　D.(-2,1)
4.已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数.当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4,则当x∈(0,+∞)时,函数f(x)的解析式为f(x)=(　　)
A.-x-x4　　　　B.x-x4　　　　C.-x+x4　　　　D.x+x4
5.函数f(x)=x4-2x2的大致图象是(　　)
　　　　　
　　　　　
6.若函数f(x)=-x2+2ax与g(x)=在区间[1,2]上都单调递减,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-1,0)∪(0,1)`　　　　B.(-1,0)∪(0,1]　　　　
C.(0,1)`　　　　D.(0,1]
7.已知函数f(x)为定义在R上的奇函数,对于任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,都有 >0,f(-1)=0,则xf(x)<0的解集为(　　)
A.(-1,0)∪(1,+∞)`　　　　B.(-1,0)∪[1,+∞)
C.(-1,0)∪(0,1]`　　　　D.(-1,0)∪(0,1)
8.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)为增函数,且f(x)·f =1,则f(1)等于(　　)
A.或
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.下列说法正确的是(　　)
A.函数f(x)=的定义域为(-1,+∞)
B.函数f(x)=与函数g(x)=x是同一个函数
C.函数y=[x]中的[x]表示不超过x的最大整数,则当x的值为-0.1时,y=-1
D.若函数f(x+1)=2x-3,则f(4)=3
10.定义在R上的函数f(x),对任意的x1,x2∈(-∞,2],都有(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0,且y=f(x+2)为偶函数,则下列说法正确的是(　　)
A.y=f(x-2)的图象关于直线x=4对称
B.y=f(x)的图象关于直线x=3对称
C.f(1)>f(π)
D. x∈R, f(x)≤f(2)恒成立
11.我们把定义域为[0,+∞)且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为“Ω函数”:
(1)对任意的x∈[0,+∞),总有f(x)≥0;
(2)若x≥0,y≥0,则有f(x+y)≥f(x)+f(y)成立.
下列判断正确的是(　　)
A.若f(x)为“Ω函数”,则f(0)=0
B.函数g(x)=在[0,+∞)上是“Ω函数”
C.函数g(x)=x2+x在[0,+∞)上是“Ω函数”
D.若f(x)为“Ω函数”,x1>x2≥0,则f(x1)≥f(x2)
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.已知函数f(x)的定义域是R,f(1-x)=f(1+x),且f(x)在(1,+∞)上为单调递增函数,则满足条件的f(x)=　　　　.(写出一个满足条件的函数即可)
13.已知奇函数f(x)的定义域为{x|x∈R,x≠0},且f(2x)=2f(x),f(1)=2,若 x1,x2∈(0,+∞),都有(x1-x2)<0,则不等式≥8x2的解集为　　　　　　　　.
14.关于x的方程g(x)=t(t∈R)的实数根个数记为f(t).
(1)若g(x)=x+1,则f(t)=　　　　;
(2)若g(x)=(a∈R),且存在t使得f(t+2)>f(t)成立,则a的取值范围是　　　　.(第一空2分,第二空3分)
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)设函数f(x)=x-+a为定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数.
(1)求实数a的值;
(2)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性,并用定义证明f(x)在(0,+∞)上的单调性.
16.(15分)已知函数f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,当0≤x≤2时,f(x)=x2+2x.
(1)求f(-1);
(2)求函数f(x)的解析式;
(3)若f(2a-1)+f(4a-3)>0,求实数a的取值范围.
17.(15分)2022年,某手机企业计划将某项新技术应用到手机生产中去,并计划用一年的时间进行试产、试销.通过市场分析,生产此款手机全年需投入固定成本280万元,每生产x千部手机,需另投入成本C(x)万元,且C(x)=由市场调研知,每部手机售价0.8万元,且全年内生产的手机当年能全部销售完.
(1)求出2022年的利润W(x)(万元)关于年产量x(千部)的函数关系式(利润=销售额-成本);
(2)2022年年产量为多少时,企业所获利润最大 最大利润是多少
18.(17分) 已知二次函数f(x)满足f(0)=f(1)=1,且f(x)的最小值是.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若关于x的方程f(x)=x+m在区间(-1,2)上有唯一实数根,求实数m的取值范围;
(3)函数g(x)=f(x)-(2t-1)x对任意x1,x2∈[4,5]都有|g(x1)-g(x2)|<4恒成立,求实数t的取值范围.
19.(17分)对于函数y=f(x)与常数a,b,若f(2x)=af(x)+b恒成立,则称(a,b)为函数f(x)的一个“P数对”,设函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(1)=3.
(1)若(a,b)是f(x)的一个“P数对”,且f(2)=6,f(4)=9,求常数a,b的值;
(2)若(1,1)是f(x)的一个“P数对”,且f(x)在[1,2]上单调递增,求函数f(x)在[1,8]上的最大值与最小值;
(3)若(-2,0)是f(x)的一个“P数对”,且当x∈[1,2)时, f(x)=k-|2x-3|,求k的值及f(x)在区间[1,2n)(n∈N+)上的最大值与最小值.
答案与解析
第二章　函数
1.D　设幂函数的解析式为f(x)=xa,因为f(x)的图象过点.故选D.
2.B　∵=4.
3.C　∵函数f(2x-1)的定义域为(-1,2),所以-1所以f(x)的定义域为(-3,3),
对于函数f(1-x),由-3<1-x<3,得-2所以函数f(1-x)的定义域为(-2,4).故选C.
4.A　设x∈(0,+∞),则-x∈(-∞,0),
∵当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4,∴f(-x)=-x-x4,
又∵f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,
∴f(x)=f(-x)=-x-x4,故选A.
5.B　f(x)=x4-2x2的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=(-x)4-2(-x)2=x4-2x2=f(x),所以函数f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,故排除C、D,当x=1时, f(1)=1-2=-1,故选B.
6.D　易知函数f(x)=-x2+2ax的图象开口向下,对称轴为直线x=a,因为f(x)在区间[1,2]上单调递减,所以a≤1.又函数g(x)=在区间[1,2]上单调递减,所以a>0.综上,07.D　∵f(x)为奇函数,∴f(x)=-f(-x),∴f(1)=-f(-1)=0,
∵对于任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,都有 >0,
∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,∴函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,
当xf(x)<0时,若x<0,则f(x)>0,此时x∈(-1,0);若x>0,则f(x)<0,此时x∈(0,1),
所以原不等式的解集为(-1,0)∪(0,1).故选D.
8.B　令x=1,得f(1)f(f(1)+1)=1,
令t=f(1)(t≠0),则tf(t+1)=1,所以f(t+1)=.
令x=t+1,则f(t+1)f =1,
所以f =t=f(1).
因为函数f(x)为定义在(0,+∞)上的增函数,
所以=1,
变形可得t2-t-1=0,解得t=,
所以f(1)=.
令x=2,得f(2)f =1,
令s=f(2)(s≠0),则sf ,
令x=s+=1,
则f =s=f(2).
因为函数f(x)为定义在(0,+∞)上的增函数,所以=2,
变形可得4s2-2s-1=0,解得s=,
所以f(2)=.
因为f(1)9.ACD　对于A,令x+1>0,得x>-1,故f(x)的定义域为(-1,+∞),故A正确;
对于B,f(x)=的定义域为{x|x≠0},g(x)=x的定义域为R,两者的定义域不同,故不是同一个函数,故B错误;
对于C,当x=-0.1时,y=[-0.1]=-1,故C正确;
对于D,令f(x+1)=2x-3中x=3,得f(4)=2×3-3=3,故D正确.
故选ACD.
10.ACD　由题意得函数f(x)在(-∞,2)上单调递增,
因为函数f(x+2)是偶函数,所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称,
则y=f(x-2)的图象关于直线x=4对称,且函数f(x)在(2,+∞)上单调递减,因此f(1)=f(3)>f(π),且f(2)为函数f(x)的最大值.
故选ACD.
11.ACD　对于A,由(1)知f(0)≥0,由(2)知当x=y=0时,f(0)≥f(0)+f(0),即f(0)≤0,∴f(0)=0,故A正确;
对于B,显然g(x)满足(1),若x,y∈Q,则g(x+y)=0,g(x)+g(y)=0+0=0,g(x+y)=g(x)+g(y),若x,y Q,设x=,则g(x+y)=1,g(x)+g(y)=1+1=2,g(x+y)对于C,g(x)=x2+x=x(x+1),∵x∈[0,+∞),∴g(x)≥0,满足(1),任取x,y∈[0,+∞),则g(x+y)-g(x)-g(y)=(x+y)2+x+y-x2-x-y2-y=2xy≥0,满足(2),故C正确;
对于D,∵x1>x2≥0,∴f(x1)-f(x2)=f((x1-x2)+x2)-f(x2)≥f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2),
∵x1-x2>0,∴f(x1-x2)≥0,∴f(x1)≥f(x2),故D正确.
故选ACD.
12.答案　|x-1|(答案不唯一)
解析　由f(1-x)=f(1+x),可得f(x)的图象关于直线x=1对称,结合f(x)在(1,+∞)上为单调递增函数,可写出f(x)=|x-1|(答案不唯一).
13.答案　
解析　设g(x)=(x≠0),因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),
则g(-x)==g(x),所以g(x)为偶函数.
由题知 x1,x2∈(0,+∞),不妨设x1>x2>0,则x1-x2>0,
因为(x1-x2)<0,即g(x1)所以g(x)在(0,+∞)上单调递减,
又g(x)为偶函数,所以g(x)在(-∞,0)上单调递增.
不等式≥8,即g(x)≥8,
因为f(2x)=2f(x),f(1)=2,所以g=8,
所以g(x)≥8可化为g(x)≥g,
故原不等式的解集为.
14.答案　(1)1　(2)(1,+∞)
解析　(1)若g(x)=x+1,则函数g(x)的值域为R,且为单调函数,故方程g(x)=t有且只有一个根,故f(t)=1.
(2)g(x)=(a∈R).
当t≤0时, f(t)=1恒成立.
若存在t使得f(t+2)>f(t)成立,则x>0时,函数y=-x2+2ax+a图象的对称轴在y轴右侧,且函数的最大值大于2,即a>0,且>2,解得a>1,所以a的取值范围是(1,+∞).
15.解析　(1)∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),(2分)
∴-x+-a,∴a=0.(4分)
(2)f(x)在(0,+∞)上单调递增.(5分)
证明:由(1)知f(x)=x-,任取x1,x2∈(0,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=x1-,(7分)
∵00,(10分)
∴f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1)∴f(x)在(0,+∞)上单调递增.(13分)
16.解析　(1)因为函数f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,当0≤x≤2时,f(x)=x2+2x,所以f(-1)=-f(1)=-3.(3分)
(2)因为当0≤x≤2时,f(x)=x2+2x,
所以当x∈[-2,0)时,-x∈(0,2],且f(-x)=(-x)2+2(-x)=x2-2x.(5分)
因为函数f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-x2+2x,
所以f(x)=(8分)
(3)当0≤x≤2时,f(x)=x2+2x,所以f(x)在[0,2]上单调递增.
因为函数f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,所以函数f(x)在[-2,2]上单调递增.(11分)
由f(2a-1)+f(4a-3)>0可得f(2a-1)>-f(4a-3)=f(3-4a),
所以,(14分)
故实数a的取值范围是.(15分)
17.解析　(1)当0当x≥50时,W(x)=800x-+9 170, (6分)
∴W(x)=(7分)
(2)若0若x≥50,则W(x)=-+9 170=8 970,
当且仅当x=,即x=100时,等号成立,W(x)max=8 970.(13分)
因为8 970>8 720,
所以2022年年产量为100千部时,企业所获利润最大,最大利润是8 970万元.(15分)
18.解析　(1)因为二次函数f(x)满足f(0)=f(1),所以函数f(x)的图象的对称轴为直线x=,(1分)
又f(x)的最小值是,所以可设f(x)=a(a≠0),由f(0)=1得a=1,所以f(x)=x2-x+1.(3分)
(2)由f(x)=x+m得m=x2-2x+1,即直线y=m与函数y=x2-2x+1,x∈(-1,2)的图象有且只有一个交点,(5分)
作出函数y=x2-2x+1在x∈(-1,2)上的图象(图略),
易得当m=0或m∈[1,4)时只有一个交点,所以m的取值范围是{0}∪[1,4).(7分)
(3)由题意知g(x)=x2-2tx+1.假设存在实数t满足条件,对任意x1,x2∈[4,5]都有|g(x1)-g(x2)|<4成立,即<4,故有[g(x)]max-[g(x)]min<4.(9分)
g(x)=x2-2tx+1=(x-t)2-t2+1,x∈[4,5],
当t≤4时,[g(x)]max-[g(x)]min=g(5)-g(4)<4,解得t>当4当当t>5时,[g(x)]max-[g(x)]min=g(4)-g(5)<4,解得t<.
综上所述,实数t的取值范围为.(17分)
19.解析　(1)由题意知(3分)
(2)∵(1,1)是f(x)的一个“P数对”,∴f(2x)=f(x)+1,
∴f(2)=f(1)+1=4,f(4)=f(2)+1=5,f(8)=f(4)+1=6.
∵f(x)在[1,2]上单调递增,
∴当x∈[1,2]时, f(x)max=f(2)=4,f(x)min=f(1)=3,(5分)
∴当x∈[1,2]时,3≤f(x)≤4;(6分)
当x∈[2,4]时,+1≤5;(7分)
当x∈[4,8]时,+1≤6.(8分)
综上,当x∈[1,8]时,3≤f(x)≤6.
故f(x)在[1,8]上的最大值为6,最小值为3.(9分)
(3)当x∈[1,2)时, f(x)=k-|2x-3|,令x=1,可得f(1)=k-1=3,解得k=4,∴x∈[1,2)时, f(x)=4-|2x-3|,∴f(x)在[1,2)上的取值范围是[3,4].(11分)
又(-2,0)是f(x)的一个“P数对”,∴f(2x)=-2f(x)恒成立,
当x∈[2k-1,2k)(k∈N+)时,.(13分)
∴k为奇数时, f(x)在[2k-1,2k)上的取值范围是[3×2k-1,2k+1];
当k为偶数时, f(x)在[2k-1,2k)上的取值范围是[-2k+1,-3×2k-1].(15分)
∴当n=1时, f(x)在[1,2n)上的最大值为4,最小值为3;当n为不小于3的奇数时, f(x)在[1,2n)上的最大值为2n+1,最小值为-2n;当n为不小于2的偶数时, f(x)在[1,2n)上的最大值为2n,最小值为-2n+1.(17分)
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)