2025北师大版高中数学必修第一册同步练习题--第二章　函数拔高练（含解析）

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2025北师大版高中数学必修第一册
综合拔高练
五年高考练
考点　函数及其性质
1.(2021北京,3)设函数f(x)的定义域为[0,1],则“函数f(x)在[0,1]上单调递增”是“函数f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)”的(　　)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
2.(2020全国Ⅱ文,10)设函数f(x)=x3-,则f(x)(　　)
A.是奇函数,且在(0,+∞)单调递增
B.是奇函数,且在(0,+∞)单调递减
C.是偶函数,且在(0,+∞)单调递增
D.是偶函数,且在(0,+∞)单调递减
3.(2022天津,3)函数f(x)=的图象为(　　)
A　　B
C　　D
4.(2021全国乙,4)设函数f(x)=,则下列函数中为奇函数的是(　　)
A.f(x-1)-1　　　B.f(x-1)+1
C.f(x+1)-1　　　D.f(x+1)+1
5.(2020全国新高考Ⅰ,8)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是(　　)
A.[-1,1]∪[3,+∞)　　　B.[-3,-1]∪[0,1]
C.[-1,0]∪[1,+∞)　　　D.[-1,0]∪[1,3]
6.(2021全国甲文,12)设f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)=f(-x).若f ,则f =　(　　)
A.-　　　　B.-　　　　C.　　　　D.
7.(2021新高考Ⅱ,8)设函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)为偶函数,f(2x+1)为奇函数,则(　　)
A. f =0　　　B. f(-1)=0
C. f(2)=0　　　D. f(4)=0
8.(2022新高考Ⅱ,8)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y), f(1)=1,则f(k)=(　　)
A.-3　　　B.-2　　　　
C.0　　　D.1
9.(2022北京,11)函数f(x)=的定义域是　　　　　　　　.
10.(2022浙江,14)已知函数f(x)=则f =　　　　;若当x∈[a,b]时,1≤f(x)≤3,则b-a的最大值是　　　　.
11.(2019浙江,16)已知a∈R,函数f(x)=ax3-x.若存在t∈R,使得|f(t+2)-f(t)|≤,则实数a的最大值是　　　　.
三年模拟练
应用实践
1.(2023辽宁沈阳辽中第二高级中学期中)若函数y=f(x+1)的定义域是(-1,1),则函数g(x)=f(|x|)的定义域是(　　)
A.(-2,2)　　　B.
C.(-1,0)∪(0,1)　　　D.(-2,0)∪(0,2)
2.(2023山东潍坊安丘期中)已知函数f(x)是偶函数,且在(-∞,0]上单调递减,当x∈[1,3]时,f(x+4)≥f(ax+2)恒成立,则实数a的取值范围是(　　)
A.　　　B.　　　　
C.[-3,+∞)　　　D.
3.(2024广东佛山顺德罗定邦中学期中)函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足<0,若a,b∈R,且a<0A.恒大于0　　　B.恒小于0
C.等于0　　　D.无法判断
4.(2023黑龙江绥化青冈实验中学期中)如果函数f(x)的定义域为[a,b],且值域为[f(a),f(b)],则称f(x)为“Ω函数”.已知函数f(x)=是“Ω函数”,则m的取值范围是(　　)
A.[4,10]　　　　B.[4,14]　　　　C.[10,14]　　　　D.[14,+∞)
5.(多选题)(2024河南省实验中学月考)已知f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,且f(x),g(x)在(-∞,0]上单调递减,则(　　)
A.f(f(1))C.g(f(1))6.(多选题)(2024四川成都蓉城名校期中)已知定义在R上且不恒为0的函数f(x)满足如下条件:①f(xy)=xf(y)+yf(x);②当x>1时,f(x)>0.则下列结论正确的是(　　)
A.f(-1)=0
B.函数f(x)是偶函数
C.函数f(x)在(1,+∞)上单调递增
D.不等式 >0的解集为(-1,0)∪(1,+∞)
7.(多选题)(2024山东师范大学附属中学期中)高斯是德国著名的数学家,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数,又称为取整函数,如[1.2]=1,[-1.2]=-2,在现实生活中有着广泛的应用,如停车收费,出租车收费等均按“取整函数”进行计费,以下关于“取整函数”的描述,正确的是(　　)
A. x∈R,[2x]=2[x]
B. x∈R,[x]+=[2x]
C. x,y∈R,若[x]=[y],则x-y>-1
D.方程x2=3[x]+1的解集为{}
8.(2023安徽合肥一中月考)已知幂函数f(x)=(m2-3m-3)x2m-5在(0,+∞)上单调递增,函数g(x)=x2+ax, x1∈[-1,2], x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2)成立,则实数a的取值范围是　　　　.
9.(2023北京朝阳期中)函数f(x)的定义域为D,若对于任意x1,x2∈D,当x1①f(0)=0;②f(1-x)+f(x)=1,x∈[0,1];③当x∈时, f(x)≥x恒成立.则f +f =　　　　.
10.根据市场调查,某种商品在最近30天内的售价f(t)(单位:元/件)、日销售量g(t)(单位:件)与时间t(单位:天)的关系分别是f(t)=(t∈N),g(t)=-t+50(0≤t≤30,t∈N).
(1)求该商品的日销售额y(单位:元)与时间t(单位:天)之间的函数关系式;
(2)求这种商品的日销售额的最大值.
(日销售额=销售量×售价)
11.(2024四川成都简阳实验中学期中)已知fm(x)=(m-x)|x|(m∈R).
(1)求f2(x)的单调区间;
(2)若函数y=fm(x-2 023)的图象关于点(2 023,0)对称,且 x∈[-2,2],nx2+n>fm(fm(x)),求实数n的取值范围.
迁移创新
12.(2022辽宁大连八中期中)经过函数性质的学习,我们知道“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称图形”的充要条件是“y=f(x)为偶函数”.
(1)若f(x)为偶函数,且当x≤0时,f(x)=2x-1,求f(x)的解析式,并求不等式f(x)>f(2x-1)的解集;
(2)某数学学习小组针对上述结论进行探究,得到一个真命题:“函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形”的充要条件是“y=f(x+a)为偶函数”.若函数g(x)的图象关于直线x=1对称,且当x≥1时,g(x)=x2-.
①求g(x)的解析式;
②求不等式g(x)>g(3x-1)的解集.
答案与分层梯度式解析
综合拔高练
五年高考练
1.A　若f(x)在[0,1]上单调递增,则f(x)在[0,1]上的最大值为f(1);若f(x)在[0,1]上的最大值为f(1),则f(x)未必在[0,1]上单调递增,如图.故选A.
2.A　∵函数f(x)=x3-的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,f(-x)=-f(x),
∴函数f(x)为奇函数.
又∵函数y=x3在(0,+∞)上单调递增,y=在(0,+∞)上单调递减,
∴函数f(x)=x3-在(0,+∞)上单调递增.故选A.
3.D　易知f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.因为f(-x)==-f(x),所以f(x)为奇函数,又当x>1时,f(x)=x-,所以f(x)在(1,+∞)上单调递增,当04.B　解法一:f(x)=-1+,其图象的对称中心为(-1,-1),将y=f(x)的图象沿x轴向右平移1个单位长度,再沿y轴向上平移1个单位长度可得函数f(x-1)+1的图象,其关于(0,0)对称,所以函数f(x-1)+1是奇函数,故选B.
解法二:选项A, f(x-1)-1=-2,此函数既不是奇函数,也不是偶函数;
选项B, f(x-1)+1=,此函数为奇函数;
选项C, f(x+1)-1=,此函数既不是奇函数,也不是偶函数;
选项D, f(x+1)+1=,此函数既不是奇函数,也不是偶函数,故选B.
5.D　∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,
又∵f(x)在(-∞,0)上单调递减,
∴f(x-1)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上也单调递减,且过(-1,0)和(3,0),f(x-1)的大致图象如图:
当-1≤x≤0时,f(x-1)≤0,∴xf(x-1)≥0;
当1≤x≤3时,f(x-1)≥0,∴xf(x-1)≥0.
综上,满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是[-1,0]∪[1,3].故选D.
6.C　由f(1+x)=f(-x),且f(x)是定义在R上的奇函数,可得f(1+x)=f(-x)=-f(x),所以f(2+x)=-f(1+x)=f(x),所以f =f =f ,故选C.
7.B　∵函数f(x)的定义域为R,且f(2x+1)为奇函数,
∴f(2×0+1)=0,即f(1)=0,且f(-2x+1)=-f(2x+1).
设-2x+1=t,则2x=1-t,
∴f(t)=-f(2-t).①
又∵f(x+2)为偶函数,
∴f(-x+2)=f(x+2).②
结合①②,得f(t)=-f(2-t)=-f(t+2),
∴f(-1)=-f(1)=0.故选B.
8.A　令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=f(x)·f(1)=f(x),则f(x+1)=f(x)-f(x-1),故f(x+2)=f(x+1)-f(x),f(x+3)=f(x+2)-f(x+1),
故f(x+3)=-f(x),故f(x+6)=f(x),
故函数f(x)的值每隔6重复出现,
令x=1,y=0,得f(1)+f(1)=f(1)·f(0) f(0)=2,
则f(2)=f(1)-f(0)=-1,
f(3)=f(2)-f(1)=-2,
f(4)=f(3)-f(2)=-1,
f(5)=f(4)-f(3)=1,
f(6)=f(5)-f(4)=2,
所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0,
f(k)=3[f(1)+f(2)+…+f(6)]+f(19)+f(20)+f(21)+f(22)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=-3,故选A.
9.答案　(-∞,0)∪(0,1]
解析　要使函数f(x)=有意义,
则解得x≤1且x≠0,
所以函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,1].
10.答案　
解析　∵f >1,
∴f =f .
由解得-1≤x≤1,
由解得1∴不等式1≤f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤2+},
∴b-a的最大值为2+.
11.答案　
解析　|f(t+2)-f(t)|=|a(t+2)3-(t+2)-(at3-t)|=|a(6t2+12t+8)-2|.
令m=6t2+12t+8=6(t+1)2+2,则m∈[2,+∞),
设g(m)=f(t+2)-f(t)=am-2,
则|am-2|≤可化为|g(m)|≤.
当a=0时,g(m)=-2,不符合题意.
当a>0时,g(m)∈[2a-2,+∞),
∵|g(m)|≤有解,∴2a-2≤,∴0当a<0时,g(m)∈(-∞,2a-2],
∵|g(m)|≤有解,
∴2a-2≥-,解得a≥,与a<0矛盾,舍去.
综上可知,0三年模拟练
1.D　因为函数y=f(x+1)的定义域是(-1,1),即x∈(-1,1),所以x+1∈(0,2),
故g(x)=f(|x|)中,|x|∈(0,2),
所以x∈(-2,0)∪(0,2).故选D.
2.A　因为函数f(x)是偶函数,且在(-∞,0]上单调递减,所以函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,
当x∈[1,3]时,f(x+4)≥f(ax+2)恒成立,
则f(x+4)≥f(|ax+2|),
所以|ax+2|≤x+4,即-x-4≤ax+2≤x+4,即-1-≤a≤1+,所以≤a≤,
因为x∈[1,3],所以-3≤a≤.故选A.
3.B　由题意得f(x)在(0,+∞)上单调递减,
因为f(x)=(m2-m-1)是幂函数,所以m2-m-1=1,解得m=2或m=-1,
当m=2时,f(x)=x3,在(0,+∞)上单调递增,不符合题意;
当m=-1时,f(x)=x-3,在(0,+∞)上单调递减,符合题意,
故m=-1,f(x)=x-3,易知f(x)为奇函数,
因为a<0所以f(-a)>f(b),即-f(a)>f(b),所以f(a)+f(b)<0.
故选B.
4.C　由题意可知f(x)的定义域为[0,4],
因为f(x)是“Ω函数”,
所以f(x)的值域为[f(0),f(4)],
因为f(0)=0,f(4)=m,
所以f(x)的值域为[0,m].
当0≤x≤2时,f(x)=5x单调递增,f(x)∈[0,10],
当2所以解得10≤m≤14,
所以m的取值范围为[10,14].
故选C.
5.BD　因为f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0]上单调递减,所以f(x)在[0,+∞)上单调递增,则f(1)因为g(x)是定义在R上的奇函数,且在(-∞,0]上单调递减,所以g(x)在[0,+∞)上单调递减,故g(x)在R上单调递减,且g(0)=0,故g(2)g(f(1))>g(f(2)),故C错误;
g(g(1))6.AC　令x=y=1,则f(1)=2f(1),解得f(1)=0;令x=y=-1,则f(1)=-2f(-1),解得f(-1)=0,A正确;
令y=-1,则f(-x)=xf(-1)-f(x)=-f(x),又f(x)的定义域为R,关于原点对称,所以f(x)是奇函数,B错误;
x1,x2∈(1,+∞),且x1>x2,令x=x2,y=,
则f(x1)=x2 ff(x2),
当x>1时,f(x)>0,所以f(x1)-f(x2)=x2 f>0,
故f(x1)>f(x2)>f(x2),所以f(x)在(1,+∞)上单调递增,C正确;
令x∈(0,1),y=>1,则f(1)=xff(x)=0,根据性质②知xff(x)>0,
所以x∈(0,1)时,f(x)<0,结合奇函数的性质知x∈(-1,0)时,f(x)>0,
同理,由x>1时f(x)>0,得x<-1时f(x)<0,
>0等价于或故不等式的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞),D错误.
故选AC.
7.BCD　对于A,取x=,则[2x]=[1]=1,2[x]=2=0,故A错误;
对于B,设[x]=x-a,a∈[0,1),则x=[x]+a,∴[x]+,
[2x]=[2[x]+2a]=2[x]+[2a],
当a∈时,a+∈,2a∈[0,1),则=0,[2a]=0,
则[x]+=[2x],
当a∈时,a+∈,2a∈[1,2),则=1,[2a]=1,
则[x]+=2[x]+1,[2x]=2[x]+1,即[x]+=[2x],故B正确;
对于C,设[x]=[y]=m,则x=m+t,0≤t<1,y=m+s,0≤s<1,则|x-y|=|(m+t)-(m+s)|=|t-s|<1,因此x-y>-1,故C正确;
对于D,由x2=3[x]+1知x2一定为整数且3[x]+1≥0,所以[x]≥-,所以[x]≥0,所以x≥0,
由[x]2≤x2<([x]+1)2得[x]2≤3[x]+1<([x]+1)2,
由[x]2≤3[x]+1解得≤[x]≤≈3.3,故0≤[x]≤3,
由3[x]+1<([x]+1)2解得[x]>1或[x]<0(舍去),故2≤[x]≤3,所以[x]=2或[x]=3,
当[x]=2时,x=,当[x]=3时,x=,
所以方程x2=3[x]+1的解集为{},D正确.
故选BCD.
8.答案　(-∞,-2]
解析　因为幂函数f(x)=(m2-3m-3)x2m-5在(0,+∞)上单调递增,
所以解得m=4,所以f(x)=x3,
x1∈[-1,2], x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2)成立等价于当x1∈[-1,2],x2∈[1,2]时,f(x)min≥g(x)min,
当x∈[-1,2]时,f(x)min=-1,
所以当x∈[1,2]时,g(x)min≤-1恒成立.
当-≥2,即a≤-4时,g(x)min=g(2)=4+2a≤-1,解得a≤-,所以a≤-4;
当1<-<2,即-4当-≤1,即a≥-2时,g(x)min=g(1)=1+a≤-1,解得a≤-2,所以a=-2.
综上所述,实数a的取值范围为(-∞,-2].
9.答案　1
解析　∵函数f(x)满足:f(1-x)+f(x)=1,x∈[0,1],
∴取x=,得f ,
当x∈时, f(x)≥x恒成立,则f ≥,
又∵函数f(x)为定义在[0,1]上的“非减函数”,
∴f ≤f ,
因此f ,
∴当x∈时, f(x)=恒成立,
故f , f ,
则f =1-f ,
则f +f =1.
解后反思　在抽象函数的应用中,通常由已知与结论的关系进行赋值,但本题中找不到结论中的与条件的关系,而是利用条件得到不等关系f ≥与f≤,进而得到f,因此当x∈时, f(x)=恒成立,这是解题的关键.
10.解析　(1)y=f(t)·g(t)
=(t∈N)
=.
(2)令h(t)=.
当0≤t<10且t∈N时,h(t)=-t2+10t+2 000=-(t-5)2+2 025,故当t=5时,h(t)取得最大值,且最大值为2 025.
当10≤t≤30且t∈N时,h(t)=
=100,
因为函数y=x+在区间(0,10)上单调递减,在区间(10,+∞)上单调递增,h(14)=2 100,h(15)=2 100,所以h(t)max=2 100.
因为2 025<2 100,所以这种商品的日销售额的最大值为2 100元.
11.解析　(1)因为fm(x)=(m-x)|x|(m∈R),
所以f2(x)=(2-x)|x|=
当x≥0时,f2(x)=2x-x2=-(x-1)2+1,此时f2(x)在[0,1]上单调递增,在[1,+∞)上单调递减;
当x<0时,f2(x)=x2-2x=(x-1)2-1,此时f2(x)在(-∞,0)上单调递减.
所以f2(x)的单调递增区间为[0,1],单调递减区间为(-∞,0)和[1,+∞).
(2)因为函数y=fm(x-2 023)的图象关于点(2 023,0)对称,所以y=fm(x)的图象关于点(0,0)对称,所以函数y=fm(x)是奇函数,
所以fm(-x)=-fm(x),即(m+x)|-x|=-(m-x)|x|,
即2m|x|=0,所以m=0,
则fm(x)=f0(x)=-x|x|=
所以fm(fm(x))=f0(-x|x|)=
因为 x∈[-2,2],nx2+n>fm(fm(x)),所以n>在[-2,2]上恒成立,只需n>,x∈[-2,2].
令g(x)=,则当g(x)取最大值时,x>0,此时g(x)=-2,
当x>0时,根据复合函数的单调性知g(x)单调递增,
所以x∈[-2,2]时,g(x)max=g(2)=,即n>,
所以实数n的取值范围为.
12.解析　(1)设x>0,则-x<0,则f(-x)=2(-x)-1=-2x-1,
又f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=-2x-1.
所以f(x)=
因为f(x)为偶函数,且f(x)在[0,+∞)上单调递减,
所以f(x)>f(2x-1)等价于|x|<|2x-1|,
即x2<(2x-1)2,解得x<或x>1.
所以不等式的解集为.
(2)①因为g(x)的图象关于直线x=1对称,所以函数g(x+1)为偶函数,所以g(1+x)=g(1-x),
即g(x)=g(2-x)对任意x∈R恒成立.
又当x<1时,2-x>1,
所以g(x)=(2-x)2-,
所以g(x)=
②任取x1,x2∈[1,+∞),且x1则g(x1)-g(x2)=
=(x1-x2),
因为x10,>0,
所以(x1-x2)<0,即g(x1)所以函数g(x)在[1,+∞)上单调递增,
又因为函数g(x)的图象关于直线x=1对称,
所以g(x)>g(3x-1)等价于|x-1|>|3x-2|,
即(x-1)2>(3x-2)2,解得.
所以不等式的解集为.
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