2025北师大版高中数学必修第一册同步练习题--第六章　统计（含解析）

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2025北师大版高中数学必修第一册
第六章　统计
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.某市场监管局从所管辖的某超市在售的40种冷饮中抽取了20种冷饮,对其质量进行了抽检,则(　　)
A.该市场监管局的调查方法是普查
B.个体是每种冷饮的质量
C.总体是超市在售的40种冷饮
D.样本容量是该超市的20种冷饮
2.某市教育局想了解全市所有学生对电影《长津湖之水门桥》的评价,决定从全市所有学校中选取3所学校按学生人数用分层随机抽样的方法抽取一个样本,若3所学校学生人数之比为2∶3∶4,且学生人数最少的一个学校抽出120人,则这个样本的容量为(　　)
A.560　　　　B.540　　　　C.450　　　　D.400
3.福利彩票“双色球”中红色球的号码可以从01,02,03,…,32,33这33个两位号码中选取,小明利用如下所示的随机数表选取红色球的6个号码,选取方法是从第1行第9列的数字开始,从左到右依次读取数据,则第四个被选中的红色球号码为(　　)
第1行:2 9 7 6　3 4 1 3　2 8 4 1　4 2 4 1
第2行:8 3 0 3　9 8 2 2　5 8 8 8　2 4 1 0
第3行:5 5 5 6　8 5 2 6　6 1 6 6　8 2 3 1
A.10　　　　B.22　　　　C.24　　　　D.26
4.某学校七年级甲、乙两班进行了一次数学能力测试.两个班均有40人参加测试,测试成绩分为A,B,C,D四个等级,现将甲、乙两班的成绩分别绘制成如图所示的统计图.根据统计图提供的信息,下列说法错误的是(　　)
甲班　　乙班
A.甲班D等级的人数最多`　　　　　　B.乙班A等级的人数最少
C.乙班B等级与C等级的人数相同`　　　　　　D.甲班C等级的人数比乙班的多
5.某中学从参加高一年级上学期期末考试的学生中抽出60名,将其成绩(均为整数)分成六组[40,50),[50,60),…,[90,100],并画出频率直方图如图所示,则(　　)
A.成绩在区间[90,100]内的人数为5
B.抽出的学生的平均成绩是71分
C.这次考试的及格率(60分及以上为及格)约为55%
D.若从成绩在70分以上(包括70分)的学生中选一人,则选到成绩排在第一名学生(第一名只有一人)的可能性大小为
6.国家统计局发布的2018年至2022年我国城乡居民社会养老保险基金的收入和支出数据如图所示,则下列说法错误的是(　　)
A.2018年至2022年我国城乡居民社会养老保险基金收入逐年增加
B.2018年至2022年我国城乡居民社会养老保险基金支出逐年增加
C.2018年至2022年我国城乡居民社会养老保险基金收入数据的50%分位数为4 852.9亿元
D.2018年至2022年我国城乡居民社会养老保险基金收入数据的40%分位数为4 107.0亿元
7.已知数据x1,x2,…,x99是某高中99名男生的百米短跑的最好成绩,若再加上亚洲百米短跑纪录保持者苏炳添的最好成绩x100,则对于这100个数据,下列说法正确的是(　　)
A.平均数可能不变,中位数一定变小,方差一定变大
B.平均数可能不变,中位数一定变小,方差可能不变
C.平均数一定变小,中位数可能不变,方差可能不变
D.平均数一定变小,中位数可能不变,方差一定变大
8.若某同学连续三次考试的名次(第一名记为1,第二名记为2,以此类推,且可以有名次并列的情况)均不超过3,则称该同学为班级的尖子生.根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续三次考试的名次数据,推断一定不是尖子生的是(　　)
A.甲同学:平均数为2,中位数为2`　　　　　B.乙同学:平均数为2,方差小于1
C.丙同学:中位数为2,众数为2`　　　　　D.丁同学:众数为2,方差大于1
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9. 2023年杭州亚运会上中国选手盛李豪获得男子10米气步枪金牌,并打破世界纪录,他在决赛的第一阶段成绩(环数)如下表:
次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
环数 10.5 10.6 10.3 10.5 10.3 10.6 10.7 10.7 10.5 10.6
则下列说法正确的是(　　)
A.成绩的众数是10.5环`　　　　B.成绩的极差是0.4环
C.成绩的25%分位数是10.5环`　　　　D.平均成绩是10.4环
10.某市教育局为了解网络教学期间的学生学习情况,从该市随机抽取了1 000名高中生,对他们每天的平均学习时间进行问卷调查,根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图,下列说法正确的是(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(　　)
A.这1 000名高中生每天的平均学习时间为6~8小时的人数为100
B.估计该市高中生每天的平均学习时间的众数为9小时
C.估计该市高中生每天的平均学习时间的60%分位数为9.2小时
D.估计该市高中生每天的平均学习时间的平均数为8.6小时
11.已知样本甲:x1,x2,x3,…,xn与样本乙:y1,y2,y3,…,yn满足yi=2+1(i=1,2,…,n),则下列结论不正确的是(　　)
A.样本乙的极差等于样本甲的极差
B.样本乙的众数大于样本甲的众数
C.若某个xi为样本甲的中位数,则yi是样本乙的中位数
D.若某个xi为样本甲的平均数,则yi是样本乙的平均数
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.某高中的三个年级共有学生2 000人,其中高一有600人,高二有680人,高三有720人,该校现在要了解学生对校本课程的看法,准备从全校学生中抽取50人进行访谈,若采取分层随机抽样,且按年级来分层,则高一年级应抽取的人数是　　　　.
13.已知6个正整数的平均数是5,中位数是4,唯一的众数是3,则这6个数的方差的最大值为　　　　.
14.我国关于人工智能领域的研究十分密集,发文量激增,在视觉、智能语音、自然语言处理等基础智能研究方面实现全球领先,并且拥有一批追求算法技术极致优化的人工智能企业,下图是过去十年人工智能领域高水平论文发表量前十国家及发表的论文数.
现有如下说法:
①这十个国家的论文发表数量的平均数为0.87万篇;
②这十个国家的论文发表数量的中位数为0.4万篇;
③这十个国家的论文发表数量的众数为0.4万篇;
④德国发表论文数量约为美国的32%.
其中正确的是　　　　.(填序号)
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)某旅游网考察了一个景点附近的15家酒店,根据清洁程度、舒适程度、服务态度、位置、早餐质量等给每家酒店评分(满分10分),结果如下:
9.0,8.8,8.7,9.1,8.2,8.5,9.7,8.9,9.5,9.8,9.2,8.9,9.6,8.6,8.9.
(1)计算评分的25%分位数;
(2)该网站计划将评分在95%分位数及以上的酒店列为优先推荐酒店,若某酒店的评分为9.6分,该酒店能否被列为优先推荐酒店
16.(15分) “难度系数”反映试题的难易程度,难度系数越大,题目得分率越高,难度也就越小,“难度系数”的计算公式为L=1-,其中L为难度系数,Y为样本平均失分,W为试卷总分.某校高二年级的老师命制了某专题共5套测试卷(总分150分),用于对该校高二年级480名学生进行每周测试,测试前根据自己对学生的了解,预估了每套试卷的难度系数,如下表所示:
试卷序号i 1 2 3 4 5
考前预估难度系数Li 0.7 0.64 0.6 0.6 0.55
测试后,随机抽取了50名学生的数据进行统计,结果如下:
试卷序号i 1 2 3 4 5
平均分/分 102 99 93 93 87
(1)根据试卷2的难度系数估计这480名学生第2套试卷的平均分;
(2)试卷的预估难度系数和实测难度系数之间可能存在偏差,设Li'为第i套试卷的实测难度系数,并定义统计量S=[(L1'-L1)2+(L2'-L2)2+…+(Ln'-Ln)2](n为试卷套数),若S<0.001,则认为试卷的难度系数预估合理,否则认为不合理.以样本平均分估计总体平均分,试检验这5套试卷难度系数的预估是否合理.
17.(15分)某市A,B两校组织了一次数学联赛(总分120分),两校各自挑选了数学成绩最好的100名学生参赛,成绩不低于115分定义为优秀,赛后统计了所有参赛学生的成绩(都在区间[100,120]内),将这些数据分成4组:[100,105),[105,110),[110,115),[115,120],得到如下两个学校的频率分布直方图.
(1)联赛结束后两校将根据学生的成绩发放奖学金,已知奖学金y(单位:百元)与其成绩t的关系为y=若以奖学金的总额为判断依据,本次联赛A,B两校哪所学校实力更强
(2)B校规定:按照笔试成绩从高到低,选拔45%的参赛学生进行数学的专业知识深度培养,将当选者称为“数学达人”,按照B校规定及该校频率分布直方图,估计B校“数学达人”的成绩至少达到多少分(保留小数点后两位小数).
　
18.(17分)某中学为了学生的身心健康,加强食堂用餐质量(简称“美食”)的过程中,后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度,若学生认可系数不低于0.85,“美食”工作按原方案继续实施,否则需进一步整改.为此,该部门随机调查了600名学生,根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分,分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]五组,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中x的值和样本的中位数(保留2位小数);
(2)为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因,该部门从评分低于80分的学生中用分层随机抽样的方法选取30人进行座谈,求应选取评分在[60,70)内的学生人数;
(3)根据你所学的统计知识,结合认可系数,判断“美食”工作是否需要进一步整改,并说明理由.
19.(17分)为了深入学习领会党的二十大精神,某高级中学全体学生参加了《二十大知识竞赛》,试卷满分为100分,所有学生成绩均在区间[40,100]内,已知该校高一、高二、高三年级的学生人数分别为800,1 000,1 200,现用分层随机抽样的方法抽取了300名学生的答题成绩,绘制了样本频率分布直方图(如图所示).
(1)根据样本频率分布直方图估计该校全体学生成绩的众数、平均数、71%分位数(同一组中数据用该组区间中点值作代表);
(2)已知所抽取的各年级答题成绩的平均数、方差的数据如下表,且根据频率分布直方图估计出总成绩的方差为140,求高三年级学生成绩(单位:分)的平均数和高二年级学生成绩的方差.
年级 样本平均数 样本方差
高一 60 75
高二 63
高三 55
答案与解析
第六章　统计
1.B　
2.B　设样本的容量为n,依题意得,解得n=540,所以这个样本的容量为540.故选B.
3.C　被选中的红色球号码依次为28,03,22,24,10,26,
所以第四个被选中的红色球号码为24,故选C.
4.D　对于A,由题中条形图知甲班D等级的人数最多,故A中说法正确;
对于B,由题中扇形图知乙班A等级的人数最少,故B中说法正确;
对于C,由题中扇形图知乙班B等级与C等级的人数相同,故C中说法正确;
对于D,甲班C等级的有13人,乙班C等级的有40×35%=14(人),故D中说法错误.
故选D.
5.B　成绩在区间[90,100]内的人数为10×0.005×60=3,故A错误.
抽出的学生的平均成绩是45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71(分),故B正确.
60分及以上的频率之和为(0.015+0.03+0.025+0.005)×10=0.75,所以及格率为75%,故C错误.
成绩在70分以上(包括70分)的学生有(0.03+0.025+0.005)×10×60=36(人),
所以选到成绩排在第一名学生的可能性大小为,故D错误.故选B.
6.D　根据题图中给定数据可知,2018年至2022年我国城乡居民社会养老保险基金收入逐年增加,故A不符合题意;
2018年至2022年我国城乡居民社会养老保险基金支出逐年增加,故B不符合题意;
5×50%=2.5,故2018年至2022年我国城乡居民社会养老保险基金收入数据的50%分位数为4 852.9亿元,故C不符合题意;
5×40%=2,故2018年至2022年我国城乡居民社会养老保险基金收入数据的40%分位数为=4 479.95亿元,故D符合题意.
故选D.
7.D　由于苏炳添的最好成绩x100小于该校男生的最好成绩,
因此添加x100后,平均数一定会变小,
中位数要根据数据按大小顺序排序后的第50,51个数据确定,因此中位数可能不变,也可能变大,
由于x100与x1,x2,…,x99这99个数据相差较大,因此加上x100后,数据的离散程度变大,因此方差一定变大.
故选D.
8.D　甲同学名次数据的平均数为2,说明名次之和为6,由中位数为2,得出三次考试名次均不超过3,断定甲是尖子生;乙同学名次数据的平均数为2,说明名次之和为6,由方差小于1,得出三次考试名次均不超过3,断定乙是尖子生;丙同学名次数据的中位数为2,众数为2,说明三次考试中至少有两次名次为2,故丙可能是尖子生;丁同学名次数据的众数为2,说明三次考试中有两次名次为2,设另一次名次为x,经验证,当x=1,2,3时,方差均小于1,故x>3,断定丁一定不是尖子生.
9.BC　对于A,题表中10.5和10.6出现的次数最多,所以成绩的众数是10.5环,10.6环,A错误;
对于B,成绩的极差是10.7-10.3=0.4(环), B正确;
对于C, 10×25%=2.5,所以成绩的25%分位数是将数据从小到大排列后的第3个数,为10.5环,C正确;
对于D,平均成绩是=10.53(环),D错误.故选BC.
10.BCD　对于A,由题图可知,这1 000名高中生每天的平均学习时间为6~8小时的人数为0.10×2×1 000=200,故A错误;
对于B,抽查的1 000名高中生每天的平均学习时间的众数为9小时,由此可以估计该市高中生每天的平均学习时间的众数为9小时,故B正确;
对于C,设抽查的1 000名高中生每天的平均学习时间的60%分位数为k小时,则0.05×2+0.10×2+0.25×(k-8)=0.6,解得k=9.2,由此可以估计该市高中生每天的平均学习时间的60%分位数为9.2小时,故C正确;
对于D,抽查的1 000名高中生每天的平均学习时间的平均数为0.05×2×5+0.10×2×7+0.25×2×9+0.10×2×11=8.6(小时),由此可以估计该市高中生每天的平均学习时间的平均数为8.6小时,故D正确.
11.ABD　由样本甲:x1,x2,x3,…,xn与样本乙:y1,y2,y3,…,yn满足yi=2+1(i=1,2,…,n),知样本乙的极差不等于样本甲的极差,故A中结论不正确;
样本乙的众数不一定大于样本甲的众数,故B中结论不正确;
若某个xi为样本甲的中位数,则由中位数的性质得yi是样本乙的中位数,故C中结论正确;
若某个xi为样本甲的平均数,则yi不一定是样本乙的平均数,故D中结论不正确.故选ABD.
12.答案　15
解析　从全校2 000人中抽取50人进行访谈,按照年级分层,则高一年级应该抽取×600=15(人).
13.答案　
解析　设这6个数分别为a,3,3,5,b,c(a,b,c∈N+,a≤3,c>b≥5).
因为平均数为5,所以(a+3+3+5+b+c)×=5,
故a+b+c=19,
要使这6个数的方差最大,则应使a尽可能小,c尽可能大,则令a=1,b=6,c=12,
此时方差为.
14.答案　①②
解析　这十个国家的论文发表数量的平均数为×(3.3+2.3+0.6+0.6+0.4+0.4+0.3+0.3+0.3+0.2)=0.87(万篇),故①正确;
这十个国家的论文发表数量的中位数为0.4万篇,故②正确;
这十个国家的论文发表数量的众数为0.3万篇,故③错误;
德国发表论文数量约为美国的×100%≈18.2%,故④错误.
故答案为①②.
15.解析　(1)15个评分按从小到大的顺序排列为8.2,8.5,8.6,8.7,8.8,8.9,8.9,8.9,9.0,9.1,9.2,9.5,9.6,9.7,9.8.(3分)
又15×0.25=3.75,
所以25%分位数为从小到大排列后的第4个数,即8.7分.(6分)
(2)15×0.95=14.25,
所以95%分位数为从小到大排列后的第15个数,即9.8分.(9分)
所以优先推荐酒店的评分必须达到9.8分,(12分)
所以若某酒店的评分为9.6分,则该酒店不能被列为优先推荐酒店.(13分)
16.解析　(1)由试卷2的难度系数得0.64=1-,
解得Y=54,(3分)
所以根据试卷2的难度系数估计这480名学生第2套试卷的平均分为150-54=96(分).(6分)
(2)L1'=1-=0.68,
L2'=1-=0.66,
L3'=1-=0.62,
L4'=1-=0.62,
L5'=1-=0.58,(11分)
则S=×[(0.68-0.7)2+(0.66-0.64)2+(0.62-0.6)2+(0.62-0.6)2+(0.58-0.55)2]=0.000 5<0.001,(14分)
所以这5套试卷难度系数的预估合理.(15分)
17.解析　(1)A校学生获得的奖学金的总额为
0.2×100×0.5+0.5×100×1.5+0.3×100×2.8=169(百元)=16 900(元),(4分)
B校学生获得的奖学金的总额为
0.1×100×0.5+0.7×100×1.5+0.2×100×2.8=166(百元)=16 600(元).
因为16 900>16 600,所以A校实力更强.(8分)
(2)由B校的频率分布直方图可知,参赛学生成绩位于[115,120)的频率为0.2,
参赛学生成绩位于[110,115)的频率为0.35,这两组频率之和为0.55>0.45,(10分)
所以所求成绩在[110,115)内,不妨设“数学达人”的成绩至少为m分,
则0.2+(115-m)×0.07=0.45,解得m≈111.43,(13分)
所以估计B校“数学达人”的成绩至少达到111.43分.(15分)
18.解析　(1)由题图可知10×(x+0.015+0.020+0.030+0.025)=1,
∴x=0.010.(3分)
样本的中位数为80+×10≈81.67(分).(6分)
(2)低于80分的三组学生的人数之比为0.1∶0.15∶0.2,即2∶3∶4,(9分)
则应选取评分在[60,70)内的学生人数为30×=10.(12分)
(3)由题图可知,认可程度平均分为55×0.1+65×0.15+75×0.2+85×0.3+95×0.25=79.5(分),(15分)
则认可系数为=0.795<0.85,∴“美食”工作需要进一步整改.(17分)
19.解析　(1)由题中频率分布直方图知,学生成绩在[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]内的频率分别为0.06,0.12,0.4,0.26,0.1,0.06,显然学生成绩在[60,70)内的频率最大,
所以估计该校全体学生成绩的众数为65分.(3分)
平均数=0.06×45+0.12×55+0.4×65+0.26×75+0.1×85+0.06×95=69(分).(5分)
设71%分位数为m分,显然m∈(70,80),由0.06+0.12+0.4+(m-70)×0.026=0.71,解得m=75,
所以71%分位数为75分.(8分)
(2)记高一、高二、高三年级学生成绩(单位:分)的平均数分别为,方差分别为,
显然样本中高一、高二、高三年级分别抽取了80人,100人,120人,
=69,解得=80,(12分)
s2=]
=[(80-69)2+55]
==140,解得=48,
所以高三年级学生成绩(单位:分)的平均数为80,高二年级学生成绩的方差为48.(17分)
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