2025北师大版高中数学必修第一册同步练习题--第六章　统计拔高练（含解析）

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2025北师大版高中数学必修第一册
综合拔高练
五年高考练
考点1　统计图表的应用
1.(2022天津,4)为研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa)的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,…,第五组,下图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为(　　)
A.8　　　　B.12　　　　C.16　　　　D.18
2.(多选题)(2020新高考Ⅱ,9)我国新冠肺炎疫情防控进入常态化,各地有序推动复工复产,下面是某地连续11天的复工、复产指数折线图.
根据该折线图,(　　)
A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加
B.在这11天期间,复产指数的增量大于复工指数的增量
C.第3天至第11天,复工指数和复产指数都超过80%
D.第9天至第11天,复产指数的增量大于复工指数的增量
3.(2021全国甲,2)为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:
根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是　(　　)
A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
考点2　数字特征的计算及应用
4.(多选题)(2021新高考Ⅱ,9)下列统计量中可用于度量样本x1,x2,…,xn离散程度的有(　　)
A.x1,x2,…,xn的标准差
B.x1,x2,…,xn的中位数
C.x1,x2,…,xn的极差
D.x1,x2,…,xn的平均数
5.(2020全国Ⅲ文,3)设一组样本数据x1,x2,…,xn的方差为0.01,则数据10x1,10x2,…,10xn的方差为(　　)
A.0.01　　　B.0.1　　　　
C.1　　　D.10
6.(2020全国Ⅲ理,3)在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为p1,p2,p3,p4,且则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是(　　)
A.p1=p4=0.1,p2=p3=0.4
B.p1=p4=0.4,p2=p3=0.1
C.p1=p4=0.2,p2=p3=0.3
D.p1=p4=0.3,p2=p3=0.2
7.(2022全国甲,2)某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果,随机抽取10位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图:
则(　　)
A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
8.(多选题)(2021全国新高考Ⅰ,9)有一组样本数据x1,x2,…,xn,由这组数据得到新样本数据y1,y2,…,yn,其中yi=xi+c(i=1,2,…,n),c为非零常数,则(　　)
A.两组样本数据的样本平均数相同
B.两组样本数据的样本中位数相同
C.两组样本数据的样本标准差相同
D.两组样本数据的样本极差相同
9.(多选题)(2023新课标Ⅰ,9)有一组样本数据x1,x2,…,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,则(　　)
A.x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,…,x6的平均数
B.x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,…,x6的中位数
C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,…,x6的标准差
D.x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,…,x6的极差
10.(2023全国乙理,17)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应,进行10次配对试验,每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品,随机地选其中一个用甲工艺处理,另一个用乙工艺处理,测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi,yi(i=1,2,…,10),试验结果如下:
试验 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸缩 率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸缩 率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
记zi=xi-yi(i=1,2,…,10),记z1,z2,…,z10的样本平均数为,样本方差为s2.
(1)求,s2;
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高如果≥2,则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高,否则不认为有显著提高.
11.(2021全国乙理,17)某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如下:
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1
旧设备 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 ,样本方差分别记为.
(1)求;
(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高如果≥2,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高.
三年模拟练
应用实践
1.(2022四川巴中一诊)如图,样本A和B分别取自两个不同的总体,它们的样本平均数分别为,样本标准差分别为sA和sB,则下列结论正确的是(　　)
A.,sA>sB　　　B.,sA>sB
C.,sA2.(多选题)(2024广东惠州月考)某种金属材料的长度随环境温度的改变而变化,某实验室从9时到16时每隔一个小时测得同一个金属材料的长度(单位:cm)依次为3.62,3.61,3.65,3.62,3.63,3.63,3.62,3.64,则(　　)
A.该金属材料的长度的极差为0.04 cm
B.该金属材料的长度的众数为3.63 cm
C.该金属材料的长度的中位数为3.625 cm
D.该金属材料的长度的80%分位数为3.63 cm
3.(多选题)(2023中学生标准学术能力诊断性测试)已知某高中共有学生2 040人,其中高一段学生有800人,高二段学生有600人,为了了解学生的体质健康水平,现从三个年级段中采取分层随机抽样的方法,抽取一个容量为51的样本,检测得到高一、高二、高三段的优秀率分别为45%,60%,50%,下列说法正确的是(　　)
A.体质健康水平不优秀的人数最多的年级段是高一段
B.体质健康水平优秀的人数最少的年级段是高三段
C.高二段抽取了15人
D.估计该校学生体质健康水平的优秀率为49.3%(百分比保留一位小数)
4.(多选题)(2022黑龙江哈六中月考)某校为了解学生居家自主学习和锻炼身体的情况,从该校高三年级随机抽取了100人,获得了他们一天中用于居家自主学习和锻炼身体的总时间(单位:小时)在[2,3),[3,4),[4,5),…,[8,9),[9,10]内的数据,并绘制成频率分布直方图(如图),则下列结论正确的是(　　)
A.a=0.2
B.抽取的100人中,用于居家自主学习和锻炼身体的总时间的90%分位数为7.5小时
C.抽取的100人中,用于居家自主学习和锻炼身体的总时间的平均数为6.5小时
D.估计该校高三年级所有学生中,用于居家自主学习和锻炼身体的总时间的众数为6.5小时
5.(多选题)气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天每天日平均温度不低于22 ℃.”现有甲、乙、丙三地连续5天日平均温度的记录数据(数据都是正整数,单位:℃)满足以下条件:
甲地:5个数据的中位数是24,众数是22;
乙地:5个数据的中位数是27,平均数是24;
丙地:5个数据中有1个是32,平均数是26,方差是10.2.
则下列说法正确的是(　　)
A.进入夏季的地区至少有2个
B.丙地区肯定进入了夏季
C.不能肯定乙地进入了夏季
D.不能肯定甲地进入了夏季
6.(2023辽宁沈阳期末)为了解某企业员工对党史的学习情况,对该企业员工进行问卷调查,已知他们的得分都处在A,B,C,D四个区间内,根据调查结果得到下面的统计图.已知该企业男员工占,则下列结论中,正确结论的个数是　　　　.
①男、女员工得分在A区间的占比相同;
②在各得分区间内,男员工的人数都多于女员工的人数;
③得分在C区间的员工最多;
④得分在D区间的员工占总人数的20%.
7.(2023北京第一七一中学期中)某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试,现从中随机抽取40名学生的测试成绩(单位:分),整理数据并按分数段[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]进行分组,假设同一组中的数据可用该组区间的中点值代替,则得到测试成绩的折线图如图.
(1)测试成绩大于或等于70分的学生被称为“体育良好”.已知该校高一年级有1 000名学生,试估计高一年级中“体育良好”的学生人数;
(2)假设甲、乙、丙三人的测试成绩分别为a,b,c,且分别在[70,80),[80,90),[90,100]三组中,其中a,b,c∈N.当数据a,b,c的方差s2最小时,写出a,b,c的值.(结论不要求证明)
8.(2024河南信阳高级中学月考)文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号,作为普通市民,既是文明城市的最大受益者,又是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识,举办了“创建文明城市”知识竞赛,从所有答卷中随机抽取100份作为样本,将样本的成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六段:[40,50),[50,60),…,[90,100],得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中a的值;
(2)求样本成绩的75%分位数;
(3)已知落在[50,60)内的平均成绩是54分,方差是7,落在[60,70)内的平均成绩为66分,方差是4,求两组成绩的总平均数和总方差s2.
综合拔高练
五年高考练
1.B　志愿者的总人数为=50,
所以第三组的人数为50×0.36×1=18,
所以第三组中有疗效的人数为18-6=12.
故选B.
2.CD　由题中折线图可知,第7天至第9天,复产指数与复工指数均减少,故选项A错误.在这11天期间,复产指数的增量小于复工指数的增量,故选项B错误.易知C,D正确.
故选CD.
3.C　由题中频率分布直方图可得,该地农户家庭年收入低于4.5万元和不低于10.5万元的频率分别为0.06和0.1,则农户比率分别为6%和10%,故A,B中结论正确;家庭年收入介于4.5万元和8.5万元之间的频率为0.1+0.14+0.2+0.2=0.64,故D中结论正确;家庭年收入的平均值为0.02×3+0.04×4+0.1×5+0.14×6+0.2×7+0.2×8+0.1×9+0.1×10+0.04×11+0.02×12+0.02×13+0.02×14=7.68(万元),因为7.68>6.5,所以估计该地农户家庭年收入的平均值超过6.5万元,故C中结论不正确.
故选C.
4.AC　由标准差的定义可知,标准差考查的是数据的离散程度;
由中位数的定义可知,中位数考查的是数据的集中趋势;
由极差的定义可知,极差考查的是数据的离散程度;
由平均数的定义可知,平均数考查的是数据的集中趋势.
故选AC.
5.C　由已知条件可知样本数据x1,x2,…,xn的平均数,方差)2+…+(xn-)2]=0.01,则数据10x1,10x2,…,10xn的平均数为.
所以这组数据的方差)2+…+(10xn-10)2+…+(xn-=100×0.01=1,故选C.
6.B　根据平均数方差s2=以及方差与标准差的关系,得各选项对应样本的标准差如下表.
选项 平均数 方差s2 标准差s
A 2.5 0.65
B 2.5 1.85
C 2.5 1.05
D 2.5 1.45
由此可知选项B对应样本的标准差最大,故选B.
7.B　由题图可知,讲座前这10位社区居民问卷答题的正确率依次为65%,60%,70%,60%,65%,75%,90%,85%,80%,95%,讲座后这10位社区居民问卷答题的正确率依次为90%,85%,80%,90%,85%,85%,95%,100%,85%,100%.
对于A,将讲座前的10个数据从小到大排列依次为60%,60%,65%,65%,70%,75%,80%,85%,90%,95%,易知这10个数据的中位数是第5个与第6个数据的平均数,为=72.5%,而72.5%>70%,故A错误;
对于B,讲座后的10个数据的平均数为×(90%+85%+80%+90%+85%+85%+95%+100%+85%+100%)=89.5%,而89.5%>85%,故B正确;
对于C,讲座前的10个数据的平均数为×(60%+60%+65%+65%+70%+75%+80%+85%+90%+95%)=74.5%,
标准差为≈11.93%,
讲座后的10个数据的平均数为89.5%,标准差为
=6.5%,而11.93%>6.5%,故C错误;
对于D,讲座前问卷答题的正确率的极差为95%-60%=35%,讲座后问卷答题的正确率的极差为100%-80%=20%,而20%<35%,故D错误.
故选B.
8.CD　A项,设xi,则xi+c,所以+c,因为c≠0,所以≠,所以A选项错误.
B项,因为yi=xi+c(i=1,2,…,n),所以y1,y2,…,yn的中位数是x1,x2,…,xn的中位数加c,所以B选项错误.
C项,设)2,
所以)2,
所以,所以两组数据的方差相同,从而这两组数据的标准差相同,所以C选项正确.
D项,设x1故选CD.
9.BD　A错误,举例说明,设样本数据x1,x2,…,x6分别为1,2,3,4,5,8,则=3.5,
≠3.5;
B正确,设这组数据从小到大排列为x1,x'2,x'3,x'4,x'5,x6,则x2,x3,x4,x5的中位数为,x1,x2,x3,x4,x5,x6的中位数为,∴x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,x3,x4,x5,x6的中位数;
C错误,设样本数据x1,x2,…,x6分别为1,2,2,2,2,3,则=2,x2,x3,x4,x5的平均数为2,则x2,x3,x4,x5的标准差为0,
x1,x2,x3,x4,x5,x6的标准差s=>0;
D正确,由B选项知x2,x3,x4,x5的极差为x'5-x'2,x1,x2,x3,x4,x5,x6的极差为x6-x1,显然x6-x1≥x'5-x'2.
10.解析　(1)zi=xi-yi(i=1,2,…,10)的值依次为9,6,8,-8,15,11,19,18,20,12,则×(9+6+8-8+15+11+19+18+20+12)=11,
s2=×[(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+(11-11)2+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2]=61.
(2)由(1)知=11,s2=61,则,即甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.
11.解析　(1)×(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0.
×(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3.
×[(9.8-10.0)2+(10.3-10.0)2+(10.0-10.0)2+(10.2-10.0)2+(9.9-10.0)2+(9.8-10.0)2+(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+(10.2-10.0)2+(9.7-10.0)2]=0.036.
×[(10.1-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.1-10.3)2+(10.0-10.3)2+(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+(10.6-10.3)2+(10.5-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.5-10.3)2]=0.04.
(2)由(1)得=0.076,
从而()=0.030 4,所以(,又,故,因此新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
三年模拟练
1.B　由题图知,A组的6个数分别为2.5,10,5,7.5,2.5,10;B组的6个数分别为15,10,12.5,10,12.5,10.
所以,
,
显然.
由题图可知,B组数据的分布比A组的集中,故B组数据比较稳定,方差较小,从而标准差较小,所以sA>sB.故选B.
2.AC　对于A,极差为3.65-3.61=0.04(cm),A正确;
对于B,3.62出现了3次,出现次数最多,故众数为3.62 cm,B错误;
对于C,将数据从小到大排列为3.61,3.62,3.62,3.62,3.63,3.63,3.64,3.65,
则第4个和第5个数的平均数为中位数,即=3.625(cm),C正确;
对于D, 8×80%=6.4,故80%分位数为3.64 cm,D错误.故选AC.
3.ABC　高一段学生有800人,高二段学生有600人,则高三段学生有2 040-800-600=640(人).
高一段体质健康水平不优秀的人数为800×(1-45%)=440;
高二段体质健康水平不优秀的人数为600×(1-60%)=240;
高三段体质健康水平不优秀的人数为640×(1-50%)=320.
所以体质健康水平不优秀的人数最多的年级段是高一段,A选项正确.
高一段体质健康水平优秀的人数为800-440=360;
高二段体质健康水平优秀的人数为600-240=360;
高三段体质健康水平优秀的人数为640-320=320.
所以体质健康水平优秀的人数最少的年级段是高三段,B选项正确.
高二段抽取了51×=15(人),C选项正确.
估计该校学生体质健康水平的优秀率为×100%=51.0%,D选项错误.
故选ABC.
4.ABD　由题中频率分布直方图可得(0.05+0.18+0.1+a+0.32+0.1+0.03+0.02)×1=1,解得a=0.2,A正确;
易得前5组的频率之和为0.85,前6组的频率之和为0.95,所以用于居家自主学习和锻炼身体的总时间的90%分位数位于区间[7,8)内,又因为居家自主学习和锻炼身体的总时间在区间[7,8)内的频率为0.1,所以抽取的100人中,用于居家自主学习和锻炼身体的总时间的90%分位数为7.5小时,故B正确;
抽取的100人中,用于居家自主学习和锻炼身体的总时间的平均数为2.5×0.05+3.5×0.18+4.5×0.1+5.5×0.2+6.5×0.32+7.5×0.1+8.5×0.03+9.5×0.02=5.58(小时),故C错误;
由题中频率分布直方图可得抽取的100人中,用于居家自主学习和锻炼身体的总时间的众数为6.5小时,因此估计该校高三年级所有学生中,用于居家自主学习和锻炼身体的总时间的众数为6.5小时,故D正确.故选ABD.
5.ABC　由题意可知甲地5个数据中的3个数据,即22,22,24,设甲地的其他2个数据分别为e,f,且24由题意可知乙地5个数据中的1个数据,即27,设乙地的其他4个数据分别为a,b,c,d,且a,b,c,d∈N+,a≤b≤27≤c≤d,将乙地的5个数据按从小到大的顺序排列得a,b,27,c,d,则27+c+d≥81,又乙地5个数据的平均数是24,所以a+b+27+c+d=120,故a+b≤39,又a≤b,所以a,b中必有一个小于22,故乙地不一定满足进入夏季的标志.
由题意可知丙地5个数据中的1个数据,即32,设丙地的其他4个数据分别为p,q,r,s,且p,q,r,s∈N+,则(p-26)2+(q-26)2+(r-26)2+(s-26)2+(32-26)2=10.2×5,所以(p-26)2+(q-26)2+(r-26)2+(s-26)2=15,而当且仅当四个非负整数为1,1,2,3时,它们的平方和才为15,不妨设|p-26|=3,|q-26|=2,|r-26|=|s-26|=1,则p,q,r,s均大于22,故丙地满足进入夏季的标志.
综上,A,B,C正确,D错误,故选ABC.
6.答案　1
解析　设员工总人数为n,由题中条形图可得女员工人数为20+60+70+50=200,
所以,解得n=500,
所以男员工人数为500-200=300.
对于①,女员工得分在A区间的占比为=10%,男员工得分在A区间的占比为1-40%-35%-15%=10%,故①正确;
对于②,女员工得分在A区间的有20人,B区间的有60人,C区间的有70人,D区间的有50人,
男员工得分在A区间的有300×10%=30(人),B区间的有300×40%=120(人),C区间的有300×35%=105(人),D区间的有300×15%=45(人),
所以D区间男员工的人数少于女员工,故②错误;
对于③,得分在B区间的员工有60+120=180(人),C区间的有70+105=175(人),所以B区间人数比C区间多,故③错误;
对于④,得分在D区间的有50+45=95(人),所以得分在D区间的员工占总人数的×100%=19%,故④错误.
综上,正确结论的个数是1.
7.解析　(1)由题图知,样本中测试成绩大于或等于70分的学生人数为14+3+13=30,
所以该校高一年级学生中“体育良好”的学生人数约为1 000×=750.
(2)要使数据a,b,c的方差s2最小,则a,b,c三个数据的极差越小越好,故a=79,c=90,
则甲、乙、丙三人的测试成绩的平均数为(分),
故方差s2=
=[(68-b)2+(2b-169)2+(101-b)2]
=(b2-169b+7 231),
又y=x2-169x+7 231的图象的对称轴为直线x=84.5,
故当b=84或b=85时,s2取得最小值,
所以a,b,c的值为79,84,90或79,85,90.
8.解析　(1)由题意得(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1,解得a=0.030.
(2)成绩落在[40,80)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030)×10=0.65,
落在[40,90)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030+0.025)×10=0.9,
故75%分位数在[80,90)内,设75%分位数为m分,
则0.65+(m-80)×0.025=0.75,得m=84,故75%分位数为84分.
(3)成绩落在[50,60)内的市民人数为100×0.1=10,落在[60,70)内的市民人数为100×0.2=20,故=62(分).
设成绩落在[50,60)内的10人的分数分别为x1,x2,x3,…,x10;成绩落在[60,70)内的20人的分数分别为y1,y2,y3,…,y20,
则由题意可得-662=4,
所以+…+=29 230,+…+=87 200,
所以s2=+…++…+×(29 230+87 200)-622=37,
所以两组成绩的总平均数是62分,总方差是37.
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