2025北师大版高中数学必修第一册同步练习题--第七章　概率（含解析）

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2025北师大版高中数学必修第一册
第七章　概率
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在天气预报中,有“降水概率预报”,例如预报“明天降水的概率为80%”,则(　　)
A.明天该地区有80%的地方降水,有20%的地方不降水
B.明天该地区降水的可能性为80%
C.气象台的专家中有80%的专家认为会降水,另外20%的专家认为不会降水
D.明天该地区有80%的时间降水,其他时间不降水
2.从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件,观察正品件数和次品件数,则下列事件是互斥但不对立事件的是(　　)
A.“至少有1件次品”与“全是次品”
B.“恰好有1件次品”与“全是次品”
C.“至少有1件次品”与“全是正品”
D.“至少有1件正品”与“至少有1件次品”
3.若随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且P(A)=2-a,P(B)=4a-5,则实数a的取值范围是(　　)
A. 　　　　D.
4.盘子里有肉馅、素馅和豆沙馅的包子共10个,从中随机取出1个,若它是肉馅包子的概率为,它不是豆沙馅包子的概率为,则素馅包子的个数为(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
5.一个电路如图所示,A,B,C,D,E,F为6个开关,其闭合的概率均为,且是相互独立的,则灯亮的概率是(　　)
A.
6.某商场推出抽奖活动,在甲箱中有四张有奖奖票,六张无奖奖票,乙箱中有三张有奖奖票,七张无奖奖票.每人能在甲、乙两箱中各抽一次,用A表示事件“在甲箱中中奖”,B表示事件“在乙箱中中奖”,C表示事件“两次抽奖均未中奖”,则下列结论中不正确的是(　　)
A.P(C)=`　　　　B.事件A与B相互独立
C.P(AB)与P(C)的和为0.54`　　　　D.事件A与B互斥
7.为了调查某厂2 000名工人生产某种产品的能力,随机抽查了20名工人某天生产该产品的数量(单位:个),产品数量(单位:个)的分组区间为[10,15),[15,20),[20,25),[25,30),[30,35],频率分布直方图如图所示.工厂规定从生产低于20个产品的工人中随机选取2名进行培训,则这2名工人不在同一组的概率是(　　)
A.
8.甲、乙两队进行冰壶比赛,约定三局两胜,每局必须决出胜负,负者下一局执后手,胜者下一局执先手.已知每局比赛中,甲队执先、后手胜乙队的概率分别为p1,p2,且A.P(E)>P(F)>P(G)`　　　　B.P(F)>P(G)>P(H)
C.P(E)>P(G)>P(H)`　　　　D.P(G)>P(F)>P(H)
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品,其中一等品有20件,合格品有70件,不合格品有10件.现随机抽查1件产品,设事件A为“是一等品”,事件B为“是合格品”,事件C为“是不合格品”,则下列结果正确的是　　(　　)
A.P(B)=`　　　　B.P(A∪B)=
C.P(A∩B)=0`　　　　D.P(A∪B)=P(C)
10.已知事件A,B,且P(A)=0.6,P(B)=0.3,则下列结论正确的是(　　)
A.如果B A,那么P(A∪B)=0.6,P(AB)=0.3
B.如果A与B互斥,那么P(A∪B)=0.9,P(AB)=0
C.如果A与B相互独立,那么P(AB)=0
D.如果A与B相互独立,那么P(B)=0.12
11.现有3个代表队参加党史知识竞赛,若对于某个问题3个队回答正确的概率分别为,则关于该问题的回答情况,以下说法中正确的是(　　)
A.3个队都回答正确的概率为
B.3个队都回答错误的概率为
C.恰有1个队回答正确的概率比恰有2个队回答正确的概率大
D.恰有2个队回答正确的概率比恰有1个队回答正确的概率大
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.现从2名男生和2名女生中任选2人参加围棋比赛,则所选2人中至少有1名男生的概率为　　　　.
13.甲、乙二人进行射击游戏,目标靶上有三个区域,分别涂有红、黄、蓝色,已知甲击中红、黄、蓝区域的概率依次是,乙击中红、黄、蓝区域的概率依次是,二人射击情况互不影响,若甲、乙各射击一次,则二人击中同色区域的概率为　　　　　　,二人击中不同色区域的概率为　　　　.(第一空2分,第二空3分)
14.甲、乙两人投篮命中的概率分别为p,q,已知p=,且他们各投2次,甲比乙投中次数多的概率为,则q的值为　　　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)从1,2,3,4,5中任取2个数字,组成没有重复数字的两位数.
(1)写出此试验的样本空间;
(2)求组成的两位数是偶数的概率;
(3)判断事件“组成的两位数是偶数”与事件“组成的两位数是3的倍数”是否相互独立,并说明理由.
16.(15分)下面是某市某年2月1日至14日的空气质量指数趋势图及空气质量指数与空气质量等级对应表.某人随机选择2月1日至2月13日中的某一天到该市出差,第二天返回(往返共两天).
空气质量指数 空气质量等级
小于或等于100 优良
大于100且小于或等于150 轻度污染
大于150且小于或等于200 中度污染
大于200且小于或等于300 重度污染
大于300 严重污染
(1)观察空气质量指数趋势图,你认为从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大 (只写出结论,不要求证明)
(2)求此人到达当日空气质量优良的概率;
(3)求此人出差期间(两天)空气质量至少有一天为中度或重度污染的概率.
17.(15分)小张大学毕业后决定选择自主创业,在进行充分的市场调研下得到如下的两张表格:
　项目A
利润占投入 的百分比 10% 5% -5%
频率 50% 40% 10%
　　项目B
利润占投入 的百分比 10% 5% -5%
频率 40% x y
项目B的表格中两个数据丢失,现用x,y代替.调研时发现:投资A,B这两个项目的平均利润率相同.以下用频率代替概率,A,B两个项目的利润情况互不影响.
(1)求x,y的值,并分别求投资A,B项目不亏损的概率;
(2)小张在进行市场调研的同时,拿到了100万元的风险投资.现在小张与投资方决定选择其中的一个项目进行投资,请你从统计学的角度给出一个建议,并阐述你的理由.
18.(17分)某村为提高村民收益,种植了一批蜜柚,现为了更好地销售,从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚,测得其质量(单位:克)均分布在区间[1 500,3 000]内,并绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)按分层随机抽样的方法从质量落在区间[1 750,2 000),[2 000,2 250)内的蜜柚中随机抽取5个,再从这5个蜜柚中随机抽取2个,求这2个蜜柚质量均小于2 000克的概率;
(2)以各组数据的中间值代表这组数据的平均水平,以频率代表概率,已知该村的蜜柚树上大约还有5 000个蜜柚待出售,某电商提出两种收购方案:
方案A:所有蜜柚均以10元/千克收购;
方案B:低于2 250克的蜜柚以15元/个的价格收购,高于或等于2 250克的蜜柚以20元/个的价格收购.
请你通过计算为该村选择收益最好的方案.
19.(17分)甲、乙两人进行围棋比赛,采取积分制,规则如下:每胜1局得1分,负1局或平局都不得分,积分先达到2分者获胜;若第四局结束,没有人积分达到2分,则积分多的一方获胜;若第四局结束,没有人积分达到2分,且积分相等,则比赛最终打平.假设在每局比赛中,甲获胜的概率为,负的概率为,且每局比赛之间的胜负相互独立.
(1)求第三局结束乙获胜的概率;
(2)求甲获胜的概率.
答案与解析
第七章　概率
1.B　
2.B　从一堆产品中任取2件,基本事件为“全是正品”“1件正品,1件次品”“全是次品”,共3种情况,
其中A,D选项中的两个事件能同时发生,不是互斥事件,C选项中的两个事件有且只有一个发生,是对立事件,B选项中的两个事件不能同时发生,但可以同时不发生,为互斥但不对立事件.故选B.
3.D　由题意得
则4.C　由题意可知这个包子是肉馅或素馅的概率为,又它是肉馅包子的概率为,所以它是素馅包子的概率为,故素馅包子的个数为10×=3.
5.B　设A与B中至少有一个不闭合为事件T,E与F中至少有一个不闭合为事件R,C,D闭合的事件分别为G,H,则P(T)=P(R)=1-,所以灯亮的概率P=1-P(T)P(R)P(,故选B.
6.D　在甲箱中抽奖和在乙箱中抽奖互不影响,∴事件A与B相互独立,故B中结论正确,D中结论错误;
由题意得P(A)=,
则P(C)=,故A中结论正确;
∵A与B相互独立,∴P(AB)=P(A)P(B)=,
则P(AB)+P(C)==0.54,故C中结论正确.
故选D.
7.C　根据题中频率分布直方图可知,生产产品数量(单位:个)在[10,15),[15,20)内的人数分别为5×0.02×20=2,5×0.04×20=4.设生产产品数量在[10,15)内的2人分别是A,B,在[15,20)内的4人分别为C,D,E,F,则从生产低于20个产品的工人中随机选取2名工人的样本点有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共15个,且这15个样本点发生的可能性相等,其中2名工人不在同一组的样本点有(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),共8个,则选取的2名工人不在同一组的概率为.
8.D　甲可能比赛两局获得比赛胜利,也可能比赛三局获得比赛胜利,
其中有胜胜、胜负胜、负胜胜三种情况,根据互斥事件的概率公式,
得P(E)=p1·p1+p1·(1-p1)·p2+(1-p1)·p2·p1=p2,
P(F)=p2·p1+p2·(1-p1)·p2+(1-p2)·p2·p1=,
P(G)=p1·p1+p2·p1+p1·(1-p1)·p2+p2·(1-p1)·p2=,
P(H)=(1-p1)·p2·p1+(1-p2)·p2·p1=2p1p2-.
因为P(E)-P(F)=)=(p2-p1)(2p1p2-p1-p2)=(p2-p1)[p1(p2-1)+p2(p1-1)],而p2-p1>0,p1(p2-1)<0,p2(p1-1)<0,
所以P(E)-P(F)<0,即P(E)因为P(F)-P(G)=-p1p2(p2-p1)<0,
所以P(F)因为P(F)-P(H)=p2>0,所以P(F)>P(H),所以P(G)>P(F)>P(H),故D正确.
故选D.
9.ABC　由题意知A,B,C为互斥事件,故C正确;因为从100件产品中抽取1件产品符合古典概型的条件,所以P(A)=,则P(A∪B)=≠P(C),故A,B正确,D错误.故选ABC.
10.ABD　对于A,如果B A,那么P(A∪B)=P(A)=0.6,P(AB)=P(B)=0.3,故A正确;对于B,如果A与B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.9,P(AB)=0,故B正确;对于C,如果A与B相互独立,那么P(AB)=P(A)P(B)=0.18,故C错误;对于D,如果A与B相互独立,那么P()P(B)=0.4×0.3=0.12,故D正确.故选ABD.
11.ABC　对于A,3个队都回答正确的概率P1=,故A正确.
对于B,3个队都回答错误的概率P2=,故B正确.
对于C,D,P(恰有1个队回答正确)=,
P(恰有2个队回答正确)=,∴恰有1个队回答正确的概率比恰有2个队回答正确的概率大,故C正确,D错误.
故选ABC.
12.答案　
解析　记2名男生分别为a,b,2名女生分别为A,B,
则任选2人参加围棋比赛的样本空间Ω={(a,b),(a,A),(a,B),(b,A),(b,B),(A,B)},共6个样本点,
设事件M为“至少有1名男生”,则M={(a,b),(a,A),(a,B),(b,A),(b,B)},共5个样本点,
所以P(M)=,故所选2人中至少有1名男生的概率为.
13.答案　
解析　设甲击中红、黄、蓝区域分别为事件A1,A2,A3,乙击中红、黄、蓝区域分别为事件B1,B2,B3,则P(A1)=.
∵二人射击情况互不影响,
∴二人击中同色区域的概率为P(A1B1+A2B2+A3B3)=P(A1)P(B1)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B3)=;二人击中不同色区域的概率为P(A1B2+A1B3+A2B1+A2B3+A3B1+A3B2)=P(A1)P(B2)+P(A1)P(B3)+P(A2)P(B1)+P(A2)P(B3)+P(A3)P(B1)+P(A3)·P(B2)=.
14.答案　
解析　甲比乙投中次数多的可能情形有两种:甲投中1次,乙投中0次;甲投中2次,乙投中1次或0次,分别记为事件A,B.因为P(甲投中1次)=p(1-p)+(1-p)p=,P(乙投中0次)=(1-q)2,所以P(A)=(1-q)2,因为P(甲投中2次)=p2=,P(乙投中1次)=q(1-q)+(1-q)q=2q(1-q),所以P(B)=×[2q(1-q)+(1-q)2],显然事件A,B互斥,所以由甲比乙投中次数多的概率为得P(A)+P(B)=,即,即9q2-36q+20=0,解得q=或q=(舍去).故q的值为.
15.解析　(1)从1,2,3,4,5中任取2个数字,组成没有重复数字的两位数,则此试验的样本空间为{12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54}.(3分)
(2)该试验共有20种情况,其中组成的两位数是偶数共有8种情况,
则组成的两位数是偶数的概率为.(6分)
(3)组成的两位数是3的倍数共有8种情况,
则组成的两位数是3的倍数的概率为.(8分)
组成的两位数是偶数且为3的倍数共有4种情况,
则组成的两位数是偶数且为3的倍数的概率为.(10分)
记“组成的两位数是偶数”为事件A,“组成的两位数是3的倍数”为事件B,则“组成的两位数是偶数且为3的倍数”为事件AB,
则P(A)=,
由,可得P(A)P(B)≠P(AB),(12分)
则事件“组成的两位数是偶数”与事件“组成的两位数是3的倍数”不相互独立.(13分)
16.解析　(1)从2月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.(4分)
(2)设Ai表示事件“此人于2月i日到达该市”(i=1,2,…,13).
由题意可知,P(Ai)=,且Ai∩Aj= (i≠j,j=1,2,…,13).(7分)
设B表示事件“此人到达当日空气质量优良”,则B=A1∪A2∪A3∪A7∪A12∪A13,所以P(B)=P(A1∪A2∪A3∪A7∪A12∪A13)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A7)+P(A12)+P(A13)=.(10分)
(3)设“此人出差期间空气质量至少有一天为中度或重度污染”为事件C,即“此人出差期间至少有一天的空气质量指数大于150且小于或等于300”,
由题意可知P(C)=P(A4∪A5∪A6∪A7∪A8∪A9∪A10∪A11)=P(A4)+P(A5)+P(A6)+P(A7)+P(A8)+P(A9)+P(A10)+P(A11)=.(15分)
17.解析　(1)投资项目A的平均利润率为10%×50%+5%×40%-5%×10%=0.065,(2分)
投资项目B的平均利润率为10%×40%+5%x-5%y=10%×40%+5%[x-(60%-x)]=10%×40%+5%(2x-60%),(4分)
因为投资A,B这两个项目的平均利润率相同,
所以10%×40%+5%(2x-60%)=0.065,
解得x=55%,所以y=5%,(6分)
所以投资A项目不亏损的概率为50%+40%=90%,
投资B项目不亏损的概率为40%+55%=95%.(8分)
(2)建议选择B项目进行投资.理由:
由(1)得,投资B项目不亏损的概率比较大.(10分)
投资A项目利润率的方差为(10%-6.5%)2×50%+(5%-6.5%)2×40%+(-5%-6.5%)2×10%=2.025×10-3,(12分)
投资B项目利润率的方差为(10%-6.5%)2×40%+(5%-6.5%)2×55%+(-5%-6.5%)2×5%=1.275×10-3,
所以投资A项目利润率的方差大于投资B项目利润率的方差,
即投资B项目的利润比较稳定.(14分)
综上,建议选择B项目进行投资.(15分)
18.解析　(1)由题图可得蜜柚质量在区间[1 750,2 000)和[2 000,2 250)内的数量之比为2∶3,所以应分别在质量为[1 750,2 000),[2 000,2 250)内的蜜柚中抽取2个和3个.(3分)
记抽取的质量在区间[1 750,2 000)内的蜜柚分别为A1,A2,质量在区间[2 000,2 250)内的蜜柚分别为B1,B2,B3,(5分)
则从这5个蜜柚中随机抽取2个的情况共有10种:A1A2,A1B1,A1B2,A1B3,A2B1,A2B2,A2B3,B1B2,B1B3,B2B3,其中质量均小于2 000克的仅有A1A2这1种情况,(7分)
故所求概率为.(8分)
(2)由题中频率分布直方图可知,蜜柚质量在区间[1 500,1 750)内的频率为250×0.000 4=0.1,(9分)
同理,蜜柚质量在区间[1 750,2 000),[2 000,2 250),[2 250,2 500),[2 500,2 750),[2 750,3 000]内的频率依次为0.1,0.15,0.4,0.2,0.05.(11分)
按方案A收购:由题意知各区间的蜜柚个数依次为500,500,750,2 000,1 000,250,所以总收益为×2 000+×1 000+×250×10÷1 000=114 375(元).(13分)
按方案B收购:由题意知蜜柚质量低于2 250克的个数为(0.1+0.1+0.15)×5 000=1 750,
蜜柚质量高于或等于2 250克的个数为5 000-1 750=3 250,
所以总收益为1 750×15+3 250×20=91 250(元).(16分)
因为91 250<114 375,
所以方案A的收益比方案B的收益高,应该选择方案A.(17分)
19.解析　(1)设事件A为“第三局结束乙获胜”,
由题意知,乙每局获胜的概率为,不获胜的概率为,(4分)
若第三局结束乙获胜,则乙第三局必定获胜,总共有2种情况:(胜,不胜,胜),(不胜,胜,胜),
故P(A)=.(7分)
(2)设事件B为“甲获胜”,
若第二局结束甲获胜,则甲两局连胜,此时的概率P1=;
若第三局结束甲获胜,则甲第三局必定获胜,总共有2种情况:(胜,不胜,胜),(不胜,胜,胜),
此时的概率P2=;(9分)
若第四局结束甲以积分(2分)获胜,则甲第四局必定获胜,前三局为1胜2平或1胜1平1负,总共有以下9种情况:(胜,平,平,胜),(平,胜,平,胜),(平,平,胜,胜),(胜,平,负,胜),(胜,负,平,胜),(平,胜,负,胜),(平,负,胜,胜),(负,胜,平,胜),(负,平,胜,胜),
易得每局比赛中甲平局的概率为1-,
此时的概率P3=;(12分)
若第四局结束甲以积分(1分)获胜,则乙的积分为0分,则对于甲总共有4种情况:(胜,平,平,平),(平,胜,平,平),(平,平,胜,平),(平,平,平,胜),
此时的概率P4=.(15分)
故P(B)=P1+P2+P3+P4=.(17分)
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