2025北师大版高中数学必修第一册同步练习题--第七章　概率复习提升（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2025北师大版高中数学必修第一册
本章复习提升
易混易错练
易错点1　列举样本空间的样本点时重复或遗漏致错
1.(2024四川成都第七中学月考)有2人从一座6层大楼的底层进入电梯,假设每个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的,则该2人在不同层离开电梯的概率是(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
2.(2023江西五市九校协作体联考)某班有包括甲、乙在内的4名学生到2个农场参加劳动实践活动,且每个学生只能到一个农场,每个农场安排2名学生,则甲、乙两名学生被安排在不同农场的概率为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
易错点2　混淆“互斥事件”“对立事件”“相互独立事件”致错
3.(多选题)(2024江西部分学校期末质量检测)设A,B为同一随机试验中的两个随机事件,A,B的对立事件分别为,P(A)=0.5,P(B)=n(0≤n≤1),下列说法正确的是(　　)
A.若n=0.6,则事件A与B一定不互斥
B.若n=0.5,则事件A与B一定对立
C.若n=0.6,则P(B)=0.3
D.若事件A与B相互独立,且P(A)=0.4,则n=0.2
4.(多选题)(2023江苏扬州仪征中学调研)按先后顺序抛三枚质地均匀的硬币,则(　　)
A.第一枚正面朝上的概率是
B.“第一枚正面朝上”与“三枚硬币朝上的面相同”是相互独立的
C.“至少一枚正面朝上”与“三枚硬币都正面朝上”是互斥的
D.“至少一枚正面朝上”与“三枚硬币都反面朝上”是对立的
易错点3　不会应用对立事件求解相关的概率问题致错
5.(2023山东泗水期中)某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”,甲、乙两人能得满分的概率分别为,两人能否获得满分相互独立,则下列说法正确的是(　　)
A.两人均获得满分的概率为
B.两人至少有一人获得满分的概率为
C.两人恰好只有甲获得满分的概率为
D.两人至多有一人获得满分的概率为
6.一个盒子里装有三张卡片,分别标记数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.现随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率;
(2)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率.
思想方法练
一、数形结合思想
1.已知一个古典概型的样本空间Ω中包含12个样本点,事件A中包含6个样本点,事件B中包含4个样本点,事件A∪B中包含8个样本点,则事件A与事件(　　)
A.是互斥事件,不是相互独立事件
B.不是互斥事件,是相互独立事件
C.既是互斥事件,也是相互独立事件
D.既不是互斥事件,也不是相互独立事件
2.有A,B,C,D 四位贵宾,应分别坐在a,b,c,d四个席位上,现在这四人均未留意,在四个席位上随便就座.
(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率;
(2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率;
(3)求这四人恰有一人坐在自己的席位上的概率.
二、转化与化归思想
3.北斗七星自古是我国人民辨别方向、判断季节的重要依据,北斗七星分别为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光,其中玉衡最亮,天权最暗.一名天文爱好者从七颗星中随机选两颗进行观测,则玉衡和天权中至少有一颗被选中的概率为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
4.(2024山东淄博临淄中学月考)甲、乙两人组成“九章队”参加某校数学学科周“最强大脑”比赛,每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词,已知甲每轮猜对的概率为,乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中,甲和乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响.
(1)求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率;
(2)求“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率.
三、分类讨论思想
5.(2023陕西武功质量检测)足球运动是目前全球体育界最具影响力的项目之一,深受青少年喜爱.有甲、乙、丙、丁四个人相互之间进行传球训练,从甲开始传球,甲等可能地把球传给乙、丙、丁中的任何一个人,接球后计为一次传球,以此类推,则经过三次传球后乙只接到一次球的概率为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
6.(2022安徽六安中学期中)本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是:每车每次租用时间不超过2小时免费,超过2小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人来该租车点租车骑游(两人互不影响),设甲、乙不超过2小时还车的概率分别为,2小时以上且不超过3小时还车的概率分别为,两人租车时间都不会超过4小时.
(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率;
(2)求甲、乙两人所付租车费用之和为4元的概率.
7.(2024黑龙江大庆实验中学月考)某学校组织校园安全知识竞赛.在初赛中有两轮答题,第一轮从A类的5个问题中任选两题作答,若两题都答对,则得40分,否则得0分;第二轮从B类的5个问题中任选两题作答,每答对1题得30分,答错得0分.若两轮总积分不低于60分,则晋级复赛.
小芳和小明同时参赛,已知小芳每个问题答对的概率都为0.5.在A类的5个问题中,小明只能答对4个问题;在B类的5个问题中,小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响.
(1)求小明第一轮得40分的概率;
(2)以晋级复赛的概率大小为依据,小芳和小明谁更容易晋级复赛
答案与分层梯度式解析
本章复习提升
易混易错练
1.C　设2人分别为A,B,则2人自2至6层离开电梯的所有可能情况为(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),(A2,B5),(A2,B6),(A3,B2),(A3,B3),…,(A6,B6),共25种,2人在相同层离开电梯的情况为(A2,B2),(A3,B3),(A4,B4),(A5,B5),(A6,B6),共5种,所以2人在不同层离开电梯的概率P=1-.
2.C　记学生甲、乙分别为A,B,另外2名学生分别为a,b,两个农场分别为M,N,
则分配方案有:M农场安排A,B,N农场安排a,b;M农场安排a,b,N农场安排A,B;M农场安排A,a,N农场安排B,b;M农场安排A,b,N农场安排B,a;M农场安排B,a,N农场安排A,b;M农场安排B,b,N农场安排A,a,共6种.
甲、乙两名学生被安排在不同农场的分配方案有:M农场安排A,a,N农场安排B,b;M农场安排A,b,N农场安排B,a;M农场安排B,a,N农场安排A,b;M农场安排B,b,N农场安排A,a,共4种.
故甲、乙两名学生被安排在不同农场的概率为.故选C.
易错警示　解决古典概型问题的关键在于确定随机试验,不重不漏地列出样本点,列样本点时要按照一定的顺序,有时也可以借助表格和树状图得到样本点.
3.AD　已知P(A)=0.5,P(B)=0.6,若事件A与B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.5+0.6=1.1>1,不成立,故事件A与B一定不互斥,故A正确;
易知B错误;
由已知得P()=0.5,P(B)=0.6,因为事件与B不一定相互独立,所以P()P(B)=0.3不一定成立,故C错误;
因为事件A与B相互独立,所以A与也相互独立,则P(A)=0.5×(1-n)=0.4,解得n=0.2,故D正确.
故选AD.
易错警示　已知同一随机试验中的两个随机事件A,B,若A∩B= ,即两事件不能同时发生,则A与B互斥,此时P(A∪B)=P(A)+P(B);若A∪B=Ω且A∩B= ,即两事件必有一个发生,且不能同时发生,则A与B对立,此时P(A)=1-P(B),对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件;若A(或B)是否发生对B(或A)发生的概率无影响,则A与B相互独立,此时P(AB)=P(A)P(B).在具体问题中注意三者的关系.
4.BD　第一枚正面朝上的概率是,故A错误;
记“第一枚正面朝上”为事件A,“三枚硬币朝上的面相同”为事件B,则“三枚硬币都正面朝上”为事件AB,
易知P(A)=,因为P(AB)=P(A)P(B),所以“第一枚正面朝上”与“三枚硬币朝上的面相同”是相互独立的,故B正确;
C中两个事件可能同时发生,即三枚硬币正面都朝上,不是互斥的,故C错误;
D中两个事件有且只有一个发生,是对立的,故D正确.故选BD.
易错警示　互斥事件和相互独立事件描述的都是两个或多个事件间的关系,但互斥事件强调不可能同时发生,相互独立事件强调一个事件的发生与否对其余事件发生的概率没有影响.
5.A　记甲、乙能得满分的事件分别为M,N,
则P(M)=,M,N相互独立.
两人均获得满分的概率为P(M∩N)=P(M)P(N)=,故A正确;
两人至少有一人获得满分的概率为1-P(∩,故B错误;
两人恰好只有甲获得满分的概率为P(M∩,故C错误;
两人至多有一人获得满分的概率为1-P(M∩N)=1-,故D错误.
故选A.
6.解析　(a,b,c)所有可能的情况有(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27种.
(1)设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A,
则事件A包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3个,
所以P(A)=.
因此“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为.
(2)设“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”为事件B,则事件包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3个,
所以P(B)=1-P(.
因此“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率为.
易错警示　当某事件包含的情况较多或较复杂时,可利用对立事件求其概率.首先应找准其对立事件,然后应用对立事件的概率之和为1来求解.
对应主书P144
1.B　由题意得Venn图如下(其中数字为相应区域包含的样本点个数):
利用Venn图,探究事件之间的关系.
由图知A∩B≠ ,且A∩≠ ,
∴事件A与事件不是互斥事件.
由图得P(A)=),∴事件A与事件是相互独立事件.
故选B.
2.解析　四位贵宾就座的情况用列举法容易混乱,可用树状图的形式表示出来.
将A,B,C,D四位贵宾就座情况按从左至右排席位,依次是a,b,c,d席位,如图所示.
由图可知,样本点共有24个.
(1)设事件M为“这四人恰好都坐在自己的席位上”,则事件M只包含1个样本点,所以P(M)=.
(2)设事件N为“这四人恰好都没坐在自己的席位上”,则事件N包含9个样本点(即图中标记为“○”的情形),所以P(N)=.
(3)设事件S为“这四人恰有一人坐在自己的席位上”,则事件S包含8个样本点(即图中标记为“√”的情形),所以P(S)=.
思想方法　数形结合思想在概率问题中的主要应用是当事件之间的关系不易判断时,可画出Venn图直观求解;在列举样本点时,当样本点没有明显的规律,且数量又不是太多时,可借助树状图直观地将其表示出来.
3.B　从天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光七颗星中随机选两颗进行观测,有21种情况,
要使得玉衡和天权两颗星都不被选中,则可以从天枢、天璇、天玑、开阳、摇光五颗星中随机选两颗,有10种情况,
所以玉衡和天权都没有被选中的概率为,
所以玉衡和天权中至少有一颗被选中的概率为1-.
转化为对立事件的概率,进而求解.故选B.
4.解析　(1)有关键字眼“至少猜对一个”,可考虑其反面,即“一个也没猜对”,转化为求其对立事件的概率.
设事件F为“甲两轮至少猜对一个数学名词”,则其对立事件为“甲两轮一个数学名词也没猜对”,则P(,故P(F)=1-P(.
故甲两轮至少猜对一个数学名词的概率为.
(2)设事件A为“甲第一轮猜对”,B为“乙第一轮猜对”,C为“甲第二轮猜对”,D为“乙第二轮猜对”,E为“‘九章队’在两轮比赛中猜对三个数学名词”,
则P(A)=P(C)=,
则E=BCD∪ACD∪ABD∪ABC,
故P(E)=P()
=P()
=.
故“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率为.
思想方法　在求概率问题时,正面求解遇到的情况较多或较复杂,通常转化为求其反面,即求其对立事件的概率,最后用1减去对立事件的概率得所求概率,通常表现为“至多”等类型的试题.
5.D　三次传球中乙只接到一次球可分乙第一次接到球,第二次接到球,第三次接到球三种情况进行求解.
由题意分三种情况:第一种情况,第一次甲传给乙,第二次乙传给甲(丙、丁),第三次甲传给丙或丁(甲或丁、甲或丙),其概率为;第二种情况,第一次甲传给丙(丁),第二次丙(丁)传给乙,第三次乙传给甲或丙或丁,其概率为×1;第三种情况,第一次甲传给丙(丁),第二次丙(丁)传给甲或丁(甲或丙),第三次传给乙,其概率为.所以经过三次传球后乙只接到一次球的概率P=.故选D.
6.解析　(1)按甲、乙两人的租车时间均未超过2小时,均超过2小时且不超过3小时,均超过3小时三种情况分类讨论求解.
甲、乙两人的租车时间均未超过2小时的概率P1=,
甲、乙两人的租车时间均超过2小时且不超过3小时的概率P2=,
甲、乙两人的租车时间均超过3小时的概率P3=,
故甲、乙两人所付租车费用相同的概率P4=P1+P2+P3=.
(2)按甲免费、乙租车费用为4元,乙免费、甲租车费用为4元,甲、乙租车费用均为2元三种情况分类讨论求解.
甲免费、乙租车费用为4元的概率P5=,
乙免费、甲租车费用为4元的概率P6=,
甲、乙租车费用均为2元的概率P7=,
故甲、乙两人所付租车费用之和为4元的概率P8=.
7.解析　(1)对A类的5个问题编号为a,b,c,d,e,第一轮从A类的5个问题中任选两题作答,
则样本空间Ω={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)},共10个样本点,
不妨设小明能答对的4个问题的编号为a,b,c,d,
事件A表示“小明第一轮得40分”,则A={(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)},共6个样本点,
所以P(A)=,
故小明第一轮得40分的概率为.
(2)由(1)知,小明第一轮得40分的概率为,则第一轮得0分的概率为1-,
两人能够晋级复赛,即两轮总积分不低于60分,
总积分不低于60分的情况不止一种,分类讨论每种情况下的概率.
当第一轮答对两题得40分,第二轮答对一题得30分时,设小芳和小明晋级复赛的概率分别为P1,P2,
则P1=0.5×0.5×[0.5×(1-0.5)+(1-0.5)×0.5]=0.125,
P2=×(0.4×0.6+0.6×0.4)=0.288;
当第一轮答对两题得40分,第二轮答对两题得60分时,设小芳和小明晋级复赛的概率分别为P3,P4,
则P3=0.5×0.5×0.5×0.5=0.062 5,
P4=×0.4×0.4=0.096;
当第一轮答错一题得0分,第二轮答对两题得60分时,设小芳和小明晋级复赛的概率分别为P5,P6,
则P5=[0.5×(1-0.5)+(1-0.5)×0.5]×0.5×0.5=0.125,P6=×0.4×0.4=0.064;
当第一轮答错两题得0分,第二轮答对两题得60分时,小芳晋级复赛的概率P7=[(1-0.5)×(1-0.5)]×0.5×0.5=0.062 5,
∴小芳晋级复赛的概率为P1+P3+P5+P7=0.125+0.062 5+0.125+0.062 5=0.375,
小明晋级复赛的概率为P2+P4+P6=0.288+0.096+0.064=0.448,
∵0.448>0.375,∴小明更容易晋级复赛.
思想方法　在概率问题中,要求的结果往往由多种情况构成,这就需要对各种情况进行合理分类,从而将复杂事件分解为若干个简单事件求解,注意选择正确的分类标准,做到不重不漏.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)