2025北师大版高中数学必修第一册同步练习题--第三章　指数运算与指数函数

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2025北师大版高中数学必修第一册
第三章　指数运算与指数函数
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知函数f(x)=那么f(f(-1))的值是(　　)
A.8　　　　B.7　　　　C.6　　　　D.5
2.函数y=的定义域和值域分别为(　　)
A.(0,2],(0,1]`　　　　B.(-∞,2],[0,1)
C.(0,2],[0,1)`　　　　D.(-∞,2],(0,1]
3.若,则实数a的取值范围是(　　)
A.　　　　D.R
4.函数y=2x+1的图象是(　　)
A　　　　B　　　　C　　　　D
5.若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1)满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是(　　)
A.(-∞,2]`　　　　B.[2,+∞)
C.[-2,+∞)`　　　　D.(-∞,-2]
6.已知a,b∈(0,1)∪(1,+∞),当x>0时,1A.0C.17.国家速滑馆又称“冰丝带”,是2022年北京冬奥会的标志性场馆,拥有亚洲最大的全冰面设计,但整个系统的碳排放量接近于零,做到了真正的智慧场馆、绿色场馆,并且为了倡导绿色可循环的理念,场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统,已知过滤过程中废水的污染物含量N(mg/L)与时间t(小时)的关系为N=N0e-kt(N0为最初污染物含量).如果前3个小时消除了20%的污染物,那么污染物含量消除至最初的64%还要(　　)
A.2.6小时`　　　　B.3小时
C.6小时`　　　　D.4小时
8.已知函数f(x)=若实数p,q,r满足pA.(2,9)`　　　　B.(9,11)　　　　
C.
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知函数f(x)=3x-,函数g(x)=则函数g(x)的值不可能为(　　)
A.0　　　　B.　　　　C.2　　　　D.4
10.已知函数f(x)=5|x|+5-|x|,则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)的图象关于y轴对称`　　　　B.f(x)的单调递增区间为(-∞,0)
C.f(x)的最小值为2`　　　　D.f(a2+2)>f(2|a|)
11.已知函数f(x)=2 023x-2 023-x+,则下列说法正确的是(　　)
A.函数f(x)是奇函数
B.函数f(x)是增函数
C.不等式f(3x-1)+f(3x)>1的解集为
D.f(10)+f(9)+…+f(1)+f(0)+f(-1)+…+f(-9)+f(-10)=10
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.若10x=2,10y=3,则1=　　　　.
13.已知函数f(x)=4x-2x+1,则其值域为　　　　.
14.已知函数f(x)=设a>b≥0,若f(a)=f(b),则b·f(a)的取值范围是　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)(1)计算:0.008 ;
(2)已知a>0且a2x=3,求的值.
16.(15分)已知奇函数f(x)和偶函数g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(x)=2x+1.
(1)证明:函数g(x)在[0,+∞)上单调递增;
(2)求函数g(x)在区间[a,a+4]上的最大值.
17.(15分)已知a>0且a≠1,函数f(x)=满足f(1-a)=f(a-1),h(x)=ax.
(1)求函数y=h(2x)-h(x)+1在区间[-2,2]上的值域;
(2)若函数y=|h(x)+m|和y=|h(-x)+m|在区间[1,2 023]上的单调性相同,求实数m的取值范围.
18.(17分)已知函数f(x)=a+b的图象过原点,且无限接近直线y=1但又不与该直线相交.
(1)求该函数的解析式,并判断该函数的奇偶性;
(2)若不等式m·[1-f(x)]>+1对任意的x∈[-2,2]恒成立,求实数m的取值范围.
19.(17分)设a,b∈R,若函数f(x)定义域内的任意一个实数x都满足f(x)+f(2a-x)=2b,则函数f(x)的图象关于点(a,b)对称;反之,若函数f(x)的图象关于点(a,b)对称,则函数f(x)定义域内的任意一个实数x都满足f(x)+f(2a-x)=2b.已知函数g(x)=.
(1)证明:函数g(x)的图象关于点(-1,5)对称;
(2)已知函数h(x)的图象关于点(1,2)对称,当x∈[0,1]时,h(x)=x2-mx+m+1.若对任意的x1∈[0,2],总存在x2∈,使得h(x1)=g(x2)成立,求实数m的取值范围.
答案与解析
第三章　指数运算与指数函数
1.A　f(-1)=-2×(-1)+1=3,则f(f(-1))=f(3)=23=8.
2.B　由1-6x-2≥0,得x-2≤0,即x≤2,即函数的定义域为(-∞,2],
因为0<6x-2≤1,所以0≤1-6x-2<1,所以0≤<1,即函数的值域为[0,1).故选B.
3.B　.
4.A　函数y=2x+1的图象是由函数y=2x的图象向左平移1个单位长度得到的,
而y=2x的图象过点(1,2),且在R上是增函数,
所以y=2x+1的图象过点(0,2),且在R上是增函数,故选A.
5.B　由f(1)=a2=(负值舍去),因此f(x)=.
令u=|2x-4|,则y=.因为y=在R上单调递减,u=|2x-4|的单调递增区间是[2,+∞),所以f(x)的单调递减区间是[2,+∞),故选B.
6.C　因为x>0,11,>1,所以a>b.所以17.B　由前3个小时消除了20%的污染物,得0.8N0=N0e-3k,则e-k=,
令N0e-kt=0.64N0,可得0.64=,解得t=6,
则污染物含量消除至最初的64%还要6-3=3(小时).故选B.
8.D　作出函数f(x)=的大致图象如图所示,
设f(p)=f(q)=f(r)=m,由图可知m∈(0,1),
1-3p+1=m,3q+1-1=m,9-r=m,
所以3p=,r=9-m,
故3p+3q+r=,故选D.
9.AB　当x≥0时,g(x)=f(x)+2=3x-+2,此时g(x)单调递增,
∴g(x)≥g(0)=2,
当x<0时,g(x)=f(-x)+2=3-x--3x+2,此时g(x)单调递减,∴g(x)>g(0)=2.
综上可知,函数g(x)的值域为[2,+∞).故选AB.
10.ACD　对于A,f(x)的定义域为R,且f(-x)=5|-x|+5-|-x|=5|x|+5-|x|=f(x),所以f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,A正确;
对于B,f(x)=5|x|+5-|x|=
当x<0时,根据对勾函数的性质可得函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,B不正确;
对于C,f(x)=5|x|+5-|x|≥2=2,当且仅当5|x|=5-|x|,即x=0时等号成立,故f(x)的最小值为2,C正确;
对于D,当x>0时,5|x|>1,f(x)=5|x|+5-|x|=5|x|+,
根据对勾函数的性质可得函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,
且a2+2>0,2|a|≥0,a2+2=a2+1+1≥2|a|+1>2|a|,所以f(a2+2)>f(2|a|),D正确.故选ACD.
11.BC　对于A,函数f(x)的定义域为R,且f(-x)=2 023-x-2 023x+≠-f(x),错误;
对于B,y=2 023x,y=-2 023-x在R上单调递增,故f(x)是增函数,正确;
对于C,设g(x)=f(x)-=2 023x-2 023-x,则g(x)的定义域为R,
且g(-x)=2 023-x-2 023x=-g(x),所以g(x)为奇函数且单调递增,
所以f(3x-1)+f(3x)>1,即g(3x-1)+g(3x)>0,即g(3x-1)>g(-3x),故3x-1>-3x,解得x>,正确;
对于D,f(x)+f(-x)=g(x)+,
所以f(10)+f(9)+…+f(1)+f(0)+f(-1)+…+f(-9)+f(-10)=10×1+,错误.
故选BC.
12.答案　
解析　1.
13.答案　
解析　f(x)=4x-2x+1=-2x+1,
设2x=t,则t>0,
设g(t)=t2-t+1=,t>0,
因为g(t)在上单调递减,
故g(t)的最小值为g.
14.答案　
解析　画出函数f(x)的图象,如图所示,
若f(a)=f(b),a>b≥0,则≤b<1,所以b·f(a)=b·f(b)=b(b+1)=b2+b=≤b·f(a)<2.
15.解析　(1)原式=(0.34
=0.3+1-2+3×3×20=8.3.(6分)
(2)∵a2x=3,∴a-2x=,
∴.(13分)
16.解析　(1)证明:因为f(x)+g(x)=2x+1,
所以f(-x)+g(-x)=2-x+1.(2分)
又因为f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,
所以-f(x)+g(x)=2-x+1.
所以g(x)=2x+2-x.(4分)
任取x1,x2∈[0,+∞),且x1则g(x1)-g(x2)=()
=(,(6分)
因为0≤x10,
所以g(x1)所以函数g(x)在[0,+∞)上单调递增.(8分)
(2)因为g(x)是偶函数,且g(x)在[0,+∞)上单调递增,
所以g(x)在(-∞,0]上单调递减.(10分)
①当a+2≤0,即a≤-2时,
g(x)在[a,a+4]上的最大值为g(a)=2a+2-a;(12分)
②当a+2>0,即a>-2时,
g(x)在[a,a+4]上的最大值为g(a+4)=2a+4+2-a-4.(14分)
综上,当a≤-2时,g(x)的最大值为2a+2-a;当a>-2时,g(x)的最大值为2a+4+2-a-4.(15分)
17.解析　(1)当0当a>1时,22a-1=4a-1,无解,
故a=.(2分)
所以h(x)=,则y=h(2x)-h(x)+1=+1.(4分)
令t=,
故y=t2-t+1=,(6分)
当t=,当t=4时,ymax=13.
故函数y=h(2x)-h(x)+1在区间[-2,2]上的值域为.(8分)
(2)函数h(x)=在R上单调递减,函数h(-x)=2x在R上单调递增.
由题意得函数y=+m与函数y=|2x+m|在区间[1,2 023]上同增或者同减.(9分)
①若两函数在区间[1,2 023]上均单调递增,则在区间[1,2 023]上恒成立,
故;(11分)
②若两函数在区间[1,2 023]上均单调递减,则在区间[1,2 023]上恒成立,
故该不等式组无解.(13分)
综上,实数m的取值范围是.(15分)
18.解析　(1)依题意得b=1,(2分)
由f(0)=0得a+1=0,解得a=-1.(4分)
因此f(x)=-+1,其定义域为R,
又f(-x)=-+1= f(x),故函数f(x)是偶函数.(6分)
(2)不等式m·[1-f(x)]>,
依题意知m>对任意的x∈[-2,2]恒成立.(9分)
令y=,x∈[-2,2],则m>ymax,(11分)
令t=,
当x∈[0,2]时,t∈;(14分)
当x∈[-2,0)时,t∈(1,4],y==t3+t,所以当t=4时,y取得最大值,最大值为68.
因为68>,所以ymax=68,
所以实数m的取值范围为(68,+∞).(17分)
19.解析　(1)证明:∵g(x)=,x∈(-∞,-1)∪(-1,+∞),
∴g(-2-x)=.(2分)
∴g(x)+g(-2-x)==10,(4分)
即对任意的x∈(-∞,-1)∪(-1,+∞),都有g(x)+g(-2-x)=10成立,∴函数g(x)的图象关于点(-1,5)对称.(6分)
(2)g(x)=上单调递增,
∴g(x)在上的值域为[-1,4].
记函数y=h(x),x∈[0,2]的值域为A.
若对任意的x1∈[0,2],总存在x2∈,使得h(x1)=g(x2)成立,则A [-1,4].
∵当x∈[0,1]时,h(x)=x2-mx+m+1,
∴h(1)=2,即函数h(x)的图象过对称中心(1,2).(9分)
①当≤0,即m≤0时,函数h(x)在[0,1]上单调递增.由对称性知,h(x)在[1,2]上单调递增,∴函数h(x)在[0,2]上单调递增.
易知h(0)=m+1.又h(0)+h(2)=4,∴h(2)=3-m,
则A=[m+1,3-m].
由A [-1,4],得解得m≥-1,又m≤0,∴-1≤m≤0.(11分)
②当0<上单调递减.
结合对称性,知A=[h(2),h(0)]或A=∈(2,3),∴当0③当≥1,即m≥2时,函数h(x)在[0,1]上单调递减.由对称性知,h(x)在[1,2]上单调递减,∴函数h(x)在[0,2]上单调递减.
易知h(0)=m+1,
又h(0)+h(2)=4,∴h(2)=3-m,
则A=[3-m,m+1].
由A [-1,4],得
解得m≤3,又m≥2,∴2≤m≤3.(15分)
综上可知,实数m的取值范围为[-1,3].(17分)
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