2025北师大版高中数学必修第一册同步练习题--第三章　指数运算与指数函数拔高练（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2025北师大版高中数学必修第一册
综合拔高练
五年高考练
考点1　指数型函数的图象
1.(2019课标全国Ⅲ,7)函数y=在[-6,6]的图象大致为(　　)
考点2　指数型函数的性质及其应用
2.(2023新课标Ⅰ,4)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)单调递减,则a的取值范围是(　　)
A.(-∞,-2]　　　B.[-2,0)
C.(0,2]　　　D.[2,+∞)
3.(2023天津,3)若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.c>a>b　　　B.c>b>a
C.a>b>c　　　D.b>a>c
4.(2022北京,4)已知函数f(x)=,则对任意实数x,有(　　)
A.f(-x)+f(x)=0　　　B.f(-x)-f(x)=0
C.f(-x)+f(x)=1　　　D.f(-x)-f(x)=
5.(2020北京,6)已知函数f(x)=2x-x-1,则不等式f(x)>0的解集是(　　)
A.(-1,1)
B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(0,1)
D.(-∞,0)∪(1,+∞)
6.(2021新高考I,13)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a=　　　　.
三年模拟练
应用实践
1.(多选题)(2024江西上饶余干蓝天中学期中)函数f(x)=|ax-1|(a>0,且a≠1)与g(x)=a-x在同一坐标系中的图象可能是(　　)
A　　　B　　　　
C　　　D
2.(2024浙江温州期中)若1<2a<2b<2,则(　　)
A.aaC.ab3.(2024浙江温州乐清中学期中)设a=,则下列说法中正确的是(　　)
A.a>b　　　B.2a<2b
C.a2+b2≥2　　　D.=2
4.(2023福建三明第一中学期中)已知函数f(x)=,若f(2a2+a+2)-f(2a2-2a+4)<0,则实数a的取值范围为(　　)
A.　　　B.
C.　　　D.∪(1,+∞)
5.(2022河南商丘期末)对于定义在R上的函数f(x),如果存在实数x0使f(x0)=x0,那么x0叫作函数f(x)的一个不动点.若函数f(x)=存在两个不动点,则实数m的取值范围是(　　)
A.[0,1]　　　B.[-1,0]　　　　
C.(-∞,1]　　　D.[-1,+∞)
6.(多选题)(2024黑龙江牡丹江第二高级中学段考)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数.例如:[-3.5]=-4,[2.1]=2.已知函数f(x)=,g(x)=[f(x)],则下列叙述中正确的是(　　)
A.g(x)是偶函数
B.f(x)是奇函数
C.f(x)在R上是增函数
D.g(x)的值域是{-1,0,1}
7.(2024河南前20 名校期中)已知f(x)是指数函数,且其图象经过点(2,4),g(x)=为奇函数.
(1)求函数f(x),g(x)的解析式;
(2)函数h(x)满足g(x)[h(x)+2]=2x-2-x,若对任意x∈R且x≠0,不等式h(2x)≥m·h(x)-18恒成立,求实数m的最大值.
迁移创新
8.(2022上海长宁一模)已知函数f(x)=(x∈R).
(1)求证:函数f(x)是R上的减函数;
(2)已知函数f(x)的图象存在对称中心(a,b)的充要条件是g(x)=f(x+a)-b的图象关于原点对称.判断函数f(x)的图象是否存在对称中心,若存在,求出该对称中心的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)若对任意x1∈[1,n](n>1),都存在x2∈及实数m,使得f(1-mx1)+f(x1x2)=1,求实数n的最大值.
答案与分层梯度式解析
综合拔高练
五年高考练
1.B　设f(x)=(x∈[-6,6]),则f(-x)==-f(x),∴f(x)为奇函数,排除选项C;当x=-1时, f(-1)=-<0,排除选项D;当x=4时,f(4)=≈7.97,排除选项A.
故选B.
2.D　因为函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)单调递减,所以函数y=x(x-a)在区间(0,1)单调递减,所以≥1,即a≥2,故a的取值范围是[2,+∞),故选D.
3.D　易知y=1.01x在R上单调递增,
所以1=1.010<1.010.5<1.010.6,即1易知y=0.6x在R上单调递减,所以1=0.60>0.60.5=c,
所以b>a>1>c,故选D.
4.C　因为函数f(x)=,所以f(-x)=,
所以f(-x)+f(x)==1.
故选C.
5.D　不等式f(x)>0等价于不等式2x>x+1,作出函数y=2x和函数y=x+1的图象,如图所示,易知两个函数图象的交点坐标为(1,2)和(0,1),观察函数图象可知,当x>1或x<0时,函数y=2x的图象在函数y=x+1图象的上方,此时2x>x+1,故不等式f(x)>0的解集为(-∞,0)∪(1,+∞),故选D.
6.答案　1
解析　∵f(x)=x3(a·2x-2-x)为偶函数,
∴f(1)=f(-1),即2a-,解得a=1.
当a=1时,f(x)=x3(2x-2-x),其定义域为R,且满足f(x)=f(-x),故f(x)为偶函数.
一题多解　y=x3和y=2x-2-x为奇函数,利用结论:奇函数×奇函数=偶函数,可快速判断出a=1.
三年模拟练
1.BD　函数f(x)=|ax-1|的图象可由y=ax的图象向下平移一个单位,再把所得的x轴下方的图象翻折到x轴的上方得到; g(x)=a-x的图象过第二、四象限,与y轴的交点坐标为(0,a).
对于A,f(x)的图象中a>1,g(x)的图象中0对于B,f(x)的图象中a>1,g(x)的图象中a>1,故B正确;
对于C,f(x)的图象中01,故C错误;
对于D,f(x)的图象中0故选BD.
2.C　函数y=2x在R上单调递增,因为20=1<2a<2b<2=21,所以0则y=ax(0所以aa>ab,aa3.A　构造函数f(x)=,则f(x)=,
因为函数y=2x+1在R上为增函数,所以f(x)在R上为减函数,
所以f(2 022)>f(2 023)>0,所以a>b,2a>2b,故A正确,B错误;
因为0<<1,所以a2+b2<2,故C错误;
≥2=2,当且仅当a=b时取等号,由题意可知a≠b,故≠2,故D错误.
故选A.
4.A　易得f(x)=
2a2+a+2=2>1,
2a2-2a+4=2>1,
由f(2a2+a+2)-f(2a2-2a+4)<0,
得f(2a2+a+2)又x≥1时,f(x)=在[1,+∞)上单调递减,
所以2a2+a+2>2a2-2a+4,解得a>,
所以实数a的取值范围为,故选A.
5.C　当x<0时,f(x)=,令=x,解得x=-1或x=1(舍去),所以-1是函数f(x)的一个不动点.
要使函数f(x)存在两个不动点,只需 y=x与y=-m(x≥0)的图象有且只有一个交点.在同一平面直角坐标系中画出y=x与y=-m(x≥0)的图象,如图.
由图可得-m≥-1,解得m≤1,故实数m的取值范围为(-∞,1].
6.BC　根据题意知, f(x)=.
∵x∈R,g(1)=[f(1)]==-1,
∴g(1)≠g(-1),∴函数g(x)不是偶函数,A错误;
∵f(-x)==-f(x),f(x)的定义域为R,关于原点对称,∴f(x)是奇函数,B正确;
易知f(x)=在R上是增函数,C正确;
∵2x>0,∴1+2x>1,∴-,
∴g(x)=[f(x)]={-1,0},D错误.
故选BC.
7.解析　(1)设f(x)=ax(a>0,且a≠1),则a2=4,解得a=2,
故f(x)=2x,于是g(x)=,
因为g(x)为奇函数,所以g(-x)=-g(x),
即,整理得(1-b)(2x+1)=0,
解得b=1,所以g(x)=.
(2)由(1)知g(x)=,x∈R且x≠0,则g(x)≠0,
由g(x)[h(x)+2]=2x-2-x,
得h(x)=-2=2x+2-x(x≠0),
则h(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2,
不等式h(2x)≥m·h(x)-18恒成立,
即(2x+2-x)2-2≥m(2x+2-x)-18恒成立,
令t=2x+2-x,则t=2x+2-x>2=2,
则t2-2≥mt-18,可得m≤t+在(2,+∞)上恒成立,
因为t>2,由基本不等式可得t+≥8,当且仅当t=4时取等号,所以m≤8,
所以实数m的最大值为8.
8.解析　(1)证明:任取x3,x4∈R,且x3则f(x3)-f(x4)=.
因为x3,x4∈R,且x30,所以f(x3)-f(x4)>0,即f(x3)>f(x4),
所以函数f(x)是R上的减函数.
(2)假设函数f(x)的图象存在对称中心,且对称中心的坐标为(a,b),
则g(x)=f(x+a)-b=-b的图象关于原点对称,
由于函数g(x)的定义域为R,
所以g(-x)+g(x)=-b=0恒成立,
即(1-2b)(2x+a+2-x+a)+2-2b-2b·22a=0恒成立,
所以解得
所以函数f(x)的图象存在对称中心,且对称中心的坐标为.
(3)因为对任意x1∈[1,n](n>1),都存在x2∈及实数m,使得f(1-mx1)+f(x1x2)=1,
所以=1,即=1,
所以1-mx1+x1x2=0,所以x2=.
因为x1∈[1,n],所以m-∈,
因为x2∈,所以 ,
所以即
所以≥,
所以n≤2,
又n>1,所以实数n的取值范围为(1,2],
故实数n的最大值为2.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)