2025北师大版高中数学必修第一册同步练习题--第四章　对数运算与对数函数（含解析）

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2025北师大版高中数学必修第一册
第四章　对数运算与对数函数
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列等式正确的是(　　)
A.lg(xy)=lg x+lg y`　　　　B.2m+2n=2m+n
C.2m·2n=2m+n`　　　　D.ln x2=2ln x
2.在同一平面直角坐标系中,函数f(x)的图象与y=ex的图象关于直线y=x对称,若f(m)=-1,则m的值是(　　)
A.-e　　　　B.-
3.已知函数y=f(3x)的定义域为[-1,1],则函数y=f(log3x)的定义域为(　　)
A.[-1,1]`　　　　B.
C.[1,2]`　　　　D.[,27]
4.Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区某种传染病累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=,其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln 19≈3)(　　)
A.60　　　　B.63　　　　C.66　　　　D.69
5.已知lg a=-lg b≠0,则函数f(x)=a-x与函数g(x)=logbx的图象可能是(　　)
A`　　　　B
C`　　　　D
6.已知函数f(x)=2x,g(x)=logax(a>0,且a≠1),O为坐标原点,若对于g(x)图象上的任意一点P,将线段OP绕着O点逆时针方向旋转90°后,点P落在f(x)的图象上,则实数a=(　　)
A.　　　　D.2
7.已知函数f(x)=2 023x+log2 023(+x)-2 023-x+1,则关于x的不等式f(x2-2x)+f(3x)>2的解集为(　　)
A.(0,+∞)`　　　　B.(-1,0)
C.(-∞,-1)`　　　　D.(-∞,-1)∪(0,+∞)
8.已知函数f(x)=m(x-, x1∈[0,1], x2∈[0,4],都有g(x1)A.
C.
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知函数f(x)=若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的值可能是(　　)
A.2　　　　B.　　　　D.3
10.已知函数f(x)=lg,则下列说法正确的是(　　)
A.f(x-3)是奇函数
B.f(x-3)是偶函数
C.f(x)在区间(-∞,-3)上单调递增,在区间(-3,+∞)上单调递减
D.f(x)有最大值
11.定义“正对数”:ln+x=若a>0,b>0,则下列结论中正确的是(　　)
A.ln+(ab)=bln+a`　　　　B.ln+(ab)=ln+a+ln+b
C.ln+(a+b)≥ln+a+ln+b`　　　　D.ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln 2
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.计算:lg 5·+eln π=　　　　.
13.已知函数f(x)=|lg x|+2,若实数a,b满足b>a>0,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是　　　　.
14.若函数f(x)=·ln(x+1)的值域为(0,+∞),则实数k的最小值为　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)在①f(x+1)=f(x)+2x-1;②f(x+1)=f(1-x),且f(0)=3;③f(x)≥2恒成立,且f(0)=3这三个条件中选择一个,补充在下面的问题中,并作答.
已知一元二次函数的图象经过点(1,2),　　　　　　　.
求f(x)的解析式;
(2)若g(x)=log2(6-x)+log2(6+x),求g(f(x))在x∈[0,2]上的值域.
注:若选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
16.(15分)已知函数f(x)=log2x,g(x)=ax2-4x+1.
(1)若函数y=f(g(x))的值域为R,求实数a的取值范围;
(2)函数h(x)=[f(x)]2-f(x2),若对于任意的x∈,都存在t∈[-1,1],使得不等式h(x)>k·2t-2成立,求实数k的取值范围.
17.(15分)已知函数f(x)=ln 为奇函数.
(1)求实数k的值;
(2)若对任意x∈[3,5]都有f(x)>t-3成立,求t的取值范围;
(3)若存在α,β∈(1,+∞),且α<β,使得函数f(x)在区间[α,β]上的值域为,求实数m的取值范围.
18.(17分)定义在D上的函数f(x),如果满足:对任意x∈D,存在常数M≥0,都有|f(x)|≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的一个上界,已知函数f(x)=1+a.
(1)若函数g(x)为奇函数,求实数a的值;
(2)在(1)的条件下,求函数g(x)在区间上的所有上界构成的集合;
(3)若函数f(x)在[0,+∞)上是以2为上界的有界函数,求实数a的取值范围.
+
19.(17分)已知函数f(x)=log2(x+a).
(1)当a=1时, f(x)+f(x-1)>0成立,求x的取值范围;
(2)若定义在R上的奇函数g(x)满足g(x+2)=-g(x),且当0≤x≤1时,g(x)=f(x),求g(x)在区间[-3,-1]上的解析式,并写出g(x)在区间[-3,3]上的单调性(不必证明);
(3)对于(2)中的g(x),若关于x的不等式g≥g在R上恒成立,求实数t的取值范围.
答案与解析
第四章　对数运算与对数函数
1.C　对于A,D,若x,y为负数,则不正确;对于B,C,根据指数幂的运算性质知C正确,B错误.故选C.
2.D　由题意得f(x)=ln x,∵f(m)=-1,∴ln m=-1,解得m=.
3.D　由x∈[-1,1],得3x∈,27].
4.C　因为I(t)=,
所以I(t*)==0.95K,
则=19,
所以0.23(t*-53)=ln 19≈3,解得t*≈66,故选C.
5.C　f(x)=a-x=,g(x)=logbx,
由lg a=-lg b≠0,得ab=1,a>0且a≠1,b>0且b≠1,
若a>1,则0若01,故函数f(x)在R上单调递增,函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,只有C项符合.故选C.
6.B　设g(x)图象上的任意一点P(x0,logax0),将线段OP绕着O点逆时针方向旋转90°,
如图,设P1为旋转90°后的点P,过P作PH⊥x轴于点H,过P1作P1E⊥y轴于点E,
易知△OHP≌△OEP1,所以PH=P1E,OH=OE,
所以点P1(-logax0,x0),依题意得x0=,故选B.
7.D　设g(x)=f(x)-1=2 023x+log2 023(+x),
因为+x>|x|+x≥0,所以g(x)的定义域为R,
又g(-x)=2 023-x-2 023x+log2 023(+x)=-g(x),所以g(x)是奇函数,
当x>0时,y=log2 023(+x)为增函数,y=2 023x-2 023-x为增函数,
所以g(x)是增函数,则g(x)>g(0)=0,由g(x)是奇函数可知g(x)在R上单调递增,
由f(x2-2x)+f(3x)>2得f(x2-2x)-1>-[f(3x)-1],
即g(x2-2x)>-g(3x)=g(-3x),
则x2-2x>-3x,解得x<-1或x>0,
所以不等式f(x2-2x)+f(3x)>2的解集为(-∞,-1)∪(0,+∞).
故选D.
8.C　由 x1∈[0,1], x2∈[0,4],都有g(x1)易知g(x)=ln在[0,1]上单调递增,∴g(x)min=g(0)=0.
当m=0时,f(x)=2>0恒成立;
当m>0时,f(x)在[0,4]上单调递增,∴f(x)min=f(0)=-2m+2,由-2m+2>0,解得m<1,∴0当m<0时,f(x)在[0,4]上单调递减,∴f(x)min=f(4)=4m+2,由4m+2>0,解得m>-综上,实数m的取值范围是.故选C.
9.BC　令f(a)=f(b)=f(c)=t,根据已知作出函数f(x)的图象和直线y=t.
不妨设a解得ab=1,由图可知210.BC　f(x-3)=lg,其定义域为{x|x≠0},关于原点对称,
令g(x)=f(x-3),则g(-x)=lg=g(x),
所以f(x-3)是偶函数,A错误,B正确.
函数y=+1在区间(-∞,-3)上单调递增,在区间(-3,+∞)上单调递减,函数y=lg x在(1,+∞)上单调递增,
根据复合函数单调性的性质可知,f(x)在区间(-∞,-3)上单调递增,在区间(-3,+∞)上单调递减,C正确.
因为f(x)在区间(-∞,-3)上单调递增,在区间(-3,+∞)上单调递减,
且f(x)的定义域是{x|x≠-3},所以f(x)没有最大值,D错误.
故选BC.
11.AD　对于A,当00时,有00时,有ab≥1,从而ln +(ab)=ln ab=bln a,bln+a=bln a,所以ln +(ab)=bln+a.所以当a>0,b>0时,ln +(ab)=bln+a,所以A正确.
对于B,当a=+ln +2=ln 2,所以ln +(ab)≠ln +a+ln +b,所以B错误.
对于C,令a=2,b=4,则ln +(2+4)=ln 6,ln +2+ln +4=ln 2+ln 4=ln 8,显然ln 6对于D,由“正对数”的定义知,当0当0从而ln +(a+b)所以ln +(a+b)当a≥1,01,
从而ln +(a+b)=ln(a+b)当01,
从而ln+(a+b)=ln(a+b)当a≥1,b≥1时,ln +(a+b)=ln(a+b),ln+a+ln +b+ln 2=ln a+ln b+ln 2=ln(2ab),
因为2ab-(a+b)=ab-a+ab-b=a(b-1)+b(a-1)≥0,所以2ab≥a+b,所以ln +(a+b)≤ln +a+ln +b+ln 2.
综上所述,当a>0,b>0时,ln +(a+b)≤ln +a+ln +b+ln 2,所以D正确.
故选AD.
12.答案　2+π
解析　lg 5·+2(lg 2)2+π
=2lg 5·(1+lg 2)+2(lg 2)2+π=2lg 5+2lg 5·lg 2+2(lg 2)2+π
=2lg 5+2lg 2·(lg 5+lg 2)+π
=2lg 5+2lg 2+π=2+π.
13.答案　(3,+∞)
解析　f(x)=|lg x|+2=
因为f(x)在x≥1和0a>0,且f(a)=f(b),
所以0令g(x)=2x+,x>1,任取x1,x2∈(1,+∞),且x1则g(x1)-g(x2)=,
因为x1,x2∈(1,+∞),且x10,
所以g(x1)-g(x2)<0,即g(x1)所以g(x)在(1,+∞)上单调递增,
所以g(x)>g(1)=3,即a+2b>3.
14.答案　-2
解析　易知f(x)的定义域为(-1,0)∪(0,+∞),
因为f(x)的值域为(0,+∞),所以f(x)>0在(-1,0)∪(0,+∞)上恒成立,
当-1此时必有x+,
当x>0时,x+1>1,则ln(x+1)>0,
此时必有x+,
综上可得k+2>-在(-1,0)∪(0,+∞)上恒成立,
设g(x)=,x∈(-1,0)∪(0,+∞),
则g(x)=-2,
因为x∈(-1,0)∪(0,+∞),所以x+1>0,且x+1≠1,
故g(x)=x+1+-2=0,
所以-=-g(x)<0,
因为k+2>-在(-1,0)∪(0,+∞)上恒成立,
所以k+2≥0,解得k≥-2,故实数k的最小值为-2.
15.解析　(1)选①:设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
则f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c=ax2+(2a+b)x+(a+b+c),(1分)
由f(x+1)=f(x)+2x-1=ax2+(b+2)x+c-1,可得
解得(3分)
则f(x)=x2-2x+c,由f(1)=c-1=2可得c=3,
∴f(x)=x2-2x+3.(5分)
选②:因为f(x+1)=f(1-x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,(1分)
因为f(1)=2,所以可设f(x)=a(x-1)2+2(a≠0),(3分)
则f(0)=a+2=3,解得a=1,
所以f(x)=(x-1)2+2=x2-2x+3.(5分)
选③:因为f(x)≥2恒成立且f(1)=2,
所以可设f(x)=a(x-1)2+2,其中a>0,(1分)
则f(0)=a+2=3,解得a=1,(3分)
所以f(x)=(x-1)2+2=x2-2x+3.(5分)
(2)当x∈[0,2]时,f(x)=(x-1)2+2∈[2,3],
令u=f(x),则u∈[2,3],(7分)
g(x)=log2(6-x)+log2(6+x)=log2(36-x2),
g(f(x))=g(u)=log2(36-u2).(9分)
令t=36-u2,u∈[2,3],则t∈[27,32],
又函数y=log2t在t∈[27,32]上单调递增,
因此函数y=log2t(t∈[27,32])的值域为[3log23,5].(12分)
所以g(f(x))在x∈[0,2]上的值域为[3log23,5].(13分)
16.解析　(1)当a<0时,g(x)有最大值,故g(x)的函数值不可能取到全体正数,不符合题意;(2分)
当a=0时,g(x)是一元一次函数,故g(x)的函数值可以取遍全体正数,则y=f(g(x))的值域是R,符合题意;(4分)
当a>0时,要使g(x)的函数值可以取遍全体正数,只需要函数的最小值小于或等于0,则Δ=(-4)2-4a≥0,解得a≤4,∴0综上,实数a的取值范围为[0,4].(7分)
(2)h(x)=(log2x)2-2log2x=(log2x-1)2-1,
∵x∈,∴log2x∈[-1,1],∴h(x)∈[-1,3].(10分)
由题意可得存在t∈[-1,1],使得k·2t即k<在t∈[-1,1]上有解,∴k<=2.(14分)
综上,实数k的取值范围为(-∞,2).(15分)
17.解析　(1)因为函数f(x)为奇函数,所以f(x)+f(-x)=0,
即ln =0,所以k2=1,即k=±1,(2分)
显然k≠-1,又当k=1时,f(x)=ln 满足题意,所以k=1.(4分)
(2)由(1)知f(x)=ln ,其定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),
f(x)=ln ,则f(x)在(1,+∞)上单调递增,所以f(x)在(3,5)上单调递增,(6分)
因为对任意x∈[3,5]都有f(x)>t-3成立,所以f(x)min>t-3,即f(3)=ln >t-3,解得t<3-ln 2,
故t的取值范围为(-∞,3-ln 2).(9分)
(3)由(2)知f(x)在(1,+∞)上单调递增,因为函数f(x)在[α,β]上的值域为,
所以m>0,且(11分)
即α,β是方程=0在(1,+∞)上有两个不等实根,
令h(x)=mx2-,(13分)
则.
故实数m的取值范围为.(15分)
18.解析　(1)因为g(x)为奇函数,所以g(-x)=-g(x),
即,解得a=±1,(3分)
当a=1时,不合题意,故a=-1.(4分)
(2)由(1)知g(x)=,
令t=1+在(1,+∞)上单调递减,g(t)=t在定义域上单调递减,由复合函数的单调性可知g(x)在(1,+∞)上单调递增,
所以g(x)在区间上单调递增,(6分)
则g(x)max=g(3)=2=-1,
g(x)min=g4=-2,
所以g(x)在区间上的值域为[-2,-1],所以|g(x)|≤2,(9分)
故函数g(x)在区间上的所有上界构成的集合为[2,+∞).(11分)
(3)由题意可知|f(x)|≤2在[0,+∞)上恒成立,所以-2≤f(x)≤2,
即-2≤1+a≤2,所以-3·2x-≤a≤2x-在[0,+∞)上恒成立,
所以≤a≤.(14分)
令t=2x(t≥1),h(t)=-3t-,
易知h(t)=-3t-在[1,+∞)上单调递减,所以h(t)max=h(1)=-3-1=-4,
p(t)=t-在[1,+∞)上单调递增,所以p(t)min=p(1)=1-1=0,
所以-4≤a≤0,即实数a的取值范围为[-4,0].(17分)
19.解析　(1)当a=1时,f(x)=log2(x+1),∴f(x-1)=log2x,
∴f(x)+f(x-1)=log2(x+1)+log2x=log2[x(x+1)],(2分)
∵f(x)+f(x-1)>0,∴,
即x的取值范围为.(4分)
(2)∵函数g(x)是定义在R上的奇函数,∴g(0)=0,
又∵当0≤x≤1时,g(x)=f(x)=log2(x+a),
∴a=1,∴g(x)=log2(x+1).(6分)
当x∈[-2,-1]时,x+2∈[0,1],∴g(x)=-g(x+2)=-log2(x+3).(7分)
当x∈[-3,-2)时,x+2∈[-1,0),即-(x+2)∈(0,1],
∴g(x)=-g(x+2)=g[-(x+2)]=log2[-(x+2)+1]=log2(-x-1).(9分)
故g(x)=
g(x)在[-3,-1]和[1,3]上单调递减,在[-1,1]上单调递增.(11分)
(3)g,
由(2)知,若g(x)=-log2.
记u=.(13分)
当t+1=0,即t=-1时,u=-,符合题意.
当t+1>0,即t>-1时,u∈,
由g,
所以-1当t+1<0,即t<-1时,u∈,
由g,
所以-4≤t<-1.(16分)
综上,实数t的取值范围为[-4,20].(17分)
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