2025北师大版高中数学必修第一册同步练习题--第四章　对数运算与对数函数拔高练（含解析）

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2025北师大版高中数学必修第一册
综合拔高练
五年高考练
考点1　对数的运算
1.(2022天津,6)化简(2log43+log83)(log32+log92)的值为(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.4　　　　D.6
2.(2021全国甲,4)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(　　)
A.1.5　　　　B.1.2　　　　C.0.8　　　　D.0.6
3.(多选题) (2023新高考I,10)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp=20×lg,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级:
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60~90
混合动力汽车 10 50~60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则(　　)
A.p1≥p2　　　B.p2>10p3
C.p3=100p0　　　D.p1≤100p2
4.(2023北京,11)已知函数f(x)=4x+log2x,则f =　　　　.
考点2　对数型函数的性质与图象
5.(2023新课标Ⅱ,4)若f(x)=(x+a)ln为偶函数,则a=(　　)
A.-1　　　　B.0　　　　C.　　　　D.1
6.(2021天津,3)函数y=的图象大致为(　　)
A　　　B
C　　　D
7.(2020全国Ⅱ理,9)设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x)(　　)
A.是偶函数,且在单调递增　　　
B.是奇函数,且在单调递减
C.是偶函数,且在单调递增　　　
D.是奇函数,且在单调递减
8.(2022全国乙文,16)若f(x)=ln+b是奇函数,则a=　　　　,b=　　　　.
考点3　与对数有关的比较大小问题
9.(2022天津,5)已知a=20.7,b=,则(　　)
A.a>c>b　　　　B.b>c>a　　　　C.a>b>c　　　　D.c>a>b
10.(2021全国新高考Ⅱ,7)已知a=log52,b=log83,c=,则(　　)
A.cC.a11.(2019课标全国Ⅲ,11)设f(x)是定义域为R的偶函数,且在(0,+∞)单调递减,则(　　)
A. f )
B. f )
C. f()>f
D. f()>f
12.(2020全国Ⅲ,12)已知55<84,134<85.设a=log53,b=log85,c=log138,则(　　)
A.a三年模拟练
应用实践
1.(2024江苏连云港海州高级中学阶段检测)已知,则a+log2a=(　　)
A.11或-　　　B.11或-
C.12或-　　　D.10或-
2.(多选题)在同一平面直角坐标系中,函数f(x)=loga(x-b),g(x)=bx-a的图象可能是(　　)
A
B
C
D
3.(多选题)(2023重庆七校联考)已知函数f(x)=loga(x-2)+1(a>0且a≠1)的图象过定点(s,t),正数m,n满足m+n=s+t,则(　　)
A.m+n=3　　　B.m2+n2≥8
C.mn≤　　　D.≥1
4.(2023吉林长春吉大附中实验学校期中)已知函数f(x)=log2,则不等式f ≥3的解集为(　　)
A.[0,2]　　　B.
C.　　　D.[0,log23]
5.(2024四川成都经济技术开发区实验高级中学月考)已知定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x=1对称,且当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+1),则下列不等式正确的是(　　)
A.f(log27)B.f(log27)C.f(-5)D.f(-5)6.已知函数f(x)=若函数y=f(x)的图象与直线y=m有三个不同的交点,其横坐标依次为x1,x2,x3,且x1A.(-3,-1)　　　B.(0,2)
C.(-1,3)　　　D.(3,0)
7.(多选题)(2024江苏盐城第一中学期末)已知正实数x,y,z满足3x=5y=15z,则下列说法中正确的是(　　)
A.x+y>2z　　　B.3x>5y>15z
C.　　　D.xy>4z2
8.(2023皖豫名校联盟阶段性测试)若函数f(x)=loga(-x2-2x+3)的最小值为-4,则实数a的值为　　　　.
9.(2024甘肃天水甘谷第二中学月考)已知函数f(x)=ln(-2x)+2x+3,若a,b∈R,a+b=2 022,则f(a+2)+f(b-2 024)=　　　　.
10.(2022广东广州大学附中等三校期末)已知函数f(x)=若f(x)在R上是增函数,则实数a的取值范围是　　　　.
11.(2024河北邯郸磁县一中调研)已知函数f(x)=,g(x)=log4(x2-2ax+4)(a>0),若对任意的x1∈(0,1),都存在x2∈[0,2],使得f(x1)=g(x2),则实数a的取值范围是　　　　.
12.(2024湖北襄阳五中月考)已知函数f(x)=ln .
(1)求不等式f(f(x))+f(ln 2)>0的解集;
(2)函数g(x)=2-ax(a>0,且a≠1),若存在x1,x2∈[0,1),使得f(x1)=g(x2)成立,求实数a的取值范围;
(3)已知函数h(x)=ln x-(x-1)在区间(1,+∞)上单调递减,试判断f+…+f+2n>0(n∈N*)是否恒成立,并说明理由.
迁移创新
13.已知函数y=f(x),若对于给定的正整数k,f(x)在其定义域内存在实数x0,使得f(x0+k)=f(x0)+f(k),则称此函数f(x)为“保k值函数”.
(1)若函数f(x)=2x为“保1值函数”,求x0的值;
(2)①试判断函数f(x)=x+是不是“保k值函数”,若是,求出k的值;若不是,请说明理由;
②试判断函数f(x)=ln是不是“保2值函数”,若是,求出实数a的取值范围;若不是,请说明理由.
综合拔高练
五年高考练
1.B　(2log43+log83)(log32+log92)=log32=2.故选B.
2.C　将L=4.9代入L=5+lg V,得4.9=5+lg V,
即lg V=-0.1=-=lg 1,
∴V=1≈≈0.8,
∴其视力的小数记录法的数据约为0.8.故选C.
3.ACD　p0,p1,p2,p3均大于0,∵=20×lg -20×lg =20×lg ≥0,∴≥1,∴p1≥p2,故A正确;
∵=20×lg ≥10,∴lg ≥≥,∴p2≥p3,故B错误;
∵=20×lg =100,∴p3=100p0,故C正确;
∵≤90-50=40,∴lg≤2,∴≤100,∴p1≤100p2,故D正确.故选ACD.
4.答案　1
解析　f =2-1=1.
5.B　解法一:由f(x)为偶函数,知f(x)=f(-x),
即(x+a)ln,
即(x+a)ln=
(-x+a)ln-1,
∴x+a=-(-x+a)恒成立,∴a=0.故选B.
解法二(特值法):易知f(x)的定义域为∪,由已知得 x∈∪,f(-x)=f(x)恒成立,
∴f(1)=f(-1),∴(1+a)ln=(-1+a)ln 3,∴a=0.
经检验符合题意,故选B.
解法三:易知y=ln为奇函数,又f(x)为偶函数,
∴y=x+a为奇函数,∴a=0.故选B.
6.B　设f(x)=,则f(x)的定义域为{x|x≠0},
因为f(-x)==f(x),所以f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,故排除A,C;当x=2时,f(2)=>0,排除D,故选B.
7.D　 x∈xx≠±,x∈R,∴函数f(x)的定义域关于原点对称,又∵f(-x)=ln|-2x+1|-ln|-2x-1|=ln|2x-1|-ln|2x+1|=-f(x),∴f(x)是奇函数,排除A、C;当x∈时,f(x)=ln(2x+1)-ln(1-2x),
∵y=ln(2x+1)在上单调递增,y=ln(1-2x)在上单调递减,∴f(x)在上单调递增,排除B;
当x∈时,f(x)=ln(-2x-1)-ln(1-2x)=ln在上单调递减,y=ln x在定义域上单调递增,∴f(x)在上单调递减,∴D正确.
8.答案　-;ln 2
解析　∵f(x)=ln+b,∴x≠1,
又f(x)为奇函数,∴x=-1是关于x的方程a+1-ax=0的根,∴a=-,
∴f(x)=ln+b,
∴f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞),
∴f(0)=ln +b=0,∴b=ln 2.
9.C　因为a=20.7>20=1,b==1且b>0,c=log2b>c.
10.C　∵log5211.C　∵f(x)是定义域为R的偶函数,
∴f(-x)=f(x),
∴f =f(-log34)=f(log34).
∵log34>log33=1,且1>>0,
∴log34>>0.
∵f(x)在(0,+∞)上单调递减,
∴f()>f(log34)=f .
故选C.
12.A　a=log53∈(0,1),b=log85∈(0,1),则=log53·log58<<1,∴a又∵134<85,∴135<13×85,两边同取以13为底的对数得log13135.
又∵55<84,∴8×55<85,两边同取以8为底的对数得log8(8×55)综上所述,c>b>a,故选A.
三年模拟练
1.A　由,两边取对数得log4,则(log4a)2=,
所以log4a=或log4a=-.
当log4a=时,a==23=8,则a+log2a=8+log28=11;
当log4a=-时,a=,则a+log2a=.
综上,a+log2a=11或-.故选A.
2.AC　选项A中,根据题中图象知f(x)在定义域上单调递增,所以a>1,又f(x)的图象过点(2,0),所以b=1,所以g(x)=1,故A符合;
选项B中,由g(x)的图象可知0选项C中,由f(x)的图象知0选项D中,由f(x)的图象知03.BD　在f(x)=loga(x-2)+1中,令x-2=1,得x=3,且f(3)=loga1+1=1,则函数f(x)的图象过定点(3,1),所以m+n=4,故A错误;
由m2+n2≥2mn,可得2(m2+n2)≥(m+n)2=16,所以m2+n2≥8,当且仅当m=n=2时取等号,故B正确;
由基本不等式可得,mn≤=4,当且仅当m=n=2时取等号,故C错误;
≥=1,当且仅当即m=n=2时取等号,故D正确.故选BD.
4.B　由题意可得函数f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,
又f(-x)=log2=f(x),所以f(x)为偶函数.
当x>0时,y=+3都是减函数,
所以y=log2都是减函数,
所以f(x)=log2是减函数.
故当x<0时,f(x)=log2是增函数.
又f(1)=log2(1+1)+=3,f(-1)=3,f ≥3,所以≤1,解得0≤x≤2,又≠0,所以x≠,所以0≤x<且故选B.
5.C　因为奇函数f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(x)=-f(-x),f(2-x)=f(x),
所以f(2-x)=-f(-x),即f(2+x)=-f(x),所以f(4+x)=f(x),
当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+1),log27∈(2,3),所以log27-2∈(0,1),即log2∈(0,1),所以f(log27)=-f(log27-2)=-f,
因为1又f(-5)=-f(5)=-f(1)=-log22=-1,f(6)=f(2)=-f(0)=0,所以f(-5)故选C.
6.A　作出函数f(x)=的图象及直线y=m,如图所示,
因为函数y=f(x)的图象与直线y=m有三个不同的交点,所以0由-log3x1=log3x2=-x3+4=m得x1x2=1,x3=4-m,
所以(x1x2+1)m-x3=2m-4+m.
设h(m)=2m-4+m,m∈(0,1),
因为h(m)在(0,1)上单调递增,
所以-3即(x1x2+1)m-x3的取值范围为(-3,-1),故选A.
7.ACD　由题意可设3x=5y=15z=m,m>1,
则x=log3m,y=log5m,z=log15m,
对于A,=2+log35+log53,
因为log35>0,log53>0,所以2+log35+log53>2,所以>2,即x+y>2z,故A正确;
对于B,因为=3logm5=logm125,所以,即3x<5y,故B错误;
对于C,,故C正确;
对于D,·····=1+1+=2+≥2+2=2+2=4,
因为lg 3≠lg 5,所以等号不成立,所以>4,即xy>4z2,故D正确.
故选ACD.
8.答案　
解析　由题可知-x2-2x+3>0,解得-3则f(x)=loga(-x2-2x+3)=loga[-(x+1)2+4],
令t=-(x+1)2+4,则0若a>1,则y=logat,0所以0因为f(x)的最小值为-4,所以f(x)min=loga4=-4,
所以a-4=4,所以a=.
9.答案　6
解析　∵4x2+1>4x2,∴-2x>0,∴函数f(x)的定义域为R,
f(x)+f(-x)=ln(+2x)-2x+3
=ln[(-2x)·(+2x)]+6
=ln 1+6=6,
∵a+b=2 022,∴b=2 022-a,
∴f(a+2)+f(b-2 024)=f(a+2)+f(-a-2)=f(a+2)+f[-(a+2)]=6.
10.答案　
解析　因为函数f(x)在R上是增函数,
所以y=(3-a)x+a-1在区间(-∞,1)上是增函数且y=loga在区间[1,+∞)上也是增函数.
由函数y=(3-a)x+a-1在(-∞,1)上是增函数,
得3-a>0 a<3.①
对于函数y=loga,x∈[1,+∞),
令u=x2-ax+.
当0又y=logau为定义域内的减函数,
所以根据复合函数“同增异减”的性质可得0当a>1时,要使函数y=loga为定义域内的增函数,只需函数u=x2-ax+在[1,+∞)上也是增函数,且对数函数的真数大于0即可,
所以解得a≤2.
又a>1,所以1由①②得1因为f(x)在R上是增函数,
所以3-a+a-1≤loga,
即a2+a-≤0,解得-≤a≤.
所以实数a的取值范围是.
11.答案　[,2)
解析　∵函数f(x)=,x∈(0,1),∴f(x)∈.
由题意,x2-2ax+4>0对任意x∈[0,2]都成立,即2a∵x+≥2=4,当且仅当x=,即x=2时取等号,
∴2a<4,即a<2,又a>0,∴0令m(x)=x2-2ax+4=(x-a)2+4-a2,0≤x≤2,
①当0∴解得无解;
②当1≤a<2时,m(x)min=m(a)=4-a2,m(x)max=m(0)=4,则 [log4(4-a2),1],
∴log4(4-a2)≤,解得a≥或a≤-≤a<2.
综上,实数a的取值范围是[,2).
12.解析　(1)由>0得-1所以f(x)为奇函数,
当0不等式f(f(x))+f(ln 2)>0,可化为f(f(x))>-f(ln 2)=f(-ln 2),
所以即-1即-1故原不等式的解集为.
(2)若存在x1,x2∈[0,1),使得f(x1)=g(x2)成立,
则f(x)和g(x)在x∈[0,1)上的值域的交集不为空集.
由(1)可知当0≤x<1时,
f(x)=ln 单调递减,
所以f(x)的值域为(-∞,0].
若a>1,则g(x)=2-ax在[0,1)上单调递减,
所以g(x)的值域为(2-a,1],
此时只需2-a<0,即a>2,所以a>2;
若0所以g(x)的值域为[1,2-a),
此时[1,2-a)∩(-∞,0]= ,不满足题意.
综上,实数a的取值范围是(2,+∞).
(3)f+…+f+2n>0(n∈N*)恒成立,理由如下:
因为f=ln =ln ,
所以f+…+f
=ln +ln +ln +…+ln
=ln=ln =-ln(2n+1),
因为h(x)=ln x-(x-1)在(1,+∞)上单调递减,
所以当x>1时,h(x)即ln(2n+1)-[(2n+1)-1]<0,
即ln(2n+1)-2n<0,
所以-ln(2n+1)+2n>0,
即f+…+f+2n>0(n∈N*).
13.解析　(1)因为函数f(x)=2x为“保1值函数”,所以存在x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f(1),即+2,故=2,解得x0=1.
(2)①函数f(x)=x+不是“保k值函数”.理由如下:
若函数f(x)=x+是“保k值函数”,则存在实数x0≠0,使得f(x0+k)=f(x0)+f(k),即x0+k+,化简得+kx0+k2=0.当k≠0时,Δ=-3k2<0,方程无解;当k=0时,x0=0,f(x0)无意义.
综上,函数f(x)=x+不是“保k值函数”.
②函数f(x)=ln是“保2值函数”.
若函数f(x)=ln是“保2值函数”,则f(x)在其定义域内存在实数x0,使得f(x0+2)=f(x0)+f(2),即ln,
即·,
整理可得,
由>0,解得故当21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)