2025北师大版高中数学必修第一册同步练习题--第四章　对数运算与对数函数复习提升（含解析）

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2025北师大版高中数学必修第一册
本章复习提升
易混易错练
易错点1　对对数的运算性质记忆不准确致错
1.计算下列各式:
(1)log2;
(2)(lg 2)2+lg 2·lg 50+lg 25+(log32+log92)·(log43+log83)+;
(3)(log2125+log425+log85)·(log52+log254+log1258).
易错点2　求参数范围时忽略定义域致错
2.(2022宁夏银川二中期中)已知函数f(x)=loga(3-ax)(a>0且a≠1)在[0,1]上是减函数,则a的取值范围是(　　)
A.(0,1)　　　B.(1,3)
C.(0,3)　　　D.(1,+∞)
3.(2023重庆七校联考)已知函数f(x)=3x+t·,g(x)=ln[(2-a)·3x]-ln 2a-2x.
(1)若函数f(x)在[0,+∞)上为增函数,求实数t的取值范围;
(2)当t=1时, x1∈[0,+∞), x2∈R,都有g(x1)≤f(x2)-2成立,求实数a的取值范围.
易错点3　忽视分类讨论致错
4.(2023上海曹杨二中阶段性测试)设05.(2023广东湛江四校联考)已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1).
(1)若f(x)在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为1,求a的值;
(2)解关于x的不等式loga(-ax-1)>loga(a-x2).
思想方法练
一、方程思想
1.函数f(x)的定义域为D,若满足:①f(x)在D内是单调函数;②如果存在区间[a,b],使f(x)在区间[a,b]上的值域为,那么就称函数f(x)为“减半函数”.若函数f(x)=logc(2cx+t)(c>0,且c≠1)是“减半函数”,则实数t的取值范围为(　　)
A.(0,1)　　　　B.(0,1]　　　　C.　　　　D.
2.(2024山东烟台月考)已知函数f(x)=lg ,f(1)=0,当x>0时,恒有f(x)-f=lg x.
(1)求f(x)的解析式及定义域;
(2)若方程f(x)=lg t有解,求实数t的取值范围;
(3)若方程f(x)=lg(8x+m)的解集为 ,求实数m的取值范围.
二、数形结合思想
3.(多选题)(2023河南省实验中学期中)已知函数f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x-2,且f(a)=g(b)=0,则下列结论错误的是(　　)
A.a>b　　　B.g(a)<0C.a+b=2　　　D.g(a)>0>f(b)
4.(2024湖北十堰东风高级中学月考)已知函数f(x)=当方程f(x)=m有四个不等实根x1,x2,x3,x4(x1三、转化与化归思想
5. (2024江苏海安曲塘高级中学期中)若实数a,b,c满足6a=12ac=3,3b-ab=5a-ab,则a,b,c的大小关系是(　　)
A.a>b>c　　　　B.b>c>a　　　　C.c>a>b　　　　D.c>b>a
6.(2024黑龙江双鸭山第一中学月考)已知函数f(x)=lg(ax-3)的图象经过定点(2,0),若不等式2f(x)>lg(kx2)在区间[3,4]上有解,求k的取值范围.
四、分类讨论思想
7. (2024江西上饶广丰中学月考)已知函数f(x)=(x2-2ax+3).
(1)若f(x)的值域为R,求实数a的取值范围;
(2)若f(x)在[1,2]内单调,求实数a的取值范围.
8.(2023河北衡水中学质检)已知函数f(x)=logax(a>0,且a≠1).
(1)若函数f(x)的图象与函数h(x)的图象关于直线y=x对称,且点P(2,16)在函数h(x)的图象上,求实数a的值;
(2)已知函数g(x)=f,x∈,若g(x)的最大值为8,求实数a的值.
答案与分层梯度式解析
本章复习提升
易混易错练
1.解析　(1)原式=log2.
(2)设m=ln 8,则em=8,所以7ln 8-8ln 7=7m-=7m-7m=0,
所以原式=(lg 2)2+lg 2(lg 5+1)+2lg 5++20
=(lg 2)2+lg 2lg 5+lg 2+2lg 5+log23+1
=lg 2(lg 2+lg 5)+lg 2+2lg 5++1
=2lg 2+2lg 5++1
=2+.
(3)解法一:原式=log253+·
=·
=log25·3log52
=log25·3log52=13.
解法二:原式=···=13.
易错警示　准确记忆对数的运算性质和相关公式是对数运算的前提,同时要注意性质或公式成立的前提.
2.B　设t=3-ax,因为a>0且a≠1,所以t=3-ax为减函数,又因为f(x)=loga(3-ax)在[0,1]上是减函数,所以y=logat为增函数,
所以解得1易错警示　在研究形如y=loga f(x)(a>0且a≠1)的函数的性质时,可转化为研究f(x)的性质,同时要注意f(x)>0这一隐含条件.
3.解析　(1)任取x1,x2∈[0,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=,
因为函数f(x)在[0,+∞)上为增函数,所以f(x1)-f(x2)<0恒成立,
因为x10,
所以-t>0恒成立,即>t恒成立,
当0≤x1故t≤1,即实数t的取值范围为(-∞,1].
(2)由(1)知f(x2)=,所以f(x2)-2=-2≥2-2=0,当且仅当x2=0时等号成立,则f(x2)-2的最小值为0.
由ln [(2-a)·]有意义,得(2-a)·>0,即2-a>0,解得a<2.
由ln 2a有意义,得2a>0,解得a>0.
由题意可得g(x1)≤0对任意x1∈[0,+∞)恒成立,
所以ln[(2-a)·]≤ln 2a+2x1对任意x1∈[0,+∞)恒成立,
则ln [(2-a)·]≤ln 2a+ln =ln(2a·),
即(2-a)·≤2a·,得≤对任意x1∈[0,+∞)恒成立,
令φ(x1)=因为0<<1,所以φ(x1)为减函数,
即当x1∈[0,+∞)时,φ(x1)的最大值为φ(0)=1,
所以≥1,解得a≥.
综上,实数a的取值范围为.
易错警示　本题第(2)问中,由g(x1)≤0对任意x1∈[0,+∞)恒成立得出a的范围后不要忽略对数函数的定义域,要结合(2-a)·>0和2a>0得到正确的结论,在求解参数范围问题时,一定要先求函数的定义域,在满足定义域的前提下再解决其他问题.
4.答案　[3,6]
解析　作出函数y=|log2x-1|的图象如图所示,
令y=|log2x-1|=0,解得x=2,
令y=|log2x-1|=1,解得x=1或x=4.
①若a>2,则y=|log2x-1|>0,不符合题意,舍去;
②若a=2,则b=4,此时a+b=6;
③若1④若a=1,则2≤b≤4,此时3≤a+b≤5.
综上所述,3≤a+b≤6.
5.解析　(1)因为f(x)=logax在[a,2a]上为单调函数,且f(x)在[a,2a]上的最大值与最小值之差为1,
所以|loga(2a)-logaa|=|loga2|=1,解得a=2或a=.
(2)当0所以即故原不等式的解集为 ;
当a>1时,f(x)=logax是(0,+∞)上的增函数,
所以即
故原不等式的解集为(-,-1).
易错警示　底数不同,函数的单调性可能不同,所以当底数含有参数时,要适当对底数进行讨论.
对应主书P78
1.D　显然f(x)是定义域上的增函数,因此,若f(x)是“减半函数”,则
即f(x)=有两个不等实根.
根据函数的性质构建关于a,b的方程组.
由logc(2cx+t)=,可得2cx+t=.
令=u,则u>0,2u2-u+t=0.
依题意知方程有两个不等正实根,设为u1,u2,
构造关于u的一元二次方程,根据方程根的情况,应用三个“二次”之间的关系求解.
所以解得02.解析　(1)由题意列出对数方程,通过对数的运算性质得到关于a,b的方程,体现方程思想.
由题得lg -lg =lg x,即lg -lg =lg x,
即lg=lg x,∴·=x,
整理得(a-b)x2-(a-b)x=0,∴a=b,
又f(1)=0,即lg =0,∴a+b=2,从而a=b=1,
∴f(x)=lg .
令>0,得x<-1或x>0,∴f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(0,+∞).
(2)方程f(x)=lg t有解,即lg =lg t有解,
∴t=,
结合(1)知<-1或>0,解得t>2或0∴实数t的取值范围是(0,2)∪(2,+∞).
(3)方程f(x)=lg(8x+m),即lg =8x+m,即8x2+(6+m)x+m=0,
方程的解集为 ,有两种情况:
①方程8x2+(6+m)x+m=0无解,即Δ<0,得2②方程8x2+(6+m)x+m=0有解,且根均在[-1,0]内,令g(x)=8x2+(6+m)x+m,
则解得0≤m≤2.
综上所述,实数m的取值范围是[0,18).
思想方法　在对数函数中,利用条件得到等式,运用代数手段构造方程,通过方程的知识结合对数运算解题,是解决问题最基本的方法之一.
3.AD　在同一平面直角坐标系中作出函数y=ex,y=ln x,y=-x+2的图象,如图.
将已知转化为方程的根,构造相应函数,利用函数图象分析求解.
∵f(a)=g(b)=0,∴ea=2-a,ln b=2-b.
故x=a,x=b分别是y=ex与y=2-x,y=ln x与y=2-x图象交点的横坐标,∴0由图可知,ln a<2-a,故g(a)=ln a+a-2<0,同理f(b)=eb+b-2>0,故B中结论正确,D中结论错误.
由得
即y=ex和y=ln x的图象分别与直线y=-x+2的交点关于点(1,1)对称,则=1,即a+b=2,故C中结论正确.
故选AD.
4.答案　2-
解析　当2通过画出函数图象,将方程的根转化为函数图象交点的横坐标,进而得到x1,x2,x3,x4的值,体现了数形结合思想.
画出y=f(x)和y=m的图象,如图所示,
则x1,x2,x3,x4分别为A,B,C,D的横坐标,
由f(2)=ln 2知0∴≥2x1x2=2,x3=4-x2,x4=4-x1,
分离参数得k≥,
设g(x)=,
令x1+x2=t,则2则g(n)=+2,
∵n+≥2(当且仅当n=时取“=”),∴g(n)≤2-,即g(x)≤2-,
∴k≥2-,即实数k的最小值为2-.
思想方法　与对数函数有关的方程根的问题,常通过画出相应函数的图象,将方程的根转化为函数图象交点的横坐标,进而解决问题,这是数形结合思想在本章中的重要体现,利用数形结合思想解决函数问题时应注意以下几点:①准确画出函数图象,注意函数的定义域;②科学设置参数,并建立参数之间的关系,将数与形进行合理转换;③掌握数学曲线中的代数特征,掌握参数的取值对曲线形状和位置的影响.
5.D　∵6a=3,∴a=log63,∵12ac=3,∴ac=log123,则c==log126,1-a=log62,
又3b-ab=5a-ab,∴,
∴-1=log561-a=(1-a)log56=log62·log56=log52,∴=log510,即b=lg 5,
将a,b,c通过换底公式转换成自然对数的形式,再比较大小.
则a=log6,
b=lg =1-lg 2=1-,
c=log12,
∵-,∴a6.解析　由题意得f(2)=lg(2a-3)=0,∴2a-3=1,解得a=2,∴f(x)=lg(2x-3).
当x∈[3,4]时,2x-3>0恒成立,令kx2>0,则k>0,
由2f(x)>lg(kx2)得2lg(2x-3)=lg (2x-3)2>lg(kx2),∴(2x-3)2>kx2,
对不等式进行变形,把k分离出来,通过分离参数将不等式有解问题转化为求函数的最值问题.
即k<+4,
令t=,则t∈,
令g(t)=9t2-12t+4=9,则当t∈时,g(t)max=g,
∴k<,又k>0,∴0即实数k的取值范围为.
思想方法　在对数的运算中,常通过换底公式将不同底的对数转化为同底的对数,方便进行运算;在对数函数问题中,常将不等式恒成立或有解问题转化为函数的最值问题,这些都是转化与化归思想在本章中的应用.
7.解析　(1)令u(x)=x2-2ax+3,则f(x)=u(x).
因为f(x)的值域为R,所以u(x)能取(0,+∞)内的一切值,
所以Δ=4a2-12≥0,解得a≤-或a≥.
故实数a的取值范围为(-∞,-]∪[,+∞).
(2)因为f(x)在[1,2]内单调,且y=x在定义域内单调递减,
所以u(x)在[1,2]内也单调,且当x∈[1,2]时u(x)>0,
f(x)的单调性不确定,可分单调递增和单调递减进行讨论,再根据复合函数同增异减的原则求a的范围.
当u(x)在[1,2]内单调递增时,f(x)在[1,2]内单调递减,则a≤1且u(1)=4-2a>0,解得a≤1;
当u(x)在[1,2]内单调递减时,f(x)在[1,2]内单调递增,则a≥2且u(2)=7-4a>0,无解.
综上,实数a的取值范围为(-∞,1].
8.解析　(1)因为函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)的图象与函数h(x)的图象关于直线y=x对称,
所以h(x)=ax(a>0,且a≠1),
因为点P(2,16)在函数h(x)的图象上,
所以16=a2,解得a=4或a=-4(舍去).故a=4.
(2)g(x)=loga·loga=(logax-loga2)(logax-loga8)=(logax)2-4loga2·logax+3(loga2)2.
令t=logax,则φ(t)=t2-4tloga2+3(loga2)2,其图象开口向上,且对称轴为直线t=2loga2.
对数函数t=logax的底数含有参数a,可分01两种情况讨论,研究函数的单调性、值域等.
①当0可得φ(t)max=φ(-loga2)=(-loga2)2+4(loga2)2+3(loga2)2=8(loga2)2=8,
解得a=或a=2(舍去);
②当a>1时,由≤x≤8,得-loga2≤logax≤3loga2,
可得φ(t)max=φ(-loga2)=(-loga2)2+4(loga2)2+3(loga2)2=8(loga2)2=8,
解得a=2或a=(舍去).
综上,实数a的值为或2.
思想方法　在对数(型)函数问题中,底数对函数的图象和性质有影响,当底数的值不确定时要注意对底数进行分类讨论;与对数函数有关的复合函数问题中,判断单调性时,可根据同增异减的原则确定分类标准分类求解等.这些都是分类讨论思想在本章中的重要体现.
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