2025北师大版高中数学必修第一册同步练习题--第五章　函数应用（含解析）

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2025北师大版高中数学必修第一册
第五章　函数应用
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知函数f(x)=log2x-,下列区间中,包含f(x)零点的是(　　)
A.(0,1)　　　　B.(1,2)　　　　C.(2,3)　　　　D.(3,4)
2.我国古代著名的思想家庄子在《庄子·天下篇》中说:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”用现代语言叙述为:“一尺长的木棒,每天取其一半,永远也取不完.”像上面说的这样,木棒每天剩下的部分都是前一天的一半,如果把“一尺之棰”看成单位“1”,那么x天后剩下的部分y与x的函数关系式为(　　)
A.y=x(x∈N+)`　　　　B.y=(x∈N+)
C.y=2x(x∈N+)`　　　　D.y=(x∈N+)
3.若函数y=f(x)的一个正零点用二分法计算,零点附近函数值的参考数据如下:f(1)=-2,f(1.25)=-0.984,f(1.375)=-0.260,f(1.406 25)=-0.054,f(1.437 5)=0.162,f(1.6)=0.625,那么方程f(x)=0的一个近似解(精确度为0.1)为(　　)
A.1.2　　　　B.1.3　　　　C.1.4　　　　D.1.5
4.明清时期,古镇河口因水运而繁华.若有一商家的货船从石塘沿水路顺水航行,前往河口,途中因故障停留一段时间,到达河口后逆水航行返回石塘,假设货船在静水中的速度不变,水流速度不变,若该货船从石塘出发后所用的时间为x小时、货船与石塘的距离为y千米,则下列各图中,能反映y与x之间函数关系的大致图象是(　　)
5.若f(x)为奇函数,且x0是y=f(x)-ex 的一个零点,则下列函数中,-x0一定是其零点的是(　　)
A.y=f(x)ex+1`　　　　B.y=f(-x)e-x-1
C.y=f(x)ex-1`　　　　D.y=f(-x)ex+1
6.已知函数f(x)=若方程f(x)=k有且仅有三个不等实根,则实数k的取值范围是(　　)
A.k>0　　　　B.07.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,若f ),则方程f(x)=0的实根的个数是(　　)
A.2　　　　B.2或1　　　　C.3　　　　D.2或3
8.对于函数f(x)和g(x),设α∈{x|f(x)=0},β∈{x|g(x)=0},若存在α,β,使得|α-β|≤1,则称f(x)和g(x)互为“零点相邻函数”,若函数f(x)=ln(x-1)+x-2与g(x)=x2-ax+4互为“零点相邻函数”,则实数a的取值范围是(　　)
A.　　　　D.[4,+∞)
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知函数f(x)的图象是连续的,且f(x)的唯一零点同在(0,4),(0,2),内,则与f(0)符号不同的是(　　)
A.f
10.一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者从甲城出发,沿同一路径去相距80 km的乙城,所行驶的路程与时间之间的函数关系如图所示,有人根据函数图象,提出了关于这两位旅行者的下列信息,其中正确的信息是　　(　　)
A.骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h,晩到1 h
B.骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动
C.骑摩托车者在出发1.5 h时追上了骑自行车者
D.骑摩托车者在出发1.5 h时与骑自行车者速度一样
11.已知函数f(x)=若函数y=f(x)-k有四个零点,从小到大依次为x1,x2,x3,x4,则下列说法正确的是(　　)
A.x1+x2>0
B.x3+x4的最小值为4
C.2D.方程f(f(x))-t=0最多有10个不相等的实根
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.用二分法研究函数f(x)在区间(0,1)内的零点时,计算得f(0)<0, f(0.5)<0,f(1)>0,那么下一次应计算x=　　　　时的函数值.
13.某公司为了业务发展制订了一个激励销售人员的奖励方案,当销售额x为8万元时,奖励金额y为1万元;当销售额x为64万元时,奖励金额y为4万元.若公司拟定的奖励模型为y=alog4x+b.某业务员要得到8万元奖励,则他的销售额应为　　　　万元.
14.已知x∈R,符号[x]表示不大于x的最大整数,比如[2.8]=2,[-5.3]=-6,若函数f(x)=+a(x>0)有且仅有2个零点,则实数a的取值范围是　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)中国茶文化博大精深,茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是T0 ℃,空气温度是Te ℃,那么t min 后物体的温度T(t)(单位:℃)可由公式T(t)=(T0-Te)e-kt+Te求得,其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数.现有某种刚泡好的普洱茶,茶水温度是90 ℃,放在室温20 ℃的环境中自然冷却,10 min后茶水的温度是55 ℃.
(1)求k的值;
(2)经验表明,当室温为25 ℃时,该种普洱茶用85 ℃的水泡制,自然冷却至65 ℃时饮用,可以产生最佳口感,那么,刚泡好的茶水在室温为25 ℃时自然冷却大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感 (结果精确到0.1,参考数据:ln 2≈0.7,ln 3≈1.1)
16.(15分)已知函数f(x)=2x-(a∈R).
(1)若f(x)为奇函数,求a的值;
(2)若方程f(x)=a在x∈[0,1]上有且仅有一个实数根,求a的取值范围.
17.(15分)已知函数f(x)=的值域为M,函数g(x)=4x-2x+1(x∈M).
(1)求M;
(2)求函数g(x)的值域;
(3)当x∈M时,若函数h(x)=4x-2x+1-b(b∈R)有零点,求b的取值范围,并讨论零点的个数.
18.(17分)已知函数f(x)=3x+a·3-x为偶函数.
(1)求实数a的值;
(2)若关于x的不等式f(2x)-mf(x)≥0恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设函数g(x)=f(x)+x-3-x-3的零点为x0,求证:.
19.(17分)小萌大学毕业后,家里给了她10万元,她想办一个“萌萌”加工厂.根据市场调研,她得出了一组毛利润y(单位:万元)与投入成本x(单位:万元)的数据如下:
投入成本x 0.5 1 2 3 4 5 6
毛利润y 1.06 1.25 2 3.25 5 7.25 9.98
为了预测不同投入成本情况下的利润,她想在两个模型f(x)=ax2+b(a≠0),g(x)=p·2x+q(p≠0)中选一个进行预测.
(1)根据投入成本为2万元和4万元的两组数据分别求出两个模型的函数解析式,请你根据给定的数据选出一个较好的函数模型进行预测(不必说明理由),并预测她投入8万元的毛利润;
(2)若小萌准备最少投入2万元开办加工厂,请利用(1)中选定的模型,预测加工厂毛利润率r的最大值,并说明理由.
答案与解析
第五章　函数应用
1.B　f(x)=log2x-在(0,+∞)上单调递增,
f(1)=-1<0,f(2)=1->0,
故函数f(x)的零点在区间(1,2)内.故选B.
2.D　由题意可得,剩下的部分依次为(x∈N+),故选D.
3.C　因为1.6-1.437 5=0.162 5>0.1,所以不必考虑端点1.6;
因为1.406 25-1.25=0.156 25>0.1,所以不必考虑端点1.25和1;
因为f(1.437 5)>0,f(1.375)<0,所以f(1.437 5)f(1.375)<0,所以函数f(x)在(1.375,1.437 5)内有零点,
因为1.437 5-1.375=0.062 5<0.1,所以满足精确度0.1,
所以方程f(x)=0的一个近似解(精确度为0.1)是区间(1.375,1.437 5)内的任意一个值(包括端点值),结合选项知选C.
4.A　由题意可得,货船从石塘到途中刚出现故障这段时间,y随x的增大而增大,因故障停留的这段时间,y随x的增大而不变,解除故障到到达河口这段时间,y随x的增大而增大,从河口返回石塘的这段时间,y随x的增大而减小,故选A.
5.A　∵x0是y=f(x)-ex的一个零点,∴f(x0)-=0.
又∵f(x)为奇函数,∴f(-x0)=-f(x0),
∴-f(-x0)-=0,即f(-x0)++1=0,
∴-x0一定是y=f(x)ex+1的零点.
6.B　在同一平面直角坐标系中画出f(x)的图象及直线y=k,如图所示,
由图可知,要使方程f(x)=k有且仅有三个不等实根,即f(x)的图象与直线y=k有三个不同的公共点,则需07.D　∵f(x)是定义在R上的偶函数,∴函数f(x)的图象关于y轴对称.
又f(x)在(0,+∞)上单调递减,且f ),
∴f(x)在(0,+∞)上有且仅有1个零点,
则f(x)在(-∞,0)上也仅有1个零点.
若f(0)=0,则f(x)共有3个零点;
若f(0)≠0,则f(x)共有2个零点.故选D.
8.B　函数f(x)的定义域为(1,+∞),
任取x1,x2∈(1,+∞),且x1因为1即f(x1)由f(2)=0,知f(x)只有一个零点2,
因为函数f(x)与g(x)互为“零点相邻函数”,所以g(x)=x2-ax+4在[1,3]上存在零点,
则Δ=a2-16≥0,解得a≥4或a≤-4,
当Δ=0,即 a=±4时,g(x)存在唯一零点,当a=4时,零点为2∈[1,3],符合题意;当a=-4时,零点为-2 [1,3],不符合题意;
当Δ>0,即 a>4或a<-4 时,令g(1)=0,则a=5,令g(3)=0,则a=,
若g(x)在 (1,3)上只有1个零点,则g(1)g(3)<0,即(5-a)(13-3a)<0,解得若g(x)在 (1,3)上有2个零点,则.
综上,实数a的取值范围是[4,5].故选B.
9.BD　由二分法的步骤可知,①零点在(0,4)内,则有f(0)f(4)<0,不妨设f(0)>0,f(4)<0,取中间值2;②零点在(0,2)内,则有f(0)f(2)<0,则f(0)>0,f(2)<0,取中间值1;③零点在(1,2)内,则有f(1)f(2)<0,则f(1)>0,f(2)<0,取中间值,故选BD.
10.AB　由题图知,骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h,晩到1 h,A正确;
骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线段,所以是匀速运动,而骑自行车者前3 h与后2 h行驶的速度不相等,所以是变速运动,B正确;
骑摩托车者的速度为40 km/h,他出发1 h后离骑自行车者还有10 km的路程,骑自行车者后2 h的速度为15 km/h,故骑摩托车者还需要(h)才能追上骑自行车者,故骑摩托车者在出发1.4 h时追上了骑自行车者,故C,D错误.
故选AB.
11.ACD　令y=f(x)-k=0,则f(x)=k,函数y=f(x)-k的零点即为y=f(x)与y=k图象交点的横坐标,作出函数y=f(x)的图象,如图所示,
则x1<0对于A,因为f(x1)=f(x2),即,且x1<0所以-1<0,可得-1=0,
整理得2=,即<1,所以x1+x2>0,故A正确.
对于B,因为f(x3)=f(x4),即|log4(x3-1)|=|log4(x4-1)|,且1则0所以log4(x3-1)+log4(x4-1)=log 4[(x3-1)(x4-1)]=0,即(x3-1)(x4-1)=1,
可得x3+x4=x3x4<,解得x3+x4>4,故B错误.
对于C,因为f(x2)=f(x4)=k,所以-,
设h(k)=4k+1-log2(1-k),0因为y=4k+1,y=-log 2(1-k)在上单调递增,
所以h(k)=4k+1-log 2(1-k)在=4,
所以2对于D,方程f(f(x))-t=0,即f(f(x))=t,令m=f(x),则f(m)=t,注意到f,
若t<0,则方程f(m)=t无实根,即方程m=f(x)无实根,故方程f(f(x))-t=0无实根;
若t=0,则方程f(m)=t有2个不相等的实根0,2,且f(x)=0有2个不相等的实根,f(x)=2有3个不相等的实根,故方程f(f(x))-t=0有5个不相等的实根;
若0且f(x)=m1无实根,f(x)=m2有4个不相等的实根,f(x)=m3和f(x)=m4均有3个不相等的实根,故方程f(f(x))-t=0有10个不相等的实根;
若1-且f(x)=m1无实根,f(x)=m2,f(x)=m3和f(x)=m4均有3个不相等的实根,故方程f(f(x))-t=0有9个不相等的实根;
若t>,则方程f(m)=t有3个不相等的实根,从小到大依次记为m1,m2,m3,则m1<0<1且f(x)=m1无实根,f(x)=m2和f(x)=m3均有3个不相等的实根,故方程f(f(x))-t=0有6个不相等的实根.
综上所述,方程f(f(x))-t=0最多有10个不相等的实根,故D正确.
故选ACD.
12.答案　0.75
13.答案　1 024
解析　依题意得
所以y=2log4x-2.当y=8,即2log4x-2=8时,x=1 024.
14.答案　
解析　当x>0时,由f(x)=+a=0可得-ax=[x],
将问题转化为直线y=-ax与函数y=[x]的图象在(0,+∞)上有两个交点,如图所示,
当直线y=-ax经过点(3,2)时,有-3a=2,解得a=-;
当直线y=-ax经过点(4,3)时,有-4a=3,解得a=-.
由图可知,当-时,直线y=-ax与函数y=[x]的图象在(0,+∞)上有两个交点.
因此实数a的取值范围是.
15.解析　(1)把T0=90,Te=20,t=10,T(t)=55代入T(t)=(T0-Te)e-kt+Te,得55=(90-20)e-10k+20,(4分)
解得e-10k=.(6分)
(2)假设自然冷却大约需要放置t min能达到最佳饮用口感,则65=(85-25)e-kt+25,(9分)
代入k=≈5.7,(12分)
所以刚泡好的茶水在室温为25 ℃时自然冷却大约需要放置5.7 min 后才能达到最佳饮用口感.(13分)
16.解析　(1)因为函数f(x)=2x-(a∈R)的定义域为R,且为奇函数,所以f(0)=1-a=0,所以a=1.经检验,符合题意.(3分)
(2)设t=2x,因为x∈[0,1],所以t∈[1,2].
由方程f(x)=a,即2x-=a,即t2-at-a=0,
所以原问题等价于t2-at-a=0在t∈[1,2]上有且仅有一个实数根.(5分)
设g(t)=t2-at-a(1≤t≤2).
①当方程g(t)=0的根为区间[1,2]的端点时,t=1或t=2.
若g(1)=1-a-a=0,则a==0,
解得t=1或t=-,所以g(t)在区间[1,2]上有且仅有一个实数根,符合题意;(9分)
若g(2)=4-2a-a=0,则a=,所以g(t)在区间[1,2]上有且仅有一个实数根,符合题意.(12分)
②当方程g(t)=0的根在区间(1,2)的内部时,由方程在(1,2)内有且仅有一个实数根,
得g(1)g(2)<0或.(14分)
综上,a的取值范围为.(15分)
17.解析　(1)函数y=3-x是减函数,当x<0时,y>3;
函数y=ln x是增函数,当0∴M=(-∞,1)∪(3,+∞).　　(3分)
(2)设t=2x,则y=t2-2t=(t-1)2-1.
∵x∈M,∴x<1或x>3,∴t∈(0,2)∪(8,+∞).(5分)
当t∈(0,2)时,y∈[-1,0);
当t∈(8,+∞)时,y∈(48,+∞).
故函数y=t2-2t的值域为[-1,0)∪(48,+∞).
故函数g(x)的值域为[-1,0)∪(48,+∞).(8分)
(3)函数h(x)=4x-2x+1-b有零点等价于方程4x-2x+1-b=0有实数根,
即方程4x-2x+1=b有实数根,
等价于直线y=b与函数y=g(x)(x∈M)的图象有交点.(10分)
由(2)知g(x)∈[-1,0)∪(48,+∞),所以当且仅当b∈[-1,0)∪(48,+∞)时,函数h(x)=4x-2x+1-b有零点.
结合一元二次函数的图象与性质及(2)可得,
当t∈(0,1]时,函数y=t2-2t单调递减,当t∈[1,2)时,函数y=t2-2t单调递增,当t∈(8,+∞)时,函数y=t2-2t单调递增.(12分)
所以当b=-1或b∈(48,+∞)时,函数只有一个零点;(14分)
当b∈(-1,0)时,函数有两个零点.(15分)
18.解析　(1)因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x),即3x+a·3-x=3-x+a·3x恒成立,所以a=1.经检验,a=1符合题意.(4分)
(2)由(1)可得f(x)=3x+3-x.(6分)
设3-x+3x=t,则t∈[2,+∞).
不等式f(2x)-mf(x)≥0恒成立,等价于t2-mt-2≥0,即m≤t-在t∈[2,+∞)上恒成立.(8分)
因为y=t-在[2,+∞)上单调递增,所以=1,故m≤1,即实数m的取值范围为(-∞,1].(10分)
(3)证明:易得g(x)=3x+x-3,易知g(x)在R上单调递增,
因为g(log32)=2+log32-3<0,g(log32.5)=2.5+log32.5-3>log3-0.5=0,g(x)的图象连续不断,所以由函数零点存在定理可得x0∈(log32,log32.5).(13分)
令u=3x,log32易知y=u+在(2,2.5)上单调递增,则f(x)在(log32,log32.5)上单调递增,(15分)
所以f(log32)19.解析　(1)求第一个模型f(x)=ax2+b(a≠0)的解析式,
由已知数据可得(2分)
∴f(x)=x2+1(0同理可求得g(x)=·2x+1(0f(x)=x2+1(0当x=8时,毛利润为17万元.(9分)
(2)预测加工厂毛利润率r的最大值为.理由如下:(10分)
r=(2≤x≤10).
任取x1,x2∈[2,10],且x1则r2-r1=.(13分)
因为x2>x1≥2,所以x1x2-4>0,x2-x1>0,所以r2-r1>0,即r2>r1,
所以r=在[2,10]上单调递增,(16分)
当x=10时,rmax=.(17分)
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