2025北师大版高中数学必修第一册同步练习题--第五章　函数应用拔高练（含解析）

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2025北师大版高中数学必修第一册
综合拔高练
五年高考练
考点1　函数零点、方程的根与函数图象的关系
1.(2020天津,9)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|(k∈R)恰有4个零点,则k的取值范围是(　　)
A.∪(2,+∞)
B.∪(0,2)
C.(-∞,0)∪(0,2)
D.(-∞,0)∪(2,+∞)
2.(2021北京,15)已知函数f(x)=|lg x|-kx-2,给出下列四个结论:
①当k=0时,f(x)恰有2个零点;
②存在负数k,使得f(x)恰有1个零点;
③存在负数k,使得f(x)恰有3个零点;
④存在正数k,使得f(x)恰有3个零点.
其中所有正确结论的序号是　　　　.
3.(2022天津,15)设a∈R,对于任意实数x,记f(x)=min{|x|-2,x2-ax+3a-5},若f(x)至少有3个零点,则实数a的取值范围为　　　　.
4.(2023天津,15)若函数f(x)=ax2-2x-|x2-ax+1|有且仅有两个零点,则a的取值范围为　　　　.
考点2　函数模型的应用
5.(2020全国新高考Ⅰ,6)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)(　　)
A.1.2天　　　　B.1.8天　　　　C.2.5天　　　　D.3.5天
6.(2020全国Ⅲ,4)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=,其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln 19≈3)(　　)
A.60　　　　B.63　　　　C.66　　　　D.69
三年模拟练
应用实践
1.(2023湖北武汉武钢三中月考)函数y=lg x+2x-5的零点x0∈(1,3),对区间(1,3)利用两次“二分法”,可确定x0所在的区间为(　　)
A.　　　B.
C.　　　D.
2.(2023四川南充南部中学月考)当强度为x的声音对应的等级为f(x)分贝时,有f(x)=10lg (其中A0为常数).装修时电钻发出的声音约为100分贝,普通室内谈话的声音约为60分贝.则装修时电钻发出的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值约为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.104　　　　D.e4
3.已知三个函数f(x)=2x+x-2,g(x)=x3-8,h(x)=log2x+x-2的零点依次为a,b,c,则a+b+c=(　　)
A.6　　　　B.5　　　　C.4　　　　D.3
4.(2023湖南名校联考)已知函数f(x)=若函数g(x)=[f(x)]2+4f(x)+a(a∈R)有三个不同的零点,则a的取值范围为　　(　　)
A.(-∞,4)　　　B.(-∞,4]
C.(-∞,-12)　　　D.(-∞,-12]
5.(多选题)(2024湖北武汉部分重点学校期末)已知函数f(x)=函数g(x)=f(f(x))-m,则下列结论正确的是(　　)
A.若x=0,则f(f(x))=0
B.若f(f(x))=0,则x=0
C.若m=4,则g(x)有3个零点
D.若36.(多选题)(2023江西第二次模拟联考)已知函数f(x)=方程f(x)=a有四个不等实根x1,x2,x3,x4,且数值依次递增,则下列结论正确的是(　　)
A.x1x2=　　　B.x1+x2∈(1,+∞)
C.x3x4=1　　　D.x3+x4∈
7.(2024山东泰安第二中学月考)已知函数f(x)=若存在互不相等的实数a,b,c,d使得f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=m,则实数m的取值范围为　　　　; a+b+c+d的取值范围是　　　　.
8.(2024四川彭州第一中学月考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=-f(x),且x∈[0,2]时,f(x)=log2(x+1),给出下列结论:①f(3)=1;②函数f(x)在[-6,-2]上单调递增;③函数f(x)的图象关于直线x=2对称;④若m∈(0,1),则关于x的方程f(x)-m=0在[-8,16]上的所有根之和为12.其中正确结论的序号为　　　　.
9.(2022江苏南京二十九中学情调研)已知函数f(x)=x2-3mx+n的两个零点分别为1和2.
(1)求m,n的值;
(2)若不等式f(x)-k>0在x∈[0,5]上恒成立,求k的取值范围;
(3)令g(x)=,若函数F(x)=g(2x)-r·2x在x∈[-1,1]上有零点,求实数r的取值范围.
10.(2024安徽六安第一中学期末)已知函数f(x)=loga(a>0且a≠1).
(1)求f(x)的定义域;
(2)当a=时,函数g(x)=f(x)-b在(1,+∞)上有且只有一个零点,求实数b的取值范围;
(3)是否存在实数a,使得当f(x)的定义域为[m,n]时,值域为[1+logan,1+logam] 若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.
迁移创新
11.(2022山西太原期中)国庆节期间,某商场进行如下的优惠促销活动:
优惠一:一次购买商品的价格,每满60元立减5元;
优惠二:在优惠一之后,每满400元再减40元.
例如,一次购买商品的价格为140元,则实际支付金额为140-5×=140-5×2=130(元),其中[x]表示不大于x的最大整数.又如,一次购买商品的价格为880元,则实际支付金额为880-5×-40×2=730(元).
(1)小明计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品,他是分两次支付好,还是一次性支付好 请说明理由;
(2)已知某商品是小明常用必需品,其价格为30元/件.小明趁商场促销,想多购买几件该商品,其预算不超过500元,试求他应购买多少件该商品,才能使其平均价格最低,并求出最低平均价格.
综合拔高练
五年高考练
1.D　令h(x)=|kx2-2x|,函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|(k∈R)恰有4个零点即y=f(x)与y=h(x)的图象恰有4个交点.
当k=-时,h(x)=,在同一直角坐标系中作出y=f(x),y=h(x)的图象,如图1所示.
此时y=f(x)与y=h(x)的图象恰有4个不同交点,即函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|恰有4个零点,排除A,B;
当k=1时,h(x)=|x2-2x|,作出y=h(x)与y=f(x)的图象,如图2所示.
此时函数y=f(x)与y=h(x)的图象仅有2个交点,不符合题意,排除C.故选D.
2.答案　①②④
解析　令f(x)=|lg x|-kx-2=0,得|lg x|=kx+2,
令g(x)=|lg x|,h(x)=kx+2,
所以f(x)的零点个数即函数g(x)与h(x)图象的交点个数.
当k=0时,如图a,g(x)与h(x)的图象有2个交点,则f(x)有2个零点,故①正确;
当k>0时,如图b,存在h(x)=k0x+2的图象与函数g(x)=|lg x|(x>1)的图象相切的情况,此时h(x)与g(x)的图象有2个交点,当0当k<0时,如图c,g(x)与h(x)的图象最多有2个交点,g(x)与h(x)的图象相切时有1个交点,如图d,故②正确,③不正确.
综上,正确结论的序号为①②④.
图a
图b
图c
图d
3.答案　[10,+∞)
解析　设h(x)=|x|-2,g(x)=x2-ax+3a-5.
由|x|-2=0得x=±2,则h(x)有2个零点.
要使f(x)至少有3个零点,则g(x)至少有1个零点,
则(-a)2-4(3a-5)≥0,解得a≤2或a≥10.
①当a=2时,g(x)=x2-2x+1,作出y=h(x)和y=g(x)的图象如图1所示,
图1
此时f(x)只有2个零点,不符合题意;
②当a<2时,设g(x)的两个零点分别为x1,x2(x1要使f(x)至少有3个零点,则x2≤-2,
所以无解;
③当a=10时,g(x)=x2-10x+25,作出y=h(x)和y=g(x)的图象如图2所示,
图2
此时f(x)有3个零点,符合题意;
④当a>10时,设函数g(x)的两个零点分别为x3,x4(x3要使f(x)至少有3个零点,则x3≥2.
所以解得a>4,所以a>10.
综上,实数a的取值范围是[10,+∞).
4.答案　(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)
解析　函数f(x)=ax2-2x-|x2-ax+1|有且仅有两个零点等价于关于x的方程ax2-2x-|x2-ax+1|=0有两个不相等的实根,设h(x)=x2-ax+1,令x2-ax+1=0,则Δ=a2-4.
则f(x)=ax2-2x-|x2-ax+1|=
①当Δ=a2-4≤0,即-2≤a≤2时,h(x)=x2-ax+1≥0对任意的x∈R恒成立.
所以f(x)=(x+1)[(a-1)x-1],
a=1时,令f(x)=0,得x=-1,与f(x)=0有两个不相等的实根矛盾;
a=0时,令f(x)=0,得x1=x2=-1,与f(x)=0有两个不相等的实根矛盾;
当a≠0且a≠1时,令f(x)=0,得x1=-1,x2=,
此时f(x)=0有两个不相等的实根.
②当Δ=a2-4>0,即a>2或a<-2时,分两种情况:
(i)若a>2,则:
h(x)≥0时,由f(x)=0,得x1=-1,x2=,
此时h(-1)=a+2>0,h<0,所以x1=-1,x2=(舍);
h(x)<0时,由f(x)=0,得x3=1,x4=,
此时h(1)=-a+2<0,h>0,所以x3=1,x4=(舍).
所以a>2时,f(x)=0有两个实根,分别为1,-1.
(ii)若a<-2,则:
h(x)≥0时,由f(x)=0,得x1=-1,x2=,
此时h(-1)=a+2<0,h>0,所以x1=-1(舍),x2=;
h(x)<0时,由f(x)=0,得x3=1,x4=,
此时h(1)=-a+2>0,h<0,所以x3=1(舍),x4=.
所以a<-2时, f(x)=0有两个实根,分别为.
综上,a的取值范围是(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞).
5.B　因为R0=3.28,T=6且R0=1+rT,所以指数增长率r==0.38,设累计感染病例数增加1倍需要的时间为t天,则I(t)=2I(0),即ert=2,即e0.38t=2,两边取自然对数得ln e0.38t=ln 2,即0.38t=ln 2,又ln 2≈0.69,所以t=≈≈1.8.故选B.
6.C　I(t*)==0.95K,整理可得=19,两边取自然对数得0.23(t*-53)=ln 19,解得t*≈66,故选C.
三年模拟练
1.C　∵f(1)=-3,f(3)=lg 3+1>0,而f(2)=lg 2-1<0,
∴函数的零点在区间(2,3)内.
又f =lg >0,
∴函数的零点在区间内.故选C.
2.C　设装修时电钻发出的声音强度为x1,普通室内谈话的声音强度为x2,
则解得
所以装修时电钻发出的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值约为=104.
3.C　由题意得2a+a-2=0,log2c+c-2=0,则2a=2-a,log2c=2-c,即a,c分别为直线y=2-x与函数y=2x,y=log2x图象交点(设为A,C)的横坐标.因为y=2x,y=log2x互为反函数,所以其图象关于直线y=x对称,而直线y=2-x与y=x垂直,所以AC的中点即为直线y=2-x与y=x的垂足,其坐标为(1,1),故a+c=2.又由题意得b3-8=0,解得b=2,所以a+b+c=4,故选C.
4.D　当x≤0时,函数f(x)=x+2在(-∞,0]上单调递增,f(x)≤f(0)=2,
当x>0时,函数f(x)=x+≥2=2,当且仅当x=1时取等号,
函数y=f(x)的大致图象如图所示,
令f(x)=t,观察图象知,当t<2时,方程f(x)=t有一个实根,当t≥2时,方程f(x)=t有两个不等实根,
函数g(x)=[f(x)]2+4f(x)+a(a∈R)有三个零点等价于函数h(t)=t2+4t+a有两个零点t1,t2,且满足t1<2,t2≥2,
而函数h(t)的图象的对称轴为直线t=-2,
所以解得a≤-12,
所以a的取值范围为(-∞,-12].
故选D.
5.ACD　对于A,f(0)=0,则f(f(0))=f(0)=0,故A正确;
对于B,若f(f(x))=0,则f(x)=0或f(x)=4,
当f(x)=0时,x=0或x=4,当f(x)=4时,由图1可知x=t1或x=2,故B错误;
对于C,若f(f(x))=4,由图1可知f(x)=t1或f(x)=2,
当f(x)=t1时,由t1<0知只有一个解,当f(x)=2时,由图1可知有两个解,故g(x)有3个零点,故C正确;
对于D,若3当f(x)=t2<0时,只有一个解,当f(x)=t3∈(1,2)时,有两个解,当f(x)=t4∈(2,3)时,有两个解,
所以若3故选ACD.
　　
6.ACD　如图,作出函数f(x)的图象和直线y=a,可知当a>1时,函数f(x)的图象与直线y=a有四个交点,即方程f(x)=a有四个不等实根,且x1<-1.
对于A,因为x1,x2是方程-x-=a的两个实数根,
即x1,x2是方程4x2+4ax+1=0的两个实数根,
所以x1x2=,故A正确;
对于B,由A知,x1+x2=-a,Δ=(4a)2-4×4>0,
所以a>1,所以x1+x2<-1,故B错误;
对于C,因为01,
所以log2x3<0,log2x4>0,
又x3,x4是方程|log2x|=a的两个实数根,
所以|log2x3|=|log2x4|,即-log2x3=log2x4,
所以log2x3+log2x4=log2(x3x4)=0,
所以x3x4=1,故C正确;
对于D,由f(x3)=a>1可得-log2x3>1,即log2x3<-1,
所以0由C知x3x4=1,则x3+x4=x3+,
令g(x)=x+,
因为g(x)在上单调递减,
所以g(x)>g.
所以x3+x4=x3+,故D正确.
故选ACD.
7.答案　(0,1);(2e-1-2,e-2-1)
解析　画出函数f(x)的图象如图所示,
∵f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=m,∴直线y=m与f(x)的图象有4个交点,故m∈(0,1).
不妨设a∴ln d+ln c=-2,即ln(cd)=-2,所以c=,且∴c+d=+d,由对勾函数的性质可得y=+x在上单调递增,
∴c+d=+d∈(2e-1,e-2+1),
∴a+b+c+d∈(2e-1-2,e-2-1).
8.答案　①③④
解析　在f(x+4)=-f(x)中,将x代换成x+4,得f(x+8)=-f(x+4)=f(x),故f(x)的值每8为一组循环出现,
由f(x)为奇函数知f(x+4)=-f(x)=f(-x),令x=-3,得f(3)=f(1),又x∈[0,2]时,f(x)=log2(x+1),所以f(1)=log2(1+1)=1,所以f(3)=1,①正确;
当x∈[0,2]时,f(x)=log2(x+1)单调递增,又f(x)为奇函数,所以当x∈[-2,2]时,f(x)单调递增,又f(x+4)=-f(x) f(x-4)=f(-x) f(x-2)=f(-x-2),故f(x)的图象关于直线x=-2对称,所以f(x)在[-6,-2]上单调递减,②错误;
对于f(x+4)=-f(x)=f(-x),令x=x-2,得f(2+x)=f(2-x),所以f(x)的图象关于直线x=2对称,③正确;
如图,画出函数f(x)的大致图象,
由图可知,f(x)-m=0在区间(-8,-4)内的两根之和为-12,在区间(0,4)内的两根之和为4,在区间(8,12)内的两根之和为20,所以所有根之和为12,④正确.
规律总结　(1)若f(x+a)=f(a-x),则f(x)的图象关于直线x=a对称;
(2)若f(x+a)=f(b-x),则f(x)的图象关于直线x=对称;
(3)函数y=f(x+a)与y=f(b-x)的图象关于直线x=对称.
9.解析　(1)由函数f(x)=x2-3mx+n的两个零点分别为1和2,
可得1-3m+n=0,4-6m+n=0,解得m=1,n=2.
(2)由(1)可得f(x)=x2-3x+2.
由不等式f(x)-k>0在x∈[0,5]上恒成立,可得不等式k∵f(x)=x2-3x+2=,
∴f(x)=x2-3x+2在x∈[0,5]上的最小值为f .
(3)由(1)得g(x)=-3.
∵函数F(x)=g(2x)-r·2x在x∈[-1,1]上有零点,
∴g(2x)-r·2x=0在x∈[-1,1]上有解,即r=1+2·-3·在x∈[-1,1]上有解,
令t=,则t∈,
r=2t2-3t+1=2,
∴-≤r≤3,
∴实数r的取值范围是.
10.解析　(1)由>0得x>1或x<-1,所以f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞).
(2)令t(x)=,则t(x)在(1,+∞)上单调递增,
所以t(x)>t(1)=0,且t(x)<1,故t(x)的值域为(0,1),
又a=∈(0,1),所以f(x)在(1,+∞)上单调递减,且当x趋于1时,f(x)趋于+∞;当x趋于+∞时,f(x)趋于0,则f(x)的大致图象如图所示.
所以f(x)在(1,+∞)上的值域为(0,+∞),
又因为g(x)=f(x)-b在(1,+∞)上有且只有一个零点,即f(x)=b在(1,+∞)上有且只有一个解,所以b的取值范围是(0,+∞).
(3)存在,理由如下:
假设存在这样的实数a,使得当f(x)的定义域为[m,n]时,值域为[1+logan,1+logam],
由m由(2)中的分析可知f(x)在(1,+∞)上单调递减,
所以
所以=ax在(1,+∞)上有两个不相等的实数根,整理得ax2+(a-1)x+1=0,
设h(x)=ax2+(a-1)x+1,x>1,
则解得0所以实数a的取值范围为(0,3-2).
11.解析　(1)一次性支付好.理由如下:
分两次支付时,支付金额为250-5×-40=230+600-40=790(元).
一次性支付时,支付金额为250+650-5×-40×2=745(元).
因为745<790,所以一次性支付好.
(2)设购买x(x∈N+)件,平均价格为y元/件.
由于预算不超过500元,所以最多购买19件.
当1≤x≤14,x∈N+时,不能享受优惠二,
y=
=
=
又27.5+>27.5,
所以当购买偶数件时,y取得最小值,且ymin=27.5.
当15≤x≤19,x∈N+时,能享受优惠二,
y=
=
=
若x为偶数,则x=16时,y取得最小值,且ymin=25.
若x为奇数,则y随n的增大而增大,所以当x=15时,y取得最小值,且ymin=25.
又25<27.5,所以购买15件或16件该商品,才能使其平均价格最低,最低平均价格为25元/件.
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