2025北师大版高中数学必修第一册同步练习题--第一章　预备知识（含解析）

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2025北师大版高中数学必修第一册
第一章　预备知识
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.命题“ x∈Z,|x|∈N”的否定为(　　)
A. x∈Z,|x| N`　　　　B. x∈Z,|x| N
C. x Z,|x| N`　　　　D. x Z,|x| N
2.已知集合A={x|x2+2x-8>0},B={x|x-a>0},若B A,则实数a的取值范围为(　　)
A.a≥2　　　　B.a>2　　　　C.a≥4　　　　D.a>4
3.下列命题是真命题的是(　　)
A.若x,y∈R且x+y>2,则x,y中至少有一个值大于1
B. x∈R,xC.a+b=0的充要条件是=-1
D. x∈R,x2+2≤0
4.给出下面三个推导过程:
①因为a,b是正实数,所以≥2=2;
②因为a∈R,且a≠0,所以+a≥2=4;
③因为x,y∈R,xy<0,所以≤-2=-2.
其中正确的推导为(　　)
A.①②　　　　B.②③　　　　C.①③　　　　D.①②③
5.若关于x的不等式ax-b>0的解集为{x|x<1},则关于x的不等式>0的解集为(　　)
A.{x|x<-2或x>1}`　　　　B.{x|1C.{x|x<-1或x>2}`　　　　D.{x|-16.关于x的方程x2+(a-2)x+5-a=0在x∈{x|2A.-67.已知a>1,b>,且2a+b=3,则的最小值为(　　)
A.1　　　　B.
8.已知集合A={a1,a2,…,an},任取1≤i≤jA.3　　　　B.5　　　　C.7　　　　D.9
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知命题p: x∈[0,],a≥x2,命题q: x∈R,x2+4x+a=0,若命题p与命题q均为真命题,则实数a的可能取值为(　　)
A.　　　　D.4
10.已知x,y,u,v,s,t均为实数,下列命题正确的是(　　)
A.已知x>y>0,则存在正数t,使成立
B.“xt2≥yt2”是“x≥y”的充分不必要条件
C.若x>y>0,s>t>0,0>u>v,则
D.若x,y均为正数,且满足x+,则x>y
11.记max{a,b}=已知x>0,y>0,x+2y+xy=30,则(　　)
A.xy的最大值为18`　　　　B.x+2y的最大值为12
C.x+y的最小值为8-3`　　　　D.max{x+2,2y+2}的最小值为8
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.满足M {a1,a2,a3,a4},且M∩{a1,a2,a3}={a1,a2}的集合M为　　　　.(只需要写出一个满足条件的集合即可)
13.设常数a∈R,集合A={x|(x-1)(x-a)≥0},B={x|x≥a-1},若A∪B=R,则a的取值范围为　　　　.
14.某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:
①男学生人数多于女学生人数;
②女学生人数多于教师人数;
③教师人数的两倍多于男学生人数.
(1)若教师人数为4,则女学生人数的最大值为　　　　;
(2)该小组人数的最小值为　　　　.(第一空2分,第二空3分)
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知集合A={x|(x+2)(5-x)≤0},B={x|2a+1(1)若a=-2,求A∪B;
(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
16.(15分)已知a,b,c∈R且a>0,b>0,c>0.
(1)若ab=1,求的最小值;
(2)若a+b+c=1,求证:ab+bc+ca≤.
17.(15分)已知关于x的不等式x2-≤0.
(1)当a=1,b=4时,解不等式;
(2)若不等式仅有一解,求+b的最小值.
18.(17分)湖北省孝感市第六届运动会于2023年10月18日在孝感市体育馆开幕,此次运动会有两个吉祥物孝孝、感感.它们是以少年董永、七仙女的故事为蓝本,融合了运动、微笑、奔跑等创意元素而创造出的可爱运动卡通形象,寓意运动员敢于拼搏,微笑面对胜负,体现了深厚的孝感文化底蕴和地域文化特点.由市场调研分析可知,当前该吉祥物的产量供不应求,某企业每售出x千件该吉祥物的销售额为W(x)千元,且W(x)=且生产的成本包括固定成本4千元,材料等成本2千元/千件.记该企业每生产销售x千件该吉祥物的利润为f(x)千元.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)该企业要使利润最大,应生产多少千件该吉祥物 最大利润为多少
19.(17分)若集合A具有以下性质:
①0∈A,1∈A;
②若x,y∈A,则x-y∈A,且x≠0时,∈A.
则称集合A是“好集”.
(1)分别判断集合B={-1,0,1},有理数集Q是不是“好集”,并说明理由;
(2)设集合A是“好集”,求证:若x,y∈A,则x+y∈A;
(3)设集合A是“好集”,分别判断下面命题的真假,并说明理由.
命题p:若x,y∈A,则必有xy∈A;
命题q:若x,y∈A,且x≠0,则必有∈A.
答案与解析
第一章　预备知识
1.A　∵全称量词命题的否定是存在量词命题,
∴命题“ x∈Z,|x|∈N”的否定为“ x∈Z,|x| N”.故选A.
2.A　易得A={x|x>2或x<-4},B={x|x>a},若B A,则a≥2.故选A.
3.A　对于A选项,假设x,y都不大于1,即x≤1且y≤1,由不等式的性质可得x+y≤2,与题设矛盾,假设不成立,故原命题为真命题;
对于B选项,当x=1时,x=x2,故原命题是假命题;
对于C选项,若a=b=0,则=-1,故原命题是假命题;
对于D选项, x∈R,x2+2>0,故原命题是假命题.
故选A.
4.C　①因为a,b是正实数,所以是正实数,符合基本不等式的条件,故①推导正确;
②a∈R,且a≠0不符合基本不等式的条件,所以②推导错误;
③由xy<0,得均为正数,符合基本不等式的条件,故③推导正确.
5.D　因为关于x的不等式ax-b>0的解集为{x|x<1},所以关于x的方程ax-b=0的根为x=1,且a<0,所以a-b=0,即b=a.
故不等式<0,解得-1因此,不等式>0的解集为{x|-16.D　因为关于x的方程x2+(a-2)x+5-a=0在x∈{x|2所以7.C　∵a>1,b>,且2a+b=3,
∴a-1>0,2b-1>0,4(a-1)+(2b-1)=1,
故[4(a-1)+(2b-1)]
=4+=5+4=9,
当且仅当a=时“=”成立.故选C.
8.C　不妨设a1>a2>…>an,若集合A中的正数个数不小于4,取(i,j,k)=(1,2,3),可得a2+a3=a1,取(i,j,k)=(1,2,4),可得a2+a4=a1,此时a3=a4,不符合集合中元素的互异性,因此集合A中的正数至多有3个,同理,集合A中的负数至多有3个.
又考虑A={3,2,1,0,-1,-2,-3},符合题意,所以n的最大值为7.
故选C.
9.AD　对于命题p,∵ x∈[0,],a≥x2,
∴a≥=3,∴a≥3.
对于命题q,∵ x∈R,x2+4x+a=0,∴Δ=42-4a≥0,解得a≤4.
若命题p与命题q均为真命题,则3≤a≤4,只有A,D满足.
故选AD.
10.AC　对于A,,因为x>y>0,t>0,
所以t(y-x)<0,所以当x-t<0时,,
所以存在正数t,使成立,所以A正确;
对于B,当xt2≥yt2时,x≥y不一定成立,当x≥y时,xt2≥yt2成立,
所以“xt2≥yt2”是“x≥y”的必要不充分条件,所以B错误;
对于C,因为x>y>0,s>t>0,所以xs>yt>0,因为0>u>v,
所以-v>-u>0,所以-vxs>-uyt>0,
所以vxs对于D,当x==2,此时x故选AC.
11.ACD　由题意得xy=30-(x+2y)≤30-2-1时,等号成立,故C正确;
max{x+2,2y+2}=所以当y=3时,其有最小值,且最小值为8,故D正确.故选ACD.
12.答案　{a1,a2}(答案不唯一)
解析　∵M∩{a1,a2,a3}={a1,a2},故M中必有元素a1,a2,又M {a1,a2,a3,a4},∴M中可能有元素a3,a4,进而可写出M.
13.答案　{a|a≤2}
解析　当a>1时,A={x|(x-1)(x-a)≥0}={x|x≤1或x≥a},
∵B={x|x≥a-1},A∪B=R,∴a-1≤1,解得a≤2,∴1当a=1时,A={x|(x-1)2≥0}=R,B={x|x≥0},A∪B=R,符合题意;
当a<1时,A={x|(x-1)(x-a)≥0}={x|x≤a或x≥1},
由B={x|x≥a-1},且A∪B=R,得a-1≤a,恒成立,∴a<1.
综上,a的取值范围为{a|a≤2}.
14.答案　(1)6　(2)12
解析　设女学生、男学生、教师人数分别为x,y,z(x,y,z∈N+),则z(1)当z=4时,4(2)易知z的最小值为3,当z取最小值3时,315.解析　(1)解不等式(x+2)(5-x)≤0,可得x≤-2或x≥5,所以A={x|x≤-2或x≥5}.(2分)
当a=-2时,B={x|-3所以A∪B={x|x<-1或x≥5}.(6分)
(2)由“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,得B A.(8分)
当B= 时,有2a+1≥3a+5,解得a≤-4,满足题意;(10分)
当B≠ 时,有2a+1<3a+5,解得a>-4,
要使B A,则或a≥2.(12分)
综上所述,实数a的取值范围为∪[2,+∞).(13分)
16.解析　(1)因为ab=1,a>0,b>0,
所以≥4,(4分)
当且仅当即a=b=1时取等号.
所以的最小值为4.(7分)
(2)证明:因为a2+b2≥2ab,a2+c2≥2ac,b2+c2≥2bc,
所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac,当且仅当a=b=c时等号成立,(9分)
将a+b+c=1两边平方得a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1,
所以ab+bc+ac+2ab+2bc+2ac≤1,(13分)
即ab+bc+ac≤时取等号.(15分)
17.解析　(1)当a=1,b=4时,不等式为x2-2x+≤0,(2分)
即4x2-8x+3≤0,解得,(5分)
故不等式的解集为.(7分)
(2)由题意可知ab≥0,
若不等式x2-=0,(9分)
所以ab=b-1>0,即b>1,a=,(11分)
故=4,(13分)
当且仅当b-1=,即b=2时取等号,
所以+b的最小值为4.(15分)
18.解析　(1)依题意可知总成本为(2x+4)千元,即f(x)=W(x)-(2x+4),(3分)
则f(x)=(6分)
即f(x)=(8分)
(2)当0所以当x=5时,f(x)取得最大值,最大值为136;(12分)
当5当且仅当2(x-1)=,即x=11时取等号.(14分)
因为154>136,所以当x=11时,f(x)取得最大值,最大值为154.
所以该企业要使利润最大,应生产11千件该吉祥物,最大利润为154千元.(17分)
19.解析　(1)集合B不是“好集”. (1分)
理由:假设集合B是“好集”.
因为-1∈B,1∈B,所以-1-1=-2∈B,这与-2 B矛盾.所以集合B不是“好集”.(3分)
有理数集Q是“好集”.(4分)
理由:因为0∈Q,1∈Q,对任意的x,y∈Q,有x-y∈Q,且x≠0时,∈Q,所以有理数集Q是“好集”.(6分)
(2)证明:因为集合A是“好集”,所以0∈A.
若x,y∈A,则0-y∈A,即-y∈A.所以x-(-y)∈A,即x+y∈A.(8分)
(3)命题p,q均为真命题.理由如下:(9分)
任取x,y∈A,当x,y中有0或1时,显然xy∈A.
当x,y均不为0,1时,由定义可知x-1,∈A,
即∈A,所以x(x-1)∈A.(11分)
由(2)可得x(x-1)+x∈A,即x2∈A.同理可得y2∈A.(13分)
若x+y=0或x+y=1,则(x+y)2∈A.若x+y≠0且x+y≠1,则(x+y)2∈A.
所以2xy=(x+y)2-x2-y2∈A,所以∈A.(15分)
由(2)可得∈A,所以xy∈A.
综上可知,xy∈A,即命题p为真命题.
若x,y∈A,且x≠0,则∈A,即命题q为真命题.(17分)
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