2025北师大版高中数学必修第一册同步练习题--第一章　预备知识拔高练（含解析）

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2025北师大版高中数学必修第一册
综合拔高练
五年高考练
考点1　集合及其运算
1.(2023新课标Ⅰ,1)已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0},则M∩N=(　　)
A.{-2,-1,0,1}　　　B.{0,1,2}
C.{-2}　　　D.{2}
2.(2023全国甲理,1)设全集U=Z,集合M={x|x=3k+1,k∈Z},N={x|x=3k+2,k∈Z},则 U(M∪N)=(　　)
A.{x|x=3k,k∈Z}　　　B.{x|x=3k-1,k∈Z}
C.{x|x=3k-2,k∈Z}　　　D.
3.(2023全国乙理,2)设全集U=R,集合M={x|x<1},N={x|-1A. U(M∪N)　　　B.N∪ UM
C. U(M∩N)　　　D.M∪ UN
4.(2023新课标Ⅱ,2)设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A B,则a=(　　)
A.2　　　B.1　　　　
C.　　　D.-1
考点2　常用逻辑用语
5.(2023天津,2)“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件
6.(2023北京,8)若xy≠0,则“x+y=0”是“=-2”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
考点3　基本不等式
7.(多选题)(2022新高考Ⅱ,12)若x,y满足x2+y2-xy=1,则(　　)
A.x+y≤1　　　B.x+y≥-2
C.x2+y2≤2　　　D.x2+y2≥1
8.(2021天津,13)若a>0,b>0,则+b的最小值为　　　　.
9.(2022全国乙文,23)[选修4—5:不等式选讲]
已知a,b,c都是正数,且=1,证明:
(1)abc≤;
(2).
考点4　不等式的应用
10.(2019北京,14)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.
①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付　　　　元;
②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为　　　　.
三年模拟练
应用实践
1.(2023云南民族大学附属中学押题卷)设集合U={(x,y)|x∈R,y∈R},A={(x,y)|2x-y+m≥0},B={(x,y)|x+y-n>0},若(2,3)∈[A∩( UB)],则m+n的最小值为(　　)
A.-6　　　　B.1　　　　C.4　　　　D.5
2.(2024江苏淮安期中)对于实数x,规定[x]表示不大于x的最大整数,那么不等式4[x]2-16[x]+7<0成立的一个充分不必要条件是(　　)
A.x∈　　　B.x∈[1,3]　　　　
C.x∈[1,4)　　　D.x∈[1,4]
3.(2022江西宜春月考)已知a>0,b>0,若不等式恒成立,则m的最大值为(　　)
A.4　　　　B.16　　　　C.9　　　　D.3
4.(多选题)(2023山东师范大学附属中学月考)若a,b,c,d∈R,则下列说法正确的是(　　)
A.若abd
B.若bC.若,则a>|b|
D.若b>a>0,m>0,则
5.(2023重庆外国语学校期中)设正实数x,y满足3x+=2,则的最小值为(　　)
A.　　　B.3
C.　　　D.4
6.(2024湖北宜昌部分省级示范高中月考)若<0(m≠0)对一切x≥4恒成立,则实数m的取值范围是(　　)
A.{m|m<3}　　　B.
C.{m|m>2}　　　D.{m|-27.(多选题)(2024浙江宁波余姚中学第一次质检)已知关于x的不等式组a≤x2-3x+4≤b,下列说法正确的是(　　)
A.当aB.当a=1,b=4时,不等式组的解集是{x|0≤x≤4}
C.如果不等式组的解集是{x|a≤x≤b},则b-a=4
D.如果不等式组的解集是{x|a≤x≤b},则a=
8.(2024北京丰台期中)写出一个使得命题“ x∈R,ax2-2ax+3>0恒成立”是假命题的实数a的值:　　　　.
9.(2023北京通州期中)为了方便居民购买新鲜、安全、价廉的蔬菜,某社区搭建从“菜园子”到“菜篮子”的直通车,建起多家“社区直销店”,不仅便利了居民生活,也提高了农民收入.某“社区直销店”第一天直销蔬菜19种,第二天直销蔬菜13种,第三天直销蔬菜18种.其中,前两天直销的蔬菜中有3种相同,后两天直销的蔬菜中有4种相同.第一天直销但第二天没直销的蔬菜有　　　　种,这三天直销的蔬菜最少有　　　　种.
10.(2024河北衡水武强中学期中)若正实数x,y满足xy2(x+y)=9,则2x+y的最小值为　　　　.
11.(2022湖南衡阳田家炳实验中学期中)已知关于x的不等式x2-(b+2)x+c<0的解集为{x|20的解集为A,集合B={x|(x+1)(4-x)≥0},C={x|m-1≤x<2m}.
(1)求集合A,B,并求A∩B,A∪B;
(2)若B∩C=C,求实数m的取值范围.
12.(2022江苏南京六校月考)(1)在基本不等式应用探究课中,甲和乙探讨了下面的问题:
已知正数x,y满足2x+y=1,求的最小值.
甲给出解法:由1=2x+y≥2,得,所以≥2≥4,所以的最小值为4.
而乙却说甲的解法是错误的,请你指出其中的问题,并给出正确的解法;
(2)结合上述问题(1)的结构形式,试求函数y=的最小值.
13.(2023鄂西北宜城一中、襄州一中等六校期中联考)环境污染日益严重,某科研单位为了净化空气进行实验研究,发现在一定范围内,每喷洒1个单位的净化剂,其在空气中的浓度t(单位:毫克/立方米)随时间x(单位:天)的变化满足:当0≤x≤4时,t=;当4(1)若一次喷洒4个单位的净化剂,则有效净化时间可达几天
(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂,6天后再喷洒m(1≤m≤4)个单位的净化剂,要使接下来的4天能够持续有效净化,试求m的最小值.(精确到0.1,参考数据:≈1.4)
答案与分层梯度式解析
综合拔高练
五年高考练
1.C　因为M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0}={x|x≤-2或x≥3},所以M∩N={-2},故选C.
2.A　由已知得M∪N={x|x=3k+1或x=3k+2,k∈Z},∴ U(M∪N)={x|x=3k,k∈Z},故选A.
3.A　由题意得M∪N={x|x<2},M∩N={x|-1-1},M∪ UN={x|x<1或x≥2},故选A.
4.B　∵A B,∴0∈B.
当a-2=0,即a=2时,A={0,-2},B={1,0,2},不满足A B,舍去;当2a-2=0,即a=1时,A={0,-1},B={1,-1,0},满足A B.综上,a=1,故选B.
5.B　因为a2=b2 a=b或a=-b,a2+b2=2ab (a-b)2=0 a=b,
所以a2+b2=2ab a2=b2,但是a2=b2 / a2+b2=2ab,
所以“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分条件,故选B.
6.C　因为xy≠0,且=-2,所以x2+y2=-2xy,即x2+y2+2xy=0,即(x+y)2=0,所以x+y=0,故“x+y=0”是“=-2”的充要条件.
7.BC　由题意知x2+y2=1+xy,
∴(x+y)2=1+3xy,
当x>0,y>0时,x+y>1,∴A错误;
易知xy≤,
结合题意知(x+y)2=1+3xy≤1+,
∴(x+y)2≤4,∴-2≤x+y≤2,∴B正确;
∵x2+y2=1+xy≤1+,∴x2+y2≤2,∴C正确;
∵x2+y2=1+xy,当xy<0时,x2+y2<1,∴D错误.
故选BC.
8.答案　2
解析　因为a>0,b>0,所以+b≥2+b≥2.
当且仅当即a=b=时等号成立,故+b的最小值为2.
9.证明　(1)∵a,b,c都是正数,且=1,
∴≥3,当且仅当a=b=c=时,等号成立,
∴3(abc≤1,
∴(abc≤,即abc≤.
(2)要证≤,
只需证≤,
即证≤,
易知b+c≥2,当且仅当b=c时,等号成立,
∴≤,同理,≤≤,
∴≤,当且仅当a=b=c=时,等号成立,得证.
10.答案　①130　②15
解析　①x=10时,一次购买草莓和西瓜各1盒,共140元,由题可知顾客需支付140-10=130元.
②设每笔订单金额为m元,则只需考虑m≥120时的情况.
根据题意得(m-x)80%≥m×70%,
所以x≤,而m≥120,
为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x≤,而=15,所以x≤15.
所以x的最大值为15.
三年模拟练
1.C　 UB={(x,y)|x+y-n≤0},
因为(2,3)∈[A∩( UB)],
所以(2,3)∈A,(2,3)∈ UB,
所以所以
所以m+n≥4,即m+n的最小值为4.
故选C.
2.B　由4[x]2-16[x]+7<0,得(2[x]-1)(2[x]-7)<0,解得,
因此[x]=1或[x]=2或[x]=3,
因为[x]表示不大于x的最大整数,
所以1≤x<2或2≤x<3或3≤x<4,所以1≤x<4.
要求不等式4[x]2-16[x]+7<0成立的充分不必要条件,即选出集合[1,4)的一个非空真子集即可.
结合选项知B满足要求.故选B.
3.B　问题等价于m≤+10恒成立.
由基本不等式可知3+10≥6+10=16,
当且仅当,即a=b时取“=”,所以m≤16.
故m的最大值为16.
4.ABD　对于A,由a-b>0,-c>-d>0,∴(-a)×(-c)>(-b)×(-d),即ac>bd,故A正确;
对于B,若b0,∴,即,故B正确;
对于C,取a=-3,b=2,则,但是a<|b|,故C错误;
对于D,若b>a>0,m>0,则bm>am bm+ab>am+ab ,故D正确.故选ABD.
5.A　由3x+=2,得=4,
所以=1,
因为x>0,y>0,
所以
=
≥,
当且仅当时,等号成立,
所以的最小值为.
故选A.
6.B　不等式<0(m≠0)等价于(m2x-1)(mx+1)<0(m≠0),
令(m2x-1)(mx+1)=0,解得x=或x=-.
(1)当m>0时,-,则(m2x-1)(mx+1)<0的解集为x-,
因此原不等式不可能对一切x≥4恒成立,故不合题意;
(2)当m<0时,令=0,得m=-1,
①当m≤-1时,≤0,即≤-,
则(m2x-1)(mx+1)<0的解集为xx<,或x>-,
若原不等式对一切x≥4恒成立,只需-<4,
由解得m≤-1;
②当-10,即,
则(m2x-1)(mx+1)<0的解集为xx<-,或x>,
若原不等式对一切x≥4恒成立,只需<4,
由解得-1综上,实数m的取值范围是mm<-.故选B.
7.ABC　对于A,由x2-3x+4≤b得3x2-12x+16-4b≤0,因为b<1,所以Δ=48(b-1)<0,从而不等式组a≤x2-3x+4≤b的解集为 ,所以A正确.
对于B,当a=1时,不等式a≤x2-3x+4即为x2-4x+4≥0,其解集为R,
当b=4时,不等式x2-3x+4≤b即为x2-4x≤0,其解集为{x|0≤x≤4},所以B正确.
对于C,D,当a≤x2-3x+4≤b的解集为{x|a≤x≤b}时,a≤,即a≤1,
因此x=a,x=b时二次函数y=x2-3x+4的值都是b,
由x=b时二次函数的值为b,得b2-3b+4=b,解得b=或b=4,
当b=时,由,解得a=或a=,不满足a≤1,不符合题意;
当b=4时,由a2-3a+4=b=4,解得a=0或a=4,因为a≤1,所以a=0,此时b-a=4-0=4,所以C正确,D错误.
故选ABC.
8.答案　-1(答案不唯一)
解析　命题“ x∈R,ax2-2ax+3>0恒成立”是假命题,即命题“ x∈R,ax2-2ax+3≤0成立”是真命题①.
当a=0时,①不成立;
当a≠0时,要使①成立,则有a<0或所以a<0或a≥3.
故答案可为-1.
9.答案　16;29
解析　设A,B,C分别表示第一天、第二天、第三天直销蔬菜品种所组成的集合,三天直销中相同的蔬菜有x种,第一天与第三天直销的蔬菜中有(x+y)种相同,
依题意可得如图所示的Venn图,
由图知第一天直销但第二天没直销的蔬菜有(16-y)+y=16(种),
因为图中所标注的各数均为自然数,所以x∈{0,1,2,3},y∈{0,1,2,…,14},
这三天直销的蔬菜有(16-y)+y+(3-x)+x+(6+x)+(4-x)+(14-y)=(43-y)种,
又因为y≤14,所以43-y≥29,
所以这三天直销的蔬菜最少有29种.
10.答案　2
解析　因为正实数x,y满足xy2(x+y)=9,所以x2y2+xy3-9=0,
解得x=,
因为x>0,所以x=-,
所以2x+y=≥,
当且仅当x=时取等号,
所以2x+y的最小值为2.
11.解析　(1)因为关于x的不等式x2-(b+2)x+c<0的解集为{x|2所以2和3是关于x的方程x2-(b+2)x+c=0的两实数根,所以解得
不等式bx2-(c+1)x-c>0即为3x2-7x-6>0,解得x>3或x<-,
即集合A=∪(3,+∞).
易得B={x|(x+1)(4-x)≥0}=[-1,4].
所以A∩B=∪(3,4],
A∪B=R.
(2)由(1)知B=[-1,4].
因为B∩C=C,所以C B.
若C= ,则有m-1≥2m,解得m≤-1;
若C≠ ,则需满足解得0≤m≤2.
综上所述,实数m的取值范围为(-∞,-1]∪[0,2].
12.解析　(1)甲的解法中两次用到基本不等式,取到等号的条件分别是2x=y和x=2y,显然不能同时成立,故甲的解法是错误的.
正确的解法如下:
因为x>0,y>0,且2x+y=1,
所以≥,
当且仅当,即x=y=时,等号成立,
所以的最小值为.
(2)因为0所以y=
=
≥,
当且仅当,即x=1-时,等号成立,
又1-∈,
所以y=的最小值为2+.
13.解析　(1)设一次喷洒4个单位的净化剂,经过x(0≤x≤10)天,空气中净化剂的浓度为t1毫克/立方米.
当0≤x≤4时,t1=4×-4;
当4当0≤x≤4时,令t1=-4≥4,解得0≤x<8,所以0≤x≤4;
当4综上,0≤x≤8.
所以若一次喷洒4个单位的净化剂,则有效净化时间可达8天.
(2)设从第一次喷洒起,经过x(6≤x≤10)天,空气中净化剂的浓度为t2毫克/立方米,则t2=2×-m-4,
因为6≤x≤10,所以4≤14-x≤8,
所以t2=14-x+-m-4≥2-m-4.
当且仅当14-x=,即x=14-4时,等号成立.
因为1≤m≤4,所以6≤14-4≤10,所以t2的最小值为8-m-4,
令8-m-4≥4,可得24-16≤m≤24+16,
因为1≤m≤4,所以24-16≤m≤4.
又24-16≈1.6,
所以m的最小值约为1.6.
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