2025北师大版高中数学必修第一册同步练习题--第一章　预备知识复习提升（含解析）

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2025北师大版高中数学必修第一册
本章复习提升
易混易错练
易错点1　忽略集合中元素的互异性致错
1.(2024天津第四十五中学月考)已知集合A={3,},B={1,a},若A∩B={a},则a=(　　)
A.0或　　　B.0或3　　　　
C.1或　　　D.1或3
2.(2024湖北新高考联考协作体联考)已知集合A={1,3,x2},B={1,2-x},若B A,则实数x的值是　　　　.
易错点2　忽略对空集的讨论致错
3.(多选题)(2022安徽滁州期中)已知集合A={x|x2-x-2=0},B={x|mx-1=0},B A,则实数m的值可能为(　　)
A.　　　　B.-1　　　　C.-　　　　D.0
4.(2024河南信阳高级中学月考)设集合A={x|x2-4=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-5=0}.
(1)若A∩B={-2},求实数a的值;
(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.
易错点3　求参时对端点值考虑不周致错
5.已知集合A={x|x≥4或x<-5},B={x|a+1≤x≤a+3,a∈R},若B A,则实数a的取值范围是　　　　　　.
6.设全集U=R,集合A={x|x2-4x+3≤0},B=.
(1)求( RB)∪A;
(2)若集合C={x|(x-a)(x-a-1)<0}(a∈R),且C A,求实数a的取值范围.
易错点4　对充分条件、必要条件的概念理解不清致错
7.(多选题)(2024湖北孝感高中调研)下列结论正确的是(　　)
A.“x>1”是“|x|>1”的充分不必要条件
B.“a∈P∩Q”是“a∈P”的必要不充分条件
C.“ x∈R,有x2+x+1≥0”的否定是“ x∈R,使x2+x+1<0”
D.“x=1是方程ax2+bx+c=0的实数根”的充要条件是“a+b+c=0”
8.(2022安徽芜湖一中期中节选)已知集合A={x|x2+4x=0},集合B={x|x2+2(a+1)x+1-a=0},若x∈B成立的一个必要不充分条件是x∈A,求实数a的取值范围.
易错点5　忽略基本不等式的应用条件致错
9.(2024浙江金华浦江建华中学检测)已知b>a>0,2a+b=ab,则的最小值为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
10.(多选题)(2024河南郑州十所省级示范性高中期中)下列说法正确的有(　　)
A.已知x>1,则y=2x+-1的最小值为4+1
B.y=的最小值为2
C.若正数x,y满足x+2y=3xy,则2x+y的最小值为3
D.若正数x,y满足x+2y=3xy,则2x+y的最大值为3
易错点6　解含参数的不等式时分类不全面或标准不统一致错
11.解不等式:≤0(a∈R).
12.(2024四川成都双流中学月考)不等式:≤1的解集为A.
(1)求集合A;
(2)若不等式ax2+(a-1)x-1≤0的解集为B,且A∩B=B,求a的取值范围.
思想方法练
一、函数与方程思想
1.(2024四川成都七中月考)已知对一切2≤a≤3,3≤b≤6,不等式ma2-ab+b2≥0恒成立,则实数m的最小值为　　　　.
2.关于x的不等式x2-mx+m+2>0对-2≤x≤4恒成立,则m的取值范围为　.
二、转化与化归思想
3.(2023江苏扬州第一中学月考)已知A={x|1≤x≤2},命题“ x∈A,x2-a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是(　　)
A.a≥4　　　　B.a≤4　　　　C.a≥5　　　　D.a≤5
4.(2023福建厦门双十中学月考)已知[x]表示不超过x的最大整数,集合A={x∈Z|0<[x]<3},B={x|(x2+ax)(x2+2x+b)=0},且A∩( RB)= ,则集合B的子集的个数为(　　)
A.4　　　　B.8　　　　C.16　　　　D.18
5.设函数y=x2+mx+n,已知不等式y<0的解集为{x|1(1)求m和n的值;
(2)若y≥ax对任意x>0恒成立,求实数a的取值范围.
三、数形结合思想
6.已知集合A={x|x<1},B={x|x(1)若A=B,则实数a的值是多少
(2)若A B,则实数a的取值范围是什么
(3)若B A,则实数a的取值范围是什么
7.已知关于x的不等式mx2-mx-1<0.
(1)当x∈R时不等式恒成立,求实数m的取值范围;
(2)当x∈{x|1≤x≤3}时不等式恒成立,求实数m的取值范围.
四、分类讨论思想
8.(2022安徽安庆一中期中)已知集合A={x|-4(1)若p:x∈C,q:x∈B,p是q的充分不必要条件,求m的取值范围;
(2)若A∩B≠ ,求m的取值范围.
9.(2024福建福州第三中学期中)设y=mx2-2mx-3,m∈R.
(1)若“ x∈R,y<0”是真命题,求实数m的取值范围;
(2)解关于x的一元二次不等式mx2+(1-m)x-1<0.
答案与分层梯度式解析
本章复习提升
易混易错练
1.B　∵A∩B={a},∴a=3或a=,
当a=3时,A={3,},B={1,3},成立;
当a=时,a=0或a=1,当a=0时,A={3,0},B={1,0},成立;
当a=1时,A={3,1},集合B中有两个1,不满足集合中元素的互异性,不成立.
综上可知,a=0或a=3.故选B.
2.答案　-2
解析　由题意得2-x=3或2-x=x2,
当2-x=3时,x=-1,集合A中有两个1,不满足集合中元素的互异性,舍去;
当2-x=x2时,解得x=1或x=-2,
当x=1时,集合A中有两个1,不满足集合中元素的互异性,舍去;
当x=-2时,集合A={1,3,4},B={1,4},满足题意.
综上可得,x=-2.
易错警示　集合问题中求参数的值时,求出结果后一定要代回原集合,看是否满足集合中元素的互异性,若不满足,则舍去.
3.ABD　易得A={x|x2-x-2=0}={-1,2}.
当B= 时,方程mx-1=0无解,则m=0,满足B A;
当B≠ 时,m≠0,则方程mx-1=0的解为x=,
因为B A,所以=-1或=2,解得m=-1或m=.故选ABD.
4.解析　(1)易得A={x|x2-4=0}={-2,2},
∵A∩B={-2},∴-2∈B,即4-4(a+1)+a2-5=0,解得a=-1或a=5,
当a=-1时,B={-2,2},A∩B={-2,2},不满足题意,舍去;当a=5时,B={-10,-2},A∩B={-2},满足题意.
故实数a的值为5.
(2)∵A∪B=A,∴B A,
当B= 时,Δ=4(a+1)2-4(a2-5)<0,解得a<-3,满足题意;
当B≠ 时,若Δ=0,则a=-3,此时B={2},满足题意;
若Δ>0,即a>-3,则由B A得B={-2,2},
故解得a=-1.
综上可得,实数a的取值范围为{a|a≤-3或a=-1}.
易错警示　当A B时,不能忘记A= 的情形.要注意 是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.我们在求解有关集合间的关系的问题时一定要考虑空集的情况.
5.答案　{a|a<-8或a≥3}
解析　用数轴表示两集合的关系,如图所示,
或
要使B A,只需a+3<-5或a+1≥4,即a<-8或a≥3.
所以实数a的取值范围是{a|a<-8或a≥3}.
易错警示　对于与不等式有关的集合问题,通常借助数轴,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,一般含“=”时,相应端点值用实心点表示,不含“=”时,相应端点值用空心圆圈表示.利用集合之间的关系求解参数的取值范围时,要注意对端点值的取舍.
6.解析　(1)A={x|x2-4x+3≤0}={x|1≤x≤3},
B=={x|x>1},
∴ RB={x|x≤1},∴( RB)∪A={x|x≤3}.
(2)C={x|(x-a)(x-a-1)<0}={x|a画出数轴如下:
∴解得1≤a≤2.
故实数a的取值范围为[1,2].
7.ACD　对于A,由|x|>1,得x>1或x<-1,所以当x>1时,|x|>1成立,反之不成立,故“x>1”是“|x|>1”的充分不必要条件,A正确;
对于B,若a∈P∩Q,则一定有a∈P成立,反之不成立,故“a∈P∩Q”是“a∈P”的充分不必要条件,B错误;
对于C,原命题是全称量词命题,其否定是存在量词命题,即“ x∈R,使x2+x+1<0”,C正确;
对于D,当a+b+c=0时,1为方程ax2+bx+c=0的一个根,充分性成立,当方程ax2+bx+c=0有一个根为1时,a+b+c=0,必要性成立,D正确.
故选ACD.
8.解析　由题意知,x∈A是x∈B的必要不充分条件,因此B是A的真子集.易得A={0,-4}.
①当B= 时,Δ=4(a+1)2-4(1-a)=4a2+12a<0,解得-3②当B={-4}时,有无解;
③当B={0}时,有无解.
综上,实数a的取值范围为{a|-3易错警示　由条件可推出结论,条件是结论成立的充分条件;由结论可推出条件,则条件是结论成立的必要条件.二者不要混淆.从集合角度解释:若A B,则A是B的充分条件;若B A,则A是B的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.
9.B　由2a+b=ab得a(2-b)+b=0,即(a-1)(b-2)=2,且b>2,a>1,
故≥2,
当且仅当,即a=时取等号.
故选B.
10.AC　对于A,当x>1时,x-1>0,则y=2x++1≥2+1,当且仅当x=+1时,等号成立,A正确;
对于B,当x<0时,y=<0,B错误;
对于C,D,若正数x,y满足x+2y=3xy,则3=,所以2x+y=≥=3,当且仅当x=y=1时,等号成立,C正确,D错误.故选AC.
易错警示　(1)使用基本不等式求最值时,失误的一般原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视,要注意这三个条件缺一不可;(2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中“一正、二定、三相等”的条件.
11.解析　≤0 ax(x+1)≤0且x+1≠0.
当a>0时,ax(x+1)≤0且x+1≠0 x(x+1)≤0且x+1≠0 -1所以原不等式的解集为{x|-1当a=0时,原不等式的解集为{x|x≠-1};
当a<0时,ax(x+1)≤0且x+1≠0 x(x+1)≥0且x+1≠0 x<-1或x≥0,
所以原不等式的解集为{x|x<-1,或x≥0}.
综上可知,当a>0时,原不等式的解集为{x|-1易错警示　含参数不等式求解时,“自变量取值为前提,函数增减性为基础,分类讨论是关键”.
提醒:(1)解不等式是求不等式的解集,最后结果务必用集合的形式表示;
(2)不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或使不等式有意义范围的端点值.
12.解析　(1)由≤1,得≤0,即≤0,
∴(x-3)(x+2)≤0且x+2≠0,解得-2(2)由ax2+(a-1)x-1≤0,得(ax-1)(x+1)≤0,
∵A∩B=B,∴B A,
当a=0时,B={x|x≥-1},不符合题意,舍去;
当a>0时,不等式可化为(x+1)≤0,
又-1<0<,∴B=x-1≤x≤,
∴≤3,又a>0,∴a≥.
当a<0时,不等式可化为(x+1)≥0,此时B A,不符合题意,舍去.
综上可知,a的取值范围是aa≥.
对应主书P27
1.答案　0
解析　∵2≤a≤3,∴≤≤,
又3≤b≤6,∴1≤≤3,
则不等式ma2-ab+b2≥0恒成立可转化为m≥恒成立,
令t=(1≤t≤3),则y=t-t2=-,
将含有两个变量的不等式化为可换元的形式,构造二次函数,根据二次函数的性质求解.
故当t=1时,y取得最大值0,
∴m≥0,因此m的最小值为0.
2.答案　{m|2-2}.
解析　设函数y=x2-mx+m+2,则其图象的对称轴为直线x=,
由三个“二次”之间的关系设出不等式对应的函数,根据函数图象的特点,列出满足条件的关系式求解.
①当≤-2,即m≤-4时,有(-2)2-m×(-2)+m+2>0,解得m>-2,又∵m≤-4,∴无解;
②当-2<<4,即-40,解得2-2,
又∵-4③当≥4,即m≥8时,有42-m×4+m+2>0,
解得m<6,又∵m≥8,∴无解.
综上所述,m的取值范围为{m|2-2}.
思想方法　函数、方程、不等式三者密不可分,很多不等式问题都可以从函数的角度进行求解,如y>a(y是关于x的函数,a为参数)恒成立等价于ymin>a.
3.C　因为A={x|1≤x≤2}, x∈A,x2-a≤0为真命题,
所以x2-a≤0在x∈{x|1≤x≤2}时恒成立,所以a≥(x2)max,1≤x≤2,
将真命题转化为不等式恒成立问题,进一步转化为最大(小)值问题.
易知当x∈{x|1≤x≤2}时,(x2)max=4,所以a≥4,
又因为{a|a≥5} {a|a≥4},
将充分不必要条件的判断转化为集合间关系的判断.
所以命题“ x∈A,x2-a≤0”是真命题的一个充分不必要条件为a≥5,故选C.
方法点拨　不等式恒成立问题转化为函数的最大(小)值问题的方法:y>a恒成立等价于ymin>a;y4.C　由题设可知,A={x∈Z|0<[x]<3}={1,2},
因为A∩( RB)= ,所以A B,
由集合之间的运算关系将A∩( RB)= ,即A R( RB),转化为集合间的包含关系A B.
因为x2+ax=0的解为x=0或x=-a,x2+2x+b=0的两根x1,x2满足x1+x2=-2,所以1,2不同时为方程x2+ax=0或x2+2x+b=0的根,
若1是x2+ax=0的根,2是x2+2x+b=0的根,则有解得
故B={x|(x2-x)(x2+2x-8)=0}={0,1,2,-4};
若2是x2+ax=0的根,1是x2+2x+b=0的根,则有解得
故B={x|(x2-2x)(x2+2x-3)=0}={0,1,2,-3}.
所以集合B总是有4个元素,所以集合B的子集的个数为24=16.故选C.
5.解析　(1)由题意知x1=1,x2=4是关于x的方程x2+mx+n=0的两个实根,
由三个“二次”之间的关系将不等式的解集转化为对应一元二次方程的实数根,体现了转化与化归思想.
所以-m=x1+x2=5,n=x1x2=4,
故m=-5,n=4.
(2)由(1)得y=x2-5x+4,
则x2-5x+4≥ax对任意x>0恒成立,
即a≤x+-5对任意x>0恒成立.
将恒成立问题转化为函数的最值问题,体现了转化与化归思想.
又因为x+≥2=4(当且仅当x=2时,等号成立),
所以x+-5≥-1,所以a≤-1.
思想方法　转化与化归思想在本章中主要体现在集合的运算性质与集合与集合之间包含关系的转化,如A∩B=A A B,A∪B=A B A,A∩ RB= A B等,充分条件、必要条件与集合之间的关系的转化,恒成立问题与函数最值问题之间的转化,三个“二次”之间的转化等多方面.
6.解析　(1)∵集合A={x|x<1},B={x|x(2)如图,
根据集合间的关系,将集合表示在数轴上,借助数轴可直观得出结果,体现了数形结合思想.
由图可知a≥1,即实数a的取值范围是{a|a≥1}.
(3)如图,
由图可知a<1,即实数a的取值范围是{a|a<1}.
7.解析　(1)①若m=0,则原不等式可化为-1<0,显然恒成立;
②若m≠0,则不等式mx2-mx-1<0恒成立等价于解得-4综上可知,实数m的取值范围是{m|-4(2)①当m=0时,原不等式可化为-1<0,显然恒成立;
②当m>0时,若对于x∈{x|1≤x≤3},不等式恒成立,则由函数y=mx2-mx-1的图象开口向上知,
只需在x=1,x=3时函数值均为负数即可,
即解得m<,此时0③当m<0时,函数y=mx2-mx-1的图象开口向下,图象的对称轴为直线x=,若当x∈{x|1≤x≤3}时不等式恒成立,结合函数图象知,只需在x=1时函数值为负即可,此时m∈R,所以m<0符合题意.
结合一元二次函数的图象确定不等式恒成立的条件.
综上所述,实数m的取值范围是.
思想方法　数形结合思想在本章主要体现在集合与一元二次函数中:
(1)在集合中主要是集合间的关系与Venn图或数轴的结合,通过Venn图或数轴可使问题更直观;
(2)在一元二次函数中,主要是通过函数图象研究一元二次函数的一些性质及解一元二次不等式等.
8.解析　(1)因为p:x∈C,q:x∈B,p是q的充分不必要条件,所以集合C是集合B的真子集,
所以解得-2≤m≤-1,
所以m的取值范围为[-2,-1].
(2)分B= 和B≠ 两种情况讨论.
当B= 时,2m>m+3,解得m>3,此时A∩B= ;
当B≠ 时,若A∩B= ,
则或
解得1综上可知,当m≤-7或m>1时,A∩B= ,
所以当-7所以m的取值范围为(-7,1].
9.解析　(1)二次项系数含有参数,对二次项系数是不是0进行讨论.
y<0即mx2-2mx-3<0,
若m=0,则y<0即为-3<0,恒成立,满足题意;
若m≠0,要使“ x∈R,y<0”是真命题,
则解得-3综上,实数m的取值范围为(-3,0].
(2)因为mx2+(1-m)x-1<0是一元二次不等式,所以m≠0,
原不等式可化为(mx+1)(x-1)<0,
方程(mx+1)(x-1)=0的两个根为x1=-,x2=1,
-与1的大小关系不确定,结果会影响不等式的解集,故需要分类讨论.
(i)当-=1,即m=-1时,原不等式的解集为(-∞,1)∪(1,+∞);
(ii)当->1,即-1(iii)当0<-<1,即m<-1时,原不等式的解集为∪(1,+∞);
(iiii)当-<0,即m>0时,原不等式的解集为.
综上,当m<-1时,原不等式的解集为∪(1,+∞);当m=-1时,原不等式的解为(-∞,1)∪(1,+∞);当-10时,原不等式的解集为.
思想方法　分类讨论思想是本章很重要也很常见的一种思想方法,明确分类标准很关键,分类时要做到不重不漏.在集合问题中,通常对集合是不是空集、元素与集合之间的关系进行讨论;在不等式问题中,若不等式含有参数,则可从以下几方面确定分类标准:①二次项系数含参,则要对二次项系数大于0,小于0,等于0分类讨论;②对应方程的根无法确定大小时,要对根的大小分类讨论;③若对应方程的判别式含参,则在确定解的情况时需分Δ>0,Δ=0,Δ<0三种情况求解.
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