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2023-2024北师大版七年级下册期末上分攻略卷
数 学
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．计算（a2）3，正确结果是（ ）
A．a5 B．a6 C．a8 D．a9
2．下列有关冬奥会图案是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列各图中，过直线l外一点P画它的垂线CD，三角板操作正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在实验课上，小亮利用同一块木板，测量了小车从木板顶部下滑的时间与支撑物的高度，得到如下表所示的数据．下列结论不正确的是（ ）
木板的支撑物高度 …
下滑时间 …
A．这个实验中，木板的支撑物高度是自变量
B．支撑物高度每增加，下滑时间就会减少
C．当时，为
D．随着支撑物高度的增加，下滑时间越来越短
5．设 ，，．若，则的值是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
6．下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a2-1 B．-a2-1 C．a2+1 D．a2+a
7．如图，∠1和∠2不是同位角的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，边的垂直平分线交于点F，交于点G，连接，．则的度数（ ）
A． B． C． D．
9．已知 表示取三个数中最小的那个数，例如：当 ， .当 时，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
10．对于有理数a、b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a，例如：min{1，－2}＝－2．已知min{ ，a}＝a，min{ ，b}＝ ，且a和b为两个连续正整数，则a－b的立方根为（ ）
A．－1 B．1 C．－2 D．2
11．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的底角度数是（ ）
A．（ ）n 75° B．（ ）n﹣1 65°
C．（ ）n﹣1 75° D．（ ）n 85°
12．如下图，在下列条件中，能判定AB//CD的是（ ）
A．∠1=∠3 B．∠2=∠3 C．∠1=∠4 D．∠3=∠4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．“桃花春色暖先开，明媚谁人不看来．”桃花花粉直径约为米，其用科学记数法表示为 ．
14．如图，已知ab，∠1=65°，则∠2的度数为 ．
15．如图，转盘被分成5个面积相等的扇形，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在阴影区域的概率为 ．
16．若，则 .
17．如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作．例如，，，．那么，，其中．例如，，，．现有，则x的值为 ．
18．如图1是的一张纸条，按图示方式把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图3中，则图2中的度数为 ．
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．如图是芳芳设计的自由转动的转盘，被平均分成10等份，分别标有数字0， 1，，，6，，8，9，，这10个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转得的数字．分别求出转得下列各数的概率．
（1）转得的数为正数；
（2）转得的数为负整数；
（3）转得绝对值小于6的数．
20．如图，在三角形ABC中，∠C=90°，把三角形ABC沿直线DE折叠，使三角形ADE与三角形BDE重合
（1）若∠A=30°，求∠CBD的度数
（2）若三角形BCD的周长为12，AE=5，求三角形ABC的周长
21．如图，在某高铁站广场前有一块长为，宽为的长方形空地，计划在中间留两个长方形喷泉池（图中阴影部分），两个长方形喷泉池及周边留有宽度为b的人行通道．
（1）求该长方形空地的面积；（用代数式表示）
（2）求这两个长方形喷泉池的总面积；（用代数式表示）
（3）当，时，求这两个长方形喷泉池的总面积．
22．如图，直线，点为直线上的一个定点，点为直线、之间的定点，点为直线上的动点．
（1）当点运动到图1所示位置时，求证：；
（2）点在直线上，且，平分．
①如图2，若点在的延长线上，，求的度数；
②若点不在的延长线上，且点在直线的右侧，请直接写出与之间的数量关系．（本问中的角均为小于的角）
23．在网格图中，每个方格除颜色外都相同，其中4个方格为黑色，余下方格为白色．
（1）涂黑3个白色方格，使整个网格图为轴对称图形（考虑颜色）；
（2）在（1）的轴对称网格图中任取1个方格，恰好是黑色方格的概率是多少？
（3）在（1）的轴对称网格图中，再涂黑若干个白色方格，能否使任取1个方格恰好是白色方格的概率为0.5？
24．如图1，线段是由线段平移得到的．分别连接，．直线于点，延长与相交于点．点是射线上的一个动点，点不与点、点、点重合．连接，．
（1）线段，的关系是 ；
（2）如图1，当点在线段上运动时，，，之间的数量关系是 ；
（3）如图2，当点在线段上运动时，，，之间的数量关系是否发生变化？若发生变化请写出它们的关系，并证明；若没有发生变化，请说明理由；
（4）如图3，当点在点上方运动时，请直接写出，，之间的数量关系： ．
25．定义：如果三角形的两个内角α与β满足α＋2β＝100°，那么我们称这样的三角形为“奇妙三角形”．
（1）如图1，中，∠ACB＝80°，BD平分∠ABC．求证：为“奇妙三角形”；
（2）若为“奇妙三角形”，且∠C＝80°．求证：是直角三角形；
（3）如图2，中，BD平分∠ABC，若为“奇妙三角形”，且∠A＝40°，直接写出∠C的度数．
26．在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）如图1，用两种不同的方法表示阴影图形的面积，得到一个等量关系： ．
（2）若图1中a、b满足a+b＝7，ab＝10，求a2+b2的值；
（3）如图2，C是线段AB上一点，以AC，BC为边向两边作正方形，AC+BC=8，两正方形面积和S1+S2＝40，求图中阴影部分面积．
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2023-2024北师大版七年级下册期末上分攻略卷
数 学
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．计算（a2）3，正确结果是（ ）
A．a5 B．a6 C．a8 D．a9
【答案】B
【知识点】幂的乘方运算
【解析】【分析】根据幂的乘方法则进行计算即可．
【解答】由幂的乘方与积的乘方法则可知，（a2)3=a2×3=a6．
故选B．
【点评】本题考查的是幂的乘方法则，即底数不变，指数相乘．
2．下列有关冬奥会图案是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】选项A、B、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故答案为：C．
【分析】利用轴对称图形的性质判断即可。
3．下列各图中，过直线l外一点P画它的垂线CD，三角板操作正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】尺规作图-垂线
【解析】【解答】解：由题意得：D的画法正确，
故答案为：D
【分析】根据垂线的作图方法结合题意对选项逐一分析即可求解。
4．如图，在实验课上，小亮利用同一块木板，测量了小车从木板顶部下滑的时间与支撑物的高度，得到如下表所示的数据．下列结论不正确的是（ ）
木板的支撑物高度 …
下滑时间 …
A．这个实验中，木板的支撑物高度是自变量
B．支撑物高度每增加，下滑时间就会减少
C．当时，为
D．随着支撑物高度的增加，下滑时间越来越短
【答案】B
【知识点】用表格表示变量间的关系
【解析】【解答】解：A：这个实验中，木板的支撑物高度是自变量正确，所以A正确；
B： 3.01-2.84=0.17，所以 支撑物高度h每增加10cm，下滑时间就会减少0.24s不正确，所以B不正确；
C：当h=40cm时，t为2.66s 正确，所以C正确；
D： 随着支撑物高度h的增加，下滑时间越来越短正确，所以D正确。
故答案为：B。
【分析】根据表中数据分别进行判断即可得出答案。
5．设 ，，．若，则的值是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用；整式的混合运算
【解析】【解答】解：∵a=x-2022，b=x-2024，
∴a-b=2，
∴（a-b)2=a2+b2-2ab=4，
∴ab=6，
又c=x-2023=x-2022-1=a-1，c=x-2023=x-(2024-1)=x-2024+1=b+1，
∴c2=(a-1)(b+1)=ab+a-b-1=ab+(a-b)-1=6+2-1=7.
故答案为：7.
【分析】首先求出a-b=2，进一步得出（a-b)2=4，从而得出ab=6，然后把c变形为a-1和b+1，进一步即可得出c2=ab+(a-b)-1，然后整体带入，即可求得c2的值。
6．下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a2-1 B．-a2-1 C．a2+1 D．a2+a
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： A、a2-1=(a+1) (a-1)，正确；
B、-a2-1=-(a2+1) ，错误；
C、 a2+1，不能分解因式，错误；
D、a2+a=a(a+1) ，错误；
故答案为：A.
【分析】平方差公式为：a2-b2=(a+b) (a-b)，根据公式分别判断即可.
7．如图，∠1和∠2不是同位角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：A、∠1和∠2是同位角，故此选项不符合题意；
B、∠1和∠2是同位角，故此选项不符合题意；
C、∠1和∠2是同位角，故此选项不符合题意；
D、∠1和∠2不是同位角，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用同位角的定义，直接分析得出即可．
8．如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，边的垂直平分线交于点F，交于点G，连接，．则的度数（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】已知E为AB的垂直平分线，∴AE=BE， ∠EAB＝∠B 同理∠CAG＝∠C 两边相加得∠EAB+ ∠CAG=∠B+ ∠C 又 ∠EAB+ ∠CAG =∠BAG+ ∠EAG+∠EAG+ ∠CAE=80°+ ∠EAG 且 ∠B+ ∠C=180°- ∠BAC=100° ∴ 80°+ ∠EAG =100° ∴∠EAG=100°-80°=20°
【分析】熟悉垂直平分线的性质、等边对等角定理，等量代换。
9．已知 表示取三个数中最小的那个数，例如：当 ， .当 时，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】当时，，不合题意；
当时，当时，，不合题意；
当时，，，符合题意；
当时，，不合题意；
故答案为：B
【分析】分别计算，，的x值，找出满足条件的x值即可。
10．对于有理数a、b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a，例如：min{1，－2}＝－2．已知min{ ，a}＝a，min{ ，b}＝ ，且a和b为两个连续正整数，则a－b的立方根为（ ）
A．－1 B．1 C．－2 D．2
【答案】A
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴a＜ ＜b，
∵5＜ ＜6，且a和b为两个连续正整数，
∴a=5，b=6，
∴ ，
∴ 的立方根为-1．
故答案为：A．
【分析】根据min{a，b}的含义得到：a＜ ＜b，由a和b为两个连续正整数求得它们的值，然后代入求值。
11．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的底角度数是（ ）
A．（ ）n 75° B．（ ）n﹣1 65°
C．（ ）n﹣1 75° D．（ ）n 85°
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵在△CBA1中，∠B＝30°，A1B＝CB，
∴∠BA1C＝ ＝75°，
∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，
∴∠DA2A1＝ ∠BA1C＝ ×75°；
同理可得，
∠EA3A2＝（ ）2×75°，∠FA4A3＝（ ）3×75°，
∴第n个三角形中以An为顶点的底角度数是（ ）n﹣1×75°．
故答案为：C．
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形中以An为顶点的底角度数．
12．如下图，在下列条件中，能判定AB//CD的是（ ）
A．∠1=∠3 B．∠2=∠3 C．∠1=∠4 D．∠3=∠4
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】∠1和∠4构成AB、CD被第三条直线AC所截的一组内错角，内错角相等，两直线平行，即得C．
【分析】做平行线的判定题目是要在众多的线和角当中找出此两条直线被第三条直线所截构成的同位角、内错角、同旁内角的等量关系．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．“桃花春色暖先开，明媚谁人不看来．”桃花花粉直径约为米，其用科学记数法表示为 ．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.00003=3×10-5；
故答案为：3×10-5.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数.
14．如图，已知ab，∠1=65°，则∠2的度数为 ．
【答案】115°
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：如下图所示：
∵ab，∠1=65°，
∴∠ABC=∠1=65°，
∴∠2=180°-∠ABC=180°-65°=115°，
故答案为：115°.
【分析】根据平行线的性质求出∠ABC=∠1=65°，再根据邻补角的性质计算求解即可。
15．如图，转盘被分成5个面积相等的扇形，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在阴影区域的概率为 ．
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：由题意可得，指针落在每个扇形的概率是一样的，故指针落在阴影区域的概率为.
故答案为：.
【分析】转盘上共有5个扇形，其中阴影区域有2个扇形，故指针落在阴影区域的概率为.
16．若，则 .
【答案】9
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴
.
故答案为：9.
【分析】待求式可变形为(m+2022-1)(m+2022+1)，利用平方差公式可得原式=(m+2022)2-1，据此计算.
17．如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作．例如，，，．那么，，其中．例如，，，．现有，则x的值为 ．
【答案】或或
【知识点】解一元一次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：∵3a=[x]+1，
∴a=，
∵0≤a＜1，
∴0≤＜1，
解得：0≤[x]+1＜3，
-1≤[x]＜2，
∴[x]取-1，0，1，
当[x]=-1时，a==0，x=[x]+a=-1，
当[x]=0时，a==，x=[x]+a=，
当[x]=1时，a==，x=[x]+a=，
故答案为： -1或或 .
【分析】根据3a=[x]+1表示出a，根据a的取值范围列出关于[x]的不等式，解得[x]的取值范围，根据定义得[x]的取值，代入a=，x=[x]+a即可求解.
18．如图1是的一张纸条，按图示方式把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图3中，则图2中的度数为 ．
【答案】113°
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，设∠B′FE＝x，
∵纸条沿EF折叠，
∴∠BFE＝∠B′FE＝x，∠AEF＝∠A′EF，
∴∠BFC＝∠BFE﹣∠CFE＝x﹣21°，
∵纸条沿BF折叠，
∴∠C′FB＝∠BFC＝x﹣21°，
而∠B′FE+∠BFE+∠C′FE＝180°，
∴x+x+x﹣21°＝180°，解得x＝67°，
∵A′D′∥B′C′，
∴∠A′EF＝180°﹣∠B′FE＝180°﹣67°＝113°，
∴∠AEF＝113°．
故答案为113°．
【分析】折叠对称性质得出角相等∠BFE＝∠B′FE，∠AEF＝∠A′EF，再根据∠B′FE、∠BFE、∠C′FE三角组成一个平角列出方程求得∠BFE＝∠B′FE＝67°，根据两直线平行同旁内角互补得出∠AEF为113。
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．如图是芳芳设计的自由转动的转盘，被平均分成10等份，分别标有数字0， 1，，，6，，8，9，，这10个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转得的数字．分别求出转得下列各数的概率．
（1）转得的数为正数；
（2）转得的数为负整数；
（3）转得绝对值小于6的数．
【答案】（1）解：在这10个数中，正数有1，，6，8，9这5个，
P（正数）=
答：芳芳转得正数的概率是；
（2）解：在这10个数中，负整数有-2，-10，-1这3个，
P（负整数）=
答：芳芳转得负整数的概率是；
（3）解：P（绝对值小于6的数）= ，
答：芳芳转得绝对值小于6的概率是．
【知识点】概率公式
【解析】【分析】（1） 由于这10个数中，正数有1，，6，8，9这5个， 利用概率公式计算即可；
（2） 在这10个数中，负整数有-2，-10，-1这3个 ，利用概率公式计算即可；
（3）先求出这10个数中，绝对值小于6的数有几个，然后利用概率公式计算即可.
20．如图，在三角形ABC中，∠C=90°，把三角形ABC沿直线DE折叠，使三角形ADE与三角形BDE重合
（1）若∠A=30°，求∠CBD的度数
（2）若三角形BCD的周长为12，AE=5，求三角形ABC的周长
【答案】（1）解：∵三角形ADE与三角形BDE重合，
∴ ，
∴ ，
∵∠C=90°，∠A=30°，
∴ ，
∴ .
（2）解：由（1）得：AE=BE，BD=AD， ，
∵三角形BCD的周长为12，
∴ ，
∴ ，
∵AE=5，
∴ ，
∴三角形ABC的周长 .
【知识点】翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质得出∠ABC的度数，根据折叠的性质，得出∠DBA=30°，然后根据角的和差关系即可解答；
（2）根据折叠的性质，得出AE=BE，BD=AD， 推出BC+AC=12，AB=10，则可求出△ABC的周长.
21．如图，在某高铁站广场前有一块长为，宽为的长方形空地，计划在中间留两个长方形喷泉池（图中阴影部分），两个长方形喷泉池及周边留有宽度为b的人行通道．
（1）求该长方形空地的面积；（用代数式表示）
（2）求这两个长方形喷泉池的总面积；（用代数式表示）
（3）当，时，求这两个长方形喷泉池的总面积．
【答案】（1）解：
答：该长方形空地的面积为．
（2）解：．
答：这两个长方形喷泉池的总面积为．
（3）解：当，时，这两个长方形喷泉池的总面积为．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）先根据图形列出算式，再进行化简即可；
（2）先根据图形列出算式，再进行化简即可；
（3）在第（2）问的基础上，将，代入进行计算.
22．如图，直线，点为直线上的一个定点，点为直线、之间的定点，点为直线上的动点．
（1）当点运动到图1所示位置时，求证：；
（2）点在直线上，且，平分．
①如图2，若点在的延长线上，，求的度数；
②若点不在的延长线上，且点在直线的右侧，请直接写出与之间的数量关系．（本问中的角均为小于的角）
【答案】（1）证明：如图所示，过点B向右作，
∵，
∴，
∴，，
∴，即；
（2）解：①∵平分，点D在的延长线上，
∴，
∵，，
∴
由（1）知，，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②，理由如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴
，
由（1）得，
∴
．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)过点B作，可得，再利用平行线的性质得到，，进而证得.
(2)先根据角平分线的定义可得，由(1)中的结论可得，进而得到，然后求得的度数.
根据角平分线的定义可得，再通过角的和差证得，代入(1)中的结论求得.
23．在网格图中，每个方格除颜色外都相同，其中4个方格为黑色，余下方格为白色．
（1）涂黑3个白色方格，使整个网格图为轴对称图形（考虑颜色）；
（2）在（1）的轴对称网格图中任取1个方格，恰好是黑色方格的概率是多少？
（3）在（1）的轴对称网格图中，再涂黑若干个白色方格，能否使任取1个方格恰好是白色方格的概率为0.5？
【答案】（1）解：如图所示：
（答案不唯一）
（2）解：图中共有25个方格，黑色的有7个，
任取1个方格，恰好是黑色方格的概率是
（3）解：若能使任取1个方格恰好是白色方格的概率为0.5，
则白色的方格为个，
故不能再涂黑若干个白色方格，使任取1个方格恰好是白色方格的概率为0.5．
【知识点】作图﹣轴对称；简单事件概率的计算
【解析】【分析】（1）利用轴对称图形的定义，画出符合题意的图形即可.
（2）由题意可得到所有等可能的结果数及黑色方格的个数，然后利用概率公式进行计算.
（3）若能使任取1个方格恰好是白色方格的概率为0.5，据此可求出白色的方格的个数，根据结果可作出判断.
24．如图1，线段是由线段平移得到的．分别连接，．直线于点，延长与相交于点．点是射线上的一个动点，点不与点、点、点重合．连接，．
（1）线段，的关系是 ；
（2）如图1，当点在线段上运动时，，，之间的数量关系是 ；
（3）如图2，当点在线段上运动时，，，之间的数量关系是否发生变化？若发生变化请写出它们的关系，并证明；若没有发生变化，请说明理由；
（4）如图3，当点在点上方运动时，请直接写出，，之间的数量关系： ．
【答案】（1），
（2）
（3）解：当点P在线段上运动时，，，之间的数量关系不会发生变化，理由如下：
如图，过点P作交于点H，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（4）
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵线段是由线段平移得到的，
∴点A与点C是对应点，点B和点D是对应点，
∴，；
故答案为：，；
（2）如图，设与交于点G，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
（4）如图，设交于点M，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】（1）利用平移的性质可得 ， ；
（2）设与交于点G，根据平行的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得；
（3）过点P作交于点H，根据平行线的性质可得，，再利用角的运算和等量代换可得；
（4）设交于点M，根据平行的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得.
25．定义：如果三角形的两个内角α与β满足α＋2β＝100°，那么我们称这样的三角形为“奇妙三角形”．
（1）如图1，中，∠ACB＝80°，BD平分∠ABC．求证：为“奇妙三角形”；
（2）若为“奇妙三角形”，且∠C＝80°．求证：是直角三角形；
（3）如图2，中，BD平分∠ABC，若为“奇妙三角形”，且∠A＝40°，直接写出∠C的度数．
【答案】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABD．
∵∠ACB＝80°，
∴∠A＋∠ABC＝100°．
∴∠A＋2∠ABD＝100°．
∴为“奇妙三角形”．
（2）证明：∵∠C＝80°，
∴∠A＋∠ABC＝100°，
∵为“奇妙三角形”，
∴只能∠C＋2∠ABC＝100°（∠C＋2∠A＝100°）．
∴∠ABC＝10°（∠A＝10°）．
∴∠C＋∠ABC＝90°（∠C＋∠A＝90°），
∴是直角三角形．
（3）解：∵∠A＝40°，
∴∠C＋∠ABC＝140°，
BD平分∠ABC，
为“奇妙三角形”，则只有以下两种情形，
①若
②若
综上所述，∠C的度数为：80°或100°．
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠ABC=2∠ABD，由∠ACB=80°，根据三角形内角和定理得到∠A+∠ABC=100°，则可得出∠A＋2∠ABD＝100°，结合新定义，即可得出结论；
（2）根据三角形内角和定理求出 ∠A＋∠ABC＝100°， 根据新定义得出只能∠C＋2∠ABC＝100°（∠C＋2∠A＝100°） ，则得出∠ABC=10° (∠A=10°) ，从而得出∠C+∠ABC=90° (∠C+∠A=90°)，即可得证；
（3）分两种情况讨论， 即①若， ②若 ，利用（2）的方法分别求解，即可解答.
26．在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）如图1，用两种不同的方法表示阴影图形的面积，得到一个等量关系： ．
（2）若图1中a、b满足a+b＝7，ab＝10，求a2+b2的值；
（3）如图2，C是线段AB上一点，以AC，BC为边向两边作正方形，AC+BC=8，两正方形面积和S1+S2＝40，求图中阴影部分面积．
【答案】（1）a2+ b2＝（a+b）2-2ab
（2）解：由（1）得，a2+ b2＝（a+b）2-2ab，∵a+b＝7，ab＝10，∴a2+ b2＝72-2×10=29 ；
（3）解：设正方形ACDE的边长为a，正方形BCFG的边长为b，则S1＝a2，S2＝b2，∵AC+BC=8， S1+S2＝40，∴a+b＝8，a2+b2＝40，∵a2+ b2＝（a+b）2-2ab，∴40＝64-2ab，∴ab＝12， ∴阴影部分的面积为ab＝6．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）解：图1中阴影部分的面积可以表示为两个边长分别为a，b的小正方形的面积之和，即a2+b2，也可表示为边长是a+b的大正方形的面积减去两个长、宽分别为a，b的小长方形的面积，即（a+b）2-2ab．∴等量关系为a2+ b2＝（a+b）2-2ab；
【分析】（1）利用不同的表达式表示阴影部分的面积即可得到答案；
（2）利用（1）的结论，将数据代入计算即可；
（3）设正方形ACDE的边长为a，正方形BCFG的边长为b，可得a+b＝8，a2+b2＝40，再利用（1）的结论将数据代入计算即可。
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