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2024湘教版七年级下册期末考前精选卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，下列各角中，与∠1是同位角的是（ ）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若 ，是关于 和 的二元一次方程 的解，则 的值等于
A．3 B．6 C． D．
4．如图，小玮从A处沿北偏东40°方向行走到点B处，又从点B处沿东偏南23°方向行走到点C处，则∠ABC的度数为（ ）
A．99° B．107° C．127° D．129°
5．《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中有这样一道题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗，问醇、行酒各得几何？”译文：今有醇酒（优质酒）1斗，价格50钱；行酒（勾兑酒）1斗，价格10钱．现有30钱，买2斗酒，问能买醇酒、行酒各多少斗？设能买醇酒x斗，行酒y斗，可列二元一次方程组为（ ）
A． B．
C． D．
6．将进行因式分解，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这个10个自然数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得田字形的4个格子中所填数字之和都等于m．则m的最大值是（ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
8．如图1是的一张纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图3中则图2中的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE=α，∠DCE=β．下列各式：
①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（ ）
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．①②③④ 图4
10．如果四个互不相同的正整数m，n，p，q满足(6-m)(6-n)(6-p)(6-q)=4，那么m+n+p+q=( )
A．24 B．25
C．26 D．28
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．如图，将一条长方形纸片沿折叠，已知，则
12．因式分解： ．
13．已知关于x、y的方程组，则x+y的值为 ．
14．如图，把周长为12的沿方向平移1个单位得到，则四边形的周长为 .
15．已知： ， ，则 的值是 ；
16．在正方形中，，点E、F分别为上一点，且，连接，则的最小值是 ．
17．某食品加工厂在端午节期间制作红枣粽、腊肉粽、咸蛋粽进行销售，去年端午节期间销售的这三种粽子的数量之比为2∶3∶1，今年端午节期间销售这三种粽子不光保持了去年的销量，而且都还有所增加，其中腊肉粽增加的销量占今年总增加销量的．今年腊肉粽销售的数量占三种粽子销售总数量的，而红枣粽销售的总数量是咸蛋粽销售的总数量的2倍，则去年咸蛋粽销售的数量与今年咸蛋粽销售的数量之比为 ．
18．如图，已知AB∥CD，F为CD上一点，∠EFD=60°，∠AEC=2∠CEF，若6°＜∠BAE＜15°，∠C的度数为整数，则∠C的度数为 ．
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．画图题，如图，已知三角形
（1）过点 作 ，点 为垂足
（2）在（1）的条件下，若 ，求点A到CD的距离
20．如图1，将一个长为4a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形.
（1）图2的空白部分的边长是多少？（用含a、b的式子表示）
（2）若2a+b＝7，且ab＝3，求图2中的空白正方形的面积.
（3）观察图2，用等式表示出（2a﹣b）2，ab和（2a+b）2的数量关系.
21．已知，求下列各式的值．
（1）求的值；
（2）求的值．
22．《中华人民共和国国家安全法》规定，“中华人民共和国公民有维护国家的安全、荣誉和利益的义务，不得有危害国家的安全、荣誉和利益的行为．”2014年4月15日，习近平总书记强调，要准确把握国家安全形势变化新特点新趋势，坚持总体国家安全观，走出一条中国特色国家安全道路．某校为了了解全校学生对国家安全相关知识的掌握情况，特组织了一次国家安全知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分为A、B、C、D四个等级，对应的分数依次为100分、90分、80分、70分．学校将七年级1班和2班的成绩整理并绘制如图的统计图：
（1）把竞赛成绩统计图补充完整；
（2）根据下表填空： ； ； ；
平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
一班 90
二班 87.6 80
（3）请从平均数和中位数或众数中任选两个对这次竞赛成绩的结果进行分析．
23．图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀剪下全等的四块小长方形，然后按图2拼成一个正方形．
（1）观察图2，请直接写出代数式，，之间的等量关系；
（2）根据（1）中的等量关系，若，，则的值为 ；
（3）已知，求的值．
24．问题解决：
（1）问题情境：如图1所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到P的距离之和最短？请画出点P的位置；
（2）问题理解：如图2，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E是AC边的中点，点P是线段AD上的动点，画出PC＋PE取得最小值时点P的位置；
（3）问题运用：如图3，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD＝12，AD是∠BAC的平分线，当点E、P分别是AC和AD上的动点时，求PC＋PE的最小值．
25．阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足 ①， ②，求 和 的值.
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由 可得 ，由 可得 .这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.
解决问题：
（1）已知二元一次方程组 ，则 ；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需 元.
（3）对于实数x、y，定义新运算： ，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知 ， ，那么 .
26．如图所示，在一副三角板ABC和三角板DEC中，，，∠B＝30°，∠DEC＝∠DCE＝45°．
（1）当AB∥DC时，如图①，的度数为 °；
（2）当与重合时，如图②，判断与的位置关系并说明理由；
（3）如图③，当＝ °时，AB∥EC；
（4）当AB∥ED时，如图④、图⑤，分别求出的度数．
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数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，下列各角中，与∠1是同位角的是（ ）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
【答案】D
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：由题意得，与∠1时同位角的是∠5，
故答案为：D.
【分析】利用同位角的定义，可得到∠1的同位角.
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】A. ，故错误；
B. ，故正确；
C. 无法合并，故错误；
D. ，故错误；
故答案为：B.
【分析】A、利用单项式乘多项式法则进行计算，然后判断即可；
B、利用幂的乘方，底数不变，指数相乘进行计算，然后判断即可；
C、 不是同类项，无法合并，据此判断即可；
D、根据,进行计算，然后判断即可.
3．若 ，是关于 和 的二元一次方程 的解，则 的值等于
A．3 B．6 C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：将 代入方程 得： ，
．
故答案为： ．
【分析】将x=1，y=-2代入二元一次方程，得到m-2n=3，再将m-2n整体代入计算即可。
4．如图，小玮从A处沿北偏东40°方向行走到点B处，又从点B处沿东偏南23°方向行走到点C处，则∠ABC的度数为（ ）
A．99° B．107° C．127° D．129°
【答案】A
【知识点】钟面角、方位角；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵小明从A处沿北偏东40°方向行走至B处，又从B处沿东偏南21°方向行走至C处，
∵∠DAB=40°，∠CBF=21°，
∵向北方向线是平行的，即ADIIBE，
∴∠ABE=∠DAB =40°，
∵∠EBF =90°，
∴∠EBC=90°-21°= 69°，
∴∠ABC=∠ABE +∠EBC=40° +69° =109°，
故答案为：A.
【分析】根据方向角的定义得出∠DAB=40°，∠CBF=21°，再根据平行线的性质求出∠ABE，然后根据角的和差关系求∠ABC的度数即可.
5．《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中有这样一道题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗，问醇、行酒各得几何？”译文：今有醇酒（优质酒）1斗，价格50钱；行酒（勾兑酒）1斗，价格10钱．现有30钱，买2斗酒，问能买醇酒、行酒各多少斗？设能买醇酒x斗，行酒y斗，可列二元一次方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设能买醇酒x斗，行酒y斗，
由题意，得：.
故答案为：D.
【分析】设能买醇酒x斗，行酒y斗，由“有优质酒1斗，价格50钱；勾兑酒1斗，价格10钱”，和“现有30钱，买2斗酒”，列出方程组为，即可得出正确答案.
6．将进行因式分解，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】
故答案为：C．
【分析】利用提公因式法和平方差公式因式分解即可。
7．将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这个10个自然数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得田字形的4个格子中所填数字之和都等于m．则m的最大值是（ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
【答案】B
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】 解：将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这个10个自然数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得田字形的4个格子中所填数字之和都等于m，其总和为3m，其中居中的2个格子所填之数被相加了2次。
设：居中被相加2次的格子的数分别为x和y，依题意得：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+x+y=55+x+y
∴ 3m=55+x+y
当x和y最大时，m取得最大值；
x和y为9和10时满足题意；
∴m的最大值为24
故本题应选：B
【分析】将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这个10个自然数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得田字形的4个格子中所填数字之和都等于m，其总和为3m，其中居中的2个格子所填之数被相加了2次。根据题目的意思明确计算规则，列出相应的二元一次方程，求出满足条件的m的最值。
8．如图1是的一张纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图3中则图2中的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，设∠B′FE= x°，
∵纸条沿EF折叠，
∴∠BFE=∠B′FE= x°，∠AEF=∠A′EF，
∴∠BFC=∠BFE-∠CFE= x°-18°，
∵纸条沿BF折叠，
∴∠C′FB=∠BFC= x°-18°，
而∠B′FE+∠BFE+∠C′FE=180°，
∴x°+ x°+ x°-18°=180°，解得x°=66°，
∵A′D′∥B′C′，
∴∠A′EF=180°-∠B′FE=180°-66°=114°，
∴∠AEF=114°．
故答案为：B．
【分析】折叠问题比较抽象，必须搞清楚折叠前后哪些角是同一个角，实在想不来可以实际折叠一下相似的纸条，以便找出其中隐含的数量关系。
9．如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE=α，∠DCE=β．下列各式：
①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（ ）
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．①②③④ 图4
【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如下图，当E点在直线AB，CD之间并且在AC右边时，作EF//AB
∵AB∥CD、EF//AB
∴AB∥CD∥EF
∴∠BAE=∠AEF 、∠DCE=∠FEC
∴∠AEC=∠AEF+∠FEC=α+β
故①正确
如下图，当E点在直线AB上面并且在AC右边时，作EF//AB
∵AB∥CD、EF//AB
∴AB∥CD∥EF
∴∠BAE=∠AEF 、∠DCE=∠FEC
∴∠AEC=∠FEC-∠AEF=β-α
故③正确
如下图，当E点在直线CD下面并且在AC右边时，作EF//AB
∵AB∥CD、EF//AB
∴AB∥CD∥EF
∴∠BAE=∠AEF 、∠DCE=∠FEC
∴∠AEC=∠AEF-∠FEC=α-β
故②正确
如下图，当E点在直线AB，CD之间并且在AC左边时，作EF//AB
∵AB∥CD、EF//AB
∴AB∥CD∥EF
∴∠BAE+∠AEF=180° 、∠DCE+∠FEC=180°
∴∠AEC=∠AEF+∠FEC=180° -α+180°-β=360°﹣α﹣β
故④正确
∴①②③④正确
故答案为：D
【分析】本题考查了平行线间的动点问题，直线AB，CD，AC将平面分成了6个部分，E点可以在任意部分，再根据平行线的性质以及角度的加减即可得到答案.
10．如果四个互不相同的正整数m，n，p，q满足(6-m)(6-n)(6-p)(6-q)=4，那么m+n+p+q=( )
A．24 B．25
C．26 D．28
【答案】A
【知识点】代数式求值；多项式乘多项式
【解析】【分析】由题意m，n，p，q是四个互不相同的正整数，又（6-m)（6-n)（6-p)（6-q)=4，因为4=-1×2×（-2)×1，然后对应求解出m、n、p、q，从而求解．
【解答】∵m，n，p，q互不相同的是正整数，
又（6-m)（6-n)（6-p)（6-q)=4，
∵4=1×4=2×2，
∴4=-1×2×（-2)×1，∴（6-m)（6-n)（6-p)（6-q)=-1×2×（-2)×1，
∴可设6-m=-1，6-n=2，6-p=-2，6-q=1，
∴m=7，n=4，p=8，q=5，
∴m+n+p+q=7+4+8+5=24，
故选A．
【点评】此题是一道竞赛题，难度较大，不能硬解，要学会分析，把4进行分解因式，此题主要考查多项式的乘积，是一道好题
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．如图，将一条长方形纸片沿折叠，已知，则
【答案】40°
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图：
∵AD∥BC，
∴∠DAB=∠1=70°，
由折叠得：∠1=∠2=70°，
∴∠CBF=180°-∠1-∠2=40°，
故答案为：40°.
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠DAB=∠1=70°，根据折叠得：∠1=∠2=70°，进而根据平角的定义即可求解.
12．因式分解： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】利用提公因式法和平方差公式分解因式即可。
13．已知关于x、y的方程组，则x+y的值为 ．
【答案】1
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①+②可得：
③÷5可得：
故答案为：1
【分析】利用加减消元法，即可得到，再方程两边同时除以5，得到，即可得出答案.
14．如图，把周长为12的沿方向平移1个单位得到，则四边形的周长为 .
【答案】14
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：沿方向平移1个单位得到，
，，
四边形ABFD的周长=
=12+1+1
=14.
故答案为：14.
【分析】根据平移的性质可得AD=CF=1，DF=AC，则四边形ABFD的周长可转化为C△ABC+CF+AD，据此计算.
15．已知： ， ，则 的值是 ；
【答案】3
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴（a+b）2=25
∴a2+2ab+b2=25①
a2-2ab+b2=13②
由①-②得
4ab=12
解之：ab=3.
故答案为：3.
【分析】利用已知条件分别求出a2+2ab+b2=25①，a2-2ab+b2=13②；再由①-②，可求出ab的值.
16．在正方形中，，点E、F分别为上一点，且，连接，则的最小值是 ．
【答案】
【知识点】轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接 AF ，
∵四边形ABCD正方形 ，
∴ AD = CD
又∵AE = CF
∴ DE = DF
在△ ADF 和△ CDE 中，
∴△ ADF ≌△ CDE ( SAS )
∴ CE = AF
∴ BF + CE = BF + AF
∴BF + CE 的最小值就是 BF + AF 的最小值
如图，作B 点关于 CD 的对称点G ，连接AG 交 CD 于 F 点则 F 即可满足 BF + AF 最小，
∵ AB =1
∴BC =CG =1，BG =2
∴ BF + CE = BF + AF =AG
在△ABG中，AG==
故答案为：.
【分析】由题意可以证明△ ADF ≌△ CDE ( SAS )，根据全等三角形的性质得到 BF + CE 的最小值就是 BF + AF 的最小值，最后根据轴对称及最短路径问题即可求解．
17．某食品加工厂在端午节期间制作红枣粽、腊肉粽、咸蛋粽进行销售，去年端午节期间销售的这三种粽子的数量之比为2∶3∶1，今年端午节期间销售这三种粽子不光保持了去年的销量，而且都还有所增加，其中腊肉粽增加的销量占今年总增加销量的．今年腊肉粽销售的数量占三种粽子销售总数量的，而红枣粽销售的总数量是咸蛋粽销售的总数量的2倍，则去年咸蛋粽销售的数量与今年咸蛋粽销售的数量之比为 ．
【答案】2∶3
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设去年端午节期间销售的红枣粽、腊肉粽、咸蛋的数量分别为2a，3a和a只，今年三种粽子销售总数量为x只，
∵今年腊肉粽销售的数量占三种粽子销售总数量的，而红枣粽销售的总数量是咸蛋粽销售的总数量的2倍，
∴，
，
∴今年红枣粽销售的数量占三种粽子销售总数量的，今年咸蛋粽销售的数量占三种粽子销售总数量的，
∵腊肉粽增加的销量占今年总增加量的，
∴
解得，，
∴去年咸蛋粽销售的数量与今年咸蛋粽销售的数量之比为：
，
故答案为：2∶3．
【分析】设去年端午节期间销售的红枣粽、腊肉粽、咸蛋的数量分别为2a，3a和a只，今年三种粽子销售总数量为x只，根据“今年腊肉粽销售的数量占三种粽子销售总数量的，而红枣粽销售的总数量是咸蛋粽销售的总数量的2倍”求出今年红枣粽销售的数量占三种粽子销售总数量的，今年咸蛋粽销售的数量占三种粽子销售总数量的；再根据腊肉粽增加的销量占今年总增加量的，列出关于x和a的方程，可求出去年咸蛋粽销售的数量与今年咸蛋粽销售的数量之比.
18．如图，已知AB∥CD，F为CD上一点，∠EFD=60°，∠AEC=2∠CEF，若6°＜∠BAE＜15°，∠C的度数为整数，则∠C的度数为 ．
【答案】36°或37°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，过E作EG∥AB，
∵AB∥CD，
∴GE∥CD，
∴∠BAE=∠AEG，∠DFE=∠GEF，
∴∠AEF=∠BAE+∠DFE，
设∠CEF=x，则∠AEC=2x，
∴x+2x=∠BAE+60°，
∴∠BAE=3x﹣60°，
又∵6°＜∠BAE＜15°，
∴6°＜3x﹣60°＜15°，
解得22°＜x＜25°，
又∵∠DFE是△CEF的外角，∠C的度数为整数，
∴∠C=60°﹣23°=37°或∠C=60°﹣24°=36°，
故答案为：36°或37°．
【分析】先过E作EG∥AB，根据平行线的性质可得∠AEF=∠BAE+∠DFE，再设∠CEF=x，则∠AEC=2x，根据6°＜∠BAE＜15°，即可得到6°＜3x﹣60°＜15°，解得22°＜x＜25°，进而得到∠C的度数．
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．画图题，如图，已知三角形
（1）过点 作 ，点 为垂足
（2）在（1）的条件下，若 ，求点A到CD的距离
【答案】（1）解：如图，CD为所作．
（2）解：∵AB=5，BD=2，
∴AD=3，
∴点A到CD的距离为3．
【知识点】垂线的概念；点到直线的距离
【解析】【分析】（1）根据题意，作出图形，即可；
（2）根据点到直线的距离概念，通过线段的和差运算，即可求解.
20．如图1，将一个长为4a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形.
（1）图2的空白部分的边长是多少？（用含a、b的式子表示）
（2）若2a+b＝7，且ab＝3，求图2中的空白正方形的面积.
（3）观察图2，用等式表示出（2a﹣b）2，ab和（2a+b）2的数量关系.
【答案】（1）解：题图②空白部分图形的边长是；
（2）解：由题图可知，空白部分为小正方形，小正方形的面积大正方形的面积个小长方形的面积，
∵大正方形的边长，
∴大正方形的面积，
又个小长方形的面积之和大长方形的面积，
∴小正方形的面积；
（3）解：由题图可以看出，大正方形面积空白部分的小正方形的面积四个小长方形的面积，
即.
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景
【解析】【分析】（1）观察图形可得四个小长方形的长为2a，宽为b，那么图2中的空白部分的边长是小长方形的长减去小长方形的宽；
（2）通过观察图形，大正方形的边长为小长方形的长和宽的和，图2中空白部分的正方形的面积为大正方形的面积减去四个小长方形的面积；
（3）通过观察图形知：（2a＋b）2 、（2a b）2 、8ab分别表示的是大正方形、空白部分的正方形及小长方形的面积，进而根据大正方形面积=空白部分的小正方形的面积四个小长方形的面积即可得出结论.
21．已知，求下列各式的值．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：由（1）可知，，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】熟练应用完全平方公式，能根据已知条件熟练计算a+b、a-b、ab、a2+b2等
22．《中华人民共和国国家安全法》规定，“中华人民共和国公民有维护国家的安全、荣誉和利益的义务，不得有危害国家的安全、荣誉和利益的行为．”2014年4月15日，习近平总书记强调，要准确把握国家安全形势变化新特点新趋势，坚持总体国家安全观，走出一条中国特色国家安全道路．某校为了了解全校学生对国家安全相关知识的掌握情况，特组织了一次国家安全知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分为A、B、C、D四个等级，对应的分数依次为100分、90分、80分、70分．学校将七年级1班和2班的成绩整理并绘制如图的统计图：
（1）把竞赛成绩统计图补充完整；
（2）根据下表填空： ； ； ；
平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
一班 90
二班 87.6 80
（3）请从平均数和中位数或众数中任选两个对这次竞赛成绩的结果进行分析．
【答案】（1）解：根据题意得：一班中等级的人数为（人），
补全条形统计图，如图所示：
（2）87.6；90；100
（3）解：一班与二班的平均数相同，但是二班众数为100分，一班众数为90分，
则二班成绩较好．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数
【解析】【解答】（2）一班的平均数a=
=87.6：
将一班的成绩从小到大排列，处在第13位的是B级90分，故中位数b=90：
二班占比最多的是A级44%，故二班的众数C=100。
【分析】（1）根据等级C的人数=总人数-A、B、D等级的人数，即可求出等级C的人数，再补全统计图即可；
（2）求出一班的平均数和中位数、二班的众数即可；
（3）选择平均数和众数进行比较即可。
23．图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀剪下全等的四块小长方形，然后按图2拼成一个正方形．
（1）观察图2，请直接写出代数式，，之间的等量关系；
（2）根据（1）中的等量关系，若，，则的值为 ；
（3）已知，求的值．
【答案】（1）解：图中阴影部分是边长为的正方形，因此阴影部分面积为；
图中阴影部分面积也可以看作从边长为的正方形面积减去个长为，宽为的长方形面积，即，
因此有；
（2）
（3）解：设，，则，，
∴
，
答：的值为．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（2）由（1）得，
∴，
故答案为：
【分析】（1）先根据题意得到图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积也可以看作从边长为的正方形面积减去个长为，宽为的长方形面积，即，进而即可求解；
（2）根据（1）中的等式代入数值即可求解；
（3）设，，则，，进而结合题意计算即可求解。
24．问题解决：
（1）问题情境：如图1所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到P的距离之和最短？请画出点P的位置；
（2）问题理解：如图2，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E是AC边的中点，点P是线段AD上的动点，画出PC＋PE取得最小值时点P的位置；
（3）问题运用：如图3，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD＝12，AD是∠BAC的平分线，当点E、P分别是AC和AD上的动点时，求PC＋PE的最小值．
【答案】（1）解：如图1中，点P即为所求．
（2）解：如图2中，点P′即为所求．
（3）解：如图3中，过点C作CT⊥AB于T．
∵AC＝AB，AD平分∠CAB，
∴AD垂直平分线段BC，
∴AC，AB关于AD对称，
作点E关于AD的对称点E′，连接PE′，则PE＝PE′，
∵PC＋PE＝PC＋PE′≥CT，
∴当P，E′在CT上时，PE＋PC的值最小，最小值为线段CT的长，
∵S△ABC＝ AB CT＝ BC AD，
∴CT＝ ，
∴PE＋PC的值最小值= ．
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）如图1中，作点A关于直线l的对称点A'，连接BA'交直线l于点P，连接PA，此时PA+PB的值最小；
（2）如图2中，连接BE交AD于点P'，连接CP'，点P'即为所求；
（3）如图3中，过点C作CT⊥AB于T，证明AC，AB关于AD对称，作点E关于AD的对称点E′，连接PE′，则PE＝PE′，推出PC＋PE＝PC＋PE′≥CT，推出当P，E′在CT上时，PE＋PC的值最小，最小值为线段CT的长。
25．阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足 ①， ②，求 和 的值.
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由 可得 ，由 可得 .这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.
解决问题：
（1）已知二元一次方程组 ，则 ；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需 元.
（3）对于实数x、y，定义新运算： ，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知 ， ，那么 .
【答案】（1）－1
（2）30
（3）－11
【知识点】三元一次方程组解法及应用；定义新运算；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：(1) ，
①-②=（2x+y）-（x+2y）=7-8，
则x-y=-1，
故答案为：-1；
(2)设每支铅笔为x元，每块橡皮为y元，每本日记本为z元，
∴，
则①×2-②得x+y+z=6，
∴5x+5y+5z=30，
故答案为：30；
(3)∵ ，
∴ ①，②，
②-①得a+2b=13④，
∴5a+10b=65，
①+②得7a+12b+2c=43⑤，
⑤-④得2a+2b+2c=-22，
∴-11，
故答案为：-11.
【分析】(1) 直接进行整体加减即可求出结果；
(2)根据条件列出关于x、y、z的三元一次方程组，再进行整体加减运算即可解答；
(3)根据新定义的运算x*y=ax+by+c，得出两个关于a、b、c的三元一次方程组，利用整体法计算求出a+ b+ c的倍数的值，则可得到a+ b+ c的值.
26．如图所示，在一副三角板ABC和三角板DEC中，，，∠B＝30°，∠DEC＝∠DCE＝45°．
（1）当AB∥DC时，如图①，的度数为 °；
（2）当与重合时，如图②，判断与的位置关系并说明理由；
（3）如图③，当＝ °时，AB∥EC；
（4）当AB∥ED时，如图④、图⑤，分别求出的度数．
【答案】（1）30
（2）解：DE∥AC，理由如下：
∵∠CBE=∠ACB=90°，
∴DE∥AC；
（3）15
（4）解：如图④所示，设CD与AB交于F，
∵AB∥ED，
∴∠BFC=∠EDC=90°，
∴∠DCB=180°-∠BFC-∠B=60°；
如图⑤所示，延长AC交ED延长线于G，
∵AB∥DE，
∴∠G=∠A=60°，
∵∠ACB=∠CDE=90°，
∴∠BCG=∠CDG=90°，
∴∠DCG=180°-∠G-∠CDG=30°，
∴∠DCB=∠BCG+∠DCG=120°．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠BCD=∠B=30°，
故答案为：30；
（3）∵AB∥EC，
∴∠ECB=∠B=30°，
又∵∠DCE=45°，
∴∠DCB=∠DCE-∠ECB=15°，
∴当∠DCB=15°时，AB∥EC，
故答案为：15；
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠BCD=∠B=30°；
（2）根据平行线的判定方法求解即可；
（3）利用平行线的性质可得∠ECB=∠B=30°，再结合∠DCE=45°，利用角的运算可得∠DCB=∠DCE-∠ECB=15°；
（4）分两种情况，分别画出图形，再利用平行线的性质和角的运算求解即可。
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