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上海市2024八年级下册期末真题全刷卷
数 学
（考试时间：120分钟 满分：100分）
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB//DC，AD//BC B．AB=DC，AD=BC
C．AO=CO，BO=DO D．AB//DC，AD=BC
2．袋子中装有2个黑球和1个白球，随机摸出两个球，下列事件是必然事件的是（ ）
A．摸出两个白球 B．摸出一个白球一个黑球
C．至少摸出一个黑球 D．摸出两个黑球
3．如图，若一次函数的图象交轴于点，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
4．直线与直线的交点为（ ）
A． B． C． D．
5．如果点A的坐标为，点B的坐标为，则线段AB中点坐标为．这是小白在一本课外书上看到的一种求线段中点坐标的方法，请你利用这种方法解决下面的问题：如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B的坐标为，四边形是菱形，D的坐标为．若直线l把矩形和菱形组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式为（ ）．
A．y=2x+11 B．y=-2x+12 C． D．
6．如图，菱形ABCD中，∠A是锐角，E为边AD上一点，△ABE沿着BE折叠，使点A的对应点F恰好落在边CD上，连接EF，BF，给出下列结论：
①若∠A=70°，则∠ABE=35°；②若点F是CD的中点，则S△ABE S菱形ABCD
下列判断正确的是（ ）
A．①，②都对 B．①，②都错 C．①对，②错 D．①错，②对
二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）
7．菱形的两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为 .
8．如图：点在直线上，则不等式关于的解集是 ．
9．如图，由菱形通过添加一个合适的条件得到正方形．你所添加的一个条件是 ．
10．一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的每一个外角等于 度．
11．直线经过点，则的最大值等于 ．
12．矩形的边长分别为和，两条对角线相交所形成的夹角中，锐角的度数是 ．
13．若关于的方程有增根，则的值是 .
14．在平面直角坐标系中，为坐标原点，将函数（为常数）的图象位于轴下方的部分沿轴翻折至其上方后，所得的折线是函数（b为常数）的图象．若函数（为常数）与直线有交点A、B，现给出以下结论，其中正确结论的序号是 ．
①的面积总为；
②若函数（为常数）图象在直线下方的点的横坐标x满足，则b的取值范围为；
③若，则的解集为；
④当，若正比例函数与（为常数）的图象只有一个公共点，则．
15． 菱形ABCD，点A，B，C，D均在坐标轴上. ∠ABC＝120°，点A(－6，0)，点E是CD的中点，点P是OC上的一动点，则△PDE周长的最小值是 .
16．在平面直角坐标系中，已知点，，，，给出如下定义：若点P关于直线：的对称点Q在四边形的内部或边上，则称该点P为四边形关于直线的“相关点”，点是四边形关于直线：的“相关点”，且是以为腰的等腰三角形，则m的值为 ；直线上存在点P，使得点P是四边形关于直线：的“相关点”，则的取值范围为 ．
17．如图，点E，F，G，H为正方形四边中点，连接，，，.若，则四边形的面积是 .
18．如图，已知点A（0，4），B（7，0），C（7，4），连接AC，BC得到矩形AOBC，点D在AC边上，将边OA沿OD折叠，点A的对应边为 ．若点 到矩形较长两对边的距离之比为1∶3，则点 的坐标为 ．
三、解答题（本大题共8小题，6+6+6+6+6+6+10+12，共58分）
19．解下列方程：
（1）
（2）
20．
（1）计算：（ ＋ ）× ﹣ ＋ ；
（2）已知直线y＝kx＋b经过（1，0），（2，3），求直线的解析式.
21．关于x的方程： － ＝1.
（1）当a＝3时，求这个方程的解；
（2）若这个方程有增根，求a的值.
22．小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成．
（1）如图1，图案1是以Rt的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为，请写出之间的数量关系： ．
（2）如图2，这是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为80，，求该飞镖状图案的面积．
（3）如图3，这是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为．若，则 ．
23．已知：AC是菱形ABCD的对角线，且AC=BC．
（1）如图①，点P是△ABC的一个动点，将△ABP绕着点B旋转得到△CBE．
①求证：△PBE是等边三角形；
②若BC=5，CE=4，PC=3，求∠PCE的度数；
（2）连结BD交AC于点O，点E在OD上且DE=3，AD=4，点G是△ADE内的一个动点如图②，连结AG，EG，DG，求AG+EG+DG的最小值．
24．在平行四边形中，，为中点，点在线段上，连接，在下方有一点，满足，连接．
（1）若，，求的面积；
（2）若，，求证：．
25．如图1，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点，经过原点的直线与直线交于点C．
（1）若，，求直线的函数表达式；
（2）在（1）的条件下，当点C的横坐标为1时，求的面积；
（3）当上时，如图2，若OC的长为h，求证．
26．共享电动车是一种新理念下的交通工具：主要面向的出行市场，现有甲乙两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中甲品牌收费方式对应，乙品牌的收费方式对应.
（1）甲品牌每分钟收费 元；
（2）求段的函数关系式；
（3）如果小明每天早上需要骑行甲品牌或乙品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱呢
（4）直接写出两种收费相差元时的值.
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上海市2024八年级下册期末真题全刷卷
数 学
（考试时间：120分钟 满分：100分）
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB//DC，AD//BC B．AB=DC，AD=BC
C．AO=CO，BO=DO D．AB//DC，AD=BC
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、由“AB//DC，AD//BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
D、由“AB//DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形的判定方法逐项判断即可。
2．袋子中装有2个黑球和1个白球，随机摸出两个球，下列事件是必然事件的是（ ）
A．摸出两个白球 B．摸出一个白球一个黑球
C．至少摸出一个黑球 D．摸出两个黑球
【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、摸出两个白球，是不可能事件，故此选项不符合题意；
B、摸出一个白球一个黑球，是随机事件，故此选项不符合题意；
C、至少摸出一个黑球，是必然事件，故此选项符合题意；
D、摸出两个黑球，是随机事件，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】随机事件是在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件；
必然事件，在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫必然发生的事件，简称必然事件.根据定义并结合各选项即可判断求解.
3．如图，若一次函数的图象交轴于点，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：一次函数y=kx+b (k≠0) 的图象向左平移5 个单位得到y=k (x+5) + b，
∵一次函数y=kx+b的图象交x轴于点(3，0)，
∴函数y=k (x+5) + b的图象交x轴于点(-2， 0)
根据函数图象可知：
当x>-2时函数y=k (x+5) + b的图象在x轴的上方，
∴关于x的不等式k (x+5) +b> 0的解集是x>-2.
故答案为：B.
【分析】先求出平移后的函数解析式与x轴的交点坐标，再结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。
4．直线与直线的交点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：联立两个函数解析式得，
解得，
则两个函数图象的交点为(，)，
故答案为：B．
【分析】先联立方程组，再求解即可。
5．如果点A的坐标为，点B的坐标为，则线段AB中点坐标为．这是小白在一本课外书上看到的一种求线段中点坐标的方法，请你利用这种方法解决下面的问题：如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B的坐标为，四边形是菱形，D的坐标为．若直线l把矩形和菱形组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式为（ ）．
A．y=2x+11 B．y=-2x+12 C． D．
【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】如图所示：
连接AC、BO交于点F，连接AD、BE交于点O，连接OF
∵ 四边形ABCD为矩形，B(10，2)
∴ F为矩形的中心
根据中点坐标公式，可得 F（5，1）
∵∵ 四边形ABDE为菱形，D(16，10)
∴O为菱形的中心
根据中点坐标公式，可得 O（8，6）
∴ OF所在直线l平分矩形ABCD和菱形ABDE的面积
设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），过点 F（5，1），O（8，6）
∴
解得：
∴ 直线l的解析式为
故答案为C
【分析】本题考查中点坐标公式、矩形和菱形性质及待定系数法求一次函数解析式。根据直线l把两个图形的面积平分，可知直线l一定过两个图形的对角线的交点，则求出两个图形的对角线的交点坐标是关键。
6．如图，菱形ABCD中，∠A是锐角，E为边AD上一点，△ABE沿着BE折叠，使点A的对应点F恰好落在边CD上，连接EF，BF，给出下列结论：
①若∠A=70°，则∠ABE=35°；②若点F是CD的中点，则S△ABE S菱形ABCD
下列判断正确的是（ ）
A．①，②都对 B．①，②都错 C．①对，②错 D．①错，②对
【答案】A
【知识点】全等三角形的判定与性质；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】①∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∠C=∠A=70°.
∵BA=BF=BC，∴∠BFC=∠C=70°，∴∠ABF=∠BFC=70°，∴∠ABE ∠ABF=35°，故①正确；
②如图，延长EF交BC的延长线于M，
∵四边形ABCD是菱形，F是CD中点，∴DF=CF，∠D=∠FCM，∠EFD=∠MFC，∴△DEF≌△CMF，∴EF=FM，∴S四边形BCDE=S△EMB，S△BEF S△MBE，∴S△BEF S四边形BCDE，∴S△ABE S菱形ABCD.故②正确。
故答案为：A。
【分析】①根据菱形的性质得出AB∥CD，∠C=∠A=70°.AB=BC，根据翻折的性质得出BA=BF=BC，根据等边对等角得出∠BFC=∠C=70°，根据二直线平行，内错角相等得出∠ABF=∠BFC=70°，故∠ABE ∠ABF=35°，故①正确；②如图，延长EF交BC的延长线于M，很容易利用AAS判断出△DEF≌△CMF，根据全等三角形对应边相等得出EF=FM，利用割补法得出S四边形BCDE=S△EMB，根据等高三角形的面积的关系就是底的关系得出S△BEF S△MBE，故S△BEF S四边形BCDE，从而得出S△ABE S菱形ABCD.故②正确，综上所述即可得出答案。
二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）
7．菱形的两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为 .
【答案】20
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，根据题意得AO= ×8=4，BO= ×6=3，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD.
∴△AOB是直角三角形.
∴ .
∴此菱形的周长为：5×4=20
故答案为：20.
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可.
8．如图：点在直线上，则不等式关于的解集是 ．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】
方法1：
点在直线上∴ y=3时，x＝-2
由图分析可知，当，x≤-2
方法2：
∵ 点在直线上
∴ -2k+b=3
∴ b=3+2k
∴ kx+3+2k≥3
∴ kx+2k≥0
∴ k（x+2）≥0
∴ x+2≤0
即 x≤-2
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系。 利用一次函数图象解一元一次不等式要先找线，由y的范围确定图象，对应的横坐标x的取值范围就是一元一次不等式的解集。或者点在函数上，得到b的代数式，再代入求不等式的解集也可。
9．如图，由菱形通过添加一个合适的条件得到正方形．你所添加的一个条件是 ．
【答案】有一个内角为90度，答案不唯一
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：有一个内角为90°的菱形为正方形.
故答案为：有一个内角为90°.
【分析】正方形的判定定理：有一个角是直角的菱形是正方形；
一组邻边相等的矩形是正方形；
对角线互相垂直的矩形是正方形；
四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形；
一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；
四边均相等，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.
10．一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的每一个外角等于 度．
【答案】72
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个正多边形的边数为n，根据题意，得：
（n-2）×180°=540°，
∴n=5，
∴这个多边形的每一个外角为：360°÷5=72°。
故第1空答案为：72°。
【分析】首先根据多边形内角和定理求出正多边形的边数，然后再根据多边形的外角和恒等于360°，求出正多边形的每一个外角即可。
11．直线经过点，则的最大值等于 ．
【答案】2020
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：∵直线y=-2x+3经过点（m，n），
∴-2m+3=n，
∴-2m-n=-3，
∴-2m-n+2023=-3+2023=2020.
故答案为：2020.
【分析】把点（m，n）的坐标代入y=-2x+3，得出-2m-n=-3，再整体代入-2m-n+2023，即可得出答案.
12．矩形的边长分别为和，两条对角线相交所形成的夹角中，锐角的度数是 ．
【答案】60°
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵AB=2，，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AO=CO，BO=DO
∴AO=CO=BO=DO=2，
∴AB=AO=BO，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
故答案为：60°.
【分析】根据勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方；可求AC的长，由矩形的性质：对角线互相平行且相等；可得AO=CO=BO=DO=2，根据三条边都相等的三角形是等边三角形；等边三角形的内角都相等，且均为60°，可得∠AOB=60°，即可求解得出答案.
13．若关于的方程有增根，则的值是 .
【答案】
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以2（x+2）约去分母，
得2x=m+2，
∵方程有增根 ，
∴2（x+2）=0，
解得x=-2，
把x=-2代入到2x=m+2，
-4=m+2.
m=-6.
故答案为：-6.
【分析】 此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值，据此可求解．
14．在平面直角坐标系中，为坐标原点，将函数（为常数）的图象位于轴下方的部分沿轴翻折至其上方后，所得的折线是函数（b为常数）的图象．若函数（为常数）与直线有交点A、B，现给出以下结论，其中正确结论的序号是 ．
①的面积总为；
②若函数（为常数）图象在直线下方的点的横坐标x满足，则b的取值范围为；
③若，则的解集为；
④当，若正比例函数与（为常数）的图象只有一个公共点，则．
【答案】
【知识点】一次函数图象与几何变换；一次函数与一元一次方程的关系
【解析】【解答】解：①令，得：
∴
∴
∴故①正确；
②当时，
当时，
∴b的取值范围：，故②正确；
③，解得：
，解得：
∴直线与函数交点为：，
∴的解集为：，故③正确；
④当时，正比例函数与（为常数）的图象平行，
∴若正比例函数与（为常数）的图象只有一个公共点，则故④错误；
综上正确的有：①②③，
故答案为：.
【分析】求出A，B的坐标，根据三角形的面积计算公式，可判断①；根据x满足，即可计算出b的取值范围，即可判断②；求出直线与函数交点，再根据图象即可判断③；根据两函数平行计算出系数的取值，即可判断④.
15． 菱形ABCD，点A，B，C，D均在坐标轴上. ∠ABC＝120°，点A(－6，0)，点E是CD的中点，点P是OC上的一动点，则△PDE周长的最小值是 .
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接BP、BE，
A(－6，0)，
，
在菱形ABCD中， ∠ABC＝120°，
，，OD=OB，，，，
，，是等边三角形，
，
点E是CD的中点，
，，
，
，
周长的最小值是.
故答案为：.
【分析】利用将军饮马模型可判定当B、P、E三点在同一直线时，△PDE的周长有最小值，先利用菱形的性质求得是等边三角形，边长为，再通过等边三角形的性质求得BE的长度，然后求得△PDE的周长最小值.
16．在平面直角坐标系中，已知点，，，，给出如下定义：若点P关于直线：的对称点Q在四边形的内部或边上，则称该点P为四边形关于直线的“相关点”，点是四边形关于直线：的“相关点”，且是以为腰的等腰三角形，则m的值为 ；直线上存在点P，使得点P是四边形关于直线：的“相关点”，则的取值范围为 ．
【答案】或；
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的性质；坐标与图形变化﹣对称；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：∵点P（m，3）与点G关于直线x=1对称，
∴点Q的坐标为（2-m，3），
根据"相关点"的定义得：2≤2-m≤7，
∴-5≤m≤0，
∵△ABQ是以AB为腰的等腰三角形，
∴分为两种情况：
①当AB=AQ时：
（2-m-2）2+32=（7-2）2+02，
可得：m=±4，
∴m=-4；
当BA=BQ时：
（2-m-7）2+32=（7-2）2+02，
可得m=-9或-1，
∴m=-1；
综上m的值为-4或-1；
在中，令x=0，则y=b；令y=0，则x=-3b，即点（0，b）和（-3b，0）在直线上，
点（0，b）和（-3b，0）关于直线x=1的对称点分别为（2，b）和（3b+2，0），
设直线关于x=1的对称直线为y=kx+n，
∴解得：，
∴，
当直线经过点（7，5）时，b=，
当直线经过点（2，0）时，b=0，
∴b的取值范围是：.
故第1空答案为：-4或-1；第2空答案为：。
【分析】首先求出点P关于直线x=1对称的点Q的坐标，然后根据"相关点"的定义得出m的取值范围，当△ABQ是以AB为腰的等腰三角形时，应该分成两种情况，列出关于m的方程，并解方程求解，取符合条件的m的值即可；在直线上，任意取两点，然后求出这两点关于直线x=1的对称点的坐标，并利用待定系数法求出直线关于x=1对称的直线关系式，然后根据两个界点分别求得b的值，即可得出b的取值范围。
17．如图，点E，F，G，H为正方形四边中点，连接，，，.若，则四边形的面积是 .
【答案】20
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；平行四边形的判定与性质；正方形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点E，F，G，H为正方形ABCD四边中点，
∴，，
∴四边形DEBG为平行四边形，
∴，
∴，
同理可得，，
在和中，
∴（SAS），
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得，，
∴四边形MNPQ为矩形，
在和中，
∴（AAS），
∴，
∴，
∴四边形MNPQ为正方形，
设MQ=x，则，，
在中，根据勾股定理得，
，
∴四边形MNPQ的面积为：20.
故答案为：20.
【分析】根据中点的概念结合正方形的性质可得DE=BG=DH=CG=AB，DE∥BG，推出四边形DEBG为平行四边形，得到BE∥DG，推出AM=QM，同理可得DQ=PQ，证明△ADH≌△DCG，得到∠DAH=∠CDG，结合∠CDG+∠ADQ=90°可得∠AQD=90°，同理可得∠BMA=∠CNB=∠DPC=90°，推出四边形MNPQ为矩形，证明△ADQ≌△DCP，得到AQ=DP，则四边形MNPQ为正方形，设MQ=x，则AQ=2x，DQ=x，利用勾股定理可得x2，进而可得四边形MNPQ的面积.
18．如图，已知点A（0，4），B（7，0），C（7，4），连接AC，BC得到矩形AOBC，点D在AC边上，将边OA沿OD折叠，点A的对应边为 ．若点 到矩形较长两对边的距离之比为1∶3，则点 的坐标为 ．
【答案】 或 或
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解： 点A（0，4），B（7，0），C（7，4）
，
分两种情况：
（一）当点 在矩形AOBC的内部时，过 作OB的垂线交OB于F，交AC于E，如图1所示：
（I）当 时
，
由折叠的性质得： ，
在 中，由勾股定理得： ，
；
（II）当 时，同理得： ；
（二）当点 在矩形AOBC的外部时，此时点 作OB的垂线交OB于F，交AC于E，如图2所示：
，
则 ，
由折叠的性质得： ，
在 中，由勾股定理得： ，
；
故答案为： 或 或 ．
【分析】由A、B、C的坐标，得出 ，分两种情况：（一）当点 在矩形AOBC的内部时，过 作OB的垂线交OB于F，交AC于E，（二）当点 在矩形AOBC的外部时，此时点 作OB的垂线交OB于F，交AC于E，讨论即可。
三、解答题（本大题共8小题，6+6+6+6+6+6+10+12，共58分）
19．解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
方程两边同时乘以，得，，
解得：，
经检验，是原方程的解
（2）解：
方程两边同时乘以得，
即，
解得：
经检验，是增根，
∴原方程无解．
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【分析】(1)方程两边同时乘以，去掉分母，再解得到的一元一次方程，最后要验根；
（2）方程两边同时乘以得，去掉分母，再利用完全平方公式展开后化简，解得的根要检验.
20．
（1）计算：（ ＋ ）× ﹣ ＋ ；
（2）已知直线y＝kx＋b经过（1，0），（2，3），求直线的解析式.
【答案】（1）解：（ ＋ ）× ﹣ ＋
＝4 +3 ﹣2 ＋
＝2 +4 ；
（2）解：∵直线y＝kx＋b经过点（1，0），（2，3），
∴代入得： ，
解得：k＝3，b＝﹣3，
∴直线的解析式是y＝3x﹣3.
【知识点】二次根式的混合运算；待定系数法求一次函数解析式
【解析】【分析】（1）先根据二次根式的乘法法则算乘法，再根据二次根式的性质化简各个二次根式，最后根据二次根式的加减法则算加减即可；
（2）把点的坐标代入函数的解析式，得出关于k、b的方程组，求出方程组的解即可.
21．关于x的方程： － ＝1.
（1）当a＝3时，求这个方程的解；
（2）若这个方程有增根，求a的值.
【答案】（1）解：当a＝3时，原方程为 － ＝1,
方程两边同乘x－1，得3x＋1＋2＝x－1，
解这个整式方程得x＝－2，
检验：将x＝－2代入x－1＝－2－1＝－3≠0，
∴x＝－2是原分式方程的解.
（2）解：方程两边同乘x－1，得ax＋1＋2＝x－1，
若原方程有增根，则x－1＝0，解得x＝1，
将x＝1代入整式方程得a＋1＋2＝0，解得a＝－3.
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【分析】（1）将a=3代入题干的方程得 － ＝1，然后方程的两边都乘以（x-1）约去分母将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再验根即可得出原方程的解；
（2）先求出增根是x＝1，然后方程的两边都乘以（x-1）约去分母将分式方程转化为整式方程，代入x＝1即可求出a的值.
22．小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成．
（1）如图1，图案1是以Rt的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为，请写出之间的数量关系： ．
（2）如图2，这是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为80，，求该飞镖状图案的面积．
（3）如图3，这是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为．若，则 ．
【答案】（1）
（2）解：由题意，得．
．
．
设的长为，则，．
在中，由勾股定理，可得，
解得，
，
，
该飞镖状图案的面积；
（3）
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：（1）由题意得：，
∵，
∴；
故答案为：；
（3）设直角三角形的长直角边为，短直角边为，斜边长为，则：，
由题意，得：，
∴
，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】（1）利用圆的面积公式，结合勾股定理进行求解即可；
（2）由题意，得，设的长为，则，，在中，由勾股定理可得，解方程得解得，代入三角形面积公式得，
可得该飞镖状图案的面积；
（3）利用勾股定理结合正方形的面积公式，求解即可．
23．已知：AC是菱形ABCD的对角线，且AC=BC．
（1）如图①，点P是△ABC的一个动点，将△ABP绕着点B旋转得到△CBE．
①求证：△PBE是等边三角形；
②若BC=5，CE=4，PC=3，求∠PCE的度数；
（2）连结BD交AC于点O，点E在OD上且DE=3，AD=4，点G是△ADE内的一个动点如图②，连结AG，EG，DG，求AG+EG+DG的最小值．
【答案】（1）解：①∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC，
∵AC=BC，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC等边三角形，
∴∠ABC=60°，
由旋转知BP=BE，∠PBE=∠ABC=60°，
∴△PBE是等边三角形；
②由①知AB=BC=5
∵由旋转知△ABP≌△CBE，
∴AP=CE=4，∠APB=∠BEC，
∵AP2+PC2=42+32=25=AC2，
∴△ACP是直角三角形，
∴∠APC=90°，
∴∠APB+∠BPC=270°，
∵∠APB=∠CEB，
∴∠CEB+∠BPC=270°，
∴∠PBE+∠PCE=90°，
∵∠PBE=∠ABC=60°，
∴∠PCE=90°-60°=30°
（2）解：如图，将△ADG绕着点D顺时针旋转60°得到△A'DG'，
由旋转知△ADG≌△A'DG'，
∴A'D=AD=4，G'D=GD，A'G'=AG，
∵∠G'DG=60°，G'D=GD，
∴△G'DG是等边三角形，
∴GG'=DG，
∴AG+EG+DG=A'G'+EG+GG'
∵当A'、G'、G、E四点共线时，A'G'+EG+G'G的值最小，
即AG+EG+DG的值最小，
∵∠A'DA=60°，∠ADE= ∠ADC=30°，
∴∠A'DE=90°，
∴AG+EG+DG=A'G'+EG+G'G=A'E= =5，
∴AG+EG+DG的最小值为5．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定；菱形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）①先判断出△ABC等边三角形，得出∠ABC=60°，再由旋转知BP=BE，∠PBE=∠ABC=60°，即可得出结论．②先用勾股定理的逆定理判断出△ACP是直角三角形，得出∠APC=90°，进而判断出∠PBE+∠PCE=90°，即可得出结论；（2）先判断出△G'DG是等边三角形，得出GG'=DG，即：AG+EG+DG=A'G'+EG+GG'得出当A'、G'、G、E四点共线时，A'G'+EG+G'G的值最小，即可得出结论．
24．在平行四边形中，，为中点，点在线段上，连接，在下方有一点，满足，连接．
（1）若，，求的面积；
（2）若，，求证：．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB＝∠BCN＝60°，
又AC⊥CD，
∴AB⊥AC，
∴∠B＝30°，
在Rt△ABC中，E为BC的中点，
∴BC＝2AE＝10，
∴AC＝BC＝5，
∴，
∴
（2）证明：延长CN至G，使CG＝AC，
由（1）知∠ACM＝∠GCM，
又MC＝MC，
∴△ACM≌△GCM，
∴AM＝GM，∠MAC＝∠G，
又AM＝MN，
∴GM＝MN，
∴∠G＝∠MNG＝∠MAC＝∠MAE+∠EAC，
又由（1）可得EC＝EA，
∴∠EAC＝∠ACE＝∠NCM，
∵∠MNG＝∠NCM+∠NMC，
∴∠NMC＝∠MAE，
在MC上截取MF＝AE，
∴△MAE≌△NMF，
∴ME＝FN，
又MC＝ME+CE＝MF+CF，MC＝EA+CN，
∵EA＝MF＝CE，
∴ME＝CN＝FN＝CF，
∴△NCF为等边三角形，
∴∠MCN＝60°，∴∠ACB＝60°，∴∠ABC＝30°，∴，
∵AE＝BC，∴AB＝AE．
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质可证得AB∥CD，AD∥BC，利用平行线的性质可证得∠CAD＝∠ACB＝∠BCN＝60°；再利用垂直的定义和三角形的内角和定理可求出∠B=30°，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出BC的长，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出AC的长；利用勾股定理求出AB的长；然后利用三角形的面积公式求出△ABE的面积.
（2）延长CN至G，使CG＝AC，利用SAS证明△ACM≌△GCM，利用全等三角形的性质，可证得AM＝GM，∠MAC＝∠G，由此可推出GM=MN，利用等边对等角可证得∠G＝∠MNG＝∠MAC＝∠MAE+∠EAC；再证明∠NMC＝∠MAE，在MC上截取MF＝AE，利用全等三角形的判定，可证得△MAE≌△NMF，利用全等三角形的性质可证得ME=FN，由此可得到ME=CN=FN=CF，即可证得△NCF是等边三角形，利用等边三角形的性质可得到∠NCM=∠ACB=60°，∠ABC=30°，利用勾股定理可证得，根据BC=2AE，可证得结论.
25．如图1，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点，经过原点的直线与直线交于点C．
（1）若，，求直线的函数表达式；
（2）在（1）的条件下，当点C的横坐标为1时，求的面积；
（3）当上时，如图2，若OC的长为h，求证．
【答案】（1）解：若，，则点，点，代入，
得：，
解得，
∴的函数解析式为．
（2）解：把代入，得，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）解：在，，设，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴左边右边，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出直线解析式即可；
（2）先求出点C的坐标，再利用三角形的面积公式求解即可；
（3）设，由勾股定理可得，再利用三角形的面积公式可得，化简可得，即可得到结论。
26．共享电动车是一种新理念下的交通工具：主要面向的出行市场，现有甲乙两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中甲品牌收费方式对应，乙品牌的收费方式对应.
（1）甲品牌每分钟收费 元；
（2）求段的函数关系式；
（3）如果小明每天早上需要骑行甲品牌或乙品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱呢
（4）直接写出两种收费相差元时的值.
【答案】（1）0.2
（2）解：设AB段的函数解析式为y2=kx+b（10≤x≤20），
∵点A（10，3），点B（20，4），
∴
解之：
∴AB段的函数解析式为（10≤x≤20）.
（3）解：6÷20＝0.3（h），0.3h＝18min，
∵18＜20，
由图象可知，当骑行时间不足20min时，y1＜y2，即骑行A品牌的共享电动车更省钱．
∴小明选择A品牌的共享电动车更省钱.
（4）解：∵当x＝20min时两种收费相同，
∴两种收费相差1.2元，分20min前和20min后两种情况；
当x＜20时，离20min越近收费相差的越少，
当x＝10时，y1＝0.2×10＝2，y2＝3，
y2 y1＝3 2＝1，
∴要使两种收费相差1.2元，x应小于10，
∴y2 y1＝3 0.2x＝1.2，
解得：x＝9；
当x＞20时，0.2x （0.1x＋2）＝1.2，
解得：x＝32．
答：两种收费相差1.2元时x的值为9分钟或32分钟.
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：（1）由题意得
4÷20=0.2，
∴甲品牌每分钟收费0.2元.
故答案为：0.2.
【分析】（1）观察函数图象，利用点（20，4），可求出结果.
（2）设AB段的函数解析式为y2=kx+b（10≤x≤20），分别将点A，B的坐标代入函数解析式，可求出k，b的值，即可求出AB段的函数解析式.
（3）分情况讨论：当x＜20时，离20min越近收费相差的越少，当x＜20时，离20min越近收费相差的越少，求出当x=10时y2 y1的值，可得到要使两种收费相差1.2元，x应小于10，列方程，可求出x的值；当x＞20时，列出关于x的方程，解方程求出x的值；综上所述可得到符合题意的x的值.
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