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2024沪科版八年级下册期末巩固提升卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在下列各组数据中，不能作为直角三角形三边边长的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
2．已知一组数据3，6，8，6，x，8的众数是8，则这组数据的中位数是（ ）
A．6 B．6.5 C．7 D．7.5
3．如图．在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长为（ ）
A．1 B． C． D．
4．某校举行“喜迎二十大”党史知识竞赛，如图是10名决赛选手的成绩，对于这10名选手的成绩，下列说法中正确的是（ ）
A．众数是5 B．众数是2 C．中位数是95 D．中位数是90
5．如图，在等边的三边上分别取点，，，使得，若，则的周长是的周长的（ ）
A．2倍 B．3倍 C．倍 D．倍
6．在平面直角坐标系中，有，，三点，另有一点D与点A，B，C构成平行四边形，则点D的坐标不可能是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段上，线段沿翻折．点O落在边上的点D处．以下结论：①；②直线的解析式为；③点；④若线段上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，则点P的横坐标是．以上所有结论中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，为等腰直角三角形，，以斜边为直角边作等腰直角三角形，再以为直角边作等腰直角三角形，，按此规律作下去，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
9．有两个一元二次方程：M：ax2＋bx＋c＝0，N：cx2＋bx＋a＝0，以下四个结论中，错误的是（ ）
A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根
B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N也有两根符号相同
C．如果5是方程M的一个根，那么 是方程N的一个根
D．如果方程M和方程N有一个相同的实数根，那么这个根必是x＝1
10．若一组数据 ， ， 的平均数为4，方差为3，那么数据 ， ， 的平均数和方差分别是（ ）
A．4， 3 B．6 3 C．3 4 D．6 5
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．分母有理化， ．
12．某校举行科技创新比赛，按照理论知识占，创新设计占，现场展示占这样的比例计算选手的综合成绩某同学本次比赛的各项成绩分别为理论知识分，创新设计分，现场展示分，则该同学的综合成绩是 分．
13．计算：（）2=
14．如图，在 ABCD中，AD=12cm，AB=8cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则CE的长 ．
15．在△ABC中，已知两边a=3，b=4，第三边为c．若关于x的方程 有两个相等的实数根，则该三角形的面积是
16．观察下列各式：
，
，
，
……
请利用你发现的规律，计算：
其结果为
三、综合题（本大题共9小题，共72分）
17．为了迎接中考体育考试，某校体育老师随机检测了九年级男生和女生各50名的跳绳情况，将测试成绩分成5个组别．第1组：180≤x≤200；第2组：160≤x<180；第3组：140≤x<160；第4组：120≤x<140；第5组：0≤x<120，将抽测的学生跳绳成绩整理与分析如下：
a．男生成绩的第2组后4个数据依次为164，162，162，160．
b．男生测试成绩频数分布直方图如图1．
c．女生测试成绩扇形统计图如图2．
d．抽测的男生与女生跳绳成绩的平均数、中位数、众数如表：
性别 平均数 中位数 众数
男生 162.6 n 166
女生 162.6 159 164
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）m= ，n= ，并补全频数分布直方图 ；
（2）根据上述成绩数据的分析，你认为男生与女生哪个跳绳成绩更好，并说明理由（写出一条理由即可）；
（3）已知每分钟跳绳成绩达到160个，成绩为优秀等级．若该校九年级男生有500名，女生有600名，请估计该校九年级学生跳绳成绩达到优秀等级的学生数．
18．已知：如图Rt△ABC中，∠C=90°，AC= +1，BC= ﹣1．求：
（1）Rt△ABC的面积；
（2）斜边AB的长．
19．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，CE∥BD交AD的延长线于点E，CE=AC．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB=4，AD=3，求四边形BCED的周长．
20．已知，，求下列各式的值：
（1）
（2）.
21．如图是由边长相等的小正方形组成的网格，请按要求回答下列问题，并利用网格仅用无刻度的直尺完成作图，作图要求保留痕迹，不写作法.
（1）如图1，点A，B，C均为格点，请在图中画出 ，并标出该平行四边形的对称中心O.
（2）如图2，在 中，点E，F分别在边 ， 上，且A，B，E，F均为格点，C，D在小正方形内部，连结 ，请先判断四边形 的形状，然后作出 的平分线 .
22．如下图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．
（1）求AB的长
（2）求点C和点D的坐标
（3）y轴上是否存在一点P，使得？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由
23．观察下列等式及验证，解答后面的问题：
第1个等式：，验证：；
第2个等式：，验证：；
第3个等式：，验证：．
（1）请写出第4个等式，并验证；
（2）按照以上各等式反映的规律，猜想第个为正整数，且等式，并通过计算验证你的猜想．
24．如图1，在直角坐标系中，直线y=-2x+8交x轴于点B，交y轴于点A， C是AB的中点，动点P从点A出发沿AO方向以每秒1个单位的速度向终点O运动，同时动点Q从点O出发以每秒2个单位的速度沿射线OB方向运动．以CP，CQ为边构造 CPDQ，设点P运动的时间为t秒．
（1）写出点C的坐标和直线OC的解析式．
点C的坐标是 ，直线OC的解析式是
（2）如图2，当点Q运动到点B时，连结CD．求证： CD∥AP．
（3）连结OC．当点D落在△AOC的边上或各边所在的直线上时，求t的值．
25．教材中写道：“形如的式子称为完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题，
例如：分解因式．
原式
；
例如：求代数式的最小值．
原式．
∵，∴当时，有最小值是2．
解决下列问题：
（1）若多项式是一个完全平方式，那么常数m的值为 ；
（2）分解因式： ；
（3）若，比较：（ ）0（填“＞，＜或＝”），并说明理由；
（4）求代数式的最大或最小值．
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2024沪科版八年级下册期末巩固提升卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在下列各组数据中，不能作为直角三角形三边边长的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵，∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵，∴不能组成直角三角形，故此选项符合题意；
C、∵，∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵，∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意.
故答案为：．
【分析】根据勾股定理的逆定理，一个三角形的三边如果满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，则该三角形就是直角三角形，据此逐项判断得出答案.
2．已知一组数据3，6，8，6，x，8的众数是8，则这组数据的中位数是（ ）
A．6 B．6.5 C．7 D．7.5
【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：∵数据3，6，8，6，x，8的众数是8，
∴x=8，
∴这一组数据从小到大排列为3，6， 6，8，8，8，
∴中位数为 ．
故答案为：C．
【分析】一组数据中出现次数最多的数据，就是这组数据的众数，据此求出x值，再将这6个数据从小到大排列，第三与第四个数据的平均数即为中位数.
3．如图．在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：延长BC至M，使CM＝CA，连接AM，作CN⊥AM于N，
∵DE平分△ABC的周长，
∴ME＝EB，又AD＝DB，
∴DE＝AM，DE∥AM，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ACM＝120°，
∵CM＝CA，
∴∠ACN＝60°，AN＝MN，
∴∠CAN＝30°，
∴CN＝AC＝，
∴AN=，
∴AM＝，
∵BD＝DA，BE＝EM，
∴DE＝，
故答案为：B．
【分析】先求出∠CAN＝30°，再利用勾股定理计算求解即可。
4．某校举行“喜迎二十大”党史知识竞赛，如图是10名决赛选手的成绩，对于这10名选手的成绩，下列说法中正确的是（ ）
A．众数是5 B．众数是2 C．中位数是95 D．中位数是90
【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：10名选手的成绩中95分的人数最多，故众数为95分；
将成绩从小到大排列后第5名和第6名都是95分，故中位数为95，
故答案为：C.
【分析】一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数；
将一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，位于最中间的一个数据(当数据个数为奇数时)或最中间的两个数据的平均数(当数据个数为偶数时)叫做这组数据的中位数.
5．如图，在等边的三边上分别取点，，，使得，若，则的周长是的周长的（ ）
A．2倍 B．3倍 C．倍 D．倍
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，AD=BE=CF
∴AB= BC=CA，
∠A=∠BC=∠C=60°
∴BD=CE=AF，
∴
∴DF=ED=FE，
∴是等边三角形，
∵∠B=60°，DE⊥BC
∴∠BDE=30°
∠ADF=∠BED=∠CFE=90°
设AD=BE=CF=x，则
AF=BD=CE=2x，
∴AB=x+2x=3x，DE=BE =x，∴的周长=3AB =9x，的面积=3DE=3x，∴的周长是的周长倍.
故答案为：C.
【分析】先证明，得到等边三角形，设设AD=BE=CF=x，则AF=BD=CE=2x，DEx，进而即可解决问题.
6．在平面直角坐标系中，有，，三点，另有一点D与点A，B，C构成平行四边形，则点D的坐标不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：当AB为对角线时，D（1，-1）；
当AC为对角线时，D（-3，5）；
当BC为对角线时，D（5，3）.
故答案为：D.
【分析】分AB、AC、BC为对角线，根据平行四边形的对角线互相平分及中点坐标公式就可得到点D的坐标.
7．如图，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段上，线段沿翻折．点O落在边上的点D处．以下结论：①；②直线的解析式为；③点；④若线段上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，则点P的横坐标是．以上所有结论中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵直线分别与x轴、y轴交于点A、B，
∴
∴故①正确；
由折叠得：
∴在中：
即
解得：
∴
∴直线BC的解析式为，故②正确；
作DH⊥AC，如下图：
∴
∴故③正确；
∵若线段BC上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，且OC=CD
∴
∴点P纵坐标为：
∵
∴
∴点P的横坐标是：，故④正确，
综上所述，正确的有：①②③④，
故答案为：D.
【分析】根据一次函数与坐标轴的交点的特征求出A，B的坐标，根据坐标平面内两点间的距离公式求出AB的长；由折叠得：在中利用勾股定理求出OC的长，进而得到C的坐标，即可求出直线BC的解析式；利用等面积法可求出D的坐标；根据菱形的性质得：进而得到P的纵坐标.
8．如图，为等腰直角三角形，，以斜边为直角边作等腰直角三角形，再以为直角边作等腰直角三角形，，按此规律作下去，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：OA2=；
OA3=；
OA4=；
OA5=；
所以可知OA1=1，OA2=，OA3=2，OA4=，OA5=4……
OAn=
故答案为：B.
【分析】通过勾股定理可以依次求到斜边的长度，观察之后发现是有规律的一组数字，从而求得；
也可以通过选项中的答案来确定正确选项.
9．有两个一元二次方程：M：ax2＋bx＋c＝0，N：cx2＋bx＋a＝0，以下四个结论中，错误的是（ ）
A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根
B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N也有两根符号相同
C．如果5是方程M的一个根，那么 是方程N的一个根
D．如果方程M和方程N有一个相同的实数根，那么这个根必是x＝1
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程M的判别式 ﹥0，则方程N的判别式 ﹥0，所以方程N也有两个不相等的实数根，本选项不符合题意；
B ．如果方程M有两根符号相同,那么两根之积 ﹥0,所以ac>0，即方程N的两根之积 >0，所以方程N的两根符号也相同，故本选项不符合题意；
C. 如果5是方程M的一个根,那么25a+5b+c=0，所以 ，所以 是方程N的一个根，不符合题意；
D. 如果方程M和方程N有一个相同的根,那么ax2＋bx＋c=cx2＋bx＋a，整理得(a-c)x2＝a-c，当a=c时，x为任意数；当a≠c时，x2=1，x=±1，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据M、N两方程根的判别式相同，即可得出A正确；根据“和符合相同，和符号也相同”，即可得出B正确；将x=5代入方程M中，方程两边同时除以25即可得出是方程N的一个根，C正确；用方程M-方程N，可得关于x的一元二次方程，解方程即可得出x的值，从而得出D错误。
10．若一组数据 ， ， 的平均数为4，方差为3，那么数据 ， ， 的平均数和方差分别是（ ）
A．4， 3 B．6 3 C．3 4 D．6 5
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵数据a1，a2，a3的平均数为4，
∴ （a1+a2+a3）=4，
∴ （a1+2+a2+2+a3+2）= （a1+a2+a3）+2=4+2=6，
∴数据a1+2，a2+2，a3+2的平均数是6；
∵数据a1，a2，a3的方差为3，
∴ [（a1-4）2+（a2-4）2+（a3-4）2]=3，
∴a1+2，a2+2，a3+2的方差为： [（a1+2-6）2+（a2+2-6）2+（a3+2-6）2]
= [（a1-4）2+（a2-4）2+（a3-4）2]
=3.
故答案为：B.
【分析】根据数据a1，a2，a3的平均数为4可知 （a1+a2+a3）=4，据此可得出 （a1+2+a2+2+a3+2）的值；再由方差为3可得出数据a1+2，a2+2，a3+2的方差
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．分母有理化， ．
【答案】
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：依题意，
故答案为：
【分析】根据分母有理化，分子和分母同时乘，化简即可答案．
12．某校举行科技创新比赛，按照理论知识占，创新设计占，现场展示占这样的比例计算选手的综合成绩某同学本次比赛的各项成绩分别为理论知识分，创新设计分，现场展示分，则该同学的综合成绩是 分．
【答案】90
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：∵按照理论知识占20％，创新设计占50％，现场展示占30％这样的比例计算选手的综合成绩，
又∵某同学本次比赛的各项成绩分别为理论知识95分，创新设计88分，现场展示90分，
∴该同学的综合成绩为：
故答案为：90.
【分析】根据加权平均数的计算法则：各部分的分值乘以各部分所占的比例的积之和就为加权平均数，计算即可.
13．计算：（）2=
【答案】5
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：（）2=5．
故答案为：5．
【分析】直接利用二次根式的性质求出答案．
14．如图，在 ABCD中，AD=12cm，AB=8cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则CE的长 ．
【答案】4cm
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=12cm，AD∥BC，
∴∠1=∠2，
∵AE平分∠BAD，
∴∠3=∠1，
∴∠2=∠3，
∴BE=AB=8(cm)，
∴CE=BC-BE=4(cm)．
故答案为：4cm．
【分析】先求出BC=AD=12cm，AD∥BC，再求出∠2=∠3，最后求解即可。
15．在△ABC中，已知两边a=3，b=4，第三边为c．若关于x的方程 有两个相等的实数根，则该三角形的面积是
【答案】6或
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x +(c 4)x+ =0有两个相等的实数根，
∴△=(c 4) 4×1× =0，
解得：c=5或3，
当c=5时，
∵a=3，b=4，
∴a +b =c ，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC的面积是 ×3×4=6；
当c=3时，如图，
，
AB=BC=3，过B作BD⊥AC于D，
则AD=DC=2，
∵由勾股定理得：BD= ，
∴△ABC的面积是 ×4× =2 ；
故答案为：6或2 .
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积，等腰三角形性质的应用，关键是求出三角形ABC的高，题目比较好，用了分类讨论思想.
16．观察下列各式：
，
，
，
……
请利用你发现的规律，计算：
其结果为
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵，
......
依此类推，可得：
∴......
=
=
=
=
=
故答案为：.
【分析】根据题意找出规律，利用找出的规律将各个加数化简，再进行有理数的加减法运算即可.
三、综合题（本大题共9小题，共72分）
17．为了迎接中考体育考试，某校体育老师随机检测了九年级男生和女生各50名的跳绳情况，将测试成绩分成5个组别．第1组：180≤x≤200；第2组：160≤x<180；第3组：140≤x<160；第4组：120≤x<140；第5组：0≤x<120，将抽测的学生跳绳成绩整理与分析如下：
a．男生成绩的第2组后4个数据依次为164，162，162，160．
b．男生测试成绩频数分布直方图如图1．
c．女生测试成绩扇形统计图如图2．
d．抽测的男生与女生跳绳成绩的平均数、中位数、众数如表：
性别 平均数 中位数 众数
男生 162.6 n 166
女生 162.6 159 164
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）m= ，n= ，并补全频数分布直方图 ；
（2）根据上述成绩数据的分析，你认为男生与女生哪个跳绳成绩更好，并说明理由（写出一条理由即可）；
（3）已知每分钟跳绳成绩达到160个，成绩为优秀等级．若该校九年级男生有500名，女生有600名，请估计该校九年级学生跳绳成绩达到优秀等级的学生数．
【答案】（1）20；162；故补全的频数分布直方图如下：
（2）解：男生跳绳成绩更好
理由：因为男生、女生跳绳成绩的平均数相同，男生跳绳成绩的中位数、众数均大于女生，所以男生跳绳成绩更好；
（3）解：（人）．
答：估计该校九年级学生跳绳成绩达到优秀等级的学生有570人．
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布直方图；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【分析】（1）根据统计图可得m的值；利用频数分布直方图，可得n的值；根据总人数结合已知数据补充频数分布直方图；
（2）利用平均数、中位数、中位数的意义即可求解；
（3）利用样本估计总体可求解．
18．已知：如图Rt△ABC中，∠C=90°，AC= +1，BC= ﹣1．求：
（1）Rt△ABC的面积；
（2）斜边AB的长．
【答案】（1）解：S△= AC BC= ×（ +1）（ ﹣1）=3
（2）解：由勾股定理得：AB2=AC2+BC2=（ +1）2+（ ﹣1）2=16，即AB=4
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】（1）由三角形的面积公式直接计算即可；（2）根据勾股定理来求AB的长度即可．
19．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，CE∥BD交AD的延长线于点E，CE=AC．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB=4，AD=3，求四边形BCED的周长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AE∥BC． ∵CE∥BD， ∴四边形BCED是平行四边形．
∴CE=BD．
∵CE=AC，
∴AC=BD．
∴ ABCD是矩形．
（2）解：∵ ABCD是矩形，AB=4，AD=3， ∴∠DAB=90°，BC=AD=3， ∴ ． ∵四边形BCED是平行四边形，
∴四边形BCED的周长为2（BC+BD）=2×(3+5)=16．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据已知条件推知四边形BCED是平行四边形，则对边相等：CE=BD，依据等量代换得到对角线AC=BD，则平行四边形ABCD是矩形；（2）通过勾股定理求得BD的长度，再利用四边形BCED是平行四边形列式计算即可得解．
20．已知，，求下列各式的值：
（1）
（2）.
【答案】（1）解：，，
∴ ；
（2）解：，，
∴ .
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用完全平方式将待求式子进行因式分解，再代值计算，即可求出结果；
（2）利用平方差公式将待求式子进行因式分解，再代值计算，即可求出结果.
21．如图是由边长相等的小正方形组成的网格，请按要求回答下列问题，并利用网格仅用无刻度的直尺完成作图，作图要求保留痕迹，不写作法.
（1）如图1，点A，B，C均为格点，请在图中画出 ，并标出该平行四边形的对称中心O.
（2）如图2，在 中，点E，F分别在边 ， 上，且A，B，E，F均为格点，C，D在小正方形内部，连结 ，请先判断四边形 的形状，然后作出 的平分线 .
【答案】（1）解：如图所示，根据题意找到格点D，使得 ，连接 ，其中 交于点O
， ，
且 ，
，
四边形 是平行四边形，
连接 交于点O，则O为该平行四边形的对称中心；
（2）解：四边形 是菱形，
如图所示，连接 ， ，
交于点O，作射线 交 于点M，连接 ，则 平分 ，
连接 ，则
四边形 为菱形，
，
连接 ，则 平分 ，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分 .
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据题意找到格点D，使得AD=BC，AB=CD，连接AB、BC、CD、DA、AC、BD，其中AC与BD交于点O，根据勾股定理可得BC、AD、AB、CD，推出四边形ABCD为平行四边形，则O为平行四边形的对称中心；
（2）连接EF、AE、BF、AC、BD，AC与BD交于点O，作射线EO交AD于点M，连接CM，则CM平分∠BCD，连接EF，则AE=AB=BF=EF=，推出四边形ABEF为菱形，得到AB∥EF，连接AE、BF，则AE平分∠BEF，由平行四边形性质得AB∥CD，易得∠BCD=∠BEF，∠OAM=∠OCE，证明△AOM≌△CON，得AM=CE，推出四边形AECM为平行四边形，得到CM∥AE，证明△ABE≌△CDM，得到AB=CD，BE=DM，结合AB=BE可得CD=DM，由等腰三角形的性质可得∠DMC=∠DCM，由平行线的性质可得∠DMC=∠MCB，则∠BCM=∠DCM，据此证明.
22．如下图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．
（1）求AB的长
（2）求点C和点D的坐标
（3）y轴上是否存在一点P，使得？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由
【答案】（1）解：令x=0得：y=4，
∴B(0，4)．
∴OB=4
令y=0得：，解得：x=3，
∴A(3，0)．
∴OA=3．
在Rt△OAB中，；
（2）解：由翻折可知AC=AB=5，CD=BD，
∴OC=OA+AC=3+5=8，
∴C(8，0)．
设OD=x，则CD=DB=OD+OB=x+4．
在Rt△OCD中，，即，
解得：x=6，
∴D(0，-6)；
（3）P点的坐标为(0，12)或(0，-4)
【知识点】三角形的面积；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：（3）∵，，
∴．
∵点P在y轴上，，
∴，即，
解得：BP=8，
∴P点的坐标为(0，12)或(0，-4)．
【分析】（1）由直线求出A(3，0) ， B(0，4)，再利用勾股定理求出AB即可；
（2）由翻折可知AC=AB=5，CD=BD，可得OC=8，即得C(8，0) ， 设OD=x，则CD=DB=OD+OB=x+4 ，在Rt△OCD中， 由勾股定理建立关于x方程并解之即可；
（3）由于 =12，据陈可求出PB=8，继而得解.
23．观察下列等式及验证，解答后面的问题：
第1个等式：，验证：；
第2个等式：，验证：；
第3个等式：，验证：．
（1）请写出第4个等式，并验证；
（2）按照以上各等式反映的规律，猜想第个为正整数，且等式，并通过计算验证你的猜想．
【答案】（1）解：第4个等式：
验证：
（2）第个等式：
验证：
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）根据已知等式找出规律直接写出等式并验证即可；
（2）根据已知等式找出规律：第个等式：，再验证即可.
24．如图1，在直角坐标系中，直线y=-2x+8交x轴于点B，交y轴于点A， C是AB的中点，动点P从点A出发沿AO方向以每秒1个单位的速度向终点O运动，同时动点Q从点O出发以每秒2个单位的速度沿射线OB方向运动．以CP，CQ为边构造 CPDQ，设点P运动的时间为t秒．
（1）写出点C的坐标和直线OC的解析式．
点C的坐标是 ，直线OC的解析式是
（2）如图2，当点Q运动到点B时，连结CD．求证： CD∥AP．
（3）连结OC．当点D落在△AOC的边上或各边所在的直线上时，求t的值．
【答案】（1）(2，4)；y= 2x
（2）证明：∵四边形CPDQ为平行四边形；
∴PD CB．
∵C是AB的中点，
∴AC=CB．
∴ACPD．
∴四边形APDC是平行四边形．
∴CD∥AP
（3）解：有三种情况：
①当点D在AO边上时，
∵CQ∥PD，C是OB的中点；
∴Q是OB的中点
∴OQ= OB=2．
即2t=2，∴t=1
②当D在OC边上时，
过点C作CE⊥OA于点E，过点D作DF⊥OB于点F．
易得△CPE≌OQDF，
∴FQ=EC=2，DF=PE=4-t，
∴OF=OQ- FQ=3t - 2，
∴D(2t-2，4-t)．
把点D坐标代入OC的解析式y = 2x，
得4-t=2(2t-2)， 解得t=
③当D落在直线AB上时，
过点C作CE⊥OA于点E，过点D作DF⊥OB于点F．
可得D(2t- 2，4- t)．
代入直线AB的解析式y=-2x+8，
得4-t=-2(2t-2)+8， 解得t=；
综上所述，t的值为1或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的判定与性质；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：（1）y=-2x+8，
当x=0时y=8，
当y=0时-2x+8=0，
解之：x=4，
∴点A（0，8），点B（4，0），
∵点C是AB的中点，
∴点C（2，4）；
设直线OC的函数解析式为y=kx，
∴2k=4，
解之：k=2，
∴直线OC的解析式为y=2x.
故答案为：（2，4），y=2x
【分析】（1）利用直线AB的函数解析式，由x=0求出对应的y的值，由y=0求出对应的x的值，可得到点A，B的坐标，再利用中点坐标的计算方法可求出点C的坐标；设直线OC的函数解析式为y=kx，将点C的坐标代入可求出k的值，即可得到直线OC的函数解析式.
（2）利用平行四边形的性质可证得PD=CB，利用线段中点的定义可证得AC=CB=PD，可证得四边形APDC是平行四边形，利用平行四边形的性质可证得结论.
（3）分情况讨论：当点D在AO边上时，利用已知可证得点Q是OB的中点，可求出OQ=2，可得到会t的方程，解方程求出t的值；当D在OC边上时，过点C作CE⊥OA于点E，过点D作DF⊥OB于点F，易得△CPE≌OQDF，利用全等三角形的性质可求出EQ的长，同时可表示出DF的长，根据OF=OQ- FQ，可表示出OF的长，可得到点D的坐标；再将点D的坐标代入OC的函数解析式，可求出t的值；当D落在直线AB上时，过点C作CE⊥OA于点E，过点D作DF⊥OB于点F，可得到点D的坐标，将点D的坐标代入直线AB的函数解析式，可得到关于t的方程，解方程求出t的值，综上所述可得到符合题意的t的值.
25．教材中写道：“形如的式子称为完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题，
例如：分解因式．
原式
；
例如：求代数式的最小值．
原式．
∵，∴当时，有最小值是2．
解决下列问题：
（1）若多项式是一个完全平方式，那么常数m的值为 ；
（2）分解因式： ；
（3）若，比较：（ ）0（填“＞，＜或＝”），并说明理由；
（4）求代数式的最大或最小值．
【答案】（1）9
（2）
（3），理由如下：∵，∴，∴，即；故答案为：＞
（4）解：∵，∴，∴当时，有最大值4．
【知识点】定义新运算；配方法的应用
【解析】【解答】解：（1）解：∵多项式是一个完全平方式，，∴；故答案为：9
（2）解： ；故答案为：
【分析】（1）利用完全平方式的特征求解即可；
（2）利用十字相乘因式分解即可；
（3）利用特殊值法判断即可；
（4）利用配方法可得，再求解即可。
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