中小学教育资源及组卷应用平台
苏科版九年级上学期开学摸底测试卷（一）
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（2024·江苏扬州·二模）下列窗花作品是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八年级下·全国·专题练习）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）为了解某校3000名学生的体重情况，随机抽取了100名学生的体重进行统计分析．在该问题中，下列说法正确的是（ ）
A．这100名学生是总体的一个样本 B．每个学生是个体
C．这3000名学生体重的全体是总体 D．样本容量是100名学生
4．（2024八年级下·江苏·专题练习）在一个不透明的袋子中装有5个红球，3个白球，这些球除了颜色外都相同，从中随机抽出4个球，下列事件中，必然事件是（ ）
A．至少有一个球是红球 B．至少有一个球是白球
C．至少有两个球是红球 D．至少有两个球是白球
5．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知，化简（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·江苏泰州·二模）已知点、在反比例函数的图像上，若，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·江苏镇江·二模）如图，中，，是的中位线，点在上，且．若，，则长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2024·河北石家庄·一模）如图，直线及反比例函数的图象与两坐标轴之间的阴影部分（不包括边界）有5个整点（横、纵坐标都为整数），则的取值可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（23-24八年级下·江苏南通·期中）已知两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠部分构成一个四边形，对角线，，过点作于点，则的长是（ ）
A． B． C． D．
10．（22-23九年级上·四川达州·期末）如图，在直角坐标系中，以坐标原点，，为顶点的，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点，且点恰好在反比例函数的图象上，则的值为（ ）
A．36 B．25 C．16 D．9
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．（20-21八年级下·广东广州·期中）依次连接菱形各边中点所得到的四边形是 ．
12．（2024·江苏南京·三模）计算的结果是 ．
13．（2024八年级下·江苏·专题练习）某水果批发商运来一批水果，其中有西瓜2000千克，苹果800千克，梨700千克，草莓若干，用扇形统计图（如图）表示如下，其中草莓有 千克，如果用条形统计图来表示，则西瓜、苹果、梨、草莓四个条形的高度之比是 ．
14．（2024·江苏镇江·二模）反比例函数，当时，函数y的最大值与最小值之差为6， 则 ．
15．（23-24八年级上·山东淄博·期末）如图，在矩形中，，，对角线与相交于点，点为边上的一个动点，，，垂足分别为，，则
16．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）若关于x的分式方程有增根，则a的值为 ．
17．（2024·安徽合肥·二模）如图，正方形的顶点，在双曲线上，顶点在双曲线上，轴，正方形的面积为，则的值是 ．
18．（2024·河南南阳·一模）如图，矩形的边长为2，将沿对角线翻折得到，与交于点E，再将沿进行翻折，得到．若两次折叠后，点恰好落在的边上，则的长为 ．
三、解答题（10小题，共64分）
19．（23-24八年级下·河南安阳·期中）计算：
(1)；
(2)．
20．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）解分式方程：
(1)；
(2)．
21．（2024·江苏扬州·二模）先化简，再从，0，3，中选择一个适当的数作为a的值代入求值．
22．（23-24八年级下·江苏南京·期中）已知四边形为矩形，点是边的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．
(1)在图1中作出矩形的对称轴，使；
(2)在图2中作出矩形的对称轴，使．
23．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）在一个不透明的袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球，这些球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球观察它的颜色．下列事件：①摸出的球是红色；②摸出的球是白色；③摸出的球是黄色；④摸出的球不是白色；⑤摸出的球不是黄色，估计各事件发生的可能性大小，回答下列问题：
(1)可能性最大和最小的事件分别是哪个？（用序号表示）
(2)将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列．（用序号表示）
24．（23-24九年级下·江苏扬州·阶段练习）适当的劳动对青少年的成长和发展具有十分重要的意义，为了解九年级学生每周家务劳动的总时长，某校数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了九年级部分学生，对他们一周内家务劳动总时间t（单位：小时）进行了调查，并将数据整理后得到下列不完整的统计图表：
组别 家务劳动总时间分组 频数
A 5
B 7
C 10
D 19
E a
请根据图表信息回答下列问题：
(1)频数分布表中，______；
(2)扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数是______；
(3)请估计该校700名九年级学生中一周内家务劳动总时间不少于8小时的人数，
25．（2024·江苏苏州·二模）如图，平面直角坐标系中，两点在轴的正半轴上，以线段为边向上作正方形，顶点在正比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点，且与边相交于点，连接交于点．
(1)若，则点的坐标为______；
(2)连接，若的面积为，求的值．
26．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．
材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为．
请选择合适的材料解决下面的问题：
(1)点的“横负纵变点”为______________________，点的“横负纵变点”为______________________；
(2)化简：；
(3)已知a为常数，点且，点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是_________________________．
27．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边，边，直线：与矩形的边和都有交点，交点分别是点与点．
(1)请用含的代数式分别表示点和点的坐标：______，______；
(2)当四边形为平行四边形时，求的值；
(3)若要使在平面内存在点，使以点、、、这四点为顶点的四边形为菱形，是否存在满足条件的的值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
28．（23-24八年级下·湖南衡阳·期中）如图，反比例函数（）的图象经过线段的端点，把线段沿轴正方向平移3个单位得到线段，与上述反比例函数的图象相交于点，点的横坐标为4．
(1)求的值和直线的解析式；
(2)在轴上是否存在点，使得的值最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若为函数（）的图象上一动点，过点作直线轴于点，直线与四边形在轴上方的一边交于点，设点的横坐标为，且，当，求出的值．中小学教育资源及组卷应用平台
苏科版九年级上学期开学摸底测试卷（一）
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（2024·江苏扬州·二模）下列窗花作品是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．（2024八年级下·全国·专题练习）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了分式有意义的条件，根据分式的分母不能为0得到，解不等式即可得到答案．
【详解】解：根据题意得：，
解得：．
故选：A．
3．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）为了解某校3000名学生的体重情况，随机抽取了100名学生的体重进行统计分析．在该问题中，下列说法正确的是（ ）
A．这100名学生是总体的一个样本 B．每个学生是个体
C．这3000名学生体重的全体是总体 D．样本容量是100名学生
【答案】C
【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目，据此逐一判断即可．
【详解】解：A、这100名学生的体重是总体的一个样本，原说法错误，不符合题意；
B、每个学生的体重是个体，原说法错误，不符合题意；
C、这3000名学生体重的全体是总体，原说法正确，符合题意；
D、样本容量是100，原说法错误，不符合题意；
故选：C．
4．（2024八年级下·江苏·专题练习）在一个不透明的袋子中装有5个红球，3个白球，这些球除了颜色外都相同，从中随机抽出4个球，下列事件中，必然事件是（ ）
A．至少有一个球是红球 B．至少有一个球是白球
C．至少有两个球是红球 D．至少有两个球是白球
【答案】A
【分析】本题考查了必然事件的定义，根据题意列举所有可能，即可求解，根据题意列举所有可能是解题的关键．
【详解】解：∵在一个不透明的袋子中装有5个红球，3个白球，这些球除了颜色外都相同，从中随机抽出4个球，可以是4个红球，3个红球和1个白球，2个红球和2个白球，1个红球和3个白球，
∴至少有一个球是红球，
故选：A．
5．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知，化简（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．利用进行化简即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
故选：B．
6．（2024·江苏泰州·二模）已知点、在反比例函数的图像上，若，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据题意可知，反比例函数的图像在第二、四象限，即可求出k的取值范围．
【详解】解：，且，
∴反比例函数的图像在第二、四象限，
，
，
故选：B．
7．（2024·江苏镇江·二模）如图，中，，是的中位线，点在上，且．若，，则长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题考查的是直角三角形斜边的中线性质、三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”．先根据勾股定理求出，再根据三角形中位线定理求出的长，再由直角三角形的性质求出的长，进而可得出结论．
【详解】解：在中，，
，，
，
为中位线，，
．
，，
，
．
故选：A．
8．（2024·河北石家庄·一模）如图，直线及反比例函数的图象与两坐标轴之间的阴影部分（不包括边界）有5个整点（横、纵坐标都为整数），则的取值可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】若直线及反比例函数的图象与两坐标轴之间的阴影部分（不位括边界）有5个整点（横、纵坐标都为整数），则取，此时反比例函数过整点，，，则这5个整点是，，，，，从而得到当的值是4，满足题意，即可得到答案．
【详解】解：如图所示：
直线一定过点，，
把代入得，，此时反比例函数过整点，，，
阴影部分（不位括边界）有，，，，，5个整点，
的取值可能是4，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象，一次函数图象上点的坐标特征，利用图象确定的值是解题的关键．
9．（23-24八年级下·江苏南通·期中）已知两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠部分构成一个四边形，对角线，，过点作于点，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作，垂足为，设与相交于点，根据菱形的判定与性质可知，最后利用菱形面积的两种表示方法即可解答．
【详解】解：作，垂足为，设与相交于点，
∵两张等宽的纸条，，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
答：的长是；
故选．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，菱形面积的两种计算方式，掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
10．（22-23九年级上·四川达州·期末）如图，在直角坐标系中，以坐标原点，，为顶点的，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点，且点恰好在反比例函数的图象上，则的值为（ ）
A．36 B．25 C．16 D．9
【答案】A
【分析】过P分别作轴、y轴的垂线，垂足分别为，如图，利用勾股定理计算出，根据角平分线的性质得，设，利用面积的和差求出t得到P点坐标，然后把P点坐标代入中求出k的值．
【详解】解：过P分别作轴、y轴的垂线，垂足分别为，如图所示，
∵，
∴，
∴，
∵的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，
∴，
∴，
设，则PC＝t，
∵，
∴，
解得，
∴，
把代入得．
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了角平分线的性质和三角形面积公式．
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．（20-21八年级下·广东广州·期中）依次连接菱形各边中点所得到的四边形是 ．
【答案】矩形
【分析】本题考查了矩形的判定，菱形的性质，平行四边形的判定，平行线性质等知识点的运用，主要考查学生能否正确运用性质进行推理，题目比较典型，难度适中．连接、交于，根据三角形的中位线定理推出，，得出四边形是平行四边形，根据菱形性质推出，推出，即可得出答案．
【详解】解：如图，连接、交于，
、、、分别是、、、的中点，
，，，，
，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，，
，
，
平行四边形是矩形，
故答案为：矩形．
12．（2024·江苏南京·三模）计算的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的加法和乘法，二次根式的性质，
首先计算二次根式的乘法，然后化简二次根式，然后计算加减．
【详解】
．
故答案为：．
13．（2024八年级下·江苏·专题练习）某水果批发商运来一批水果，其中有西瓜2000千克，苹果800千克，梨700千克，草莓若干，用扇形统计图（如图）表示如下，其中草莓有 千克，如果用条形统计图来表示，则西瓜、苹果、梨、草莓四个条形的高度之比是 ．
【答案】 100
【分析】本题考查扇形统计图的运用．解题的关键是读懂统计图，明白统计图中数据所表示的意义．梨有700千克，所占百分比为，则可求出水果总数，减去西瓜、苹果、梨就可以得到草莓重量；西瓜、苹果、梨、草莓四个条形的高度之比就是各自质量的比．
【详解】解：千克
草莓有千克
西瓜2000千克，苹果800千克，梨700千克，草莓100千克
西瓜、苹果、梨、草莓四个条形的高度之比是，
故答案为：100；．
14．（2024·江苏镇江·二模）反比例函数，当时，函数y的最大值与最小值之差为6， 则 ．
【答案】9
【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据，反比例函数在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小，结合，函数y的最大值与最小值之差为6，进行列式，即可作答．
【详解】解：∵反比例函数
∴反比例函数在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小
∵当时，函数y的最大值与最小值之差为6，
∴，
解得，
故答案为：9．
15．（23-24八年级上·山东淄博·期末）如图，在矩形中，，，对角线与相交于点，点为边上的一个动点，，，垂足分别为，，则
【答案】/
【分析】本题考查了矩形的性质和勾股定理，连接，根据矩形的性质和勾股定理求出，从而求出，进而表示出，可得即可求解．
【详解】解：连接
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：．
16．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）若关于x的分式方程有增根，则a的值为 ．
【答案】
【分析】先化分式方程为整式方程，把分母为零的x值代入整式方程，计算即可．本题考查的是含参数分式方程有增根的问题，掌握分式的增根的意义是解题的关键．
【详解】将方程去分母得到：
，
整理，得，
∵分式会产生增根，
∴
解得，
当时，，
解得；
故答案为：．
17．（2024·安徽合肥·二模）如图，正方形的顶点，在双曲线上，顶点在双曲线上，轴，正方形的面积为，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，正方形的性质，解题的关键是掌握反比例函数的图像与性质．过点分别作轴、轴的垂线，垂足为，，设，则点，，根据反比例函数的性质求出，，进而求出点的坐标，即可求解．
【详解】解：过点分别作轴、轴的垂线，垂足为，，
设，易知，
点，，
，
或（舍去），
，
，
故答案为：．
18．（2024·河南南阳·一模）如图，矩形的边长为2，将沿对角线翻折得到，与交于点E，再将沿进行翻折，得到．若两次折叠后，点恰好落在的边上，则的长为 ．
【答案】或
【分析】根据题意分两种情况讨论：①当点恰好落在上时，由翻折以及矩形的性质利用可证明，然后根据等腰三角形的性质求出的长，再依据勾股定理求解即可；②当点恰好落在上时，同理利用可证明，根据全等三角形的性质可得出的长，再根据线段的和差关系即可得出答案．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，，
∵沿对角线翻折得到，
∴，，
∵以为折痕，将进行翻折，得到，
∴，，
①当点恰好落在上时，如图，
在和中，
∴
∴，即为等腰三角形，
∵
∴点为中点，
∴，
在中，有，
即，解得
②当点恰好落在上时，如图，
∵
∴四边形为矩形，
∴，
∵沿进行翻折，得到，
∴
在中，
，
在和中，
∴
∴
∴．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了矩形与翻折，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握翻折的性质，运用全等三角形的判定与性质、勾股定理是解答此题的关键．注意分类讨论．
三、解答题（10小题，共64分）
19．（23-24八年级下·河南安阳·期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）先化简二次根式，再进行乘除运算，最后分母有理化；
（2）利用完全平方公式和平方差公式化简，再合并即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
20．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）解分式方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)原方程无解
【分析】本题考查了解分式方程，
（1）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得；
（2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得．
【详解】（1）
去分母得，
解得
检验：将代入
∴原方程的解为；
（2）
去分母得，
解得
检验：将代入
∴是方程的增根，
∴原方程无解．
21．（2024·江苏扬州·二模）先化简，再从，0，3，中选择一个适当的数作为a的值代入求值．
【答案】，
【分析】本题考查分式的化简求值，根据分式的混合运算，进行化简，再代入一个使分式有意义的值，计算即可．
【详解】解：原式
；
∵，
∴，
∴当时，原式．
22．（23-24八年级下·江苏南京·期中）已知四边形为矩形，点是边的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．
(1)在图1中作出矩形的对称轴，使；
(2)在图2中作出矩形的对称轴，使．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了求作矩形的对称轴，熟练掌握矩形的性质是解答此题的关键．
（1）连接，相交于点O，过O，E作直线m即可；
（2）由（1）知四边形为矩形，连接交于点H，过O，H点作直线n即可．
【详解】（1）如图所示；
（2）如图所示．
23．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）在一个不透明的袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球，这些球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球观察它的颜色．下列事件：①摸出的球是红色；②摸出的球是白色；③摸出的球是黄色；④摸出的球不是白色；⑤摸出的球不是黄色，估计各事件发生的可能性大小，回答下列问题：
(1)可能性最大和最小的事件分别是哪个？（用序号表示）
(2)将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列．（用序号表示）
【答案】(1)可能性最大的是④，最小的是②
(2)②③①⑤④
【分析】本题主要考查可能性的大小；
（1）分别用该事件中颜色球的个数除以球的总个数求得事件可能性大小，继而可得答案；
（2）依据（1）中所得答案即可得．
【详解】（1）由题意知，①摸出的球是红色的可能性大小为；
②摸出的球是白色的可能性大小为；
③摸出的球是黄色的可能性大小为；
④摸出的球不是白色的可能性大小为；
⑤摸出的球不是黄色的可能性大小为；
所以可能性最大的是④，最小的是②；
（2）由（1）知，
∴将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列是：②③①⑤④．
24．（23-24九年级下·江苏扬州·阶段练习）适当的劳动对青少年的成长和发展具有十分重要的意义，为了解九年级学生每周家务劳动的总时长，某校数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了九年级部分学生，对他们一周内家务劳动总时间t（单位：小时）进行了调查，并将数据整理后得到下列不完整的统计图表：
组别 家务劳动总时间分组 频数
A 5
B 7
C 10
D 19
E a
请根据图表信息回答下列问题：
(1)频数分布表中，______；
(2)扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数是______；
(3)请估计该校700名九年级学生中一周内家务劳动总时间不少于8小时的人数，
【答案】(1)9
(2)72
(3)该校700名九年级学生中一周内家务劳动总时间不少于8小时的人数为392名
【分析】（1）由题意用D组的人数除以所占的百分比求得抽样总人数，再减去其它组的人数即可求解；
（2）根据题意乘以C组在样本中所占的比例求解即可；
（3）由题意利用该校总人数乘以样本中一周内家务劳动总时间不少于8小时所占的比例求解即可．
【详解】（1）解：抽样总人数为（名），
则
故答案为：9；
（2）解：组所在扇形的圆心角的度数是，
故答案为：72；
（3）解：（名），
答：估计该校700名九年级学生中一周内家务劳动总时间不少于8小时的人数约为392名．
【点睛】本题考查统计表和扇形统计图的关联、求扇形的圆心角、用样本估计总体，理解题意，能从统计表或统计图中获取相关信息解决问题是解答的关键．
25．（2024·江苏苏州·二模）如图，平面直角坐标系中，两点在轴的正半轴上，以线段为边向上作正方形，顶点在正比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点，且与边相交于点，连接交于点．
(1)若，则点的坐标为______；
(2)连接，若的面积为，求的值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（）根据正方形的性质得到，求得，得到，得到反比例函数解析式为，进而可得点的坐标；
（）设，则点，根据图形可得，利用梯形的面积公式解答即可求解；
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正方形的性质，反比例函数的几何意义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
【详解】（1）解：在正方形中，，
把代入得，，
解得，
∴，
∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∵，
把代入得，，
∴点的坐标为，
故答案为：；
（2）解：设，则点，
根据反比例函数的几何意义得 ，，
∴，
∴，
∴，
∴．
26．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．
材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为．
请选择合适的材料解决下面的问题：
(1)点的“横负纵变点”为______________________，点的“横负纵变点”为______________________；
(2)化简：；
(3)已知a为常数，点且，点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是_________________________．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义进行求解即可；
（2）根据题干提供的信息，进行变形求解即可；
（3）先根据，得出，求出，，再求出m的值，得出，根据“横负纵变点”的定义写出结果即可．
【详解】（1）解：，
∴点的“横负纵变点”为；
，
∴点的“横负纵变点”为；
故答案为：；．
（2）解：
；
（3）解：∵，
∴，
，
．
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了新定义运算，二次根式化简求值，化简复合型二次根式，解题的关键是熟练掌握二次根式性质，理解新定义．
27．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边，边，直线：与矩形的边和都有交点，交点分别是点与点．
(1)请用含的代数式分别表示点和点的坐标：______，______；
(2)当四边形为平行四边形时，求的值；
(3)若要使在平面内存在点，使以点、、、这四点为顶点的四边形为菱形，是否存在满足条件的的值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)
(3)或0或．
【分析】（1）直线，令，则，当时，，即可求解；
（2）四边形为平行四边形时，，即可求解；
（3）分当是菱形的边、是菱形的对角线两种情况，分别求解即可．
【详解】（1）∵，边，则点、、的坐标分别为：、、，
直线，令，则，当时，，
故点、的坐标分别为：；；
（2）由（1）知点、的坐标分别为：；；
点、的坐标分别为：、；
则，，
四边形为平行四边形时，则，即，
解得：；
（3）①当是菱形的边时，
点对应的点为：或，
在菱形中，，即，
解得：，
当时，点，不在边上，故该值舍去，
故；
当四边形为菱形时；
同理可得：；
②当是菱形的对角线时，
则，即，
解得：，
综上：或0或．
【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到菱形的性质、平行四边形的性质、勾股定理的运用等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
28．（23-24八年级下·湖南衡阳·期中）如图，反比例函数（）的图象经过线段的端点，把线段沿轴正方向平移3个单位得到线段，与上述反比例函数的图象相交于点，点的横坐标为4．
(1)求的值和直线的解析式；
(2)在轴上是否存在点，使得的值最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若为函数（）的图象上一动点，过点作直线轴于点，直线与四边形在轴上方的一边交于点，设点的横坐标为，且，当，求出的值．
【答案】(1)，直线的解析式为
(2)存在，
(3)或
【分析】（1）根据题意结合待定系数法可进行求解；
（2）延长交轴于点，此时的值最大，求出的解析式，联立方程组求交点坐标，求出直线的解析式即可得到点的坐标；
（3）分两种情况，设出点，的坐标，从而得到，的表达式，根据即可得到的值．
【详解】（1）解：∵反比例函数（）的图象经过线段的端点，
∴，即反比例函数解析式为，
设直线的解析式为，则代入点A坐标得：，解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解：存在，理由如下：
如图，延长交轴于点，根据三角不等关系可知：，所以此时的值最大，
把线段沿轴正方向平移3个单位得到线段，
，即，，
设的表达式为，
将代入，
，
的表达式为，
联立，解得，，
点的横坐标大于0，
的横坐标为4，
将代入得到：，
即，
设的表达式为，
将，代入得，
解得，
，
令，代入得到，
；
（3）解：①当在的上方时，
∴，，
，，
，
解得：；
②当在的上方时，
∴，，
，，
，
解得：（负根舍去），
综上所述：或．
【点睛】本题考查了反比例函数综合题，考查分类讨论的思想，设出点，的坐标，得到，的表达式是解题的关键．
