沪科版九年级数学上册试题 期末综合测试卷（含解析）

期末综合测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．在中，，若，则的值为（）
A． B． C． D．
2．将抛物线C1：y＝（x－3）2＋2向左平移3个单位长度，得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，则抛物线C3的解析式为（　　　）．
A．y＝x2－2 B．y＝－x2＋2 C．y＝x2＋2 D．y＝－x2－2
3．如图，三条直线，若，，则（ ）
A． B． C． D．
4．若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点，若在二次函数 (m为常数）的图象上存在两个二倍点，，且，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，矩形中，，对折矩形使得与重合，得到折痕，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点的对应点落在上，折痕是，连接，若，则点的长是（ ）

A． B． C． D．
6．如图，直线与反比例函数的图象相交于A、B两点，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C、D，连接，则四边形的面积为（　　）
A．4 B．8 C．12 D．24
7．已知抛物线（为整数）与轴交于点，与轴交于点，且，则等于（　　）
A． B． C． D．
8．在平行四边形中，点是的中点，与交于点，则与四边形的面积之比是( )

A． B． C． D．
9．若点、、在抛物线上，且，则 m 的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．或
10．如图，在中，，翻折，使点落在直角边上某一点处，折痕为，点、分别在边、上，若与相似，则的长为（）

A． B． C．或 D．或
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．设，则k的值为 ．
12．如图，已知中，，，，若，则 ．

13．已知二次函数，当时，函数值的最小值为1，则的值为 ．
14．已知点在反比例函数的图象上，将点P先向右平移9个单位，再向下平移6个单位后得到的点仍在该函数图象上，则k的值是
15．如图，E是正方形的对角线的延长线上一点，且，连接，将绕点A顺时针旋转得到，连接交于点H．已知，则的值是 ．

16．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过点作，交轴于点；作，交反比例函数图象于点；过点作交轴于点；再作，交反比例函数图象于点，依次进行下去……，则点的横坐标为 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）如图，在四边形中，，，求的长．
18．（6分）如图，在中，，是边上的高．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
19．（8分）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度的山坡上发现有一棵古树．测得古树底端C到山脚点A的距离，在距山脚点A水平距离的E处，测得古树顶端D的仰角，（古树与山坡的剖面、点E在同一平面上，古树与直线垂直），求古树的高度．（参考数据：，，）

20．（8分）某公司经销的一种产品每件成本为40元，要求在90天内完成销售任务．已知该产品90天内每天的销售价格与时间（第天）的关系如下表：
时间（第天）
销售价格 90
任务完成后，统计发现销售员小王90天内日销售量（件）与时间（第天）满足一次函数关系，设小王第天销售利润为元．
(1)直接写出与之间的函数关系式，并注明自变量的取值范围；
(2)求小王第几天的销售利润最大？最大利润是多少？
(3)任务完成后，统计发现平均每个销售员每天销售利润为4800公司制定如下奖励制度：如果一个销售员某天的销售利润超过该平均值，则该销售员当天可获得200元奖金，请计算小王一共可获得多少元奖金？
21．（8分）已知，如图1，在 ABCD中，点E是AB中点，连接DE并延长，交CB的延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△BFE；
（2）如图2，点G是边BC上任意一点（点G不与点B、C重合），连接AG交DF于点H，连接HC，过点A作AK∥HC，交DF于点K．
①求证：HC=2AK；
②当点G是边BC中点时，恰有HD=n HK（n为正整数），求n的值．
22．（8分）如图，已知正比例函数图象经过点，
(1)求正比例函数的解析式及m的值；
(2)分别过点A与点B作y轴的平行线，与反比例函数在第一象限的分支分别交于点C、D（点C、D均在点A、B下方），若，求反比例函数的解析式；
(3)在第（2）小题的前提下，连接，试判断的形状，并说明理由．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，．

(1)请写出抛物线的解析式为__________．
(2)若是抛物线对称轴上一动点，请写出使周长最小的点的坐标为__________．
(3)点在抛物线的对称轴上，点在轴上，请写出，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标为__________．
(4)若点为第一象限内抛物线上的一动点，点的横坐标为，请求出使点到直线距离最大的的值．
答案解析
一．选择题
1．B
【分析】根据，设，根据正切的定义，即可得答案．
【详解】解：由题意，得，
故设
则，
故选：B．
2．D
【分析】根据抛物线C1的解析式得到顶点坐标，利用二次函数平移的规律：左加右减，上加下减，并根据平移前后二次项的系数不变可得抛物线C2的顶点坐标，再根据关于x轴对称的两条抛物线的顶点横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数可得到抛物线C3所对应的解析式．
【详解】解：∵抛物线 C 1：y＝（x－3）2＋2，其顶点坐标为（3，2）
∵向左平移3个单位长度，得到抛物线C2
∴抛物线C2的顶点坐标为（0，2）
∵抛物线C2与抛物线C3关于 x轴对称
∴抛物线C3的横坐标不变，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数
∴抛物线C3的顶点坐标为（0，－2），二次项系数为－1
∴抛物线C3的解析式为y＝－x2－2
故选：D．
3．A
【分析】根据可得，从而得到，再由，可得，最后再由可得，进行计算即可得到答案．
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
4．B
【分析】根据题意得出纵坐标是横坐标的2倍总在直线上，、是方程的两个解，根据根与系数的关系得出，，根据根的判别式得出，根据，得出m取任意实数时，总成立，根据，得出，，即，得出，求出m的值即可．
【详解】解：∵纵坐标是横坐标的2倍总在直线上，
∴点，一定在直线上，
又∵点，在二次函数 (m为常数）的图象上，
∴、是方程的两个解，
即，
∴，，
，
∵，
又∵，
∴，
∴m取任意实数时，总成立，
∵，
∴，，
∴，
即，
∴，
解得：，故B正确．
故选：B．
5．A
【分析】由矩形性质和折叠性质可得，，，，可得，从而可得，可得，从而可得的长，，即可求解，进而求出的长．
【详解】解：四边形是矩形，
，
由折叠性质可得：，，，，
在中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
，
故选：．
6．C
【分析】首先根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即，得出，再根据反比例函数的对称性可知，即可求出四边形的面积．
【详解】解：∵过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形的面积为：．
故选：C．
7．D
【分析】当时，可求得为，由可得为或，将的坐标代入，进行计算即可得到答案．
【详解】解：当时，，
抛物线与轴的交点为，
，
抛物线与轴的交点为或，
或，
或，
或或或，
解得：或或，
为整数，
，
故选：D．
8．C
【分析】由四边形是平行四边形，易证得，又由点是的中点，根据相似三角形的对应边成比例，可得，然后设，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得的面积，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得的面积，继而求得四边形的面积，则可求得答案．
【详解】解：设，
四边形是平行四边形，
，，
，
点是的中点，
，
，
，
即，
，
，
与四边形的面积之比为：：：．
故选：C．
9．C
【分析】根据二次函数的解析式可得出二次函数的对称轴为直线，根据抛物线对称性可知：点与点关于对称轴为对称，点与点关于对称轴为对称，由，，，可得当时，函数值y随着x的增大而增大；当时，函数值y随着x的增大而减小，即抛物线的图象开口向下，画出图形，数形结合即可作答．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线，
∵、、在抛物线上，
∴根据抛物线对称性可知：
点与点关于对称轴直线对称，
点与点关于对称轴直线对称，
∵，，，
∴当时，函数值y随着x的增大而增大；当时，函数值y随着x的增大而减小；
∴抛物线的图象开口向下，
作图如下：
由图可知：要满足，则m的取值范围为：，
故选：C．
10．C
【分析】根据题意，可知分两种情况，然后根据题目中的条件，利用三角形相似，可以求得的长，从而可以解答本题．
【详解】解：由题意可得，
当时，
则，
∵，翻折，使点落在直角边上某一点处，
∴，
解得；
当时，
则，
∵，翻折，使点落在直角边上某一点处，
解得；
由上可得，的长为或，
故选：C．
二．填空题
11．或
【分析】依据等比性质可得，，分两种情况讨论，即可得到的值．
【详解】解：当时，
，
由等比性质可得，，
即；
当时，，
；
综上所述，的值为或．
故答案为：或
12．
【分析】根据角正切值可求得，，结合，即可列方程，求解即可得出答案．
【详解】解：∵，，
则在中，，
即，
∴，
则在中，，
即，
故，
∴．
故答案为：．
13．0或-3
【分析】利用二次函数图像上点的特征找出时自变量的值，结合时，函数值的最小值为1，可得到关于的一元一次方程，解即可．
【详解】解：令，则，
解得：，．
时，函数值的最小值为1
或，
或．
故答案为： 或．
14．
【分析】根据点的坐标平移规律“左减右加，上加下减”求得点P平移后的点的坐标，根据两点均在反比例函数的图象上，将两点坐标代入反比例函数解析式中求解即可．
【详解】解：∵点，
∴将点P先向右平移9个单位，再向下平移6个单位后得到的点的坐标为，
依题意，得，
解得，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】证明，得出，，证明，得出，根据，，，得出，求出结果即可．
【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
故答案为：．
16．
【分析】根据直的关系式为，以及，可得到是等腰直角三角形，进而得到、、都是等腰直角三角形，设，则点，点在反比例函数的图象上，可求出，进而得到点的横坐标为1，同理，则点，求出点的横坐标为，同理得出点的横坐标为；点的横坐标为；点的横坐标为；点的横坐标为；根据规律可得答案．
【详解】解：如图，过点、、、分别作轴，轴，轴，轴，垂足分别为、、、
直线的关系式为，，
是等腰直角三角形，
，
同理可得、、都是等腰直角三角形，
设，则点，点在反比例函数的图象上，
，
解得（负值舍去），
点的横坐标为1，
设，则点，点在反比例函数的图象上，
，
解得，
点的横坐标为；
设，则点，，点在反比例函数的图象上，
，
解得，
点的横坐标为；
同理可得点的横坐标为；
点的横坐标为；
点的横坐标为；
点的横坐标为；
故答案为：．
三．解答题
17．解：如图，延长与交于点E．
在中， ，，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴在中，，
∴设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得：（负值舍去），
∴
∴，即的长为．
18．（1）证明：∵是边上的高，
∴，
∵，
∴
∵，
∴；
（2）解：∵，是边上的高，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的长为．
19．解：如图，延长交的延长线于点F，则，

山坡上坡度，
，
，
设，则，
在中，
，
，
解得：，
，，
，
在中，，
（m），
（m）；
答：古树的高度约为．
20．（1）解：依题意：
整理得；
（2）①当时，，
，
开口向下，
当时，有最大值为6050；
②当时，，
，
随的增大而减小，
当时，有最大值为5000，
，
当时，的值最大，最大值为6050，
即小王第45天的销售利润最大，最大利润为6050元；
（3）①当时，令，得，
解得，，
当时，，
，
；
②当时，令，，
解得，
，
，
综上所述：当时，，即共有天的销售利润超过4800元，
可获得奖金元，
即小王一共可获得6200元奖金．
21．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE=∠BFE，∠A=∠FBE，
在△ADE和△BFE中，
，
∴△ADE≌△BFE；
（2）如图2，作BN∥HC交EF于N，
∵△ADE≌△BFE，
∴BF=AD=BC，
∴BN=HC，
由（1）的方法可知，△AEK≌△BEN，
∴AK=BN，
∴HC=2AK；
（3）如图3，作GM∥DF交HC于M，
∵点G是边BC中点，
∴CG=CF，
∵GM∥DF，
∴△CMG∽△CHF，
∴==，
∵AD∥FC，
∴△AHD∽△GHF，
∴ = == ，
∴= ，
∵AK∥HC，GM∥DF，
∴△AHK∽△HGM，
∴ = = ，
∴=，即HD=4HK，
∴n=4．
22．（1）解：设正比例函数的解析式为，
∵正比例函数图象经过点，
∴
∴
∴正比例函数的解析式为把代入解析式得．
（2）∵轴，
∴C点的横坐标为2，D点的横坐标为3，
设反比例函数的解析式为，分别代入得，，
∴，，
∵，
∴，解得，
∴反比例函数的解析式为；
（3）是等腰直角三角形．
理由如下：由（2）得：，，，
∴，
∴，且，
∴是等腰直角三角形．
23．（1）解：设该抛物线的解析式为，
将点，，代入，
可得，解得，
∴该抛物线的解析式为．
故答案为：；
（2）由（1）可知，抛物线的解析式为，
∴其对称轴为，
如下图，

∵点，关于直线对称，
∴，
∴的周长，
∴当点共线时，的周长最小，
设直线的解析式为，将点，代入，
可得，解得，
∴线的解析式为，
令，则有，
∴点．
故答案为：；
（3）设点，
若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，
①当为对角线时，如下图，

此时，
∴点的纵坐标，即点，
∴，
则，即，
解得，
∴；
②当为对角线时，如下图，

此时，即，
解得，
∴；
③当为对角线时，如下图，

此时可有，即，
解得，
∴．
综上所述，点的坐标为或或．
故答案为：或或；
（4）如下图，连接，过点作轴交于点，

设点到的距离为，
则，
∴当面积最大时，的值最大，
由（1）可知，直线的函数解析式为，
设点坐标为，点坐标为，
∴，
∴，
∴当时，最大，
即当时，点到直线距离最大．