沪科版九年级数学上册试题 第21章二次函数与反比例函数章节测试卷（含解析）

第21章《二次函数与反比例函数》章节测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．反比例函数过点，则关于一次函数说法正确的是（　　）
A．不过第一象限 B．y随x的增大而增大
C．一次函数过点 D．一次函数与坐标轴围成的三角形的面积是4
2．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
3．已知抛物线（为整数）与轴交于点，与轴交于点，且，则等于（　　）
A． B． C． D．
4．已知点，，在反比例函数的图像上，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．或
5．已知二次函数在时有最小值，则（　　）
A．或 B．4或 C．或 D．4或
6．已知二次函数，点是图象上两点，下列说法正确的是( )
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．如图，点是反比例函数图像上的一动点，连接并延长交图像的另一支于点．在点的运动过程中，若存在点，使得，，则，满足（ ）
A． B． C． D．
8．已知抛物线（是常数，）经过点和点，若该抛物线的顶点在第三象限，记，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③抛物线另一个交点在到之间；④当时，；⑤一元二次方程有两个不相等的实数根；其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①④⑤ C．②④⑤ D．②③⑤
10．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边轴，垂足为点，顶点A在第二象限，顶点在轴正半轴上，反比例函数的图像同时经过顶点，若点的横坐标为6，，则的值为（　　）

A． B． C． D．18
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．如图，抛物线与直线交于两点，则关于的不等式的解集为 ．

12．将二次函数（，为常数）的图像沿与轴平行的直线翻折，若翻折后的图像将轴截出长为的线段，则该二次函数图像的顶点的纵坐标为 ．
13．抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，点在在这条抛物线上．
(1)则点的坐标为 ；
(2)若点为轴的正半轴上的一点，且为等腰三角形，则点的坐标为 ．
14．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．点D是抛物线上的一个点，作交抛物线于D、E两点，以线段为对角线作菱形，点P在x轴上，若 时，则菱形对角线的长为 ．
15．如图，点，，…在反比例函数的图象上，点，，，…在y轴上，且，直线与双曲线交于点，，，…，则（n为正整数）的坐标是 ．

16．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，是等边三角形，且点B的坐标为，点A在反比例函数的图象上．
（1）反比例函数的表达式为 ；
（2）把向右平移a个单位长度，对应得到．
①若此时另一个反比例函数的图象经过点，则k和的大小关系是：k （填“”、“”或“”）；
②当函数的图象经一边的中点时，则 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）如图，一次函数与反比例函数相交于点，与x轴交于点B，
(1)求反比例函数解析式
(2)点P是y轴上一动点，连接，当的值最小时，求P点坐标；
(3)在（2）的条件下，C为直线的动点，连接，将点C绕点P逆时针旋转得到点D，在C运动过程中，求的最小值．
18．（6分）在平面直角坐标系中，已知二次函数（b，c是常数）．
(1)当，时，求该函数图象的顶点坐标．
(2)设该二次函数图象的顶点坐标是，当该函数图象经过点时，求n关于m的函数解析式．
(3)已知，当时，该函数有最大值8，求c的值．
19．（8分）如图，抛物线经过，两点．

(1)求此拋物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上有一点，使得值最小，求最小值；
(3)点为轴上一动点，在拋物线上是否存在一点，使以，，，四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（8分）如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为，正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．
(1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B点的坐标；
(2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由；
(3)在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且，，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为且顶点C距水面4米，若该运动员出水点D在之间（包括M，N两点），请直接写出a的取值范围．
21．（8分）如图，二次函数的图象与轴相交于点A，与反比例函数的图象相交于点．

(1)求这两个函数的表达式；
(2)当随的增大而增大，且时，直接写出的取值范围；
(3)平行于轴的直线与函数的图象相交于点、（点在点的右边），与函数的图象相交于点．若与的面积相等，求点的坐标．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点，且．

(1)求直线的表达式；
(2)求该二次函数的解析式，并写出函数值随的增大而减小时的取值范围；
(3)点是抛物线上的一个动点，设点的横坐标为．当的面积取最大值时，求点的坐标；
(4)当时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请直接写出的取值范围．
23．（8分）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象交于点，．

(1)求一次函数和反比例函数表达式；
(2)点为轴正半轴上一点，当的面积为9时，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，将直线向上平移，平移后的直线交反比例函数图象于点，交轴于点，点为平面直角坐标系内一点，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标；并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．
答案解析
选择题
1．B
【分析】把点代入反比例函数，求出k的值，再把k的值代入一次函数，再根据一次函数的性质即可解答．
【详解】解：∵反比例函数过点，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为，
∴函数图像过一三四象限，不过第二象限，故A错误，不符合题意；
∵，
∴y随x的增大而增大，故B正确，符合题意；
∵当时，，
∴一次函数不过点，故C错误，不符合题意；
∵与坐标轴的交点为，
∴一次函数与坐标轴围成的三角形的面积为，故D错误，不符合题意．
故选：B．
2．D
【分析】先假设，根据二次函数图象与轴交点的位置可判断A，C是否成立；
再假设，，判断一次函数的图象位置及增减性，再根据二次函数的开口方向及对称轴位置确定B，D是否成立．
【详解】解：若，则一次函数图象随的增大而减小，此时二次函数的图象与轴的交点在轴负半轴，故A，C错；
若，，则一次函数图象随的增大而增大，且图象与的交点在轴正半轴上，此时二次函数的图象与轴的交点也在轴正半轴，若，则对称轴，故B错；若，则对称轴，则D可能成立．
故选：D．
3．D
【分析】当时，可求得为，由可得为或，将的坐标代入，进行计算即可得到答案．
【详解】解：当时，，
抛物线与轴的交点为，
，
抛物线与轴的交点为或，
或，
或，
或或或，
解得：或或，
为整数，
，
故选：D．
4．D
【分析】根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，①当点（a，y1）、（a＋2，y2）在图象的同一分支上时；②当点（a，y1）、（a＋2，y2）在图象的两支上时，分别求解即可．
【详解】解：∵，
∴图像在一、三象限，在反比例函数图像的每一支上，y随x的增大而减小，
，
y1＞y2，
①当点（a，y1）、（a＋2，y2）在同一象限时，
∵y1＞y2，
当在第一象限时，
∴，解得；
当在第三象限时，
∴，解得；
综上所述：或；
②当点（a，y1）、（a＋2，y2）不在同一象限时，
∵y1＞y2，
∴a＞0，a＋2＜0，此不等式组无解，
因此，本题的取值范围为或，
故选：D．
5．B
【分析】先求出二次函数对称轴为直线，再分和两种情况，利用二次函数的性质进行求解即可．
【详解】解：∵二次函数，
∴对称轴为直线，
①当，抛物线开口向上，时，有最小值，解得：；
②当，抛物线开口向下，∵对称轴为直线，在时有最小值，
∴时，有最小值，解得：．
故选：B．
6．A
【分析】将函数化为二次函数的一般形式，可以求得对称轴为，然后根据函数图像上点的坐标与对称轴的关系即可得到答案；
【详解】解：∵
∴函数图像开口向下，对称轴为
当时，A、B两点关于对称轴对称，此时；
当时，A、B在对称轴右侧或分别在对称轴两侧且A到对称轴的距离小于B到对称轴的距离，此时；
当时，A、B在对称轴左侧或分别在对称轴两侧，且A到对称轴的距离大于B到对称轴的距离，此时；
由此可判断选项，只有A选项符合，故选A；
7．B
【分析】连接，过点作轴于点，过点作轴于点，根据等腰直角三角形的性质得出，通过角的计算找出，结合“，”可得出，根据全等三角形的性质，可得出，进而得到，进一步得到．
【详解】解：连接，过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示：
由直线与反比例函数的对称性可知、点关于点对称，
，
又，，
，，
，，
，
又，，
，
，，
点，
，，
，，
，
点是反比例函数图像上，
，即，
故选：B．
8．B
【分析】由顶点在第三象限，经过点和点，可得出： ，，即可得出，又由于，求出的范围即可．
【详解】∵抛物线过点和点，
∴，，
即，
∵顶点在第三象限，经过点和点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∵，
∴
∴，
∴．
故选：B．
9．D
【分析】①根据抛物线的对称轴公式即可求解；②当x等于1时，y等于n，再利用对称轴公式即可求解；③根据抛物线的对称性即可求解；④根据抛物线的平移即可求解；⑤根据一元二次方程的判别式即可求解．
【详解】解：①因为抛物线的顶点坐标为，则其对称轴为，
即，所以，所以①错误；
②当时，，
所以，因为，
所以，所以②正确；
③因为抛物线的对称轴为，
且与x轴的一个交点在点和之间，
所以抛物线另一个交点在到之间；所以③正确；
④因为，即，
根据图象可知：
把抛物线图象向下平移c个单位后图象过原点，
即可得抛物线的图象，
所以当时，，
即．所以④错误；
⑤一元二次方程，
，
因为根据图象可知：，，
所以，
所以，
所以一元二次方程有两个不相等的实数根．
所以⑤正确．
综上，正确的有②③⑤，
故选：D．
10．C
【分析】过点作于点，由勾股定理构造方程求出，，再根据反比例函数图像同时经过顶点、,即可解答．
【详解】解：过点作于点，

∵点C的横坐标为6，，
∴．
∵四边形是菱形，
∴．C
∵，
∴设，则．
∴，，．
在中，
∵，
∴．
解得：（不合题意，舍去），，
∴，．
设，则，
∵反比例函数的图像同时经过顶点C，D，
∴．解得：．
∴．
故选C．
二．填空题
11．或
【分析】根据题意得出：当时，则，进而结合函数图象得出的取值范围．
【详解】解：根据题意得出：
当时，则，
由图象可得：关于的不等式的解集为：或，
故答案为：或．
12．
【分析】设设翻折后图像与x轴的两个交点的横坐标分别为，则再进行变形得出再代入可得进而可得出该二次函数图像的顶点的纵坐标
【详解】二次函数（，为常数）的图像沿与轴平行的直线翻折，若翻折后的图像将轴截出长为的线段，
翻折前两交点间的距离不变，
设翻折后图像与x轴的两个交点的横坐标分别为，
则
又的纵坐标为，
即该二次函数图像顶点纵坐标为
故答案为：
13． ，
【分析】（1）将点代入函数解析式即可得出结论；
（2）令，求得点的坐标，依据分类讨论的思想方法，利用为等腰三角形和等腰三角形的解答即可得出结论．
【详解】解：（1）点在抛物线上，
，
，
故答案为：；
（2）令，则，
解得：或．
抛物线与轴交于，两点，点在点的左侧，
．
点为轴的正半轴上的一点，①当时，如图，

过点作于点，
，，
，，，
．
在和中，
，
，
．
，，
，
，
；
②当时，如图，

过点作轴于点，
，，
，，，
设点，
点为轴的正半轴上的一点，
，
，
，
，
，
解得： ，
．
综上，当为等腰三角形，则点的坐标为或 ．
故答案为：或 ．
14．或
【分析】设菱形对角线的交点为M，则， ，设点D的横坐标为t，由此表示出的长，的长，进而可得的长，根据 建立方程，求解即可．
【详解】解：如图，由抛物线的解析式可知，抛物线的对称轴为直线，
设菱形对角线的交点为M，则， ，
∵点D是抛物线上的一个点，且，设点D的横坐标为t，
∴，
∵，
∴点D，点E关于对称轴对称，
∴点P和点Q在对称轴上，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得 ， (舍去)， ， (舍去)，
∴ 或．
故答案为：或．
15．
【分析】如图，过作轴于，求解，结合题意，，，，…，都是等腰直角三角形，想办法求出，，，，…，探究规律，利用规律解决问题即可得出结论．
【详解】解：如图，过作轴于，
∵，其中，
解得：，即，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴；
同理可得：，，…，都是等腰直角三角形，

同理设，
∴，
解得， （负根舍去）
∴，
同理可得：，
∴，
∴．
故答案为：．
16． 或
【分析】（1）如图所示，过点A作于C，利用等边三角形的性质和勾股定理求出，再利用待定系数法求解即可；
（2）求出，由，得到，则；
（3）分当函数的图象经过的中点时，当函数的图象经过的中点时，两种情况利用两点中点坐标公式和待定系数法求解即可．
【详解】解：（1）如图所示，过点A作于C，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴反比例函数的表达式为，
故答案为：；
（2）①∵把向右平移a个单位长度，对应得到，
∴，
∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）当函数的图象经过的中点时，
∵，
∴函数的图象经过点，
∴，
∴；
当函数的图象经过的中点时，
∵，
∴函数的图象经过点，
∴，
∴，
故答案为：或．
三．解答题
17．（1）解：∵点在一次函数的图象上，
∴，
∴点，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，此时的值最小，
令，则，解得，
∴点，点，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
令，则，
∴P点坐标为；
（3）解：由旋转的性质知，当时，有最小值，此时的值最小，
设直线交y轴于点E，
令，则，
，点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为．
18．（1）解：当，时，，
∴此时该函数图象的顶点坐标为；
（2）解：∵该函数图象经过点，
∴，则，
∵该二次函数图象的顶点坐标是，
∴，，
∴，，
∴，即；
（3）解：当时，二次函数的对称轴为直线，开口向下，
∵，
∴当即时，该函数的最大值为，即，
解得（不合题意，舍去），（不合题意，舍去）；
当即时，时，y随x的增大而减小，
∴当时，y有最大值为，不合题意，舍去；
当即时，时，y随x的增大而增大，
∴当时，y有最大值为，
解得，符合题意，
综上，满足条件的c的值为2．
19．（1）解：抛物线经过，两点，
，
解得：，，
此拋物线的解析式为；
（2）如图，连接，交对称轴于点，

拋物线的解析式为，
其对称轴为直线，
当时，，
，
又，
设的解析式为，
，
解得：，，
的解析式为，
当时，，
，
；
（3）存在，如图所示：

①当点在轴下方时，
抛物线的对称轴为，，
，
②当点在轴上方时，
如图，过点作轴于点，
在和中，
，
，
，即点的纵坐标为
，
解得：或，
，，
综上所述符合条件的的坐标有，，．
20．（1）解：设抛物线的解析式为
将代入解析式得：
∴抛物线的解析式为
令，则
解得：
∴入水处B点的坐标
（2）解：距点E的水平距离为5米，对应的横坐标为：
将代入解析式得：
∵
∴该运动员此次跳水失误了
（3）解：∵，，点E的坐标为
∴点M、N的坐标分别为：
∵该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为顶点C距水面4米
，
∴当抛物线经过点时，把点M代入得：
同理，当抛物线经过点 时，
由点D在之间可得：
21．（1）解：∵二次函数的图像与反比例函数的图像相交于点，
∴，，
解得，，
∴二次函数的解析式为，反比例函数的解析式为．
（2）∵二次函数的解析式为，
∴对称轴为直线，
由图象知，当随的增大而增大，且时，
（3）由题意作图如下：

∵当时，，
∴，
∵，
∴的边上的高与的边上的高相等，
∵与的面积相等，
∴，
即点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点，
当时，，
∴．
22．（1）解：令，则，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
；
（2）解： ，
，
，
将，代入，
，
解得，
，
，，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
函数值随的增大而减小时的取值范围为；
（3）解：过点作轴交于点，

点的横坐标为，
，则，
，
由（1）得，，
，
，
当时，的面积有最大值，此时；
（4）解：当时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，
，
抛物线的对称轴为直线，
①当时，，有最大值0，，有最小值，
，此时二次函数的最大值与最小值的差随的变化而变化；
②当时，，有最小值，，有最大值0，
，此时二次函数的最大值与最小值的差是一个定值；
③当时，，有最小值，，有最大值，
，此时二次函数的最大值与最小值的差随的变化而变化；
综上所述：时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值．
23．（1）点，在反比例函数图象上，
，
解得，
，
反比例函数的解析式为；
设一次函数的解析式为，
，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）直线与轴的交点，
设，，
，
，
，
解得，
；
（3）设直线向上平移后的函数解析式为，
在反比例函数图象上，
，
，
将点代入，则，
平移后的直线解析式为，
，
设，
①当为平行四边形的对角线时，，，
；
②当为平行四边形的对角线时，，，
；
③当为平行四边形的对角线时，，，
；
综上所述：点坐标为或或．