沪科版九年级数学上册试题 第23章《解直角三角形》章节测试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 沪科版九年级数学上册试题 第23章《解直角三角形》章节测试卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 811.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-06-18 11:35:50 | ||
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文档简介
第23章《解直角三角形》章节测试卷
一．选择题（共9小题，满分27分，每小题3分）
1．在中，、都是锐角，且，，则是（ ）.
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
2．直角三角形纸片，两直角边，，现将纸片按如图那样折叠，使A与电B重合，折痕为，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．
3．如图，的顶点分别在单位长度为1的正方形网格的格点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，点D、E分别在上，交于F，若，，则的值为( )
A． B． C． D．
5．一块直角三角板按如图放置，顶点的坐标为，直角顶点的坐标为，，则点的坐标为（ ）
B．
C． D．
6．在中，，有一个锐角为60°，，若点P在直线上（不与点A、C重合），且，则的长为（ ）
A．6或 B．6或 C．或 D．6或或
7．如图，延长等腰斜边到，使，连接，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．
8．如图，在△ABC中，，分别以AB，AC，BC为边向外作正方形，连结CD，若，则tan∠CDB的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图1是由四个全等的直角三角形组成的“风车”图案，其中，延长直角三角形的斜边恰好交于另一直角三角形的斜边中点，得到如图2，若，则该“风车”的面积为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
10．如图，在中，，点，分别在，边上，且，，连接，，交于点，，，则的长为 ．
11．如图，在菱形中，，于点，的延长线与的延长线交于点，则 ．（表示面积）
12．如图，在矩形中，，是对角线上一动点（点不与点，重合），当是等腰三角形时， ．
13．如图，已知点P是菱形的对角线延长线上一点，过点P分别作，延长线的垂线，垂足分别为点E，F．若，，则的值为 ．
14．如图，在正方形中，，分别是，的中点，是线段上的一点，的延长线交于点，连接，，将绕点顺时针旋转得，则下列结论：，；垂直平分；若，点在边上运动，则，两点之间距离的最小值是．其中结论正确的序号有 ．
15．如图，，，，…是等边三角形，直线经过它们的顶点，，，，…，点，，，…在轴上，则线段的长度是 ．
16．如图，、、、分别是矩形的边、、、上的点，，，，，若，，则四边形的周长为 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）计算：
(1)． (2)．
18．（6分）如图，在中，于点D，若，，．
求：
(1)的长；
(2)的值．
19．（8分）（2023春·河南南阳·九年级统考期中）如图，已知点A（7，8）、C（0，6），AB⊥x轴，垂足为点B，点D在线段OB上，DE∥AC，交AB于点E，EF∥CD，交AC于点F．
（1）求经过A、C两点的直线的表达式；
（2）设OD＝t，BE＝s，求s与t的函数关系式；
（3）是否存在点D，使四边形CDEF为矩形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（8分）（1）在如图1的正方形网格图中，每个小正方形的边长为1，A，B，C，D均为格点（小正方形的顶点)． 求证：．
（2）在如图2所示的正方形网格图中，每个小正方形的边长为1，A，B，C均为格点，请你仅用无刻度的直尺在线段AC上求作一点P， 使得∠PBA=∠C，并简要说明理由．
21．（9分）如图，小明为测量宣传牌的高度，他站在距离建筑楼底部处6米远的地面处，测得宣传牌的底部的仰角为．同时测得建筑楼窗户处的仰角为（在同一直线上．）然后，小明沿坡度为的斜坡从走到处，此时正好与地面平行，小明在处又测得宣传牌顶部的仰角为．
(1)填空：__________度，__________度；
(2)求距离地面的高度（结果保留根号）；
(3)求宣传牌的高度（结果保留根号）．
22．（9分）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（），如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
(1)________．
(2)对于，的正对值的取值范围是________．
(3)如图②，已知，其中为锐角，试求的值．
23．（9分）已知：中，，D为直线上一点．
(1)如图1，于点H，若，求证：．
(2)如图2，，点D在延长线上，点E在上且，若，，求的值．
(3)如图3，D在延长线上，E为上一点，且满足：，，若，，求的长．
答案解析
一.选择题
1．B
【分析】根据特殊角的三角函数值求出，然后利用三角形内角和定理求出的度数，即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
故选：B．
2．B
【分析】根据折叠的性质得出，设，则，在中，根据勾股定理得出，列出方程求出x的值，最后根据正切的定义，即可解答．
【详解】解：∵沿折叠得到，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理可得：，
即，解得：，
∴，
故选：B．
3．B
【分析】过B作于点D，根据勾股定理得出的值，再利用面积公式求出的值，由可得角的正弦值．
【详解】解：如图，过B作于点D
根据勾股定理得：
∴
∴
∴
故选：B．
4．C
【分析】如图，过作，交的延长线于，证明，则，证明，则，解得，，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，过作，交的延长线于，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，解得，
∴，
∴，
故选：C．
5．D
【分析】过点作于点，根据为直角三角形可证明，求出，求出，再由比例线段可求出，长，则答案可求出．
【详解】解：过点作于点，
为直角三角形，
，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
，
解得，，
，
点的坐标为，．
故选：D．
6．D
【分析】根据点P在直线上的不同位置，，利用特殊角的三角函数进行求解．
【详解】如图1：
当时，，与矛盾；
如图2：
当时，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
如图3：
当时，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
如图4：
当时，，
∵，
∴，
∴
故选：D
7．A
【分析】过点D作DE垂直于CB的延长线于点E，设AC=BC=a，根据勾股定理得，由等腰直角三角形的性质得∠ABC=∠BAC=45°，从而得，在Rt△BDE中，解直角三角形得DE=2a，BE=2a，进而求得CE=BC+BE=3a即可求得．
【详解】解：过点D作DE垂直于CB的延长线于点E，如下图，
设AC=BC=a，
∵AC⊥BC，AC=BC=a，
∴，∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC=∠BAC，
∴∠ABC=∠BAC=45°，，
∴∠DBE=∠ABC=45°，
∵DE⊥CE，
∴DE=，BE=，
∴CE=BC+BE=3a，
∴，
故选：A．
8．D
【分析】过点B作BE⊥CD于点E，过点C作CF⊥AB于点F，可得△ABC，△BED，△BEC，△BCF都是直角三角形，根据sin∠BCE＝，设BE＝3a，BC＝5 a，得CE＝＝4 a，过点C作DB延长线于点G，得矩形CFBG，设AC＝x，AB＝y，然后利用勾股定理和三角形的面积可得＝，进而利用锐角三角函数即可解决问题．
【详解】解：如图，过点B作BE⊥CD于点E，过点C作CF⊥AB于点F，
∴△ABC，△BED，△BEC，△BCF都是直角三角形，
∵sin∠BCD＝，
∴sin∠BCE＝，
设BE＝3a，BC＝5a，
∴CE＝＝4a，
过点C作DB延长线于点G，得矩形CFBG，
∴BF＝CG，
设AC＝x，AB＝y，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
AB2﹣AC2＝BC2，
∴y2﹣x2＝25a2，
∵S△ABC＝AB CF＝AC BC，
∴y CF＝5ax，
∴CF＝，
在Rt△BCF中，根据勾股定理，得
BF＝＝＝，
∴BF＝CG＝，
在正方形ABDH中，AB＝BD＝y，
在Rt△BDE中，根据勾股定理，得
DE＝＝，
∴CD＝CE+ED＝4a +，
∵S△CBD＝CD BE＝BD CG，
∴CD BE＝BD CG，
∴(4a +)×3＝y×，
∴＝，
∴tan∠CDB＝tan∠EDB＝＝＝．
故选：D．
9．B
【分析】连接AC,由题意可得Rt△AOB≌Rt△DCO≌Rt△EOF≌Rt△GOH，进而说明△OAC为等腰直角三角形，再说明分CD、GI垂直平分AB，进而说明∠OBH=∠OHB=45°，然后再运用解直角三角形求得AI，然后再求得三角形AOB的面积，最后求风车面积即可．
【详解】解：如图：连接AC
由题意可得：Rt△AOB≌Rt△DCO≌Rt△EOF≌Rt△GOH
∴OA=OC, ∠OAB= ∠OCD
∵∠AOC=∠AOB=90°
∴△OAC为等腰直角三角形
又∵∠OAB= ∠OCD：
∴∠AJD=180°-∠ADJ-∠OAB
=180°-∠ODC-∠OCD=90°，即AJ⊥CD
又∵CJ=DJ
∴AJ垂直平分CD
同理：GI垂直平分AB
∴AC=AD,AJ是等腰三角形顶角∠CAD的角平分线
即∠DAJ=∠CAD=×45°=22.5°
易得IH=BJ,IJ=IB+BJ=IB+IH
又∵IB=IA
∴IJ=IB+BJ=IH+IA=
在Rt△ABO中，∠ABH=∠BAH=22.5°
∴∠OBH=OHB=45°
设OB=OH=a，即AH=BH=OB=a
∴tan∠A=
∴
设IH=（）x，AI=x
∴IH+IA==，即x=1
∴
又∵
∴
∴
∴．
故选B．
二．填空题
10．
【分析】过点作，交于点，连接，勾股定理求得，过点作，证明重合，进而勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作，交于点，连接，
则四边形是平行四边形，
∴，
∵，则
∴
∴是直角三角形，
∴
∵
∴
∵
∴
∵
过点作，
∵
∴,
∴重合，
∴
故答案为：．
11．
【分析】设，则，根据勾股定理求出，然后证明，最后根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】解∶ ∵，，
∴，
设，则，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
12．2或或
【分析】分三种情况，分别画出图形，即可求解．
【详解】解：在矩形中，，
∴，
∴，
当时，过点作于点，
则，
∴，
∴
∴，
当时，，
当时，过点作于点，
∴，，
∴，
∴，
综上所述 或或，
故答案为：或或．
13．
【分析】如图，延长交于，由菱形的性质可知，为，的平分线，则，，由题意知，为底边上的高，由菱形，，，可得，根据，计算求解，进而可得结果．
【详解】解：如图，延长交于，
由菱形的性质可知，为，的平分线，
∵，，
∴，
∴，
由题意知，为底边上的高，
∵菱形，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】延长交于点，连接，，，由已知可得为，的垂直平分线，由垂直平分线的性质和图形旋转的性质可得的结论正确；利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质计算可得，由四边形内角和定理通过计算可得；利用平行线的性质可得，则，可说明的结论正确；通过证明点，，，在以点为圆心，为半径的同一个圆上，利用圆周角定理可得，得到，，三点共线，得到为等腰直角三角形，则的结论正确；由题意点在对角线上运动，当时，的值最小，连接，解直角三角形的知识可得的结论不正确．
【详解】解：延长交于点，连接，，，如图，
正方形中，，分别是，的中点，
是线段，的垂直平分线．
，．
是绕点顺时针旋转得到，
≌，
．
．
的结论正确；
，
．
，
．
．
，
．
，
．
≌，
．
，
．
，
．
，
．
即．
，
．
．
．
的结论正确；
，，
，
，
，．
．
．
，
．
点，，，在以点为圆心，为半径的同一个圆上．
．
点在对角线上，
．
，
为等腰直角三角形．
平分，
垂直平分．
的结论正确；
由以上可知：点在正方形的对角线上运动，
当时，的值最小．
此时点与点重合，
．
的结论不正确．
综上，结论正确的序号有：，
故答案为：．
15．
【分析】设直线与轴交于点，求出点、的坐标，可得，推出，，然后求出，，，…，进而可得，，再求出即可．
【详解】解：如图所示，设直线与轴交于点，
当时，；当时，，
，，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
同理，，，……，
，，
，
故答案为：．
16．
【分析】先构造 的直角三角形，求得 的余弦和正切值；作，可求得；作，分别交直线于和，构造“一线三等角”，先求得的长，进而根据相似三角形求得，进而求得，于是得出，进一步求得结果．
【详解】解：如图1，
中，，，，
设，则，，，
，，
如图2，
作于，作，分别交直线于和，
四边形是矩形，
，
在与中，
，
，
，
同理证得，则，
四边形是平行四边形，
设，则，，
，
，
，
，
可得：，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形的周长为：，
故答案为：．
三．解答题
17．（1）原式
．
（2）原式
．
18．（1）解：∵，
∴，
在中，，，
∴；
（2）解：由（2）得，
∴，
∴，
在中，，即．
19．解：（1）设直线AC的表达式为y＝kx+b
将点A、C的坐标代入，得
得：，
解得：，
故直线AC的表达式为：y＝x+6；
（2）∵OD＝t，BE＝s，AB⊥x轴
∴则点D（t，0），点E（7，s）
∵DE∥AC
可设直线DE的解析式为y＝x+c
将点D的坐标代入
0＝t+c
解得：c=﹣t
∴直线的表达式为：y＝x﹣t，
将点E的坐标代入，得s＝2﹣t（根据点D在线段OB上，可得0＜t＜7）；
（3）存在，理由：
设点D（t，0），由（2）BE＝2﹣t，
四边形CDEF为矩形，则∠CDE＝90°，
∵∠EDB+∠CDO＝90°，∠CDO+∠OCD＝90°，
∴∠OCD＝∠BDE，
∴tan∠OCD＝tan∠BDE，
∴＝
即＝，
解得：t＝或7（因为0＜t＜7，故舍去7），
故点D的坐标为（，0）．
20．（1）如图所示，取格点E，F，连接，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，取格点D，E，
同理（1）可得，在中，，
在中，，
∴，
∴，
直线与的交点为所求的点P．
21．（1）解：由题意，得，
∴
∴，
由题意，得，
∴
∴．
（2）解：如图，过点作于，
由题意得，，
∴四边形是矩形．
．
在中，（米），
（米）．
答：距离地面的高度为米；
（3）解：∵斜坡的坡度为，
中，（米），
（米）．
∴在中，，
米．
在中，（米），
（米）．
答：宣传牌的高度约为米．
22．（1）解：如图，,
,
∵,
∴.
（2）解：如图，点A在的中垂线上，当点A向靠近时，增大，逐渐接近，腰长接近， 相应的；
当点A远离时，减小，逐渐接近，腰长逐渐增大，相应的逐渐接近0，；
∴
（3）解：如图，在上截取，过H作于D，
，
设，则，,
∴．
中，，
∴．
23．（1）解：证明：如图1，
过点作于，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）如图2，在上取一点，使，连接，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
设，则，
，，
，
，
，
；
（3）如图3，过点作于，作交的延长线于，
设，，则，
，
，
，，
，，
，
，即，
，
，
，
，
，
．
一．选择题（共9小题，满分27分，每小题3分）
1．在中，、都是锐角，且，，则是（ ）.
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
2．直角三角形纸片，两直角边，，现将纸片按如图那样折叠，使A与电B重合，折痕为，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．
3．如图，的顶点分别在单位长度为1的正方形网格的格点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，点D、E分别在上，交于F，若，，则的值为( )
A． B． C． D．
5．一块直角三角板按如图放置，顶点的坐标为，直角顶点的坐标为，，则点的坐标为（ ）
B．
C． D．
6．在中，，有一个锐角为60°，，若点P在直线上（不与点A、C重合），且，则的长为（ ）
A．6或 B．6或 C．或 D．6或或
7．如图，延长等腰斜边到，使，连接，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．
8．如图，在△ABC中，，分别以AB，AC，BC为边向外作正方形，连结CD，若，则tan∠CDB的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图1是由四个全等的直角三角形组成的“风车”图案，其中，延长直角三角形的斜边恰好交于另一直角三角形的斜边中点，得到如图2，若，则该“风车”的面积为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
10．如图，在中，，点，分别在，边上，且，，连接，，交于点，，，则的长为 ．
11．如图，在菱形中，，于点，的延长线与的延长线交于点，则 ．（表示面积）
12．如图，在矩形中，，是对角线上一动点（点不与点，重合），当是等腰三角形时， ．
13．如图，已知点P是菱形的对角线延长线上一点，过点P分别作，延长线的垂线，垂足分别为点E，F．若，，则的值为 ．
14．如图，在正方形中，，分别是，的中点，是线段上的一点，的延长线交于点，连接，，将绕点顺时针旋转得，则下列结论：，；垂直平分；若，点在边上运动，则，两点之间距离的最小值是．其中结论正确的序号有 ．
15．如图，，，，…是等边三角形，直线经过它们的顶点，，，，…，点，，，…在轴上，则线段的长度是 ．
16．如图，、、、分别是矩形的边、、、上的点，，，，，若，，则四边形的周长为 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）计算：
(1)． (2)．
18．（6分）如图，在中，于点D，若，，．
求：
(1)的长；
(2)的值．
19．（8分）（2023春·河南南阳·九年级统考期中）如图，已知点A（7，8）、C（0，6），AB⊥x轴，垂足为点B，点D在线段OB上，DE∥AC，交AB于点E，EF∥CD，交AC于点F．
（1）求经过A、C两点的直线的表达式；
（2）设OD＝t，BE＝s，求s与t的函数关系式；
（3）是否存在点D，使四边形CDEF为矩形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（8分）（1）在如图1的正方形网格图中，每个小正方形的边长为1，A，B，C，D均为格点（小正方形的顶点)． 求证：．
（2）在如图2所示的正方形网格图中，每个小正方形的边长为1，A，B，C均为格点，请你仅用无刻度的直尺在线段AC上求作一点P， 使得∠PBA=∠C，并简要说明理由．
21．（9分）如图，小明为测量宣传牌的高度，他站在距离建筑楼底部处6米远的地面处，测得宣传牌的底部的仰角为．同时测得建筑楼窗户处的仰角为（在同一直线上．）然后，小明沿坡度为的斜坡从走到处，此时正好与地面平行，小明在处又测得宣传牌顶部的仰角为．
(1)填空：__________度，__________度；
(2)求距离地面的高度（结果保留根号）；
(3)求宣传牌的高度（结果保留根号）．
22．（9分）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（），如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
(1)________．
(2)对于，的正对值的取值范围是________．
(3)如图②，已知，其中为锐角，试求的值．
23．（9分）已知：中，，D为直线上一点．
(1)如图1，于点H，若，求证：．
(2)如图2，，点D在延长线上，点E在上且，若，，求的值．
(3)如图3，D在延长线上，E为上一点，且满足：，，若，，求的长．
答案解析
一.选择题
1．B
【分析】根据特殊角的三角函数值求出，然后利用三角形内角和定理求出的度数，即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
故选：B．
2．B
【分析】根据折叠的性质得出，设，则，在中，根据勾股定理得出，列出方程求出x的值，最后根据正切的定义，即可解答．
【详解】解：∵沿折叠得到，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理可得：，
即，解得：，
∴，
故选：B．
3．B
【分析】过B作于点D，根据勾股定理得出的值，再利用面积公式求出的值，由可得角的正弦值．
【详解】解：如图，过B作于点D
根据勾股定理得：
∴
∴
∴
故选：B．
4．C
【分析】如图，过作，交的延长线于，证明，则，证明，则，解得，，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，过作，交的延长线于，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，解得，
∴，
∴，
故选：C．
5．D
【分析】过点作于点，根据为直角三角形可证明，求出，求出，再由比例线段可求出，长，则答案可求出．
【详解】解：过点作于点，
为直角三角形，
，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
，
解得，，
，
点的坐标为，．
故选：D．
6．D
【分析】根据点P在直线上的不同位置，，利用特殊角的三角函数进行求解．
【详解】如图1：
当时，，与矛盾；
如图2：
当时，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
如图3：
当时，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
如图4：
当时，，
∵，
∴，
∴
故选：D
7．A
【分析】过点D作DE垂直于CB的延长线于点E，设AC=BC=a，根据勾股定理得，由等腰直角三角形的性质得∠ABC=∠BAC=45°，从而得，在Rt△BDE中，解直角三角形得DE=2a，BE=2a，进而求得CE=BC+BE=3a即可求得．
【详解】解：过点D作DE垂直于CB的延长线于点E，如下图，
设AC=BC=a，
∵AC⊥BC，AC=BC=a，
∴，∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC=∠BAC，
∴∠ABC=∠BAC=45°，，
∴∠DBE=∠ABC=45°，
∵DE⊥CE，
∴DE=，BE=，
∴CE=BC+BE=3a，
∴，
故选：A．
8．D
【分析】过点B作BE⊥CD于点E，过点C作CF⊥AB于点F，可得△ABC，△BED，△BEC，△BCF都是直角三角形，根据sin∠BCE＝，设BE＝3a，BC＝5 a，得CE＝＝4 a，过点C作DB延长线于点G，得矩形CFBG，设AC＝x，AB＝y，然后利用勾股定理和三角形的面积可得＝，进而利用锐角三角函数即可解决问题．
【详解】解：如图，过点B作BE⊥CD于点E，过点C作CF⊥AB于点F，
∴△ABC，△BED，△BEC，△BCF都是直角三角形，
∵sin∠BCD＝，
∴sin∠BCE＝，
设BE＝3a，BC＝5a，
∴CE＝＝4a，
过点C作DB延长线于点G，得矩形CFBG，
∴BF＝CG，
设AC＝x，AB＝y，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
AB2﹣AC2＝BC2，
∴y2﹣x2＝25a2，
∵S△ABC＝AB CF＝AC BC，
∴y CF＝5ax，
∴CF＝，
在Rt△BCF中，根据勾股定理，得
BF＝＝＝，
∴BF＝CG＝，
在正方形ABDH中，AB＝BD＝y，
在Rt△BDE中，根据勾股定理，得
DE＝＝，
∴CD＝CE+ED＝4a +，
∵S△CBD＝CD BE＝BD CG，
∴CD BE＝BD CG，
∴(4a +)×3＝y×，
∴＝，
∴tan∠CDB＝tan∠EDB＝＝＝．
故选：D．
9．B
【分析】连接AC,由题意可得Rt△AOB≌Rt△DCO≌Rt△EOF≌Rt△GOH，进而说明△OAC为等腰直角三角形，再说明分CD、GI垂直平分AB，进而说明∠OBH=∠OHB=45°，然后再运用解直角三角形求得AI，然后再求得三角形AOB的面积，最后求风车面积即可．
【详解】解：如图：连接AC
由题意可得：Rt△AOB≌Rt△DCO≌Rt△EOF≌Rt△GOH
∴OA=OC, ∠OAB= ∠OCD
∵∠AOC=∠AOB=90°
∴△OAC为等腰直角三角形
又∵∠OAB= ∠OCD：
∴∠AJD=180°-∠ADJ-∠OAB
=180°-∠ODC-∠OCD=90°，即AJ⊥CD
又∵CJ=DJ
∴AJ垂直平分CD
同理：GI垂直平分AB
∴AC=AD,AJ是等腰三角形顶角∠CAD的角平分线
即∠DAJ=∠CAD=×45°=22.5°
易得IH=BJ,IJ=IB+BJ=IB+IH
又∵IB=IA
∴IJ=IB+BJ=IH+IA=
在Rt△ABO中，∠ABH=∠BAH=22.5°
∴∠OBH=OHB=45°
设OB=OH=a，即AH=BH=OB=a
∴tan∠A=
∴
设IH=（）x，AI=x
∴IH+IA==，即x=1
∴
又∵
∴
∴
∴．
故选B．
二．填空题
10．
【分析】过点作，交于点，连接，勾股定理求得，过点作，证明重合，进而勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作，交于点，连接，
则四边形是平行四边形，
∴，
∵，则
∴
∴是直角三角形，
∴
∵
∴
∵
∴
∵
过点作，
∵
∴,
∴重合，
∴
故答案为：．
11．
【分析】设，则，根据勾股定理求出，然后证明，最后根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】解∶ ∵，，
∴，
设，则，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
12．2或或
【分析】分三种情况，分别画出图形，即可求解．
【详解】解：在矩形中，，
∴，
∴，
当时，过点作于点，
则，
∴，
∴
∴，
当时，，
当时，过点作于点，
∴，，
∴，
∴，
综上所述 或或，
故答案为：或或．
13．
【分析】如图，延长交于，由菱形的性质可知，为，的平分线，则，，由题意知，为底边上的高，由菱形，，，可得，根据，计算求解，进而可得结果．
【详解】解：如图，延长交于，
由菱形的性质可知，为，的平分线，
∵，，
∴，
∴，
由题意知，为底边上的高，
∵菱形，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】延长交于点，连接，，，由已知可得为，的垂直平分线，由垂直平分线的性质和图形旋转的性质可得的结论正确；利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质计算可得，由四边形内角和定理通过计算可得；利用平行线的性质可得，则，可说明的结论正确；通过证明点，，，在以点为圆心，为半径的同一个圆上，利用圆周角定理可得，得到，，三点共线，得到为等腰直角三角形，则的结论正确；由题意点在对角线上运动，当时，的值最小，连接，解直角三角形的知识可得的结论不正确．
【详解】解：延长交于点，连接，，，如图，
正方形中，，分别是，的中点，
是线段，的垂直平分线．
，．
是绕点顺时针旋转得到，
≌，
．
．
的结论正确；
，
．
，
．
．
，
．
，
．
≌，
．
，
．
，
．
，
．
即．
，
．
．
．
的结论正确；
，，
，
，
，．
．
．
，
．
点，，，在以点为圆心，为半径的同一个圆上．
．
点在对角线上，
．
，
为等腰直角三角形．
平分，
垂直平分．
的结论正确；
由以上可知：点在正方形的对角线上运动，
当时，的值最小．
此时点与点重合，
．
的结论不正确．
综上，结论正确的序号有：，
故答案为：．
15．
【分析】设直线与轴交于点，求出点、的坐标，可得，推出，，然后求出，，，…，进而可得，，再求出即可．
【详解】解：如图所示，设直线与轴交于点，
当时，；当时，，
，，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
同理，，，……，
，，
，
故答案为：．
16．
【分析】先构造 的直角三角形，求得 的余弦和正切值；作，可求得；作，分别交直线于和，构造“一线三等角”，先求得的长，进而根据相似三角形求得，进而求得，于是得出，进一步求得结果．
【详解】解：如图1，
中，，，，
设，则，，，
，，
如图2，
作于，作，分别交直线于和，
四边形是矩形，
，
在与中，
，
，
，
同理证得，则，
四边形是平行四边形，
设，则，，
，
，
，
，
可得：，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形的周长为：，
故答案为：．
三．解答题
17．（1）原式
．
（2）原式
．
18．（1）解：∵，
∴，
在中，，，
∴；
（2）解：由（2）得，
∴，
∴，
在中，，即．
19．解：（1）设直线AC的表达式为y＝kx+b
将点A、C的坐标代入，得
得：，
解得：，
故直线AC的表达式为：y＝x+6；
（2）∵OD＝t，BE＝s，AB⊥x轴
∴则点D（t，0），点E（7，s）
∵DE∥AC
可设直线DE的解析式为y＝x+c
将点D的坐标代入
0＝t+c
解得：c=﹣t
∴直线的表达式为：y＝x﹣t，
将点E的坐标代入，得s＝2﹣t（根据点D在线段OB上，可得0＜t＜7）；
（3）存在，理由：
设点D（t，0），由（2）BE＝2﹣t，
四边形CDEF为矩形，则∠CDE＝90°，
∵∠EDB+∠CDO＝90°，∠CDO+∠OCD＝90°，
∴∠OCD＝∠BDE，
∴tan∠OCD＝tan∠BDE，
∴＝
即＝，
解得：t＝或7（因为0＜t＜7，故舍去7），
故点D的坐标为（，0）．
20．（1）如图所示，取格点E，F，连接，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，取格点D，E，
同理（1）可得，在中，，
在中，，
∴，
∴，
直线与的交点为所求的点P．
21．（1）解：由题意，得，
∴
∴，
由题意，得，
∴
∴．
（2）解：如图，过点作于，
由题意得，，
∴四边形是矩形．
．
在中，（米），
（米）．
答：距离地面的高度为米；
（3）解：∵斜坡的坡度为，
中，（米），
（米）．
∴在中，，
米．
在中，（米），
（米）．
答：宣传牌的高度约为米．
22．（1）解：如图，,
,
∵,
∴.
（2）解：如图，点A在的中垂线上，当点A向靠近时，增大，逐渐接近，腰长接近， 相应的；
当点A远离时，减小，逐渐接近，腰长逐渐增大，相应的逐渐接近0，；
∴
（3）解：如图，在上截取，过H作于D，
，
设，则，,
∴．
中，，
∴．
23．（1）解：证明：如图1，
过点作于，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）如图2，在上取一点，使，连接，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
设，则，
，，
，
，
，
；
（3）如图3，过点作于，作交的延长线于，
设，，则，
，
，
，，
，，
，
，即，
，
，
，
，
，
．