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第21章 二次根式
21.2 二次根式的乘除
第1课时 二次根式的乘法和积的算术平方根
1. 二次根式的乘法： · ＝ （ a ，
b ）.这就是说，两个算术平方根的积，等于它
们被开方数的 的算术平方根.
2. 积的算术平方根： ＝ · （ a ，
b ）.这就是说，积的算术平方根，等于各因式
算术平方根的 .
≥0
≥0
积
·
≥0
≥0
积
注意：（1）二次根式的乘法可以推广到多个二次根式
相乘： · · ＝ （ a ≥0， b ≥0， c ≥0）；
（2）如果相乘的二次根式前面有系数可以类比成单项
式乘单项式，例如：2 ×5 ＝2×5× ＝10
.
题型一 二次根式的乘法
计算：
（1） × ＝ ；
（2） × ＝ ；
（3）6 ×（－2 ）＝ ；
（4）2 ×3 × ＝ .
3
－108
48
[分析] 利用二次根式的乘法法则 · ＝ （ a
≥0， b ≥0）进行计算.
[知识归纳]运用 · ＝ （ a ≥0， b ≥0）计算时
需要注意公式成立的条件，当被开方数是一个数的平方
时需要运用 ＝ 进行化简.
1. 计算 × 的结果是（ D ）
A. B. 2 C. D. 4
2. 计算：（1） × ＝ ；
（2） × ＝ ；
（3） × （ a ≥0）＝ ；
（4） ×（－2 ）× ＝ .
D
6
2
9 a2
－36
题型二 二次根式乘法的应用
比较大小：
（1）5 与6 ；
解：∵5 ＝ ＝ ，
6 ＝ ＝ ，
∴5 ＜6 .
（2）－2 与－3 .
解：∵－2 ＝－ ＝－ ，
－3 ＝－ ＝－ ，
∴－2 ＞－3 .
[易错提示]运用二次根式的乘法只能将正数移到根号
内，如果根号外的数是负数，那么符号必须留在根号
外.
[方法归纳]比较二次根式的大小，一般常用以下方法：
①将根号外的数移到根号内，再比较被开方数的大小.
②平方比较法，先算出每个数的平方，再比较大小.除
此之外还有近似计算比较法、求差法、求商法等.
3. 比较下列各组数中两个数的大小：
（1） 2 ；
（2）－6 －7 ；
（3）2＋ ＋ .
＞
＞
＞
题型三 积的算术平方根
化简：
（1） ； （2） ；
（3） × ；
解：（1） ＝ ＝ × ＝3 .
（2） ＝ × ＝12.
（3） × ＝ ＝ ＝4 .
（4） ＝ × ＝90.
（5） ＝ × × ＝3 x4 y2.
（4） ；
（5） .
4. 下列运算正确的是（ A ）
A. ＝5
B. ＝－3
C. ＝ x
D. ＝ × ＝2
A
5. 化简：
（1） ＝ 4 ；
（2） ＝ 6 ；
（3） ＝ 4 ；
（4） · （ a ＞0， b ≥0）＝ 3 .
4
6
4
3
第21章 二次根式
21.2 二次根式的乘除
第2课时 二次根式的除法
1. 二次根式的除法： ＝ （ a ， b
）.这就是说，两个算术平方根的商，等于它们被开
方数的 的算术平方根.
2. 商的算术平方根： ＝ （ a ， b
）.这就是说，商的算术平方根，等于分子、分母算
术平方根的 .
≥0
＞
0
商
≥0
＞
0
商
3. 最简二次根式：化简后的二次根式被开方数中不
含 ，并且被开方数中所有因数（或因式）的幂
的指数都 ，像这样的二次根式称为最简二次
根式.
4. 分母有理化：为了化去分母中的根号，将分子、分母
同乘以一个恰当的二次根式，这种化简的过程称为分母
有理化.
分母
小于2
注意：（1）二次根式计算的结果中分母不含二次根
式，且二次根式为最简二次根式；
（2）若被开方数为带分数，一般先化为假分数.
题型一 二次根式的除法
计算：
（1） ； （2） ÷ ；
解：（1） ＝ ＝ ＝2.
（2） ÷ ＝ ＝ ＝2 .
（3）3 ÷ ；
解：3 ÷ ＝ ＝ .
（4） ÷ （ x ≥0）.
解： ÷ ＝ ＝ ＝2 .
1. 若 ＝ 成立，则 x 的取值范围为（ D ）
A. x ≥0 B. x ≥0或 x ＜1
C. x ＜1 D. 0≤ x ＜1
D
2. 计算：
（1） ；
解：原式＝ ×
＝ .
（2） ÷ ；
解：原式＝
＝
＝ .
（3）9 ÷ ；
解：原式＝
＝6
＝1.
（4） .
解：原式＝
＝ .
题型二 商的算术平方根
化简：
（1） ； （2） ；
解：（1） ＝ ＝ .
（2） ＝ ＝ ＝ .
（3） ； （4） （ x ≥0， y ＞0）.
解：（3） ＝ ＝ ＝ .
（4） ＝ ＝ .
[易错提示]运用 ＝ （ a ≥0， b ＞0）进行计算或化
简时，需要注意被开方数的取值范围.如果被开方数是
带分数，应先化成假分数，如 必须先化成 ，以
免出现 ＝1× 这样的错误.
3. 化简： ＝ .
4. 化简：
（1） ； （2） ；
解：（1） ＝ ＝ .
（2） ＝ ＝ ＝ .
（3）－ ； （4） （ x ≥0， y ＞0）.
解：（3）－ ＝－ ＝－ ＝－ .
（4） ＝ ＝ .
题型三 最简二次根式
下列二次根式中，是最简二次根式的个数为
（ C ）
① ；② ；③ ；④ ；
⑤ ；⑥ ；⑦－ .
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
C
5. （2024·成都七中）下列二次根式中，是最简二次根
式的是（ C ）
A. B. C. D.
C
6. 把下列各式化成最简二次根式：
（1） ；
解：原式＝ .
（2） ；
解：原式＝
＝ .
（3） （ a ＞0）；
解：原式＝
＝3 a .
（4） x2 .
解：原式＝ x2
＝ .
题型四 分母有理化
将下列各式的分母有理化：
（1） ； （2） ； （3） .
解：（1） ＝ ＝ .
（2） ＝ ＝ ＝2 ＋2.
（3） ＝ ＝ ＝ ＋ .
[知识归纳]分母有理化的关键是分子、分母同乘以一个
恰当的二次根式（有理化因式），当分母是形如
时，分子、分母同乘以 ；当分子、分母形如 ＋
时，分子、分母同乘以 － .
7. （1）化简： ＝ ＋ ；
（2）化简： ＝ ；
（3）若 x ＝ ， y ＝ ，则 x2＋ y2－ xy ＝ .
＋
17
题型五 二次根式的乘除混合运算
计算：
（1）4 ×2 ÷ ；
解：原式＝8 ÷ ＝8×3＝24.
（2）2 ÷ × ；
解：原式＝4 × ×3 ＝8×3 ＝24 .
（3） .
解：原式＝ ＝ ＝6 .
8. 计算：
（1）2÷ × ＝ ；
（2） × ÷ ＝ ；
（3） ÷ × ＝ 9 .
1
15
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第21章 二次根式
21.1 二次根式
1. 二次根式的定义：
形如 （ a ）的式子叫做二次根式.
注意： 具有双重非负性，即 a ≥0， ≥0.
2. 二次根式的性质：
（1） ≥0（ a ）；
（2）（ ）2＝ （ a ）；
（3） ＝ ＝
≥0
≥0
a
≥0
3. 与（ ）2的区别：
（1） a 的取值范围不同： 中 a 的取值范围是
；（ ）2中 a 的取值范围是 ；
（2）结果不同： ＝ ，而（ ）2＝ .
一切
实数
a ≥0
a
题型一 二次根式的定义
下列各式：① ；② ；③ ；④
；⑤ ，其中二次根式的个数为（ B ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
[分析] ① 中 x ＋1可小于0；②由 m2≥0，得 m2＋
1＞0；③－1＜0；④5＞0；⑤根指数是3，故根据二次
根式的定义即可判断.
[知识总结]形如 （ a ≥0）的式子叫做二次根式，注
意根指数是2，一般省略不写，且 a ≥0.
B
1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ C ）
A. B.
C. D.
2. （2023·陕西）下列式子： ， ， ，
， ， ， 中，一定是
二次根式的有（ B ）
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
C
B
题型二 二次根式有意义的条件
当 x 取什么实数时，下列各式有意义？
（1） ； （2） ；
解：（1）由2 x －1≥0，得 x ≥ .
∴当 x ≥ 时， 有意义.
（2）由－ x2≥0，得 x2≤0.
又∵ x2≥0，∴ x ＝0.∴当 x ＝0时， 有意义.
（3） ； （4） ＋ .
解：（3）由3－4 x ＞0，得 x ＜ .
∴当 x ＜ 时， 有意义.
（4）由得1≤ x ≤3.
∴当1≤ x ≤3时， ＋ 有意义.
[知识总结]二次根式 有意义的条件是 a ≥0，如果
根号下是分式或者式子本身有分母，需注意分母不等
于零.
3. x 取下列各数时，使得 有意义的是（ A ）
A. 0 B. －1 C. －2 D. －3
A
4. x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） ； （2） ；
（3） ＋ ；
解：（1）任意实数.
（2）由 ≥0且 x ≠0，得 x ＞0.
（3）由5－ x ≥0且 x －3≥0，得3≤ x ≤5.
（4）由 x ＋4≥0且 x －4≠0，得 x ≥－4且 x ≠4.
（5）由得 x ≤－ 且 x ≠－3.
∴ x ≤－ .
（4） ；
（5） ＋（ x ＋3）0.
题型三 二次根式的性质
计算：
（1）（－ ）2； （2） ；
解：（1） ＝ ＝5.
（2） ＝ ＝ .
（3） ＝（－2）2× ＝4×3＝12.
（4） ＝ ＝ x2.
（5） ＝ ＝ －1.
（3）（－2 ）2
（4） ；
（5） .
实数 a 、 b 在数轴上的位置如图所示，化简 ＋
的结果是 .
[分析] 由数轴可得 a ＜－1，0＜ b ＜1，则 a － b ＜0.则
＝－ a ， ＝ b － a ，故可计算.
－2 a ＋ b
5. （1）若 ＝ x －3成立，则满足的条件是
（ C ）
A. x ＞3 B. x ＜3 C. x ≥3 D. x ≤3
（2）当1＜ a ＜2时，代数式 ＋ 的
值是（ B ）
A. －1 B. 1 C. 2 a －3 D. 3－2 a
C
B
6. 计算：
（1） ＝ ；
（2）（ ）2＋1＝ ；
（3） ＝ ；
（4） ＝ .
3
4
π－3
题型四 利用 的双重非负性进行条件求值
（1）已知 a 、 b 满足（ a －1）2＋ ＝0，则 a
＋ b 的值为 ；
（2）已知 x 、 y 为实数，且 y ＝ － ＋
4，求 x － y 的值.
[分析] （2）由 x2－9≥0，9－ x2≥0，得 x2－9＝0，解得
x ＝±3， y ＝4，从而可求出 x － y 的值.
－1
解：由 x2－9≥0，9－ x2≥0，得
x2－9＝0，解得 x ＝±3.∴ y ＝4.
∴当 x ＝3， y ＝4时， x － y ＝－1；
当 x ＝－3， y ＝4时， x － y ＝－7.
综上所述， x － y 的值为－1或－7.
[知识总结]非负数的和为零，当且仅当每个数都为零
时成立，常见的非负数有：算术平方根、绝对值和偶
次幂.
7. 若 与 互为相反数，则 xy－2的值
为 .
8. 已知 a 、 b 分别为等腰三角形的两条边长，且 a 、 b 满
足 b ＝4＋ ＋ ，则该三角形的周长
为 .
2
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第21章 二次根式
21.3 二次根式的加减
1. 同类二次根式：几个二次根式化简成最简二次根式
后，如果 ，这几个二次根式就是同类
二次根式.
2. 二次根式的加减：与整式的加减相类似，通常应先把
各个二次根式化简，再将同类二次根式 .
3. 二次根式的混合运算：注意运算顺序，运用运算定律
及乘法公式可以简化运算.
被开方数相同
合并
注意：（1）判断同类二次根式前一定要先化简成最简
二次根式；
（2）计算的结果如果有二次根式一定要化简成最简二
次根式.
题型一 同类二次根式
下列各组二次根式，是同类二次根式的是
（ D ）
A. 与 B. 与
C. 与－2 D. 与
D
1. 下列二次根式中与 是同类二次根式的是（ D ）
A. B. C. D.
2. 若最简二次根式 与 是同类二次根
式，则 a 的值是 .
D
5
题型二 二次根式的加减
计算：（1） － ＋ － ；
解：原式＝3 －6 ＋ －5
＝（3 －5 ）＋
＝－2 － .
（2） － ；
解：原式＝2 － － －
＝ －
＝ － .
（3） ＋6 －2 x （ x ＞0）.
解：原式＝2 ＋3 －2
＝3 .
3. 计算： －2 ＋7 ＝ 36 .
36
（1）2 －6 ＋3 ；
解：原式＝4 －2 ＋12
＝14 .
（2）2 －6 ＋ － .
解：原式＝4 －2 ＋2 －3 ＋3
＝ ＋3 .
4. 计算：
题型三 二次根式的混合运算
计算：
（1） （ ＋ ）；
解：原式＝ × ＋ ×
＝3 ＋2 .
（2） ；
解：原式＝
＝ ×2 ＋ × ＋ ×2 ＋ ×
＝ ＋1.
（3） ÷ －6 .
解：原式＝ ÷ －6×
＝2 ÷ ＋5 ÷ －2
＝2 ＋5－2 ＝5.
计算：
（1） － ；
解：原式＝9－5－
＝9－5－3＋2
＝1＋2 .
（2）（2－ ）2 024×（2＋ ）2 025；
解：原式＝[（2－ ）（2＋ ）]2 024×（2＋ ）
＝2＋ .
（3） .
解：原式＝
＝（ ）2－
＝2－
＝6 －7.
5. 计算（3 －2 ）（ ＋ ）的结果是
（ A ）
A. 6 B. 12 C. 15 D. 30
A
6. 计算：
（1）（ － ）× ；
解：原式＝（4 －5 ）×
＝－ ×
＝－2.
（2） × ＋ ；
解：原式＝ －2 ＋1＋2 ＋5
＝ ＋6.
（3）（ － ）÷ －（ ＋1）（ －1）.
解：原式＝ － －（3－1）
＝1－ .
题型四 二次根式的化简求值
已知 a ＝2＋ ， b ＝2－ ，求下列式子的值：
（1） a2－3 ab ＋ b2； （2）（ a ＋1）（ b ＋1）.
解：（1）原式＝（ a － b ）2－ ab .
当 a ＝2＋ ， b ＝2－ 时，
原式＝ －
＝（2 ）2－（－2）＝26.
（2）当 a ＝2＋ ， b ＝2－ 时，
原式＝ ＝
＝9－6＝3.
7. 已知 x ＝ ＋ ， y ＝ － ，则 x2＋ xy ＋ y2
＝ .
11
解：∵ x ＝ ＝ ＝3－2 ，
y ＝ ＝ ＝3＋2 ，
∴ x ＋ y ＝6， xy ＝1.
∴原式＝ ＝ ＝ ＝36.
8. 化简求值：已知 x ＝ ， y ＝ ，求 ＋ ＋2
的值.
