(共20张PPT)
第22章 一元二次方程
22.2 一元二次方程的解法
22.2.4 一元二次方程根的判别式
b2－4 ac 叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号
“Δ”来表示，用它可以直接判断一元二次方程 ax2＋ bx
＋ c ＝0（ a ≠0）的实数根的情况：
当Δ 0时，方程有两个不相等的实数根；
当Δ 0时，方程有两个相等的实数根；
当Δ 0时，方程没有实数根.
＞
＝
＜
题型一 用判别式判断一元二次方程根的情况
（1）（2023·广元）关于 x 的一元二次方程2 x2－3
x ＋ ＝0根的情况，下列说法中正确的是（ C ）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D. 无法确定
C
（2）下列关于 x 的方程一定有实数解的是（ C ）
A. x2－ x ＋2＝0 B. x2－2 x ＋1＝0
C. x2－ mx －1＝0 D. x2－ x － m ＝0
C
（3）关于 x 的一元二次方程 x2－（ m ＋1） x ＋3 m －6
＝0根的情况是（ C ）
A. 有两个相等的实数根
B. 有两个不相等的实数根
C. 有两个实数根
D. 没有实数根
[知识总结]当 a 、 c 的符号相反时，该方程一定有两个不
相等的实数根.
C
1. 一元二次方程2 x2－5 x ＋6＝0的根的情况为
（ A ）
A. 无实数根
B. 有两个不相等的实数根
C. 有两个相等的实数根
D. 不能确定
A
2. 关于 x 的一元二次方程 x2－（ m －1） x ＋（ m －
3）＝0.求证：无论 m 取何值，方程总有两个不相等
的实数根.
证明：Δ＝[－（ m －1）]2－4×1×（ m －3）
＝ m2－2 m ＋1－4 m ＋12
＝ m2－6 m ＋9＋4
＝（ m －3）2＋4＞0，
∴无论 m 取何值，方程总有两个不相等的实数根.
题型二 根据根的情况确定字母的值或取值范围
（1）（2023·兰州）关于 x 的一元二次方程 x2＋ bx
＋ c ＝0有两个相等的实数根，则 b2－2 的值为
（ A ）
A. －2 B. 2
C. －4 D. 4
A
（2）（2023·眉山）关于 x 的一元二次方程 x2－2 x ＋ m
－2＝0有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是
（ D ）
A. m ＜ B. m ＞3
C. m ≤3 D. m ＜3
D
（3）（2023·锦州）若关于 x 的一元二次方程 kx2－2 x ＋
3＝0有两个实数根，则 k 的取值范围是（ D ）
A. k ＜ B. k ≤
C. k ＜ 且 k ≠0 D. k ≤ 且 k ≠0
D
已知关于 x 的一元二次方程（ a －3） x2－4 x ＋3＝
0有两个不相等的实数根.
（1）求 a 的取值范围；
解：（1）∵关于 x 的一元二次方程（ a －3） x2－4 x ＋3
＝0有两个不相等的实数根，
∴
解得 a ＜ 且 a ≠3.
（2）当 a 取最大整数值时，△ ABC 的三条边长均满足
关于 x 的一元二次方程（ a －3） x2－4 x ＋3＝0，求△
ABC 的周长.
解：（2）由（1），得 a 的最大整数值为4，
∴ x2－4 x ＋3＝0，
解得 x1＝1， x2＝3.
∵△ ABC 的三条边长均满足关于 x 的一元二次方程（ a
－3） x2－4 x ＋3＝0，
∴①三边都为1，则△ ABC 的周长为3；
②三边都为3，则△ ABC 的周长为9；
③三边分别为1、1、3，
∵1＋1＜3，∴不能构成三角形；
④三边分别为1、3、3，则△ ABC 的周长为7.
故△ ABC 的周长为3或7或9.
[知识总结]对于一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a
≠0），由 b2－4 ac 的值的正负，可直接判断方程根的情
况，反过来，根据方程根的情况，可以确定根的判别式
的取值情况.根据一元二次方程根的情况求待定字母的
值或范围需注意一元二次方程的二次项系数不为零.
3. （2023·聊城）若一元二次方程 mx2＋2 x ＋1＝0有实
数根，则 m 的取值范围是（ D ）
A. m ≥－1 B. m ≤1
C. m ≥－1且 m ≠0 D. m ≤1且 m ≠0
D
4. 已知关于 x 的一元二次方程（ a ＋ c ） x2＋2 bx ＋（ a
－ c ）＝0有两个相等的实数根，其中 a 、 b 、 c 分别为△
ABC 三边的长，则△ ABC 是 三角形.
直角
题型三 根的判别式的综合运用
若一元二次方程 x2－2 x － m ＝0无实数根，则一次
函数 y ＝（ m ＋1） x ＋ m －1的图象不经过第几象限
（ D ）
A. 四 B. 三 C. 二 D. 一
D
关于 x 的一元二次方程（ a －3） x2＋4 x －1＝0有
两个实数根，且关于 x 的分式方程 ＋ ＝ a 有整数
解，则符合条件的整数 a 的和为（ A ）
A. 1 B. 2 C. 6 D. 7
A
5. 若关于 x 的方程 x2＋ x － a ＋ ＝0有两个不相等的实数
根，则一次函数 y ＝（ a －1） x － a 的大致图象是
（ D ）
A
B
D
C
D
6. 关于 x 的一元二次方程（ a －2） x2＋4 x －6＝0有实数
根，且关于 x 的不等式组无解，则符合条
件的整数 a 的积为（ C ）
A. 20 B. 12 C. 60 D. 120
C(共16张PPT)
第22章 一元二次方程
22.2 一元二次方程的解法
22.2.1 直接开平方法和因式分解法
1. 用直接开平方法解方程 x2＝ a （ a ）的解
为 .
2. 用因式分解法解一元二次方程时，是将方程左边化
为 的乘积，右边为0的形式，然后令
每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程，再求解.
≥0
x ＝±
两个一次因式
题型一 用直接开平方法解一元二次方程
用直接开平方法解下列方程：
（1）2 x2－32＝0；（2）4（ x －3）2－25＝0.
解：（1）移项，得2 x2＝32.
方程两边同时除以2，得 x2＝16.
直接开平方，得 x ＝±4.
∴ x1＝4， x2＝－4.
（2）移项，得4（ x －3）2＝25.
方程两边同时除以4，得（ x －3）2＝ .
直接开平方，得 x －3＝± .
∴ x1＝ ， x2＝ .
[技巧归纳]用直接开平方法解一元二次方程，先将方程
化成 x2＝ a （ a ≥0）或（ x ＋ n ）2＝ a （ a ≥0）的形
式，然后根据平方根求解.注意有两个根.
1. 一元二次方程（ x ＋6）2＝16可转化为两个一元一次
方程，其中一个一元一次方程是 x ＋6＝4，则另一个一
元一次方程是（ D ）
A. x －6＝－4 B. x －6＝4
C. x ＋6＝4 D. x ＋6＝－4
D
2. 解下列方程：
（1）4 x2－9＝0；
解： x1＝ ， x2＝－ .
（2）（3 x －1）2＝5.
解： x1＝ ， x2＝ .
题型二 用因式分解法解一元二次方程
解下列方程：
（1）4 x2＝12 x ； （2）（ x －2）2＝2 x －4；
解：（1）移项，得4 x2－12 x ＝0.
方程左边分解因式，得4 x （ x －3）＝0.
∴ x ＝0或 x －3＝0.得 x1＝0， x2＝3.
（2）移项，得（ x －2）2－2 x ＋4＝0.
方程左边分解因式，得（ x －2）（ x －4）＝0.
∴ x －2＝0或 x －4＝0.得 x1＝2， x2＝4.
（3）4 x2－（ x －1）2＝0；
（4）（ x ＋3）（ x ＋1）＝6 x ＋2.
解：（3）原方程可化为[2 x －（ x －1）][2 x ＋（ x －
1）]＝0.
整理，得（ x ＋1）（3 x －1）＝0.
∴ x ＋1＝0或3 x －1＝0.得 x1＝－1， x2＝ .
（4）整理，得 x2－2 x ＋1＝0，即（ x －1）2＝0，
∴ x1＝ x2＝1.
[思维点拨]运用因式分解法解方程的关键是将方程分解
成两个一次因式的乘积的形式，由乘积等于零，得到两
个因式中至少有一个等于零，从而将一元二次方程“降
次”，转化为一元一次方程求解.
3. 一元二次方程4 x （ x ＋2）＝ x ＋2的解为
.
x1＝－2，
x2＝
（1）3 x2＋6 x ＝0；
解： x1＝0， x2＝－2.
（2）9 x2－6 x ＋1＝0；
解： x1＝ x2＝ .
（3）5 x （ x －3）＝2 x －6；
解： x1＝3， x2＝ .
（4）（3 x －2）2－（ x ＋1）2＝0.
解： x1＝ ， x2＝ .
4. 解下列方程：
题型三 用因式分解法解 x2＋ px ＋ q ＝0型的一元二次
方程（选学）
我们知道（ x ＋ a ）（ x ＋ b ）＝ x2＋（ a ＋ b ） x ＋
ab ，于是 x2＋（ a ＋ b ） x ＋ ab ＝0就可转化为（ x ＋
a ）·（ x ＋ b ）＝0的形式，可得方程的解为 x ＝－ a 或 x
＝－ b .比如：（ x －2）（ x ＋4）＝ x2＋2 x －8，所以 x2
＋2 x －8＝0可以转化为（ x －2）（ x ＋4）＝0，解得 x1
＝2， x2＝－4.
请你仿照上面的方法解下列方程：
（1） x2－3 x －4＝0；（2） x2－7 x ＋6＝0.
解：（1）原方程可变形为（ x －4）（ x ＋1）＝0，
即 x －4＝0或 x ＋1＝0.
解得 x1＝4， x2＝－1.
（2）原方程可变形为（ x －6）（ x －1）＝0，
即 x －6＝0或 x －1＝0.
解得 x1＝6， x2＝1.
5. 方程 x2＋4 x ＋3＝0的两个根为（ D ）
A. x1＝1， x2＝3 B. x1＝－1， x2＝3
C. x1＝1， x2＝－3 D. x1＝－1， x2＝－3
6. 若菱形两条对角线的长度是方程 x2－6 x ＋8＝0的两
根，则该菱形的边长为（ A ）
A. B. 4 C. 25 D. 5
D
A
7. 解下列方程：
（1） x2＋7 x ＋10＝0；
（2） x2－24＝2 x .
解： x1＝－4，
x2＝6.
解： x1＝－2，
x2＝－5.(共35张PPT)
第22章 一元二次方程
22.3 实践与探索
第1课时 利用一元二次方程解决面积问题及增长率问题
1. 列一元二次方程解决实际问题的一般步骤：
（1）审题，找等量关系；
（2）设未知数，注意单位；
（3）列出符合题意的方程；
（4）解方程；
（5）检验解是否符合题意及实际意义并作答.
2. 列一元二次方程解决几何图形问题，主要是根据周
长、面积、体积公式等列方程.
例如：如图，将一块正方形的铁皮四角各剪去一个边长
为4 cm的小正方形，做成一个无盖的盒子.已知盒子的
容积是400 cm3，求原铁皮的边长.若设原铁皮的边长为 x
cm，则可得方程为 .
（ x －8）2×4＝400
3. 列一元二次方程解决平均增长率问题，可以运用公式
a （1± x ）2＝ b ，其中 a 是变化前的数量， b 是变化后
的数量.
例如：某村的粮食产量，平均每年的增长率为 x ，第一
年的产量为6万千克，第二年的产量为 万
千克，第三年的产量为 万千克.若第三
年的总产量为7.26万千克，则可列方程为
.
6（1＋ x ）
6（1＋ x ）2
6（1＋ x ）2
＝7.26
题型一 列一元二次方程解决几何问题
如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易
矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙
长为19 m），另外三边利用学校现有总长38 m的铁栏围
成.
（1）若围成的面积为180 m2，试求出自行车车棚的长
和宽；
解：（1）设 AB ＝ x m，则 BC ＝（38－2 x ）m.
根据题意，得 x （38－2 x ）＝180，
解得 x1＝10， x2＝9.
当 x ＝10时，38－2 x ＝18；
当 x ＝9时，38－2 x ＝20，而可利用墙
长为19 m，不合题意，舍去.
答：自行车车棚的长和宽分别为18m、10 m.
（2）能围成面积为200 m2的自行车车棚吗？如果能，
请你给出设计方案；如果不能，请说明理由.
解：（2）不能，理由如下：
设 AB ＝ y m，则 BC ＝（38－2 y ）m.
根据题意，得 y （38－2 y ）＝200，
整理，得 y2－19 y ＋100＝0.
Δ＝ b2－4 ac ＝361－400＝－39＜0，
故此方程没有实数根.
∴不能围成面积为200 m2的自行车车棚.
[知识总结]列一元二次方程解应用题的关键是找出相等
关系，设适当的未知数，用含未知数的代数式表示出相
等关系，列出方程求解.
1. 在一幅长80 cm、宽50 cm的矩形风景画的四周镶一条
金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面
积是5 400 cm2，设金色纸边的宽为 x cm，则 x 满足的方
程是（ B ）
A. x2＋130 x －1 400＝0
B. x2＋65 x －350＝0
C. x2－130 x －1 400＝0
D. x2－65 x －350＝0
B
2. 准备在一块长为30 m、宽为24 m的长方形花圃内修建
四条宽度相等，且与各边垂直的小路（如图所示），四
条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小
路宽度的4倍，若四条小路所占面积为80 m2，则小路的
宽度为 .
（第2题）
m
3. 如图，在△ ABC 中，∠ B ＝90°， AB ＝6 cm， BC ＝8
cm.点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以1 cm/s的速度移
动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以2 cm/s的速度移
动，点 P 、 Q 分别从点 A 、 B 同时出发.
（1）经过几秒，△ PBQ 的面积等于8 cm2？
（第3题）
解：（1）设经过 x s，△ PBQ 的面积等于8
cm2.根据题意，得 （6－ x ）·2 x ＝8.
解得 x1＝2， x2＝4.
经检验， x1、 x2均符合题意.
故经过2 s或4 s，△ PBQ 的面积等于8 cm2.
（第3题）
（第3题）
（2）线段 PQ 能否将△ ABC 分成面积相等的两部分？
若能，请求出运动时间；若不能，请说明理由.
解：（2）不能.理由如下：
设经过 y s，线段 PQ 将△ ABC 分成面积相等
的两部分，根据题意，得
S△ ABC ＝ ×6×8＝24（cm2）.
∴ （6－ y ）·2 y ＝12，即 y2－6 y ＋12＝0.
∵Δ＝36－4×12＝－12＜0，
（第3题）
∴此方程无实数根.
∴线段 PQ 不能将△ ABC 分成面积相等
的两部分.
题型二 列一元二次方程解决平均增长率问题
习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活
力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气.”某校为
响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校
图书馆.据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月
增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的
月平均增长率相同.
（1）求进馆人次的月平均增长率；
解：（1）设进馆人次的月平均增长率为 x ，由题意，得
128＋128（1＋ x ）＋128（1＋ x ）2＝608，
化简，得4 x2＋12 x －7＝0，
解得 x ＝0.5＝50％或 x ＝－3.5（舍去）.
答：进馆人次的月平均增长率为50％.
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500
人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图
书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由.
解：（2）第四个月的进馆人次为
128（1＋50％）3＝128× ＝432＜500.
答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次.
[知识总结]增长（降低）率的问题利用公式 a （1± x ）2
＝ b [其中 a 为初始数量， b 为增（或减）后的数量].
4. 两年前生产某种药品的成本是65 400元，现在生产该
种药品的成本是55 300元.设该种药品成本的年平均下降
率为 x ，则可列方程为（ D ）
A. 55 300（1＋ x ）2＝65 400
B. 65 400（1＋ x ）2＝55 300
C. 55 300（1－ x ）2＝65 400
D. 65 400（1－ x ）2＝55 300
D
5. 德尔塔（Delta）是一种传染性极强的毒株.某地有1人
感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染
后，一共有144人感染了德尔塔病毒，设每轮传染中平
均一个人传染了 x 个人.
（1）用含 x 的代数式表示：经过第一轮传染后，共有多
少人感染了德尔塔病毒？
解：（1）∵每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，
∴经过第一轮传染后，共有（1＋ x ）人感染了德尔
塔病毒.
（2）列方程求解：在每轮传染中，平均一个人传染了
几个人？
解：（2）根据题意，得1＋ x ＋ x （1＋ x ）＝144，
整理，得 x2＋2 x －143＝0，
解得 x1＝11， x2＝－13（不合题意，舍去）.
答：在每轮传染中，平均一个人传染了11个人.
（3）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后，一
共有多少人感染德尔塔病毒？
解：（3）144＋11×144＝1 728（人）.
答：经过三轮传染后，一共有1 728人感染德尔塔病毒.
第22章 一元二次方程
22.3 实践与探索
第2课时 利用一元二次方程解决利润问题
利用一元二次方程解决营销问题：
（1）单件利润＝售价－ ；
（2）利润率＝ ；
（3）售价＝进价×（1＋利润率）；
（4）商品的总利润＝单件商品的利润×
＝总收入－总支出.
进价（成本价）
×100％
销售数量
题型一 列一元二次方程解决利润问题
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20
件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利尽快减少
库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，如
果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若
商场平均每天盈利2 100元，每件衬衫应降价多少元？
请完成下列问题：
（1）未降价之前，该商场衬衫平均每天的总盈利
为 元；
900
解：（1）20×45＝900（元）.
故答案为900.
（2）设该商场每件衬衫应降价 x 元，则降价后每件衬衫
盈利 元，平均每天可售出
件；（用含 x 的代数式表示）
（3）在（2）的条件下，请列出方程，求出 x 的值.
（3）由题意，得（45－ x ）（20＋4 x ）＝2 100，
解得 x1＝10， x2＝30.
因尽快减少库存，故 x ＝30.
答：每件衬衫应降价30元.
（45－ x ）
（20＋4
x ）
1. 李华在淘宝网上开了一家羽毛球拍专卖店，平均每天
可销售20个，每个盈利40元.若每个降价1元，则每天可
多销售5个.如果每天要盈利1 700元，每个应降价
元.（要求每个降价幅度不超过15元）
2. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天销售出20件，每
件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库
存，商场决定采取降价措施.经调查发现，如果衬衫每
降价5元，商场平均每天就可多售出10件.
6
（1）如果衬衫每降价4元，则商场平均每天可盈利多
少元？
解：（1） ×10＝8（件），
（40－4）×（20＋8）＝1 008（元）.
答：每降价4元，商场平均每天可盈利1 008元.
（2）若商场平均每天要想盈利1 200元，每件衬衫应降
价多少元？
解：（2）设每件衬衫应降价 x 元.根据题意，得
（40－ x ）（20＋2 x ）＝1 200，
解得 x1＝20， x2＝10.
因为要尽快减少库存，所以 x ＝20.
答：每件衬衫应降价20元.
题型二 列一元二次方程解决其他问题
在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比
赛一场，共比赛36场.设有 x 个队参赛，根据题意，可列
方程为（ A ）
A. x （ x －1）＝36 B. x （ x ＋1）＝36
C. x （ x －1）＝36 D. x （ x ＋1）＝36
A
3. 某校进行体操队列训练，原有8行10列，后增加40
人，使得队伍增加的行数、列数相同，求增加的行数或
列数.设增加了 x 行或列，则可列方程为（ D ）
A. （8－ x ）（10－ x ）＝8×10－40
B. （8－ x ）（10－ x ）＝8×10＋40
C. （8＋ x ）（10＋ x ）＝8×10－40
D. （8＋ x ）（10＋ x ）＝8×10＋40
D
（第4题）
4. 某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划
以每桶55元的价格销售，在一场防控病毒活动中，该药店决定降价销售.已知这种消毒液
销售量 y （桶）与每桶降价 x （元）
（0＜ x ＜20）之间满足一次函数
关系，其图象如图所示：
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；
解：（1）设 y 与 x 之间的函数关系
式为 y ＝ kx ＋ b ，
将（1，110）、（3，130）代入
一次函数表达式，得
解得
∴ y 与 x 之间的函数关系式为 y ＝
10 x ＋100.
（第4题）
（2）在这场防控活动中，该药店仅获利1 760元.这种消
毒液每桶实际售价为多少元？
解：（2）根据题意，得
（10 x ＋100）×（55－ x －35）
＝1 760，
整理，得 x2－10 x －24＝0.
解得 x1＝12， x2＝－2（舍去）.
∴55－ x ＝43.
（第4题）
答：这种消毒液每桶实际售价为43元.(共18张PPT)
第22章 一元二次方程
22.2 一元二次方程的解法
22.2.2 配方法
1. 配方法：
通过对一元二次方程的简单变形，将左边配成一个含有
未知数的 ，右边是一个 ，
从而可以直接开平方求解.这种解一元二次方程的方法
叫做配方法.
完全平方式
非负常数
2. 用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）“化”：二次项系数化为1；
（2）“移”：把常数项移到方程的右边；
（3）“配”：两边同时加上一次项系数一半的平方；
（4）“解”：再用直接开平方法求解.
题型一 将一元二次方程进行配方变形
（1）将一元二次方程 x2－8 x －5＝0化成（ x ＋
a ）2＝ b 的形式正确的是（ C ）
A. （ x ＋4） 2＝21 B. （ x －4） 2＝11
C. （ x －4） 2＝21 D. （ x －8） 2＝69
C
（2）在横线上填上适当的数使等式成立：
① x2－8 x ＋ ＝（ x － ）2；
② x2＋2 x － ＝（ x ＋ ）2－2.
[易错提示]注意配方时，方程两边要同时加上一次项系
数一半的平方.
16
4
1
1
1. （2023·新疆）用配方法解一元二次方程 x2－6 x ＋8＝
0，配方后得到的方程是（ D ）
A. ＝28 B. ＝28
C. ＝1 D. ＝1
D
2. 一元二次方程 x2－2 x ＋ m ＝0配方后得（ x －1）2＝
n ，则 m ＋ n 的值是 .
1
题型二 用配方法解一元二次方程
用配方法解下列方程：
（1） x2－2 x －35＝0； （2） x2－4 x ＋6＝0；
解：（1）移项，得 x2－2 x ＝35.
配方，得 x2－2 x ＋12＝35＋12，即（ x －1）2＝36.
直接开平方，得 x －1＝±6.∴ x1＝7， x2＝－5.
（2）移项，得 x2－4 x ＝－6.
配方，得 x2－4 x ＋（2 ）2＝－6＋（2 ）2，
即（ x －2 ）2＝2.
直接开平方，得 x －2 ＝± .
∴ x1＝3 ， x2＝ .
（2） x2－4 x ＋6＝0；
（3）2 x2－8 x －1＝0；
解：（3）方程两边同时除以2，得 x2－4 x － ＝0.
移项，得 x2－4 x ＝ .
配方，得 x2－4 x ＋22＝ ＋22，即（ x －2）2＝ .
直接开平方，得 x －2＝± .
∴ x1＝2＋ ， x2＝2－ .
（4）方程整理，得 x2－ x ＝1，
配方，得 x2－ x ＋ ＝1＋ ，
即 ＝ .
直接开平方，得 x － ＝± .∴ x1＝3， x2＝－ .
（4） x2－4 x － ＝0.
3. 一元二次方程 x2＋4 x ＋1＝0配方后可化为（ C ）
A. （ x ＋2）2＝5 B. （ x －2）2－5＝0
C. （ x ＋2）2＝3 D. （ x －2）2－3＝0
C
4. 解下列方程：
（1） x2－4 x ＋1＝0；
解： x1＝2＋ ，
x2＝2－ .
（2）2 x2＋ x ＝5 x ＋5；
解： x1＝1＋ ，
x2＝1－ .
（3）3 x2－6 x －2＝0；
解： x1＝1＋ ，
x2＝1－ .
（4）－ x2＋ x － ＝0.
解： x1＝ ，
x2＝ .
题型三 配方法的应用
（1）已知 A ＝2 a －7， B ＝ a2－4 a ＋3.
求证： B － A ＞0；
证明：（1）∵ B － A ＝ a2－4 a ＋3－2 a ＋7＝ a2－6 a ＋
10＝（ a －3）2＋1＞0，
∴ B － A ＞0.
（2）利用配方法证明：无论 x 取何实数值，代数式－ x2
－ x －1的值总是负数，并求它的最大值.
证明：（2）－ x2－ x －1＝－ ＋ －1
＝－ － .
∵－ ≤0，∴－ － ≤－ ＜0.
即无论 x 取何实数值，代数式－ x2－ x －1的值总是负
数，当 x ＝－ 时，－ x2－ x －1有最大值－ .
[技巧归纳]解决此类问题时，先将多项式通过配方变成
含完全平方的形式，然后根据平方的非负性求证.
5. 已知 a 、 b 满足2 a2＋ b2－6 b －4 a ＋11＝0，则 a ＋ b 的
值是 .
6. 用配方法说明代数式 x2－4 x ＋5的值不小于1.
解： x2－4 x ＋5＝（ x －2）2＋1.
∵无论 x 取何值，（ x －2）2≥0，
∴（ x －2）2＋1≥1，
即 x2－4 x ＋5的值不小于1.
4 (共16张PPT)
第22章 一元二次方程
22.2 一元二次方程的解法
*22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系
1. 一元二次方程的根与系数的关系：
若 x1、 x2是一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）的两
个根，则 x1＋ x2＝ － ， x1 x2＝ .
注意： b2－4 ac ≥0时才有根与系数的关系.
－
2. 一些常见的关于两根代数式的变形：
（1） ＋ ＝（ x1＋ x2）2－2 x1 x2.
（2）（ x1＋ a ）（ x2＋ a ）＝ x1 x2＋（ x1＋ x2） a ＋ a2.
（3） ＋ ＝ ＝ .
（4） x2＋ x1 ＝ x1 x2（ x1＋ x2）.
（5） ＝
＝ .
注意：根与系数的关系（韦达定理）成立的两个重要前
提：①一般式；②判别式Δ＝ b2－4 ac ≥0.
题型一 运用根与系数的关系求代数式的值
已知关于 x 的方程3 x2－ x －4＝0，两根为 x1、 x2，
不解方程，求下列式子的值：
（1） ＋ ＝ ；
（2） ＋ ＝ － ；
（3）（ x1＋1）（ x2＋1）＝ ；
（4） ＋ ＝ － .
－
0
－
[知识总结]运用一元二次方程的根与系数的关系求值，
一般需将所求代数式进行适当变形，然后将方程的两根
之和与两根之积代入求值.
1. 关于 x 的一元二次方程3 x2－2 x ＋ m ＝0有两根，其中
一根为 x ＝1，则这两根之积为（ D ）
A. B. C. 1 D. －
2. （1）（2023·宜昌）已知 x1、 x2是方程2 x2－3 x ＋1＝
0的两根，则代数式 的值为 ；
D
1
（2）已知 m 、 n 是方程 x2＋2 x －3＝0的两个根，则
＋ ＝ .
题型二 运用根与系数的关系求参数的值
已知关于 x 的一元二次方程 x2－2 x ＋ m －1＝0有两
个实数根 x1、 x2.
（1）求 m 的取值范围；
解：（1）∵原方程有两个实数根，
∴Δ＝（－2）2－4（ m －1）≥0，即4－4 m ＋4≥0，
解得 m ≤2.
（2）∵ ＋ ＝6 x1 x2，∴（ x1＋ x2）2＝8 x1 x2.
又∵ x1＋ x2＝2， x1 x2＝ m －1，
∴4＝8（ m －1），解得 m ＝ .
∵ ＜2，∴ m 的值为 .
（2）当 ＋ ＝6 x1 x2时，求 m 的值.
[易错提示]运用一元二次方程根与系数的关系求值的前
提是一元二次方程有实数根，所以一般在求出字母的值
后，应代回原方程看该方程是否有实数根.
3. 若α、β是关于 x 的一元二次方程 x2－2 x ＋ m ＝0的两
个实数根，且 ＋ ＝－ ，则 m 等于（ B ）
A. －2 B. －3 C. 2 D. 3
B
4. （1）（2023·达州）已知 x1、 x2是方程2 x2＋ kx －2＝
0的两个实数根，且 ＝10，则 k 的值
为 ；
（2）（2023·黄冈）已知一元二次方程 x2－3 x ＋ k ＝0的
两个实数根为 x1、 x2，若 x1 x2＋2 x1＋2 x2＝1，则实数 k
＝ .
7
－5
5. 已知：关于 x 的一元二次方程 x2－（2 m ＋1） x ＋ m2
＋ m ＝0.
（1）求证：无论 m 取何值时，方程总有两个不相等的
实数根；
（1）证明：∵Δ＝[－（2 m ＋1）]2－4（ m2＋ m ）＝1
＞0，
∴不论 m 取何值，方程总有两个不相等的实数根.
（2）当矩形 ABCD 的对角线 AC 长为5，且矩形两条边
AB 和 BC 恰好是这个方程的两个根时，求矩形 ABCD 的
面积.
（2）解：∵矩形两条边 AB 和 BC 恰好是这个方程的两
个根，
∴ AB ＋ BC ＝2 m ＋1， AB · BC ＝ m2＋ m .
∵矩形 ABCD 的对角线 AC 长为5，
∴ AB2＋ BC2＝25，
∴（ AB ＋ BC ）2－2 AB · BC ＝25，
即（2 m ＋1）2－2（ m2＋ m ）＝25，
整理，得 m2＋ m －12＝0，
即 m2＋ m ＝12，
∴ S矩形 ABCD ＝ AB · BC ＝ m2＋ m ＝12，
则矩形 ABCD 的面积为12.(共16张PPT)
第22章 一元二次方程
22.2 一元二次方程的解法
22.2.3 公式法
1. 一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0），当 b2－4 ac
≥0时，方程的根为 ，此公式也称为
求根公式.将一元二次方程中系数 a 、 b 、 c 的值，直接
代入这个公式，就可以求得方程的根.这种解一元二次
方程的方法叫做公式法.
x ＝
2. 利用一元二次方程求根公式解方程的步骤：
（1）把方程化为一般形式；
（2）确定 a 、 b 、 c 的值；
（3）计算 b2－4 ac 的值；
（4）当 b2－4 ac ≥0时，把 a 、 b 、 c 的值代入一元二次
方程的求根公式，求得方程的根；当 b2－4 ac ＜0时，方
程没有实数根.
题型一 用公式法解一元二次方程
用公式法解下列方程：
（1） x2－4 x －7＝0；
解：（1） a ＝1， b ＝－4， c ＝－7，
b2－4 ac ＝（－4）2－4×1×（－7）＝44＞0，
所以 x ＝ ＝ ＝2± ，
即 x1＝2＋ ， x2＝2－ .
（2）将方程化为一般形式，得5 x2－4 x －1＝0.
a ＝5， b ＝－4， c ＝－1，
b2－4 ac ＝（－4）2－4×5×（－1）＝36＞0，
所以 x ＝ ＝ ，即 x1＝1， x2＝－ .
（2）5 x2－3 x ＝ x ＋1；
解：（3） a ＝1， b ＝－ ， c ＝1，
b2－4 ac ＝（－ ）2－4×1×1＝－2＜0，
所以原方程无解.
（3） x2－ x ＋1＝0；
（4）3 x （ x －3）＝2（ x －1）（ x ＋1）.
（4）将方程化为一般形式，得 x2－9 x ＋2＝0.
a ＝1， b ＝－9， c ＝2，
b2－4 ac ＝（－9）2－4×1×2＝73＞0，
所以 x ＝ ，
即 x1＝ ， x2＝ .
1. 用公式法解一元二次方程 x2＋3 x ＝1，其中 b2－4 ac 的
值为（ C ）
A. 5 B. 2 C. 13 D. 10
C
2. 用公式法解下列方程：
（1） x2－4 x ＋2＝0；
解： x1＝2＋ ，
x2＝2－ .
（2）3 x2＋5 x －2＝0；
解： x1＝－2，
x2＝ .
（3） y2＝2 y －2；
解： y1＝ ＋1，
y2＝ －1.
（4）（ x ＋2）2＝2 x ＋1.
解：原方程无解.
题型二 选择合适的方法解一元二次方程
我们已经学习了一元二次方程的四种解法：直接
开平方法、因式分解法、配方法和公式法.请你选择适
当的方法解下列方程：
（1） x2－3 x －5＝0；
解： a ＝1， b ＝－3， c ＝－5，
b2－4 ac ＝（－3）2－4×1×（－5）＝29＞0，
∴ x ＝ ＝ ，
即 x1＝ ， x2＝ .
（2）（ x －2）2＝3；
解：两边直接开平方，得 x －2＝± .
∴ x1＝2＋ ， x2＝2－ .
（3）3 x ＋6＝（ x ＋2）2；
解：原方程可变形为3（ x ＋2）－（ x ＋2）2＝0.
方程左边分解因式，得（ x ＋2）（1－ x ）＝0.
∴ x ＋2＝0或1－ x ＝0.∴ x1＝－2， x2＝1.
（4） x2－2 x ＝9.
解：配方，得 x2－2 x ＋1＝9＋1，
即（ x －1）2＝10.
直接开平方，得 x －1＝± .
∴ x1＝1＋ ， x2＝1－ .
3. 关于 x 的一元二次方程 x2－5 x ＋ p2－2 p ＋5＝0的一个
根为1，则实数 p 的值是（ C ）
A. 4 B. 0或2 C. 1 D. －1
C
4. 用适当的方法解下列方程：
（1） x2－2 x －3＝0；
解： x1＝3，
x2＝－1.
（2）（ x ＋ ）2＝（ －1）2；
解： x1＝1－2 ，
x2＝－1.
（3）3 x2－5 x ＋1＝0；
解： x1＝ ，
x2＝ .
（4）（ x － ）2＝4 x －4 .
解： x1＝ ，
x2＝4＋ .(共24张PPT)
第22章 一元二次方程
22.1 一元二次方程
1. 一元二次方程的概念：
等号两边都是 ，只含有 个未知数（一
元），并且未知数的最高次数是 （二次）的方
程，叫做一元二次方程.
整式
一
2
注意：判断一元二次方程的三个条件（首先要化简，使
方程的右边为0）：
（1）只含有 个未知数；
（2）未知数的最高次数是 ；
（3） 方程.
一
2
整式
2. 一元二次方程的一般形式：
一元二次方程的一般形式是 （ a 、
b 、 c 是已知数， a ）.
其中， 是二次项， 是二次项系
数； 是一次项， 是一次项系数； 是
常数项.
ax2＋ bx ＋ c ＝0
≠0
ax2
a
bx
b
c
注意：（1）在一元二次方程的一般形式中， a ≠0是一
个非常重要的条件， b 、 c 可以为0；
（2）在写各项及系数时，一定不要漏掉各项系数前面
的符号.
3. 一元二次方程的解（根）：
使方程左右两边 的未知数的值就是这个一元
二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方
程的根.
相等
题型一 一元二次方程的定义
下列方程：
①－ x2＋2＝0； ②2 x2－3 x ＝0；
③－3 x2＝0； ④ x2＋ ＝0；
⑤ ＋5 x ＝0；
⑥2 x2－1＝2（ x －2）（ x ＋1）＋5 x ，
其中是一元二次方程的有（ C ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
C
[方法指导]判断方程是不是一元二次方程，需先将方程
化成一般式，再根据定义进行判断.
关于 x 的方程（ m ＋2） ＋ mx －1＝0是一元二
次方程，则 m ＝ .
2
1. 下列关于 x 的方程中，为一元二次方程的是
（ C ）
A. ax2＋ bx ＋ c ＝0 B. x ＝ x2－1
C. mx － x2＝0 D. x ＋ ＝0
2. 已知关于 x 的方程（ k －1） x2＋2 x ＝1是一元二次方
程，则 k 的取值范围是（ D ）
A. k ＞0 B. k ≠0
C. k ＞1 D. k ≠1
C
D
题型二 一元二次方程的一般形式
将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二
次项系数、一次项系数和常数项.
（1）2 x2－7 x ＝－3；
解：（1）移项，得2 x2－7 x ＋3＝0.
∴二次项系数为2，一次项系数为－7，常数项为3.
（2） x （2 x －1）－3 x （ x －2）＝0.
解：（2）去括号，得2 x2－ x －3 x2＋6 x ＝0.
整理，得－ x2＋5 x ＝0.
∴二次项系数为－1，一次项系数为5，常数项为0.
3. （1）把一元二次方程3 x2＝4 x －6化成一般形式是
；
（2）方程（ x －4）2＋5＝6 x 化为一般形式是
，其中一次项系数是 .
4. 若关于 x 的一元二次方程4 x2－3 ax －2 a －6＝0的常数
项为4，则一次项系数为 .
3
x2－4 x ＋6＝0
x2－14
x ＋21＝0
－14
15
题型三 一元二次方程的解
（1）已知一元二次方程 kx2－9 x ＋8＝0有一个根
为1，则 k 的值为（ B ）
A. －1 B. 1 C. －2 D. 2
（2）已知关于 x 的一元二次方程（ a －1） x2－2 x ＋ a2
－1＝0有一个根为0，则 a ＝ ；
（3）若 m 是方程2 x2－3 x －1＝0的一个根，则6 m2－9 m
＋2 024的值为 .
B
－1
2 027
[技巧归纳]根据一元二次方程根的概念，能够使一元二
次方程成立的未知数的值，通常可代入原方程，以便求
出待定字母的值，一定要注意一元二次方程二次项系数
不为0的隐含条件.
已知 m 是方程 x2－2 023 x ＋1＝0的一个根，求代数
式 m2－2 024 m ＋ ＋3的值.
解：∵ m 是方程 x2－2 023 x ＋1＝0的一个根，
∴ m2－2 023 m ＋1＝0.
∴ m2－2 023 m ＝－1， m2＋1＝2 023 m .
∴原式＝（ m2－2 023 m ）－ m ＋ ＋3
＝－1－ m ＋ m ＋3＝2.
5. 若2－ 是方程 x2－4 x ＋ c ＝0的一个根，则 c 的值是
（ A ）
A. 1 B. 3－
C. 1＋ D. 2＋
A
6. （2023·山东）若 x ＝3是关于 x 的方程 ax2－ bx ＝6的
解，则2 023－6 a ＋2 b 的值为 .
2 019
题型四 根据实际问题建立一元二次方程
（1）扬帆中学有一块长30 m、宽20 m的矩形空
地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹
同学的设计方案如图所示，求花带的宽度.设花带的宽
度为 x m，则可列方程为（ D ）
D
A. （30－ x ）（20－ x ）＝ ×20×30
B. （30－2 x ）（20－ x ）＝ ×20×30
C. 30 x ＋2×20 x ＝ ×20×30
D. （30－2 x ）（20－ x ）＝ ×20×30
（2）为促进消费，重庆市政府开展发放政府补贴消费
的“消费券活动”.某超市的月销售额逐步增加，据统
计，4月份的销售额为200万元，接下来5月、6月的月增
长率相同，6月份的销售额为500万元，若设5月、6月每
月的增长率为 x ，则可列方程为（ D ）
A. 200（1＋ x ）＝500
B. 200＋200（1＋ x ）＝500
C. 200（1＋2 x ）＝500
D. 200（1＋ x ）2＝500
D
[思维点拨]列一元二次方程解决实际问题的关键是找出
相等关系，然后设适当的未知数，用含未知数的代数式
表示出相等关系即可列出方程.
7. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由112元降为63
元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分
率.若设每次降价的百分率为 x ，则得到的方程为
（ A ）
A. 112（1－ x ）2＝63 B. 112（1＋ x ）2＝63
C. 112（1－ x ）＝63 D. 112（1＋ x ）＝63
A
8. 已知如图所示的图形的面积为24，根据图中给出的数
据，可列出方程 .
（第8题）
（ x ＋1）2－1＝24
