(共16张PPT)
第23章 图形的相似
23.6 图形与坐标
23.6.1 用坐标确定位置
1. 用坐标确定物体的位置，是用一对有序实数在坐标系
中确定点的位置.
2. 用角度（方向）和距离确定物体的位置，先确定物
体所在的方向角，再根据物体与观察点的距离来确定
位置.
题型一 用坐标确定物体的位置
（1）将正整数按如图所示的规律排列下去，若
（ n ， m ）表示第 n 排，从左到右第 m 个数，如（4，
2）表示9，则表示58的有序数对是（ A ）
A. （11，3） B. （3，11）
C. （11，9） D. （9，11）
A
（2）如图是轰炸机机群的一个飞行队形，如果最后两
架轰炸机的平面坐标分别是 A （－2，1）和 B （－2，
－3），那么第一架轰炸机 C 的平面坐标是
.
（2，－
1）
[技巧归纳]用坐标确定位置，需要先确定原点的位置，
再根据坐标确定物体的位置.
1. 如图是丁丁画的一张脸的示意图，如果用（1，3）表
示靠左边的眼睛，用（3，3）表示靠右边的眼睛，那么
嘴的位置可以表示成（ A ）
A. （2，1） B. （1，2）
C. （1，1） D. （3，1）
（第1题）
A
2. 中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受
大众喜爱.如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标
系，使“帅”位于点（0，－2），“马”位于点（4，
－2），则“兵”位于点 .
（第2题）
（－1，1）
3. 如图，在平面直角坐标系内原点 O （0，0）第一次跳
动到点 A1（0，1），第二次从点 A1跳动到点 A2（1，
2），第三次从点 A2跳动到点 A3（－1，3），第四次从
点 A3跳动到点 A4（－1，4），…，按此规律下去，则点
A2 024的坐标是（ A ）
A
A. （675，2 024）
B. （674，2 024）
C. （－675，2 024）
D. （－674，2 024）
（第3题）
题型二 用角度（方向）和距离确定物体的位置
如图，是小明家和学校所在地的简单地图，已知
OA ＝2 km， OB ＝3.5 km， OP
＝4 km，点 C 为 OP 的中点，回
答下列问题：
（1）图中距小明家距离相同的地方是哪两个地方？
解：（1）∵点 C 为 OP 的中点，
∴ OC ＝ OP ＝ ×4＝2（km）.
又∵ OA ＝2 km，
∴距小明家距离相同的是学校和
公园.
（2）请用方向与距离描述学校、商场、停车场相对于
小明家的位置.
解：（2）学校在小明家北偏东
45°的方向上，且到小明家的距离
为2 km；
商场在小明家北偏西30°的方向上，
且到小明家的距离为3.5 km；
停车场在小明家南偏东60°的方向
上，且到小明家的距离为4 km.
[易错提示]方向和距离缺一不可，只有当方向和距离都
确定时，才能确定该物体的位置.
4. 如图，学校（记作 A ）在蕾蕾家（记作 B ）南偏西25°
的方向上，且与蕾蕾家的距离是4 km.若∠ ABC ＝90°，
且 AB ＝ BC ，则超市（记作 C ）在蕾蕾家的（ A ）
A. 南偏东65°的方向上，相距4 km
B. 南偏东55°的方向上，相距4 km
C. 北偏东55°的方向上，相距4 km
D. 北偏东65°的方向上，相距4 km
（第4题）
A
（第5题）
5. （2023·连云港）画一条水平数轴，以原点 O 为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，过原点 O 按逆时针方向依次
画出与正半轴的角度分别为30°、60°、90°、
120°、…330°的射线，这样就建立了“圆”
坐标系.如图，在建立的“圆”坐标系内，
我们可以将点 A 、 B 、 C 的坐标分别表
示为 A （6，60°）、 B （5，180°）、 C
（4，330°），则点 D 的坐标可以表示
为 .
（3，150°）
（第6题）
6. 如图，找到每个建筑物的位置.
（1）体育馆在钟楼的
方向，距离钟楼 米；
（2）怡心公园在钟楼
的 方
向，距离钟楼 米.
北偏西25°（或西偏北65°）
900
南偏东75°（或东偏南15°）
1 200 (共14张PPT)
第23章 图形的相似
23.4 中位线
1. 三角形的中位线
定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位
线.
性质：三角形的中位线 于第三边，并且等于第
三边的 .
2. 三角形的重心
三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的
重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的 .
平行
一半
题型一 三角形中位线的性质的运用
如图1，在△ ABC 中， AB ＝6 cm， AC ＝10 cm，
AD 平分∠ BAC ， BD ⊥ AD 于点 D ， BD 的延长线交 AC
于点 F ，点 E 为 BC 的中点，求 DE 的长.
图1
解：∵ AD 平分∠ BAC ， BD ⊥ AD ，
∴ AB ＝ AF ＝6 cm，
BD ＝ DF .
∴ CF ＝ AC － AF ＝4 cm.
∵ BD ＝ DF ，点 E 为 BC 的中点，
∴ DE ＝ CF ＝2 cm.
图1
如图2，在四边形 ABCD 中，对角线 AC ⊥ BD 且
AC ＝4， BD ＝8，点 E 、 F 分别是边 AB 、 CD 的中点，
则 EF ＝ .
图2
2
1. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 相交于点
O ，点 E 为 CD 的中点.若 OE ＝3，则菱形 ABCD 的周长
为（ C ）
A. 6 B. 12 C. 24 D. 48
（第1题）
C
2. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，点 D 是 AC 延
长线上一点， AD ＝24，点 E 是 BC 上一点，
BE ＝10，连结 DE ， M 、 N 分别是 AB 、
DE 的中点，则 MN ＝ .
13
（第2题）
（第3题）
3. （2023·株洲）如图所示，在△ ABC 中，点 D 、 E 分
别为 AB 、 AC 的中点，点 H 在线段 CE 上，连结 BH ，
点 G 、 F 分别为 BH 、 CH 的中点.
（1）求证：四边形 DEFG 为平行四边形；
（1）证明：∵点 D 、 E 分别为 AB 、 AC 的中点，点 G 、 F 分别为 BH 、 CH 的中点，
∴ DE 是△ ABC 的中位线， GF 是△ HBC 的中位线，
∴ DE ∥ BC ， DE ＝ BC ，
GF ∥ BC ， GF ＝ BC ，
∴ DE ∥ GF ， DE ＝ GF ，
∴四边形 DEFG 为平行四边形.
（第3题）
（2）若 DG ⊥ BH ， BD ＝3， EF ＝2，求线段 BG 的
长度.
（2）解：∵四边形 DEFG 为平行四边
形，∴ DG ＝ EF ＝2.
∵ DG ⊥ BH ，∴∠ DGB ＝90°，
∴ BG ＝ ＝ ＝ ，
即线段 BG 的长度为 .
（第3题）
题型二 三角形重心的运用
如图，在△ ABC 中，点 D 是△ ABC 的重心， S△
DEF ＝2，求△ AEC 的面积.
解：∵点 D 是△ ABC 的重心，
∴ DE ∶ AE ＝1∶3，
∴ AD ∶ DE ＝2∶1.
∵△ ADF 与△ DEF 等高，
∴ S△ ADF ∶ S△ DEF ＝ AD ∶ DE ＝2∶1.
又∵ S△ DEF ＝2，∴ S△ ADF ＝4.
∴ S△ AEF ＝ S△ ADF ＋ S△ DEF ＝6.
∵ EF 是△ AEC 中 AC 边的中线，
∴ S△ AEC ＝2 S△ AEF ＝12.
4. 如图，△ ABC 为等边三角形，点 G 为△ ABC 的重
心，延长 CG 交 AB 于点 E ，则图中全等的三角形有
（ B ）
A. 3对 B. 5对 C. 7对 D. 9对
（第4题）
B
5. 如图，△ ABC 的中线 AD 、 BE 相交于点 F ，若△
ABF 的面积是4，则四边形 FDCE 的面积是（ A ）
A. 4 B. 4.5 C. 3.5 D. 5
（第5题）
A(共18张PPT)
第23章 图形的相似
23.1 成比例线段
23.1.2 平行线分线段成比例
1. 平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，
所得的 成比例.（简称“平行线分线段成
比例”）如图所示，当 l3∥ l4∥ l5时，则 ＝ ，
＝ .
对应线段
2. 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边
的延长线），所得的对应线段成比例.
三种常见类型：
拓展：如图（1）（2）（3）， ＝ ＝ .
题型一 平行线分线段成比例
（1）如图1，直线 l1∥ l2∥ l3，直线 AC 和 DF 被
l1、 l2、 l3所截，如果 AB ＝4， BC ＝5， EF ＝4，那么
DE 的长是（ B ）
图1
B
A. B.
C. 3 D.
（2）如图2， l1∥ l2∥ l3，且 ＝ ，则下列结论错误的
是（ C ）
图2
C
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
[知识总结]运用平行线分线段成比例求线段长或求比
值，需找准对应线段，注意灵活运用比例的性质进行适
当变形.
1. 如图，已知 AB ∥ CD ∥ EF ，那么下列结论正确的是
（ A ）
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
（第1题）
A
2. 如图， a ∥ b ∥ c ，两条直线与这三条平行线分别交于
点 A 、 B 、 C 和点 D 、 E 、 F . 已知 AB ＝3， BC ＝2，
DE ＝6，则 DF 等于（ C ）
A. 4 B. 9 C. 10 D. 15
（第2题）
C
3. 如图，已知直线 l1、 l2、 l3分别截直线 l4于点 A 、 B 、
C ，截直线 l5于点 D 、 E 、 F ，且 l1∥ l2∥ l3.
（1）如果 AB ＝4， BC ＝8， EF ＝12，求 DE 的长；
解：（1）∵ l1∥ l2∥ l3，
∴ ＝ ＝ ＝ .
∴ DE ＝ EF ＝6.
（第3题）
（2）如果 DE ∶ EF ＝2∶3， AB ＝6，求 AC 的长.
解：（2）∵ l1∥ l2∥ l3，
∴ ＝ ＝ .
∴ BC ＝ AB ＝ ×6＝9.
∴ AC ＝ AB ＋ BC ＝6＋9＝15.
（第3题）
题型二 平行线分线段成比例推论的运用
（1）如图1，在△ ABC 中， DE ∥ BC ， AD ＝6， BD ＝3， AE ＝4，则 EC 的长为（ B ）
图1
B
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
（2）如图2，在△ ABC 中， D 在 BC 上， F 是 AD 的中
点，连结 CF 并延长，交 AB 于点 E . 已知 CD ∶ BD ＝
3∶2，求 的值.
图2
图2
解：作 DG ∥ CE ，交 AB 于点 G ，如图2.
∴ ＝ ＝ .
设 BG ＝2 x ，
则 GE ＝3 x .
∵ F 是 AD 的中点，∴ AF ＝ DF .
∵ EF ∥ DG ，∴ ＝ ＝1，
∴ AE ＝ EG ＝3 x ，∴ ＝ ＝ .
图2
[易错提示]运用平行线分线段成比例及其推论求线段的
长，先根据平行线分线段得出比例式，再解方程求线段
的长，注意找准对应线段.
4. （1）如图，已知 AB ∥ CD ， AD 与 BC 相交于点 O . 若
＝ ， AD ＝10，则 AO 的长为（ A ）
A. 4 B. 2 C. 3 D. 5
[第4（1）题]
A
（2）（2023·福建）如图，已知 DE ∥ BC ， FE ∥ CD .
若 AF ＝3， AD ＝5， AE ＝4，则 AB 的长为 .
[第4（2）题]
（第5题）
5. （2023·昌平）如图， AD 是△ ABC 的中线， E 是 AD
上一点，且 AE ＝ AD ， CE 的延长线交 AB 于点 F . 若
AF ＝1.2，则 AB ＝ .
6
解析：如答案图，过点 D 作 DM ∥ CF 交 AB 于点 M .
∵ AD 是△ ABC 的中线，∴ BD ＝ DC . ∵ DM ∥ CF ，∴
＝ ＝1，∴ BM ＝ MF . ∵ DM ∥ CF ，∴ ＝ .
又∵ AE ＝ AD ，∴ AF ＝ AM .
∵ BM ＝ MF ，∴ AF ＝ AB .
∵ AF ＝1.2，∴ AB ＝5×1.2＝6.
故答案为6.
（答案图）(共20张PPT)
第23章 图形的相似
23.6 图形与坐标
23.6.2 图形的变换与坐标
变换前点的坐标 变换后点的坐标 图形变换 （ x ， y ）
关于 x 轴对称 （ x ，－ y ）
关于 y 轴对称 （－ x ， y ）
关于原点对称 （－ x ，－ y ）
沿 x 轴向右平移 a 个单位 （ x ＋ a ， y ）
沿 y 轴向上平移 a 个单位 （ x ， y ＋ a ）
图形以原点为位似中心缩放 k 倍 （ kx ， ky ）或
（－ kx ，－ ky ）
题型一 图形变换与坐标的变化规律
（1）已知点 P （ a ，3）和点 Q （4， b ）关于 x 轴
对称，则（ a ＋ b ）2 024的值为（ A ）
A. 1 B. －1
C. 72 024 D. －72 024
A
（2）如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 与正
方形 BEFG 是以原点 O 为位似中心的位似图形，且相似
比为 ，点 A 、 B 、 E 在 x 轴上.若正方形 BEFG 的边长为
6，则点 C 的坐标为（ A ）
A
A. （3，2） B. （3，1）
C. （2，2） D. （4，2）
1. 在平面直角坐标系中，点 A （－1，2）和点 B （1，
m ）关于原点对称，则 m 的值为（ B ）
A. 2 B. －2
C. －1 D. 1
B
2. 如图，在平面直角坐标系中，将点 P （2，3）绕原点
O 顺时针旋转90°得到点P'，则点P'的坐标为（ D ）
A. （3，2） B. （3，－1）
C. （2，－3） D. （3，－2）
（第2题）
D
3. 如果点 P （ a ＋2， a －3）向左平移2个单位长度正好
落在 y 轴上，那么点 P 的坐标为 .
（2，－3）
4. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A （－3，6）、
B （－9，－3），以原点 O 为位似中心、相似比为 把
△ ABO 缩小，则点 A 的对应点A'的坐标是
.
（－1，2）
或（1，－2）
（第4题）
题型二 在坐标系中根据图形变换作图
如图，△ ABC 三个顶点的坐标分别为 A （－1，
3）、 B （－1，1）、 C （－3，2）.
（1）请画出△ ABC 关于 y 轴对称的△ A1 B1 C1；
解：（1）△ A1 B1 C1如图所示.
（2）以原点 O 为位似中心，将△ A1 B1 C1放大为原来的
2倍，得到△ A2 B2 C2，请在第三象限内画出△ A2 B2 C2，
并求出 ∶ 的值.
解：（2）△ A2 B2 C2如图所示.
∵△ A1 B1 C1放大为原来的2倍得到△ A2 B2 C2，
∴△ A1 B1 C1∽△ A2 B2 C2，且相似比为 .
∴ ∶ ＝1∶4.
[方法总结]运用图形的变换在坐标系中作图，先根据变
换的特征求出关键点的对应点的坐标，再根据坐标描出
这些点，然后顺次连结即得图形.
5. 如图所示，在平面直角坐标系中，有两点 A （4，
2）、 B （3，0），以原点为位似中心，A'B'与 AB 的相
似比为 ，得到线段A'B'.以下正确的画法是（ D ）
D
6. 如图，在平面直角坐标系中，△ OAB 的顶点坐标分
别为 O （0，0）、 A （2，1）、 B （1，－2）.
（1）以原点 O 为位似中心，在 y 轴的右侧画出将△
OAB 放大为原来的2倍后得到的
△ OA1 B1，请写出点 A 的对应点
A1的坐标；
（第6题）
解：（1）△ OA1 B1如图所示，点
A1的坐标为（4，2）.
（第6题）
（2）画出将△ OAB 向左平移2个单位，再向上平移1
个单位后得到的△ O2 A2 B2，写出点 B 的对应点 B2的
坐标；
（第6题）
解：（2）△ O2 A2 B2如图所示，
点 B2的坐标为（－1，－1）.
（3）请在图中标出△ OA1 B1与△ O2 A2 B2的位似中心
M ，并写出点 M 的坐标.
解：（3）点 M 的位置如图所示.
点 M 的坐标为（－4，2）.
（第6题）(共16张PPT)
第23章 图形的相似
23.3 相似三角形
23.3.2 相似三角形的判定
第2课时 相似三角形的判定（二）
1. 相似三角形的判定定理2：两边 且夹
角 的两个三角形相似.
2. 相似三角形的判定定理3：三边 的两
个三角形相似.
对应成比例
相等
对应成比例
题型一 运用判定定理2判定三角形相似
如图，点 D 在△ ABC 的 AB 边上， AD ＝2， BD ＝
4， AC ＝2 ，求证：△ ACD ∽△ ABC .
证明：∵ ＝ ＝ ，
＝ ＝ ，
∴ ＝ .
又∵∠ DAC ＝∠ CAB ，
∴△ ACD ∽△ ABC .
如图， AB ⊥ BD ， CD ⊥ BD ， AB ＝6， CD ＝4，
BD ＝14.点 P 在 BD 上移动，当以 P 、 C 、 D 为顶点的三
角形与△ ABP 相似时，则 PB 的长为多少？
解：设 DP ＝ x ，
则 BP ＝14－ x .
∵ AB ⊥ BD ， CD ⊥ BD ，
∴∠ B ＝∠ D ＝90°.
①当 ＝ 时，△ ABP ∽△ CDP ，
即 ＝ ，解得 x ＝5.6，∴ BP ＝14－5.6＝8.4；
②当 ＝ 时，△ ABP ∽△ PDC ，即 ＝ ，
整理，得 x2－14 x ＋24＝0，解得 x1＝2， x2＝12，
∴ BP ＝14－2＝12或 BP ＝14－12＝2.
综上所述，当 BP 为8.4或2或12时，以 P 、 C 、 D 为顶点
的三角形与△ ABP 相似.
1. 如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍
无法判定△ ABC ∽△ ADE 的是（ D ）
A. ∠ B ＝∠ D
B. ＝
C. ∠ C ＝∠ AED
D. ＝
（第1题）
D
2. 如图， P 是正方形 ABCD 的边 BC 上的点，且 BP ＝3
PC ， M 是 CD 的中点.求证： AM · CP ＝ MP · DM .
（第2题）
证明：∵四边形 ABCD 是正方形， M 是 CD 的中点，
∴ BC ＝ CD ＝ AD ， CM ＝ DM ＝ AD .
∵ BP ＝3 PC ，
∴ PC ＝ BC ＝ AD ＝ DM .
∴ ＝ ＝2.又∵∠ D ＝∠ C ＝90°，
∴△ ADM ∽△ MCP .
∴ ＝ ，∴ AM · CP ＝ MP · DM .
（第2题）
题型二 运用判定定理3判定三角形相似
如图，小正方形的边长均为1，则下列选项中的三
角形（阴影部分）与△ ABC 相似的是（ A ）
A
[知识归纳]运用三边对应成比例判定两个三角形相似，
常常需要求出三角形三边长的比值，但是需要注意对应
关系.
3. 在△ ABC 和△A'B'C'中， AB ＝3 cm， BC ＝6 cm，
CA ＝5 cm，A'B'＝3 cm，B'C'＝2.5 cm，A'C'＝1.5
cm，则下列说法中，错误的是（ B ）
A. △ ABC 与△ C ' A ' B '相似
B. AB 与 A ' B '是对应边
C. △ ABC 与△ C ' A ' B '的相似比为2∶1
D. AB 与 A ' C '是对应边
B
4. 如图，在四边形 ABCD 中， AC 、 BD 相交于点 F ，点
E 在 BD 上，且 ＝ ＝ .
（1）试问：∠ BAE 与∠ CAD 相等吗？为什么？
（第4题）
解：（1）∠ BAE 与∠ CAD 相等.理由
如下：
∵ ＝ ＝ ，
∴△ ABC ∽△ AED ，
∴∠ BAC ＝∠ EAD ，
∴∠ BAC －∠ EAF ＝∠ EAD －∠ EAF ，
即∠ BAE ＝∠ CAD .
（第4题）
（2）试判断△ ABE 与△ ACD 是否相似，并说明理由.
解：（2）△ ABE 与△ ACD 相似.理由
如下：
∵ ＝ ，∴ ＝ .
又∵∠ BAE ＝∠ CAD ，∴△ ABE ∽△
ACD .
（第4题）(共21张PPT)
第23章 图形的相似
23.5 位似图形
1. 位似图形的定义：如果两个图形相似，并且每组对应
点所在的直线都交于一点，这两个图形叫做位似图形，
这个点叫做位似中心.
注意：位似图形是一种特殊的相似图形，所以位似图形
具有相似图形的性质，且位似图形上任意一对对应点到
位似中心的距离之比等于相似比，位似图形的对应线段
平行（或重合）且成比例.
2. 画位似图形的步骤：
①确定位似中心；
②连结原图形各顶点与位似中心并延长；
③按相似比确定各顶点；
④顺次连结各顶点，所得的图形就是原图形的位似图
形.
3. 位似多边形：一般地，如果两个相似多边形任意一组
对应顶点 P 、 Q 所在的直线都经过同一点 O ，且有 OQ
＝ kOP （ k ≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多
边形，点 O 叫做位似中心.
注意：如图，△ ABC 与△ DFE 不是位似
图形.
题型一 位似图形的定义及性质
（1）下列图形中，不是位似图形的是（ D ）
D
（2）如图，四边形 ABCD 与四边形 AEFG 是位似图
形，相似比为3∶2.若 EF ＝6，则 BC 的长为（ B ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 15
B
1. 如图，以点 O 为位似中心，把△ ABC 放大为原图形的
2倍得到△A'B'C'，以下说法中错误的是（ C ）
A. △ ABC ∽△ A ' B ' C '
B. 点 C 、 O 、 C '三点在同一直线上
C. AO ∶ AA '＝1∶2
D. AB ∥ A ' B '
（第1题）
C
2. 如图，△ ABC 与△ A ' B ' C '位似， O 为位似中心， C '
C ＝2 OC . 若 AB ＝2，则 A ' B '的长为（ A ）
A. 6 B. 4 C. 8 D. 18
（第2题）
A
题型二 位似图形性质的运用
如图，矩形 ABCD 与矩形AB'C'D'是位似图形，点
A 为位似中心.已知矩形 ABCD 的周长为24，BB'＝4，
DD'＝2，求 AB 和 AD 的长.
解：∵矩形 ABCD 的周长为24，
∴ AB ＋ AD ＝12.
设 AB ＝ a ，则 AD ＝12－ a .
由题意，得
AB'＝ a ＋4，AD'＝14－ a .
∵矩形 ABCD 与矩形AB'C'D'是位似图形，
∴ ＝ ，即 ＝ ，解得 a ＝8.
经检验， a ＝8是原分式方程的解，
∴ AB ＝8， AD ＝4.
[易错提示]根据位似图形的对应线段成比例，建立方程
可以得出线段的长或线段之间的关系，但需要找准位似
中心，并注意对应关系.
3. （1）如图，△ ABC 与△ DEF 位似，点 O 为位似中
心，相似比为2∶3.若△ ABC 的周长为4，则△ DEF 的周
长是（ B ）
[第3（1）题]
B
A. 4 B. 6 C. 9 D. 16
（2）如图，△ ABC 与△ A ' B ' C '位似，位似中心为点
O . 已知△ ABC 与△ A ' B ' C '的面积之比为9∶1，若 OA '
＝2，则 OA 的长度为（ A ）
[第3（2）题]
A
A. 6 B. 12 C. 18 D. 20
题型三 位似图形的画法
如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为
1，点 O 和△ ABC 的顶点均在小正方形的格点上.
（1）以点 O 为位似中心，在网格图中作△A'B'C'和△
ABC 位似，且位似比为1∶2；
解：（1）如答案图，①以点 O 为端
点作线段 OA 、 OB 、 OC ；②分别取
线段 OA 、 OB 、 OC 的中点A'、B'、
C'；③顺次连结A'、B'、C'，则
△A'B'C'即为所求作的三角形.
（答案图）
（2）连结（1）中的AA'，求四边形AA'C'C的周长.（结
果保留根号）
解：（2）由图可知AA'＝CC'＝2，
由勾股定理，得 AC ＝4 ，则A'C'＝
2 .
∴四边形AA'C'C的周长为
AA'＋A'C'＋CC'＋ AC ＝4＋6 .
（答案图）
[技巧归纳]在画位似图形时，第一要特别注意所作图形
是放大还是缩小；第二要特别注意作图的方向；第三应
注意放大或缩小的倍数，即位似比（也是相似比）.
4. 如图所示是△ ABC 位似图形的几种画法，其中正确的
有（ D ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
（第4题）
D
5. 利用位似的方法把图缩小为原来的 ，要求所作的图
形在原图内部.
（第5题）
解：如答案图，在五边形 ABCDE 内部任取一点 O ，连结 OA 、 OB 、 OC 、 OD 、 OE ，分别在线段 OA 、 OB 、 OC 、 OD 、 OE 上取点A'、B'、C'、D'、E'，使 OA ∶OA'＝ OB ∶OB'＝ OC ∶OC'＝ OD ∶OD'＝ OE ∶OE'＝2，连结A'B'、B'C'、C'D'、D'E'、E'A'，则五边形A'B'C'D'E'即为所求作的图形.
（答案图）(共16张PPT)
第23章 图形的相似
23.3 相似三角形
23.3.3 相似三角形的性质
1. 相似三角形对应角 ，对应边 .
2. 相似三角形对应边上的高、对应中线、对应角的平分
线的比等于 .
3. 相似三角形对应周长的比等于 ，面积的比
等于 .
相等
成比例
相似比
相似比
相似比的平方
题型一 相似三角形对应线段及周长比
如图，在△ ABC 中， EF ∥ BC 且 EF ＝ BC ＝2
cm，△ AEF 的周长为10 cm，求梯形 BCFE 的周长.
解：∵ EF ＝ BC ，∴ ＝ .
∵ EF ∥ BC ，
∴△ AEF ∽△ ABC .
∴ ＝ ＝ ，
即 ＝ ，∴△ ABC 的周长＝15 cm.
∴梯形 BCFE 的周长＝△ ABC 的周长－△ AEF 的周长
＋2 EF ＝15－10＋2×2＝9（cm）.
如图，矩形 EFGH 各顶点都在△ ABC 边上，点
E 、 F 在 BC 边上，点 H 、 G 分别在 AB 、 AC 边上，且
AD ⊥ BC 于点 D ，交 HG 于点 N .
（1）求证：△ AHG ∽△ ABC ；
（1）证明：∵四边形 EFGH 是矩形，
∴ HG ∥ BC ，∴△ AHG ∽△
ABC .
（2）若 AD ＝3， BC ＝9， EH ∶ HG ＝1∶2，求矩形
EFGH 的周长.
（2）解：∵ EH ∶ HG ＝1∶2，∴ HG ＝2 EH .
∵△ AHG ∽△ ABC ，
∴ ＝ ，∴ ＝ ，
∴ EH ＝ ，∴ HG ＝2 EH ＝ ，
∴矩形 EFGH 的周长＝2× ＝ .
[方法总结]在三角形中截取矩形或者正方形问题是相似
三角形中的常见题型，一般解题方法是抽象出A字相似
模型，利用相似三角形对应线段之比等于相似比来解决
问题.
1. 如图，在△ ABC 中， D 是 AB 边上的点，∠ B ＝∠
ACD ， AC ∶ AB ＝1∶2，则△ ADC 与△ ACB 的周长比
是（ B ）
（第1题）
A. 1∶ B. 1∶2
C. 1∶3 D. 1∶4
B
2. 如图，一块直角三角形木板，一条直角边 AC 的长为
1.5 m，面积为1.5 m2.按图中要求加工成一个正方形桌
面 DEFG ，求桌面的边长.
（第2题）
（第2题）
解：由题意，得 BC ＝ ＝ ＝2（m）.
∴ AB ＝ ＝2.5（m）.设点 C 到 AB 的距离为 h ，
则 S△ ABC ＝ ×2.5 h ＝1.5，解得 h ＝1.2.
∵四边形 DEFG 为正方形，∴ DE ∥ GF ，
EF ＝ DE ，∴△ ACB ∽△ DCE ，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得 EF ＝ ，即桌面的边长为 m.
题型二 相似三角形的面积比
（1）如图1，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边
AD 上， DE ∶ EA ＝3∶2，连结 CE 交 BD 于点 F ，则△
DEF 的面积与△ BCF 的面积之比是（ D ）
图1
D
A. 2∶5 B. 3∶5
C. 4∶25 D. 9∶25
图2
（2）如图2，在△ ABC 中， DE ∥ BC ， BE 交 CD 于点
O ，以下结论：
①△ BOD ∽△ COE ； ② S△ BOD ＝ S△ COE ；
③ ＝ ；
④ ＝ .
正确的有（ B ）
B
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
[思维点拨]利用已知条件，结合图形特点，探索出相似
三角形，是利用相似三角形性质解决问题的前提和关
键.同时要注意面积比等于相似比的平方而不是相似比.
相似多边形的面积比也等于相似比的平方.
3. 如图， E 是 ABCD 的边 BC 延长线上一点，连结
AE ，交 CD 于点 F ，连结 BF ， CD ＝3 CF ，则 S△ ADF ∶
S△ BEF 等于（ C ）
A. 4∶1 B. 3∶1
C. 4∶3 D. 9∶4
（第3题）
C
4. 如图，在△ ABC 中， E 、 F 、 D 分别是边 AB 、 AC 、
BC 上的点，且满足 ＝ ＝ ，求△ DEF 与△ ABC 的
面积比.
（第4题）
解：设△ AEF 的高是 h ，△ ABC 的高是h'.
∵ ＝ ＝ ，∴ ＝ ＝ .
又∵∠ A ＝∠ A ，∴△ AEF ∽△ ABC ，
∴ ＝ ， ＝ ＝ ＝ ，
∴h'＝3 h ， S△ ABC ＝9 S△ AEF ，
∴△ DEF 的高是2 h ，
∴ S△ DEF ＝2 S△ AEF ，∴ S△ DEF ∶ S△ ABC ＝2∶9.
（第4题）(共20张PPT)
第23章 图形的相似
23.3 相似三角形
23.3.2 相似三角形的判定
第1课时 相似三角形的判定（一）
相似三角形的判定定理1：两角分别 的两个三
角形相似.
注意：（1）两个直角三角形中，若有一对锐角对应相
等，则它们一定相似；（2）利用两角对应相等判定三
角形相似是最常用的方法，在找相等角时，可注意挖掘
公共角、对顶角、同（等）角的余（补）角、平行线中
的同位（内错）角、等角间的加（减）构造的角（重叠
角）等这些相等关系；
相等
（3）当证明比例式或者等积式
时，常用“三点定型法”确定相似三角形，即通过“横
看”两比例前项、两比例后项或者“竖看”比例式等号
两边各自的前后项，找出比例式（或等积式）中所包含
的字母，看是否存在可由“三点”确定的两个相似三角
形，如果不能则需要转化线段或者转化比.
题型一 运用判定定理1判定三角形相似
如图，在矩形 ABCD 中， E 为 BC 上一点， DF ⊥
AE 于点 F .
（1）求证：△ ABE ∽△ DFA ；
（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
DF ⊥ AE ，
∴ AD ∥ BC ，∠ B ＝∠ AFD ＝90°.
∴∠ AEB ＝∠ DAE . ∴△ ABE ∽△ DFA .
（2）若 AB ＝6， AD ＝12， AE ＝10，求 DF 的长.
（2）解：由△ ABE ∽△ DFA ，得 ＝
，
即 ＝ ，∴ DF ＝7.2.
1. 如图， AB 、 CD 相交于点 O ，添加一个条件
，可以使△ AOD
∽△ COB .
（第1题）
∠ A ＝
∠ C 或∠ B ＝∠ D （答案不唯一）
2. （2023·凉山州）如图，在 ABCD 中，对角线 AC 与
BD 相交于点 O ，∠ CAB ＝∠ ACB ，过点 B 作 BE ⊥ AB
交 AC 于点 E .
（1）求证： AC ⊥ BD ；
（1）证明：∵∠ CAB ＝∠ ACB ，
∴ AB ＝ CB ，
∴ ABCD 是菱形，
∴ AC ⊥ BD .
（第2题）
（2）若 AB ＝10， AC ＝16，求 OE 的长.
（2）解：由（1）可知， ABCD 是菱形，
∴ OA ＝ OC ＝ AC ＝8， AC ⊥ BD ，
∴∠ AOB ＝∠ BOE ＝90°，
∴ OB ＝ ＝ ＝6.
∵ BE ⊥ AB ，∴∠ EBA ＝90°，
∴∠ BEO ＋∠ BAO ＝∠ ABO ＋∠ BAO＝90°，
∴∠ BEO ＝∠ ABO ，
（第2题）
（第2题）
∴△ BOE ∽△ AOB ，∴ ＝ ，
即 ＝ ，解得 OE ＝ ，即 OE 的长为 .
题型二 相似三角形定义与判断的综合应用
如图， AB ⊥ BC ， DC ⊥ BC ， E 是 BC 上一点，使
得 AE ⊥ DE .
（1）求证：△ ABE ∽△ ECD ；
（1）证明：∵ AB ⊥ BC ， DC ⊥ BC ，
∴∠ B ＝∠ C ＝90°，∠ EAB ＋∠ AEB ＝90°.
∵ AE ⊥ DE ，∴∠ AED ＝90°.
∴∠ AEB ＋∠ DEC ＝90°.∴∠ DEC ＝∠ EAB .
∴△ ABE ∽△ ECD .
（2）若 AB ＝4， AE ＝ BC ＝5，求 CD 的长；
（2）解：在Rt△ ABE 中， AB ＝4， AE ＝
5，∴ BE ＝3.
∵ BC ＝5，∴ EC ＝5－3＝2.
由（1），得△ ABE ∽△ ECD ，
∴ ＝ ，即 ＝ .∴ CD ＝ .
（3）当△ AED ∽△ ECD 时，请写出线段 AD 、 AB 、
CD 之间的数量关系，并说明理由.
（3）解：线段 AD 、 AB 、 CD 之间的数量关系为
AD ＝ AB ＋ CD . 理由如下：
如答案图，过点 E 作 EF ⊥
AD 于点 F ，
（答案图）
则∠ EFD ＝90°.
∵△ AED ∽△ ECD ，∴∠ ADE ＝∠ EDC .
又∵ DE ＝ DE ，∠ EFD ＝∠ C ＝90°，
∴△ DFE ≌△ DCE （A. A. S. ），∴ DF ＝ DC .
同理可得△ ABE ≌△ AFE ，∴ AB ＝ AF .
∴ AD ＝ AF ＋ DF ＝ AB ＋ CD .
（答案图）
3. 如图，在△ ABC 中，∠ BAC ＝90°， AD ⊥ BC 于点
D ， DC ＝4， BC ＝9，则 AC 的长为（ B ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
（第3题）
B
4. （2023·内蒙古）如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝
90°， AC ＝3， BC ＝1，将△ ABC 绕点 A 按逆时针方向
旋转90°，得到△AB'C'，连结BB'交 AC 于点 D ，则
的值为 .
（第4题）
5
解析：如图，过点 D 作 DF ⊥ AB 于点 F . 易知 AB ＝ AB '
＝ ＝ ，△ ABB '是等腰直角三角形，∴∠
ABB '＝45°.又∵ DF ⊥ AB ，∴∠ FDB ＝45°，∴ DF ＝
BF . ∵ S△ ADB ＝ BC × AD ＝ DF × AB ，∴ AD ＝
DF . ∵∠ C ＝∠ AFD ＝90°，
∠ CAB ＝∠ FAD ，∴△ AFD ∽△ ACB ，
∴ ＝ ，即 AF ＝3 DF .
（第4题）
又∵ AF ＝ AB － BF ＝ － DF ，∴ DF ＝ ，∴ AD ＝ × ＝ ， CD ＝3－ ＝ ，∴ ＝ ＝5.故答案为5.
（第4题）
5. 如图，在正方形 ABCD 中， M 为 BC 上一点，点 F 是
AM 的中点， EF ⊥ AM ，垂足为 F ，交 AD 的延长线于
点 E ，交 DC 于点 N .
（1）求证：△ ABM ∽△ EFA ；
（第5题）
（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴ AB ＝ AD ，∠ B ＝90°，
AD ∥ BC ，
∴∠ AMB ＝∠ EAF .
又∵ EF ⊥ AM ，
∴∠ AFE ＝90°，
∴∠ B ＝∠ AFE ，∴△ ABM ∽△ EFA .
（第5题）
（2）若 AB ＝12， BM ＝5，求 DE 的长.
（2）解：∵∠ B ＝90°， AB ＝12， BM＝5，
∴ AM ＝ ＝13， AD ＝12.
∵点 F 是 AM 的中点，∴ AF ＝ AM ＝6.5.
∵△ ABM ∽△ EFA ，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴ AE ＝16.9，∴ DE ＝ AE － AD ＝4.9.
（第5题）(共15张PPT)
第23章 图形的相似
23.3 相似三角形
23.3.1 相似三角形
1. 相似三角形：对应边 、对应角 的
两个三角形相似.相似用符号“∽”来表示，读作“相
似于”.
注意：（1）书写两个三角形相似时，要将对应顶点写
在对应的位置上，这样可以比较容易地找到相似三角形
的对应边和对应角；
（2）全等三角形是相似三角形相似比为1的特例.
2. 相似比：相似三角形 的比叫做相似比.
成比例
相等
对应边
3. 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长
线）相交所构成的三角形与原三角形 .
相似
基本模型：
题型一 相似三角形的定义及相似比的运用
如图，已知△ ABC ∽△ ADE ， AE ＝5 cm， EC ＝
3 cm， BC ＝5.8 cm，∠ A ＝45°，∠ C ＝40°.求：
（1）∠ AED 和∠ ADE 的度数；
解：（1）∵△ ABC ∽△ ADE ，∠ C ＝40°，
∴∠ AED ＝∠ C ＝40°.
在△ ADE 中，∠ ADE ＝180°－∠ A －∠ AED
＝95°.
（2） DE 的长.
解：（2）∵ AE ＝5 cm， EC ＝3 cm，∴ AC
＝ AE ＋ EC ＝8 cm.
∵△ ADE ∽△ ABC ，∴ ＝ ，即 ＝ .
∴ DE ＝3.625 cm.
[知识总结]如果两个三角形相似，根据相似三角形的对
应角相等及三角形内角和可以求角的度数，根据相似三
角形对应边成比例建立比例式可求线段的长.
1. 如图， P 是△ ABC 的边 AC 上一点.若△ ABP ∽△
ACB ，∠ A ＝45°，∠ ABC ＝110°，则∠ ABP 的度数为
（ A ）
A. 25° B. 35° C. 45° D. 110°
（第1题）
A
2. 已知△ ABC ∽△ DEF ， ＝ .若 BC ＝2，则 EF ＝
（ A ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 16
A
3. 如图，Rt△ ABC ∽Rt△ BDC . 若 AB ＝3， AC ＝4.
（1）求 BD 、 CD 的长；
解：（1）在Rt△ ABC 中，根据勾股定
理，得
BC ＝ ＝5.
∵Rt△ ABC ∽Rt△ BDC ，
∴ ＝ ＝ ，
即 ＝ ＝ ，∴ BD ＝ ， CD ＝ .
（第3题）
（2）过点 B 作 BE ⊥ DC 于点 E ，求 BE 的长.
解：（2）在Rt△ BDC 中，
S△ BDC ＝ BE · CD ＝ BD · BC ，
∴ BE ＝ ＝ ＝3.
（第3题）
题型二 用平行线法判定三角形相似
如图，在平行四边形 ABCD 中， EF ∥ AB ， DE ∶
EA ＝2∶3， EF ＝4，求 CD 的长.
解：∵ DE ∶ EA ＝2∶3，
∴ DE ∶ DA ＝2∶5.
∵ EF ∥ AB ，
∴△ DEF ∽△ DAB ，
∴ EF ∶ AB ＝ DE ∶ DA .
∵ EF ＝4，∴4∶ AB ＝2∶5，∴ AB ＝10.
又∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ CD ＝ AB ＝10.
4. 如图， DE ∥ BC ，在下列比例式中，不能成立的是
（ B ）
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
（第4题）
B
5. （2023·哈尔滨）如图， AC 、 BD 相交于点 O ， AB ∥
DC ， M 是 AB 的中点， MN ∥ AC ，交 BD 于点 N . 若
DO ∶ OB ＝1∶2， AC ＝12，则 MN 的长为（ B ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
（第5题）
B
6. （2023·雅安）如图，在 ABCD 中， F 是 AD 上一点，
CF 交 BD 于点 E ， CF 的延长线交 BA 的延长线于点 G .
若 EF ＝1， EC ＝3，则 GF 的长为（ C ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
（第6题）
C(共18张PPT)
第23章 图形的相似
23.3 相似三角形
23.3.4 相似三角形的应用
运用相似三角形解决实际问题，主要是运用相似三角形
的性质，先构造相似三角形，然后再根据相似三角形对
应边 ，对应角 ，对应面积的比等
于 等性质求图形的线段长或面积.
成比例
相等
相似比的平方
题型一 运用相似三角形的性质求物体的高度
如图，小明欲测量一棵大树的高度，他拿出一根
杆 CD 竖直插在地面上，然后自己退后，使眼睛通过杆
的顶端 C 刚好看到树顶 A . 若小明的眼睛 E 离地面1.5
m，杆顶端 C 离地面2.4 m，小明到杆的距离
DF ＝2 m，杆到树底的距离 DB ＝32 m，点
E 、 G 、 H 在同一直线上且 EH ⊥ AB
于点 H ，交 CD 于点 G ，求这棵大
树的高度.
解：∵小明、杆、大树均与地面垂直， EH ⊥ AB ，
∴ BH ＝ DG ＝ EF ， EG ＝ DF ， GH ＝ DB .
∵小明眼睛离地面1.5 m，杆顶端离地面2.4 m，
∴ CG ＝ CD － EF ＝2.4－1.5＝0.9（m）.
∵ CD ∥ AB ，∴△ EGC ∽△ EHA .
∵ DF ＝2 m， DB ＝32 m，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得 AH ＝15.3 m，
∴ AB ＝ AH ＋ BH ＝15.3＋1.5＝16.8（m）.
答：大树的高度是16.8 m.
（第1题）
1. 小明在一次军事夏令营活动中进行打靶训练，在用枪
瞄准目标点 B 时，要使眼睛 O 、准星 A 、目标 B 在同一
条直线上.如图所示，在射击时，小明有轻微的抖动，
致使准星 A 偏离到A'.若 OA ＝0.2 m， OB ＝40 m，AA'
＝0.001 5 m，则小明射击到的点B'偏离目标点 B 的长度
BB'为（ B ）
A. 3 m B. 0.3 m
C. 0.03 m D. 0.2 m
B
2. 如图，一同学在广场边的一水坑里看到一棵树，他目
测出自己与树的距离约为20 m，树的顶端在水中的倒影
距自己约5 m远，该同学的身高为1.7 m，则树高约
为 m.
（第2题）
5.1
题型二 运用相似三角形的性质求距离
如图， M 、 N 为山两侧的两个村庄，为了两村交
通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵
洞，工程人员为计算工程量，必须计算
M 、 N 两点之间的直线距离，选择测量
点 A 、 B 、 C ，点 B 、 C 分别在 AM 、 AN
上，现测得 AM ＝1 km、 AN ＝1.8 km、
AB ＝54 m、 BC ＝45 m、 AC ＝30 m，求
M 、 N 两点之间的直线距离.
解：连结 MN .
∵ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，
∴ ＝ .
又∵∠ BAC ＝∠ NAM ，
∴△ BAC ∽△ NAM .
∴ ＝ ＝ .
∵ BC ＝45 m，∴ MN ＝1 500 m＝1.5 km.
答： M 、 N 两点之间的直线距离为1.5 km.
（第3题）
3. 我国古代数学发展源远流长，成就辉煌.著作《九
章算术》中就有“井深几何”问题：“今有井
径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末
望水岸，入径四寸，问井深几何？”现在我们
可以解释为：如图，矩形 BCDE 的边 BE 、 CD
表示井的直径， A 在 CB 的延长线上， CD ＝5
尺， AB ＝5尺， AD 交 BE 于点 F ， BF ＝0.4尺，
根据以上条件，可求得井深 BC 为 尺.
57.5
题型三 运用相似三角形的性质证明比例式
如图， AC 是 ABCD 的对角线，在 AD 边上取一点
F ，连结 BF 交 AC 于点 E ，延长 BF 交 CD 的延长线于点
G .
（1）若∠ ABF ＝∠ ACF ，求证： CE2＝ EF · EG ；
（1）证明：∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴ AB ∥ CG ，∴∠ ABF ＝∠ G .
又∵∠ ABF ＝∠ ACF ，∴∠ ECF＝∠ G .
又∵∠ CEF ＝∠ GEC ，∴△ ECF
∽△ EGC ，
∴ ＝ ，即 CE2＝ EF · EG .
（2）若 DG ＝ DC ， BE ＝6，求 EF 的长.
（2）解：∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴ AB ＝ CD . 又∵ DG ＝ DC ，∴ AB ＝ CD ＝DG ，
∴ AB ∶ CG ＝1∶2.
∵ AB ∥ CG ，∴ ＝ ＝ ，
即 ＝ ，∴ EG ＝12， BG ＝18.
∵ AB ∥ DG ，∴ ＝ ＝1，即 BF ＝ GF .
∴ BF ＝ BG ＝9，∴ EF ＝ BF － BE ＝9－6＝3.
[技巧归纳]运用相似三角形证明比例式的关键：①根据
所要证明的比例式确定相似三角形；②证明所确定的三
角形相似；③根据相似三角形对应边成比例列出比例
式；④运用比例的性质及等量代换得出结论.
4. 如图1，在矩形 ABCD 中， AE ⊥ BD 于点 E .
（1）求证： BE · BC ＝ AE · CD ；
（第4题）
（第4题）
证明：（1）在矩形 ABCD 中， AB ＝ CD ， AD ＝ BC ，
∠ BAD ＝90°.
∵ AE ⊥ BD ，∴∠ AEB ＝∠ AED ＝90°，
∴∠ BAE ＋∠ ABE ＝∠ BAE ＋∠ EAD ＝90°，
∴∠ ABE ＝∠ DAE ，
∴△ ABE ∽△ DAE ，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴ BE · BC ＝ AE · CD .
（2）如图2，若 P 是 AD 边上一点，且 PE ⊥ EC . 求证：
AE · AB ＝ DE · AP .
（第4题）
证明：（2）∵ AE ⊥ BD ， PE ⊥ EC ，
∴∠ AED ＝∠ PEC ＝90°，∴∠ AEP ＝∠ DEC .
∵∠ EAD ＋∠ ADE ＝90°，∠ ADE ＋∠ CDE ＝90°，
∴∠ EAP ＝∠ EDC ，
∴△ AEP ∽△ DEC ，∴ ＝ .
∵ AB ＝ CD ，∴ AE · AB ＝ DE · AP .
（第4题）(共14张PPT)
第23章 图形的相似
23.1 成比例线段
23.1.1 成比例线段
1. 相似图形：具有相同形状的图形称为相似图形.
2. 两条线段的比：如果选用 量得两条
线段 AB 、 CD 的长度分别是 m 、 n ，那么这两条线段的
比就是它们 ，即 AB ∶ CD ＝ 或
写成 ＝ .其中，线段 AB 、 CD 分别叫做这个线段比
的 和 .
同一长度单位
长度的比
m ∶ n
前项
后项
3. 成比例线段：对于给定的四条线段 a 、 b 、 c 、 d ，如
果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之
比，如 ＝ （或 a ∶ b ＝ ），那么，这四
条线段叫做成比例线段，简称比例线段.此时也称这四
条线段成比例.
注意：成比例线段是有顺序的.
c ∶ d
4. 比例的基本性质
对于成比例线段，有下面的结论：
（1）如果 ＝ ，那么 ；
（2）如果 ad ＝ bc ，那么 ；
（3）合比性质：如果 ＝ ，那么 ＝ ；
（4）等比性质：如果 ＝ ＝…＝ （ b ＋ d ＋…＋ n
≠0），那么 ＝ .
ad ＝ bc
＝
题型一 判断线段是否是成比例线段
下面四组线段中，不能成比例的是（ C ）
A. a ＝3， b ＝6， c ＝2， d ＝4
B. a ＝1， b ＝ ， c ＝ ， d ＝
C. a ＝4， b ＝6， c ＝5， d ＝10
D. a ＝2， b ＝ ， c ＝ ， d ＝2
C
[方法总结]判断四条线段是否成比例，只要把四条线段
按大小排列，分别计算前两条线段的比和后两条线段的
比是否相等，或最长线段与最短线段的积是否等于另外
两条线段的积即可.
1. （2023·泰州）下列各组线段中，成比例的是
（ D ）
A. 2 cm，3 cm，4 cm，5 cm
B. 2 cm，4 cm，6 cm，8 cm
C. 3 cm，6 cm，8 cm，12 cm
D. 1 cm，3 cm，5 cm，15 cm
D
2. 已知 a 、 b 、 c 、 d 是成比例线段，其中 a ＝5 cm， b ＝
3 cm， c ＝6 cm，则线段 d ＝ cm.
题型二 比例的基本性质
已知：4 a ＝7 b ，求下列各式的值：
（1） ； （2） ；
解：设 a ＝7 k ， b ＝4 k （ k ≠0），
（1） ＝ ＝ .
（2） ＝ ＝ .
（3） ； （4） .
解：设 a ＝7 k ， b ＝4 k （ k ≠0），
（3） ＝ ＝ .
（4） ＝ ＝ .
（1）已知非零实数 a 、 b 、 c 满足 ＝ ＝ ，且
a ＋ b ＝34，求 c 的值；
解：（1）设 ＝ ＝ ＝ k （ k ≠0），
则 a ＝5 k ， b ＝12 k ， c ＝13 k .
∵ a ＋ b ＝34，即5 k ＋12 k ＝34，解得 k ＝2.
∴ c ＝13 k ＝13×2＝26.
（2）已知 a ∶ b ∶ c ＝3∶4∶5，求 的值.
解：（2）设 a ＝3 k ， b ＝4 k ， c ＝5 k （ k ≠0），
则原式＝ ＝－1.
3. （2023·合肥）已知5 x ＝3 y （ xy ≠0），那么下列比
例式中成立的是（ B ）
A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝
4. （2023·上海）如果 x ∶ y ＝5∶2，那么 x ∶ ＝
（ B ）
A. 5∶2 B. 5∶7
C. 2∶7 D. 2∶5
B
B
5. 已知 ＝ ，则 ＝（ D ）
A. B. C. D.
6. （1）若 ＝ ＝ ＝ 且 b －2 d ＋3 f ≠0，则
＝ ；
（2）已知 x ∶ y ∶ z ＝1∶2∶3，且 x －2 y ＋3 z ＝4，则 x
－ y ＋ z ＝ .
D
(共19张PPT)
第23章 图形的相似
23.2 相似图形
1. 相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，如果各
边对应 ，各角对应 ，就称这两个多
边形相似.
2. 相似多边形的表示方法：六边形 ABCDEF 与六边形
A1 B1 C1 D1 E1 F1相似，记作六边形 ABCDEF A1 B1
C1 D1 E1 F1，“∽”读作“相似于”.在记两个多边形相
似时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
成比例
相等
∽
注意：相似比与两个相似多边形的前后顺序有关.
3. 相似多边形的性质：对应边 ，对应角
.
4. 相似比：相似多边形 叫做相似比.
成比例
相
等
对应边的比
题型一 相似图形的性质
如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝4，点 E 、 F 分别在
AD 、 BC 边上，且 EF ⊥ BC . 若矩形 ABFE ∽矩形
DEFC ，且相似比为1∶2，求 AD 的长.
解：∵矩形 ABFE ∽矩形 DEFC ，且相似比为1∶2，
∴ ＝ ＝ .
∵四边形 ABCD 为矩形，
∴ CD ＝ AB ＝4.
∴ ＝ ＝ ，∴ DE ＝8， AE ＝2，
∴ AD ＝ AE ＋ DE ＝2＋8＝10.
1. 如图是两个楼房门的图案，这两个矩形是相似的，则
x ＝ .
（第1题）
80
2. 如图，四边形 ABCD ∽四边形A'B'C'D'.
（第2题）
（1）α＝ ，它们的相似比是 ；
83°
（第2题）
（2）求边 x 、 y 的长度.
解：（2）∵四边形 ABCD ∽四边形A'B'C'D'，
∴ ＝ ＝ ，解得 x ＝12， y ＝ .
题型二 相似图形的判定
如图，已知矩形 ABCD 的长为8 m，宽为6 m，又
知矩形 ABEF 的面积为21 m2.试问：矩形 ABCD 与矩形
ECDF 相似吗？并说明理由.
解：相似.理由如下：
∵矩形 ABEF 的面积为21 m2，
AB ＝ CD ＝6 m，
∴ BE ＝ ＝3.5（m），
∴ DF ＝ EC ＝ BC － BE ＝8－3.5＝4.5（m）.
∵ ＝ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ＝ .
又∵矩形 ABCD 与矩形 ECDF 的四个直角都对应相等，
∴矩形 ABCD ∽矩形 ECDF .
[技巧归纳]判断两个多边形是否相似，需根据定义，对
应边成比例，对应角相等.对于两个矩形，只需要判断
其对应边是否成比例即可.
3. 下列说法正确的有（ C ）
①任意两个矩形都相似；
②任意两个正方形都相似；
③任意两个等边三角形都相似；
④任意两个菱形都相似.
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
C
4. 甲、乙、丙三名同学各制作了一个矩形模型，尺寸如
图所示，其中相似的是（ B ）
A. 甲和乙 B. 甲和丙
C. 乙和丙 D. 甲、乙和丙
（第4题）
B
题型三 相似比
把一个矩形剪去一个正方形后，所剩下的矩形与
原矩形相似，求原矩形与新矩形的相似比.
解：如答案图，将矩形 ABCD 剪去正方形 ABEF 后，即
得矩形 ECDF .
依题意，知矩形 ABCD ∽矩形 ECDF .
（答案图）
∴ ＝ .
又∵ AB ＝ CD ＝ BE ，
∴ ＝ .
设 AB ＝1，则 BE ＝ CD ＝1， EC ＝ BC －1.
∴ ＝ .
整理，得 BC2－ BC －1＝0，解得 BC ＝ .
∵ BC 是矩形 ABCD 的长，
（答案图）
∴ BC ＝ .∴ ＝ .
即原矩形与新矩形的相似比为（1＋ ）∶2.
（答案图）
5. 如图，在正方形 ABCD 中， E 是 AC 上一点， EF ⊥
AB ， EG ⊥ AD ， AB ＝6， AE ∶ EC ＝2∶1.则四边形
AFEG 的面积为 .
（第5题）
16
6. 如图，把矩形 ABCD 对折，折痕为 MN ，矩形 DMNC
与矩形 ABCD 相似，已知 AB ＝1.
（1）求 AD 的长；
解：（1）由已知，得 MN ＝ AB ＝ CD ，
MD ＝ AD ＝ BC .
∵矩形 DMNC 与矩形 ABCD 相似，
∴ ＝ ，即 AD2＝ AB2.
∵ AB ＝1，∴ AD ＝ .
（第6题）
（2）求矩形 DMNC 与矩形 ABCD 的相似比.
解：（2）∵ DM ＝ AD ＝ ，
∴ DM ∶ AB ＝ ∶2.
∴矩形 DMNC 与矩形 ABCD 的相似比为
∶2.
（第6题）
