1.1 椭圆及其标准方程 教学设计（表格式）

教学设计
课 题 椭圆及其标准方程
课时安排 1课时 课前准备 PPT课件
教材内容 分 析 椭圆及其标准方程的主要内容是椭圆的定义，椭圆的焦点、焦距的定义，椭圆的标准方程。从知识点的前后联系来看，本节的学习建立在必修2中“圆的定义及其标准方程”的内容的基础上，是又一个二次曲线的实例，同时也是进一步学习椭圆的有关性质和双曲线、抛物线的有关问题的基础。从方法的前后联系来看，它是对学习直线和圆中所学的用解析法推导轨迹方程的又一次实际演练，同时也为进一步研究双曲线、抛物线的并定义及其标准方程提供了基本模式和理论基础。从本章的教材编排上来看，椭圆及其标准方程是本章的首个课时的内容，它的学习对整个这一章具有导向和引导作用，具有重要地位。总的来说，本节课的内容起到了承前启后、铺路架桥的作用，是本章和本节的重点。
设计理念 在教学设计过程中应充分利用学生已有的知识经验，引导学生通过类比的方法掌握新知识，获得能力的提升。注重对数形结合、分类讨论、类比、化归数学思想方法的渗透。注重设计以下两个类比活动：第一，运用动手操作的方式从圆的画法类比到椭圆的画法，让学生感受动手操作的过程，建立直观的概念；第二，类比圆的标准方程的推导过程，合理建系推导出椭圆的标准方程。
学情分析 学生已有认知基础：根据日常生活中的经验，学生对椭圆有了一定的认识；在本节课之前学生已经学习过圆的定义及其标准方程，对解析几何和二次曲线已经有了一个初步的认实；学生已经学习过用解释法求解曲线方程的一般步骤，初步体验到了数形结合的思想。 达成目标所需的认知基础：具有一定的抽象概括能力能够对几何图形进行精确定义；能够类比圆的标准方程的推导过程，运用数形结合的思想和解析法得到其他曲线的标准方程。 学生已有基础和所需基础的差距：学生对椭圆的认识没有达到抽象的概念水平，不能用精确的语言描述，从感性认识到理性认识需要通过进一步的探究归纳；本节距离学生圆的概念及其标准方程的学习时日已久，学生对知识和方法既可能已经模糊，需要老师引导回顾；学生的运算水平有限，在进行复杂的解析法推导标准方程的计算方面，难免会有些困难，不能完全的独立完成需要老师做适当的指导。
教学目标 1.了解椭圆的实际背景，掌握椭圆的定义，椭圆的焦点、焦距的定义；学会推导椭圆的标准方程，能够根据条件确定椭圆的标准方程。 2.通过椭圆的定义及标准方程的推导进一步掌握求曲线标准方程的方法，在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力；在运用类比、数形结合、分类讨论、化归等数学思想方法的过程中，提高学生解决几何问题的能力。 3.在动手实验、合作学习的过程中感受探究合作的乐趣，培养合作学习的意识；在分析问题、解决问题的过程中培养学生的应用意识，创新意识；体会数学的严谨性、对称美、简洁美。
教学重难点 重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程的推导。 难点：椭圆的标准方程的推导过程中坐标系的选择、含根式的代数式的化简。
教学过程
1.创设情境 导入新课 师生活动 观察下面几张生活中的图片： 答案：圆和椭圆 问题1：图片中有哪些几何图形？ 问题2：我们在前面已经研究过了圆，大家回想一下圆是怎么定义的呢？怎么用集合的语言表示呢？ 圆：平面内到定点的距离等于一个常数的点的轨迹。 问题3：生活中常常需要用到圆，怎么画一个标准的圆呢？ 利用我们课前准备的材料（一块硬纸板，两颗图钉，一根细绳，铅笔），两个人一个小组，画一个圆。 师：引导学生观察图片，帮助学生回忆椭圆的定义，对学生回答不完整的地方进行补充，强调关键词，与学生共同完成定义的集合表示。学生绘制圆的过程中进行观察指导，在学生绘制完成后展示其成果，并且运用几何画板动态演示圆的绘制过程。 生：观察图片，回答老师的问题。将绳子的两端固定在同一个定点上，用笔尖勾起绳子的中点使绳子绷紧，围绕定点旋转绘制一个圆。
设计意图 1）使学生对椭圆有一个感性的认识，明白它作为一个与圆类似的图形，经常出现在我们的生活中。 （2）通过提问启发学生思考，激活学生已有的认知结构，注重文字语言与集合语言的转换使用，为研究椭圆的画法奠定基础，引出课题。
2.实验感知 建构概念（1） 师生活动 （1）【动手实验】 问题1：我们会画椭圆，从刚刚的图片看到，椭圆也经常出现在我们的生活中，那么椭圆是怎么画的呢？ 问题2：试一试，用图钉把绳子的两端分别固定在两个定点上，标记两个定点为，笔尖勾直绳子，移动笔尖，得到的轨迹是什么？ 学情预设：实验工具中的绳子和图钉由教师向学生提供，绳子的长度一致，但是不同的学生选择的定点距离不同，因此画出的椭圆也不完全相同。教师在展示学生的成果时，有意的选择定点距离差异较大的几个。 思考：绳长一致，两定点的距离不同，椭圆的形状有什么不同？ 生：按照老师提供的方法，动手操作后，发现绘制的结果是一个椭圆。发现两定点距离越大，椭圆越扁。 师：指导学生绘制椭圆，展示几组学生的成果。
设计意图 （1）在“做”中学数学，学生通过动手实验的过程去体会椭圆的形成过程，从而对椭圆的定义形成一个直观的认识，为进一步概括椭圆定义做准备。 （2）使学生初步认识为定值时，对椭圆的扁的长度的影响，为椭圆的性质的学习埋下伏笔。
2.实验感知 建构概念（2） 师生活动 （2）【实验总结】 问题：作图过程中，那些量变了？哪些量没有变？设笔尖为一个动点，到定点的距离有什么样的关系？ 验证：学生回答完之后，教师用几何画板演示椭圆的绘制过程，引导学生观察几何画板界面中显示的数据，与的值一直在改变，但是一个不变值。 生：回想绘图过程，回答教师提出的问题。 师：引导学生找出不变量，对学生的回答进行总结，再用几何画板直观验证。
设计意图 （1）引导学生自己发现椭圆的几何特征，培养学生的概括能力。 （2）通过几何画板展示椭圆的形成过程和相关数据，更加直观可信，有利于下一步让学生自己归纳出椭圆的定义。
3.抽象概括 理解概念 师生活动 （1）【总结定义】 问题1：根据刚刚自己动手画椭圆的过程和几何画板演示的数据，我们找到了椭圆形成过程中的不变量，类比圆的定义，能否总结出椭圆的定义？ 我们把平面内到两个定点的距离之和等于常数的点的集合叫做椭圆。 问题2：类比圆的集合表示，设椭圆定义中的常数为，用集合语言怎么表示这个定义？写一写。 （2）【完善定义】 翻看课本上的定义，与刚刚总结的定义对比。 问题1：仔细阅读一下定义，定义中有什么特别的要求？ 问题2：如果定义中常数等于，点的集合形成的轨迹是什么？ （几何画板演示验证） 问题3：如果定义中常数小于，点的集合形成的轨迹是什么？ 总结：椭圆的定义中一定要强调，令，则椭圆用集合语言应该表示为： 两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做椭圆的焦距。
设计意图 （1）类比圆的定义的方法得到椭圆定义，给学生自主探索的机会，提高学生的类比思考，归纳概括能力。 （2）椭圆的集合语言表示，能够为学生在推导椭圆的标准方程中列式提供帮助。 （3）营造积极参与、师生合作的课堂氛围，准确把握椭圆的定义，突出关键，让学生理解掌握知识的同时体会到数学的严谨性，体会分类讨论的思想。
4.类比迁移 推导方程 师生活动 （1）【回顾旧知】 前面我们总结了椭圆的定义，为了从代数的角度刻画一个椭圆，我们来研究一下它的标准方程。 问题1：回顾一下，我们在哪里学过标准方程？坐标法推导它的标准方程的基本步骤是什么？ （1）建系 （2）设点： （3）列式：由 列出 化简： 问题2：如果以圆心为坐标原点，得到的圆的方程是什么？（强调圆心是圆的对称中心） 问题3：哪个方程更简单一些？如果我们推导椭圆的标准方程时想让方程变得更简单，应该怎么建系呢？ （2）【合理建系】 根据推导标准方程的步骤，类比圆的标准方程的推导过程来推导椭圆的标准方程。让学生在刚刚两人一组绘制的椭圆中合理建系，尽量使最后得到的方程更简单。 学情预设：（1）学生可能会出现多种建系方式，教师可对不同的建系方式进行展示，让学生解释为什么这样建系，有什么好处。（2）如果学生普遍选择以椭圆的对称中心为坐标原点，以所在直线为轴，教师可直接总结。 教师总结：理论上说，怎么建系都能得到椭圆的方程，但是建系一般以简洁、对称为好，这样得到的方程形式才会更加的简单。在课堂上我们以椭圆的对称中心为坐标原点，以所在直线为轴建系，来推导椭圆的标准方程，选择了其他建系方式的同学课后按照我们接下来的推导方法推导椭圆的标准方程，验证是不是我们选择的方法得到的方程更简单。 （3）【设点列式】 问题1：前面我们令，那么的坐标是什么？ 问题2：设椭圆上一点为，根据椭圆的集合表示： 可以用来列式的条件是什么？将点带入到条件中，列出的方程是什么？ （4）【化简】 让学生自己动手来化简上述方程，请两位同学到黑板上化简。 问题：化简过程中想一想，怎么样更简单的去根号呢？ 学情预设：学生化简时，有的可能直接平方，有的先移项再平方。 直接平方： （左右平方比较复杂） 移项后再平方： ， ， ， 引导学生观察等式两边的特点，发现都有， ， ， 都是定值，为了简化式子，令，则， 则，两边同除以，则 这是焦点在轴上时椭圆的标准方程。 （5）【对比思考】 问题1：如果我们把椭圆的焦点放在轴上建系，椭圆的方程是什么？需要按照刚刚的方法再推导一遍吗？ 分析：如果把椭圆的焦点放在轴上其焦点为，列出的方程为 对比 问题2：把第二个式子和互换，这两个式子是不是就完全相同了？ 总结：完全相同，因此，我们只要把中的和互换，就可以得到焦点在轴上的椭圆的标准方程。 这是焦点在轴上时椭圆的标准方程。因此，椭圆的标准方程有两个，并且椭圆的标准方程是一个专有名词，只有这两个形式的方程可以称为椭圆的标准方程。
设计意图 （1）唤醒学生已有认知基础，渗透数形结合的思想，引导学生明确思维的方向，为下一步在椭圆上建立适当的坐标系推导标准方程做铺垫。 （2）椭圆的建系方式确实不止一种，应该先给学生自由发挥的空间，再告诉学生一般的建系方式。让选择其他建系方式的同学通过对比来发现我们选择的建系方式的优点，让他们发现建系的一般规律的同时，强化推导过程的，为接下来进行双曲线、抛物线标准方程的推导打下基础。 （3） 类比的方式引导学生正确设点列式，为下一步化简做铺垫，化简椭圆方程是本节课的难点，学生直接独立完成化简可能耗时较多，通过提问“如何更简单的去根号”引发学生思考，让尽可能多的学生发现简单的化简方式，提高课堂效益，突破难点。使学生掌握化简含根号的等式的方法，提高运算能力，感受数学的简洁美。 （4）通过椭圆的焦点在轴上椭圆标准方程的推导，体会数学中的化归思想，化未知为已知，避免重复计算浪费时间。
5.多项分析 提高辨识 师生活动 问题：结合下图，观察椭圆的标准方程思考，的几何意义是什么？你能在图中找出表示的线段吗？ 生：积极思考找出线段。 师：根据学生的回答，提出虽然是我们化简过程中为了使方程形式更加简单而引入的，但是它在椭圆中也有特殊的几何意义。
设计意图 强调三个基本量的几何意义，为椭圆的性质的学习打下基础。
6.应用拓展 提升能力 师生活动 下面通过一组例题来巩固我们学的以上知识。 【例1】 下列哪些方程表示的是椭圆？如果是椭圆，请写出它的焦点坐标。 ； ； ； . 【例2】 已知是两个定点，,且的周长等于22，求顶点满足的一个轨迹方程。 解：由已知，，得. 由定义可知点的轨迹是一个椭圆，且，即 所以. 建立平面直角坐标系，使得经过两点，原点为的中点。 当点在直线上时，三点不能构成三角形。 因此，点满足的一个轨迹方程是
设计意图 明确椭圆两种标准方程的形式和特征，进一步理解椭圆的焦点位置与标准方程之间的关系，加深对椭圆的定义和椭圆标准方程的理解。
7.思考回顾 归纳总结 师生活动 问题1：这节课，我们学习了哪些内容？ 问题2：这些内容中要注意什么？ 问题3：学习过程中运用到了哪些数学思想方法？ 数形结合、类比、化归、分类讨论 师：提出问题，抽取学生回答，对学生的回答予以总结。 生：回想所学内容，积极思考，自己试着归纳总结所学内容。 师与生：结合本节课板书内容，做好整体的归纳总结。
设计意图 让学生自己回忆所学，加深知识印象。以学生为主总结归纳，锻炼学生的探究、归纳能力。师生合作，达到良好学习效果。
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