17.2一元二次方程根的判别式、根与系数关系课件(二)（北京课改版八年级下）

课件12张PPT。一元二次方程根的判别式、
根与系数的关系
一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式是一个比较重要的知识点，它的应用很广泛，既可以用来判断一元二次方程根的情况，还是后续知识点的基础和准备。另一方面，根的判别式也能独立形成综合题。一元二次方程ax 2＋bx＋c＝0（a≠0）的判别式：△=b 2－4ac△＞0方程有两个不相等的实数根．
　　　△=0方程有两个相等的实数根．
　　　△＜0方程没有实数根．
　　　△≥0方程有两个实数根．
上述命题的逆命题也正确例1：不解方程判断下列方程根的情况
① x2-4x-1=0 ②x2+5=2x ③ x2-mx+m2+1=0例2：k取何值时，方程4 x2-（k+2）x+（k-1）=0
①有一个根是-1。 ②有两个相等的实根分析：①方程有一个根是-1，需将x=-1代入原方程
②方程有两个相等的实根，既△=0例3：当m为何值时，方程（m-1）x2+2mx+m+3=0
①﹑无实根 ②﹑有实根 ③﹑只有一个实根
④﹑有两个实根 ⑤﹑有两个不等实根 ⑥﹑有两个相等实根分析 （1）﹑只需△<0

（2）、分情况讨论 ① m-1=0 ② △≥0 且m-1≠0

（3）﹑当m-1=0时

（4）、 △≥0 且 m-1≠0

（5）、△＞0 且 m-1≠0

（6）、 △=0 且 m-1≠0
例4：求证关于x的方程x2-（m+2）x+2m-1=0有两个不相等的实根。 证明：△=[-（m+2）] 2-4（2m+1）=m2 -4m+8=（m-2）2 + 4
∵不论m为何实数（m-2）2≥0
∴（m-2）2+4一定是正数 既△＞0
∴方程x2-（m+2）x+2m-1=0有两个不相等的实根例5：已知a是实数且方程x2+2ax+1=0 ①有两个不相等的实根。试判别方程
（2a 2-1）x2+2ax+2a 2-1=0 ②没有实根解：∵方程x2+2ax+1=0有两个不相等的实根
∴Δ 1=4a2-4＞0 既a2＞1
方程②中a＞1 ∴ 2a2-1＞1≠0
既方程②为一元二次方程
Δ 2=4a2-4（2a-1）2=-4（4a-1）（a-1）
∵a2＞1 ∴a2-1＞0 ∴（4a2-1）＞0
2=-4（4a2-1）（a2-1）<0
∴方程②无实根一元二次方程的根与系数关系一元二次方程的根与系数关系(或称韦达定理)是初中数学内容中一个很重要的知识点，在中考中占有重要的地位，纵观近年全国各地的中考试题，这个知识点的考查可以解决以下几个问题： 一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x 1，x 2，那么
　　一：掌握常见变形，快速求值例1：已知方程2x 2-7x+2=0的两根为x 1和x 2，求下列各式的值
（1）x 1 2+x 22 （2）+ （3）（x 1-x 2）2 （4）（x 1-2）(x 2-2)

(5) x 1 2 x 2 + x2 2 x2 -3二、已知方程的根，求另一根及某一系数例2： (1)已知方程mx 2＋4x＋3＝0有一根是1，另一根是______．
(2)若方程x 2＋kx＋3＝0有一根是－1，则k＝______三：以两个数为根作一元二次方程以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0例3：分别以x 2+3x-2=0的两根和与两根积为根的一元二次方程是：
分析：本题求一个已知两个根的一元二次方程，关键是要求出两个根的和与两根的积。四、不解方程，求与根有关的代数式的值例2 若a、b为互不相等的实数，且a 2－3a＋1＝0，b 2－3b+1=0 求a 2-ab+b 2的值分析：要求一个含字母a、b的代数式的值，常规的解法就是先求出a、b的值，然后代入求解．本题若按这个思路计算将会涉及到解一元二次方程及二次根式的运算，运算量非常大．但如果考虑a、b的关系，把a、b看作某个一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系得到a、b的关系式，再利用a、b的关系式整体代入，问题将会变得简便．解：根据题意知a、b是方程x 2－3x＋1＝0的两个根由根与系数关系得a＋b＝3，ab＝1．点评：本题的解题关键是把a、b看作一元二次方程x 2－3x＋1＝0的两根，利用根与系数关系得a＋b＝3，ab＝1，再通过运用整体代换的思想代入运算，问题可求．利用根与系数的关系求与根有关的代数式的值，五、利用给出条件，确定一个一元二次方程中某个字母系数的值例3 已知关于x的方程x 2＋px＋q＝0的两实数根和的平方比两实数根之积大7，而两实数根差的平方比两实数根之积的3倍小5，求p、q值． 分析：本题要求已知一元二次方程x 2＋px＋q＝0中的字母系数p、q的值，只要利用题目的条件，把p、q的关系式列出，再通过变形得到关于p、q的方程组，解此方程组即可求出p、q．解：设方程的两实数根分别为x 1、x 2则由根与系数的关系，得
X 1＋x 2＝－p，x 1·x 2＝q， ……① 又由题意得(x 1＋x 2) 2＝x 1·x 2＋7 ……②
(x 1－x 2) 2＝3 x 1·x 2－5 ……③ ∵(x 1－x 2) 2＝(x 1＋x 2) 2-4 x 1·x 2
代入③得(x 1＋x 2) 2＝7x 1·x 2－5 ……④
将①式分别代入②、④中，得 p 2=q+7 p=3 p=-3
p 2=7q-5 即： q=2 q=2例1 选择题：若方程3x 2＋(k 2－3k－10)x＋3k＝0的两根互为相反数，k的值为 [ ]
A．5 B．－2 C．5或－2 D．0
分析：不能只考虑到需两根和等于0，还要考虑到需Δ≥0例2：m为何实数时，方程4x 2＋(m－2)x＋m－5＝0的根都小于零？
分析：要使原方程的根都小于零，必需Δ≥0， x 1＋x 2<0 ， x 1·x 2＞0
例3：如果两圆圆心距等于2，半径分别为R，r，且R，r是方程4x 2－20x＋21＝0的两个根，判断两圆的位置关系．综合应用，主要是与三角、几何和函数等知识综合应用例4： 已知抛物线y＝x 2－2kx＋2k－1与x轴有两个不同交点．
求(1)k值范围；(2)若抛物线与x轴两交点间的距离为2，求抛物线的解析式 解：(1)因为抛物线与x轴有两个不同交点，所以x 2－2kx＋2k－1＝0有两个不相等的实数根．
即Δ＝(－2k) 2－4(2k－1)＞0，(k－1) 2＞0，∴k≠1．
(2)设抛物线与x轴交点为(x 1，0)，(x 2，0)，x 1+ x 2=2k ， x 1﹒x 2=2k-1
∣x 1-x 2∣=2 得：（2k）2-4(2k-1)=4
解得k 1＝0，k 2＝2．
所以抛物线为y＝x 2－1 或y＝x 2－4x＋3．
注意：这类题目应注意抛物线与x轴两交点之间的距离就是一元二次方程两根之差的绝对值．因而应用此类关系式可以确定抛物线的解析式．思考题：1、已知x 1，x 2是一元二次方程2x 2-2x+m+1=0的两个实数根，
（1）、求m的取值范围
（2）、如果x 1，x 2满足7+4 x 1﹒x 2＞x 1 2+x 2 2 且m为整数，求m的值。

2、已知x 1，x 2是关于x的一元二次方程x 2+2mx+m-1=0的两个负实数根，且
X 1 2+x 2 2 =8。求m的值
3、已知⊙O的面积为π，△ABC内接于⊙O，a、b、c分别是三角形三个内角A、B、C的对边，且a 2＋b 2＝c 2，sinA、sinB是方程
[m-( -1)]x 2-[m+( -1)]x+ =0的两根
(1)判定△ABC的形状； (2)求m的值； (3)求△ABC三边的长