2025人教A版高中数学必修第一册同步练习题--1.4.1　充分条件与必要条件　1.4.2　充要条件（含解析）

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2025人教A版高中数学必修第一册
1.4　充分条件与必要条件
1.4.1　充分条件与必要条件　1.4.2　充要条件
基础过关练
题组一　充分条件、必要条件与充要条件的判定
1.(2024江苏扬州五校联考)已知p:0A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.(2024山西大学附中模块诊断)荀子曾说过:“故不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海.”这里的“积跬步”是“至千里”的(　　)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
3.(2024山东联考)黄金三角形被称为最美等腰三角形,因此它经常被应用于许多经典建筑中.黄金三角形有两种,一种是顶角为36°,底角为72°的等腰三角形,另一种是顶角为108°,底角为36°的等腰三角形,则“△ABC中有一个角是36°”是“△ABC为黄金三角形”的　(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.(2024湖北武汉期中)设M,N为两个集合,则“M∪N≠ ”是“M∩N≠ ”的(　　)
A.充分不必要条件　　　　
B.必要不充分条件
C.充要条件　　　　
D.既不充分也不必要条件
5.(2024重庆八中月考)已知p是r的充分条件,q是r的充分不必要条件,s是r的必要条件,p是s的必要条件,现有下列命题:①r是p的必要不充分条件;②r是s的充分不必要条件;③q是p的充分不必要条件;④s是q的充要条件.其中正确命题的序号是(　　)
A.①　　　　B.②　　
C.③　　　　D.④
6.(2024黑龙江哈尔滨第三中学校月考)下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的必要条件的有(　　)
①若x,y是偶数,则x+y是偶数;
②若a<2,则方程x2-2x+a=0有实根;
③若四边形的对角线互相垂直,则这个四边形是菱形;
④若ab=0,则a=0.
A.0个　　　　B.1个　　
C.2个　　　　D.3个
7.(多选题)(2024河南信阳高级中学月考)下列结论中正确的是(　　)
A.“x>3”是“x>5”的必要不充分条件
B.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x+y≥4”的充分不必要条件
C.“00恒成立”的充要条件
D.在△ABC中,“AB2+AC2=BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件
8.(2024湖北孝感期末)已知U是全集,A,B是U的两个子集,则“A∩B=A”是“( UB) ( UA)”的　　　　条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选择一个作答).
题组二　充分条件、必要条件与充要条件的探究与证明
9.(2024湖北新高考联考协作体期中)使x2<4成立的一个充分不必要条件是(　　)
A.x<2　　　　B.0C.-2≤x≤2　　　　D.x>0
10.(多选题)(2024河南郑州期中)一元二次方程x2+4x+n=0有正数根的充分不必要条件是(　　)
A.n=4　　B.n=-5　　C.n=-1　　D.n<0
11.若a,b都是实数,试从①ab=0;②a+b=0;③a(a2+b2)=0;④ab>0中选出适合的条件填在下面横线处(用序号填空):
(1)“a,b都为0”的必要条件是　　　　;
(2)“a,b都不为0”的充分条件是　　　　;
(3)“a,b至少有一个为0”的充要条件是　　　　.
12.(教材习题改编)已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
题组三　充分条件、必要条件与充要条件的应用
13.(2023辽宁省实验中学月考)若“x>2a-3”是“-1A.a<1　　B.a≤1　　C.a>1　　D.a≥1
14.(2024天津耀华中学月考)若“x>a”是“x≤2或x≥3”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是　　　　.
15.(2024福建莆田期末)已知非空集合P={x|a+1≤x≤2a+1},Q={x|-2≤x≤5}.
(1)若a=3,求( RP)∩Q;
(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
16.(2024重庆部分学校月考)已知集合A={-1,3},非空集合B={x|x2-ax+3b=0},若“x∈B”是“x∈A”的充分条件,求3a+4b的值.
答案与分层梯度式解析
1.4　充分条件与必要条件
1.4.1　充分条件与必要条件　1.4.2　充要条件
基础过关练
1.A 2.C 3.B 4.B 5.C 6.D 7.AB 9.B
10.BC 13.B
1.A　因为{x|02.C　“故不积跬步,无以至千里”,即“要至千里,必需积跬步”,而“至千里”还可能有其他必备因素,故选C.
3.B　若△ABC中有一个角是36°且△ABC不是等腰三角形,则△ABC不是黄金三角形,充分性不成立;
反之,若△ABC为黄金三角形,则△ABC中必有一个角是36°,必要性成立,因此,“△ABC中有一个角是36°”是“△ABC为黄金三角形”的必要不充分条件.故选B.
4.B　由M∪N≠ ,得M,N中至少有一个不是空集,而M∩N可能是空集,
因此M∪N≠ 推不出M∩N≠ ,所以充分性不成立;
由M∩N≠ ,说明M,N都不是空集,且M与N至少有一个公共元素,因此M∪N≠ ,
即由M∩N≠ 能推出M∪N≠ ,所以必要性成立.因此“M∪N≠ ”是“M∩N≠ ”的必要不充分条件.
故选B.
5.C　根据题意,可得p r,r s,s p,q r且r /q,
因此p、r、s两两互为充要条件,并且q是p的充分不必要条件,所以只有③正确.故选C.
6.D　对于①,若x+y是偶数,则x,y可能都是偶数,也可能都是奇数,故①不符合题意;对于②,若方程x2-2x+a=0有实根,则Δ=4-4a≥0,即a≤1,可推出a<2,故②符合题意;对于③,若四边形是菱形,则四边形的对角线互相垂直,故③符合题意;对于④,若a=0,则ab=0,故④符合题意.故选D.
7.AB　对于A,“x>5”能推出“x>3”,反之未必,因此“x>3”是“x>5”的必要不充分条件,故A正确;
对于B,若x≥2且y≥2,则x+y≥4,故充分性成立,当x=1,y=5时,满足x+y≥4,但x<2,故必要性不成立,故B正确;对于C,当a=0时,ax2+ax+1=1>0恒成立,故C错误;对于D,在△ABC中,当AB2+AC2=BC2时,△ABC为直角三角形,故充分性成立,当△ABC为直角三角形时,还可能得出AC2+BC2=AB2或AB2+BC2=AC2,故必要性不成立,故D错误.故选AB.
8.答案　充要
解析　由A∩B=A,得A B,故( UB) ( UA),充分性成立;
由( UB) ( UA)得A B,故A∩B=A,必要性成立,
所以“A∩B=A”是“( UB) ( UA)”的充要条件.
9.B　由x2<4,得到-2解题模板　一般将充分、必要条件的探求问题转化为集合间的关系问题,根据“小充分、大必要”求解.
10.BC　由一元二次方程x2+4x+n=0有实数根知Δ=16-4n≥0,即n≤4.
设两实数根为x1,x2,则x1+x2=-4,
又方程x2+4x+n=0有正数根,因此x1,x2一正一负,
所以x1x2=n<0,所以一元二次方程x2+4x+n=0有正数根的充分不必要条件可以是选项B、C.故选BC.
解题模板　解决充分条件、必要条件的探究问题,常先探究其充要条件,再利用充要条件进行判断.
11.答案　(1)①②③　(2)④　(3)①
解析　①ab=0 a=0或b=0,即a,b中至少有一个为0;
②a+b=0 a,b互为相反数,则a,b可能都为0,也可能一正一负;
③a(a2+b2)=0 a=0或
④ab>0 或即a,b同号且都不为0.
12.证明　必要性:因为a+b=1,
所以a+b-1=0.
所以a3+b3+ab-a2-b2=(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.
充分性:因为a3+b3+ab-a2-b2=0,
所以(a+b-1)(a2-ab+b2)=0,
又ab≠0,所以a≠0且b≠0.
则a2-ab+b2=+b2>0,
所以a+b-1=0,即a+b=1.
综上可得,当ab≠0时,a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
易错警示　有关充要条件的证明,要从两个方面考虑,即充分性和必要性,缺一不可,解题时还要注意不能将充分性与必要性弄反了.
13.B　因为“x>2a-3”是“-1所以集合{x|-12a-3}的真子集,故有2a-3≤-1 a≤1,故选B.
14.答案　{a|a≥3}
解析　∵“x>a”是“x≤2或x≥3”的充分不必要条件,∴{x|x>a} {x|x≤2或x≥3},∴a≥3.
15.解析　(1)当a=3时,P={x|4≤x≤7}, RP={x|x<4,或x>7}.又Q={x|-2≤x≤5},
所以( RP)∩Q={x|-2≤x<4}.
(2)因为“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件,所以P是Q的真子集,
又Q={x|-2≤x≤5},P≠ ,
所以或解得0≤a≤2.
故a的取值范围是{a|0≤a≤2}.
解题模板　研究充分性、必要性时,可转化为集合间的关系,若p,q对应的集合为P、Q,则p是q的充分条件 P Q,p是q的必要条件 Q P.
16.解析　依题意得B A,B≠ ,所以B={-1}或B={3}或B={-1,3}.
当B={-1}时,有
所以3a+4b=3×(-2)+4×=-;
当B={3}时,有
所以3a+4b=3×6+4×3=30;
当B={-1,3}时,有
所以3a+4b=3×2+4×(-1)=2.
综上,3a+4b的值为-或30或2.
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