2025人教A版高中数学必修第一册同步练习题--1.5.1　全称量词与存在量词 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定（含解析）

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2025人教A版高中数学必修第一册
1.5　全称量词与存在量词
1.5.1　全称量词与存在量词
1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定
基础过关练
题组一　全称量词命题与存在量词命题及其真假判断
1.下列不是“ x∈R,x2>3”的表述方法的有(　　)
A.有一个x∈R,使得x2>3成立
B.对有些x∈R,x2>3成立
C.任选一个x∈R,都有x2>3成立
D.至少有一个x∈R,使得x2>3成立
2.下列命题是全称量词命题的有(　　)
A.有些实数没有倒数
B.所有的矩形都有外接圆
C.存在一个实数与它的相反数的和为0
D.过直线外一点有一条直线和已知直线平行
3.(2023山东德州一中月考)下列命题为真命题的是(　　)
A. x∈R,x2-x+≥0
B.所有的矩形都是正方形
C. x∈R,x2+2x+2≤0
D. x∈R,x2+1=0
4.(多选题)(2024山西大学附中模块诊断)在下列命题中,真命题有(　　)
A. x∈R,x2+x+3=0B. x∈Q,x2+x+1是有理数
C. x,y∈Z,使3x-2y=10D. x∈R,x3-x2+1≤0
5.(多选题)(2024安徽皖北地区部分学校月考)下列命题中,是真命题的有(　　)
A.设A,B为两个集合,若A B,则对任意x∈A,都有x∈B
B.设A,B为两个集合,若A不包含于B,则存在x∈A,使得x B
C. x∈{y|y是无理数},x2是有理数
D. x∈{y|y是无理数},x3是无理数
6.(多选题)(2024重庆期中)下列命题是真命题的有　(　　)
A.所有平行四边形的对角线都互相平分
B.若x,y是无理数,则xy一定是有理数
C.若m<1,则关于x的方程x2+2x+m=0有两个负根
D.两个相似三角形的周长之比等于它们的对应边之比
7.(教材习题改编)指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断其真假.
(1)存在一个四边形不是平行四边形;
(2)直角坐标系内任何一条直线都与x轴有交点;
(3)每个二次函数的图象都有最低点;
(4)矩形有一个外接圆.
题组二　全称量词命题和存在量词命题的否定及其真假判断
8.(2024广东佛山一中质检)已知命题p: x<1,x2≤1,则 p为(　　)
A. x≥1,x2>1　　　　B. x<1,x2>1　　
C. x<1,x2>1　　　　D. x≥1,x2>1
9.已知:① x∈R,x2+x+1>0;②不存在实数x,使x3+1=0;③ n∈R,n2≥n;④至少有一个实数x,使得x3+1=0.以上命题的否定为真命题的是(　　)
A.①③　　B.②③　　C.②④　　D.①④
10.(2024福建厦门一中适应性考试)命题“ x∈{x|x≥0},x2-kx+1>0”的否定是　　　　.
11.若命题p: x∈R,<0,则 p:　　　　　.
12.(2024山东联考)写出下列命题的否定,并判断其真假.
(1)命题p:梯形的内角和是360°;
(2)命题q: a∈R,二次函数y=9x2+7a的图象关于y轴对称.
题组三　全称量词命题与存在量词命题及其否定的应用
13.(2024湖南长沙明德中学月考)已知命题p: x∈R,x2+8x+a=0是假命题,则实数a的取值范围是(　　)
A.016　　C.a<0　　D.a≥4
14.(多选题)(2023陕西西工大附中月考)已知命题p: x∈R,ax2-4x-4=0为真命题,则a的值可以为(　　)
A.-2　　B.-1　　C.0　　D.3
15.(2024辽宁辽东教学共同体联考)命题“ x∈{x|1≤x≤3},3x2-a≥0”为真命题的一个必要不充分条件是(　　)
A.a≤4　　B.a≤2　　C.a≥3　　D.a≤0
16.若“ x∈{x|1≤x≤3},2x+a≥0”为假命题,则实数a的取值范围为　　　　.
17.某学校开展小组合作学习模式,高二某班某组甲同学给组内乙同学出题如下:若“ x∈R,x2+2x+m≤0”是假命题,求m的取值范围.乙略加思索,也给了甲一道题:若“ x∈R,x2+2x+m>0”是真命题,求m的取值范围.这两位同学出的题中m的取值范围是否一致 请说明理由.
18.(2023福建福州高级中学适应性考试)已知命题p: x∈{x|1≤x≤2},x2+x-a≥0,命题q: x∈R,x2+3x+2-a=0.
(1)当p为假命题时,求实数a的取值范围;
(2)若p和q中有且只有一个是真命题,求实数a的取值范围.
答案与分层梯度式解析
1.5　全称量词与存在量词
1.5.1　全称量词与存在量词
1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定
基础过关练
1.C 2.B 3.A 4.BC 5.ABD 6.AD 8.C 9.B
13.B 14.BCD 15.A
1.C　“ ”是存在量词,选项A中“有一个”,选项B中“有些”,选项D中“至少有一个”都是存在量词,与“ ”表述相同;选项C中“任选一个”是全称量词,不符合题意.故选C.
2.B　对于A,含有存在量词“有些”,为存在量词命题;
对于B,含有全称量词“所有的”,为全称量词命题;
对于C,含有存在量词“存在一个”,为存在量词命题;
对于D,含有存在量词“有一条”,为存在量词命题.
故选B.
3.A　对于A, x∈R,x2-x+=≥0,A为真命题;对于B,只有长和宽相等的矩形才是正方形,B为假命题;对于C, x∈R,x2+2x+2=(x+1)2+1≥1,C为假命题;对于D,x2+1=0无实根,D为假命题.故选A.
4.BC　因为x2+x+3=+>0,所以A是假命题;因为x是有理数,所以x2+x+1也是有理数,所以B是真命题;当x=4,y=1时,3x-2y=10,所以C是真命题;当x=0时,x3-x2+1=1>0,所以D是假命题.故选BC.
5.ABD　对于A,因为A B,所以对任意x∈A,都有x∈B,故是真命题;对于B,由于A不包含于B,所以存在x∈A,使得x B,故是真命题;对于C,当x=+1时,x2=3+2,是无理数,故是假命题;对于D,当x=时,x3=2,是无理数,故是真命题.故选ABD.
6.AD　易知A是真命题;当x=,y=时,xy=,是无理数,所以B是假命题;由关于x的方程x2+2x+m=0有两个负根,得解得07.解析　(1)存在量词命题.梯形不是平行四边形,所以该命题为真命题.
(2)全称量词命题.与x轴平行的直线与x轴无交点,所以该命题为假命题.
(3)全称量词命题.对于y=ax2+bx+c(a≠0),当a<0时,其图象有最高点无最低点,所以该命题为假命题.
(4)命题可以改写为“所有的矩形都有一个外接圆”,含有全称量词“所有的”,故是全称量词命题.以矩形的对角线为直径的圆是其外接圆,所以该命题为真命题.
8.C　改量词“ ”为“ ”,否结论“x2≤1”为“x2>1”,故选C.
9.B　x2+x+1=+>0,故①为真命题;当x=-1时,x3+1=0,故②为假命题,④为真命题;当n=时,n2方法技巧　命题的否定的真假判断,可以“先判断,再否定”,也可以“先否定,再判断”,视情况合理选择.
10.答案　 x∈{x|x≥0},x2-kx+1≤0
11.答案　 x∈R,>0或x=2
解析　<0隐含x-2≠0,故其否定为>0或x=2.
易错警示　写命题的否定时,要注意式子本身的意义,如:<0的反面不是≥0.
12.解析　(1) p:有一个梯形的内角和不是360°.
因为所有梯形的内角和都是360°,所以 p是假命题.
(2) q: a∈R,二次函数y=9x2+7a的图象不关于y轴对称.
对于y=9x2+7a,用-x替换x,仍成立,故其图象关于y轴对称,所以 q是假命题.
13.B　若命题p为假命题,则其否定为真命题,∴ x∈R,x2+8x+a≠0,∴Δ=64-4a<0,解得a>16.故选B.
解题模板　利用命题p或命题 p的真假求参数的取值范围时,有四种情况:命题p真、命题p假、命题 p真与命题 p假,解题时只要求出一个就能得到其他三个的范围,如求出命题p为真时参数的范围是A,则命题p为假与命题 p为真时参数的范围是 UA(U是全集),命题 p为假时参数的范围是A.
14.BCD　∵p为真命题,∴关于x的方程ax2-4x-4=0有实数根.
当a=0时,解得x=-1,符合题意;
当a≠0时,Δ=16+16a≥0,解得a≥-1,且a≠0.
综上,a的取值范围是{a|a≥-1}.故选BCD.
15.A　由题意可知,3x2≥a,x∈{x|1≤x≤3}恒成立,故只需a≤(3x2)min=3,
结合选项可知,{a|a≤3} {a|a≤4},
因此a≤4是命题“ x∈{x|1≤x≤3},3x2-a≥0”为真命题的一个必要不充分条件.故选A.
16.答案　a<-6
解析　依题意得“ x∈{x|1≤x≤3},a<-2x”是真命题,当1≤x≤3时,-6≤-2x≤-2,则a<(-2x)min=-6,故实数a的取值范围为a<-6.
17.解析　两位同学出的题中m的取值范围是一致的.
理由如下:∵“ x∈R,x2+2x+m≤0”的否定是“ x∈R,x2+2x+m>0”,而“ x∈R,x2+2x+m≤0”是假命题,则其否定“ x∈R,x2+2x+m>0”是真命题,∴两位同学出的题中m的取值范围是一致的.
18.解析　(1)由p为假命题,得 p为真命题,即 x∈{x|1≤x≤2},x2+x-a<0,即a>x2+x在x∈{x|1≤x≤2}时有解,所以a>(x2+x)min,x∈{x|1≤x≤2},易知当x=1时,(x2+x)min=2,所以a>2.
(2)由(1)可知,当p为真命题时,a≤2;当p为假命题时,a>2.
当q为真命题时,方程x2+3x+2-a=0在x∈R上有解,故Δ=9-4(2-a)≥0,解得a≥-;当q为假命题时,a<-.
所以当p为真命题,q为假命题时,a<-;当p为假命题,q为真命题时,a>2.
所以当p和q中有且只有一个是真命题时,a的取值范围是.
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