2025人教A版高中数学必修第一册同步练习题--2.1　等式性质与不等式性质（含解析）

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2025人教A版高中数学必修第一册
第二章　一元二次函数、方程和不等式
2.1　等式性质与不等式性质
基础过关练
题组一　用不等式(组)表示不等关系
1.(2024贵州遵义月考)持续的高温干燥天气导致某地突发山火,现需将物资运往灭火前线.从物资集散地到灭火前线一共40 km,其中靠近灭火前线5 km的山路崎岖,需摩托车运送,其他路段可用汽车运送.已知在可用汽车运送的路段,运送的平均速度为60 km/h,设需摩托车运送的路段的平均速度为x km/h,为使物资能在1小时内到达灭火前线,则x应该满足的不等式为(　　)
A.>1　　　　B.<1　　
C.+>1　　　　D.+<1
2.(教材习题改编)某校高一年级的213名同学去参观科技馆,租用了某公交公司的x辆公交车.如果每辆车坐30人,那么最后一辆车不空也不满,题目中所包含的不等关系为　　　　.
题组二　比较实数的大小
3.(2024河北秦皇岛期中)已知P=x2+2,Q=4x+3,则(　　)
A.P>Q　　　　B.PC.P=Q　　　　D.P,Q的大小与x有关
4.(2024天津河西期中)若a>b,且>,则ab　　　　0.(填“>”“<”或“=”)
5.(2024重庆期中)已知a=x2+3,b=2x+1,c=y2+3.
(1)比较a与b的大小;
(2)“x>y>0”是“a>c”的什么条件
题组三　不等式的性质及其简单应用
6.(2024北京丰台期中)下列说法正确的是(　　)
A.若a>b,则ac2>bc2
B.若a>b,则a-1C.若>,则a>b
D.若a>b,则a2>b2
7.(多选题)(2024山东泰安一中期中)下列说法正确的是(　　)
A.若a>b,则>1
B.若a>b,c>d,则a-d>b-c
C.若ac2>bc2,则a>b
D.若a>b,则<
8.已知a0,求证:>.
题组四　利用不等式的性质求代数式的取值范围
9.(2024江苏镇江丹阳月考)若实数x,y满足-2A.0C.-410.(2024山西大同一中月考)已知-211.(2024江苏南京六校联合体调研)已知3能力提升练
题组一　实数的不等关系
1.已知a=,b=-,c=-,则(　　)
A.a>b>c　　B.a>c>b　　C.c>a>b　　D.c>b>a
2.(2024河南郑州外国语学校月考)某品牌手机为促进销售,准备对其特定型号的手机降价,有四种降价方案:①先降价a%,再降价b%;②先降价%,再降价a%;③先降价%,再降价%;④一次性降价(a+b)%.其中a>b,则最终降价幅度最小的方案是(　　)
A.①　　B.②　　C.③　　D.④
3.(2024河北秦皇岛期中)某校新生加入乒乓球协会的人数多于加入篮球协会的人数,加入篮球协会的人数多于加入足球协会的人数,加入足球协会的人数的3倍多于加入乒乓球协会和篮球协会的人数之和,若该校新生每人只能加入其中一个协会,则该校新生中加入这三个协会的总人数至少为(　　)
A.9　　B.12　　C.15　　D.18
4.(多选题)(2024浙江台金七校联盟期中)下列命题叙述正确的是(　　)
A. a,b∈R+且a>b,当m>0时,>
B. a,b∈R+且a>b,当m<0时,<
C. a,b∈R+且a>b,当m>0时,>
D. a,b∈R+且a>b,当m>0时,<
5.(2024重庆八中月考)现有A,B,C,D四个长方体容器,A,B的底面积均为x2,高分别为x,y;C,D的底面积均为y2,高分别为x,y(其中x≠y).现规定一种两人的游戏规则:每人从四个容器中取两个盛水,盛水多者为胜,那么先取者在未能确定x与y的大小的情况下有没有必胜的方案 若有的话,有几种
题组二　不等式的性质及其应用
6.(2024湖南部分学校联考)若a>b,d>c,且(c-a)(c-b)<0,(d-a)(d-b)>0,则(　　)
A.bC.c7.(2024湖北武汉武昌实验中学月考)若a>b>0,则下列不等式一定成立的是(　　)
A.>　　　　B.a+>b+
C.a->b-　　　　D.>
8.(多选题)(2024浙江温州十校联合体期中)以下命题为真命题的是(　　)
A.若ab>0,a>b,则<
B.若a>b>0,则a2>ab>b2
C.若ac>bc,则a>b
D.若c>a>b>0,则<
9.已知有理数a,b,c满足a>b>c,且a+b+c=0,那么的取值范围是　　　　.
10.(2024山东临沂一中期中)(1)已知2(2)已知1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3,求3a-2b的取值范围.
答案与分层梯度式解析
第二章　一元二次函数、方程和不等式
2.1　等式性质与不等式性质
基础过关练
1.D 3.D 6.C 7.BC 9.B
1.D　由题意得汽车所用时间加上摩托车所用时间应小于1小时,即+<1.故选D.
2.答案　
解析　由最后一辆车不空,可得不等式30(x-1)<213,由最后一辆车不满,可得不等式30x>213,
因此,不等关系为
3.D　P-Q=x2+2-(4x+3)=x2-4x-1=(x-2)2-5,
当(x-2)2>5,即x>2+或x<2-时,P>Q,
当(x-2)2=5,即x=2±时,P=Q,
当(x-2)2<5,即2-故P、Q的大小与x有关.故选D.
4.答案　<
解析　因为a>b,所以b-a<0,
因为>,所以-=>0,于是ab<0.
5.解析　(1)a-b=x2+3-(2x+1)=x2-2x+2=(x-1)2+1,
因为(x-1)2≥0,所以(x-1)2+1≥1>0,故a>b.
(2)a-c=x2+3-(y2+3)=x2-y2=(x+y)(x-y).
由x>y>0,得x-y>0,x+y>0,则a-c>0,即a>c.
反之,由a>c,得x2>y2,推不出x>y>0.
故“x>y>0”是“a>c”的充分不必要条件.
6.C　对于A,当c=0时,由a>b,得ac2=bc2,A错误;对于B,若a>b,则a-1>b-1>b-2,B错误;对于C,若>,则c≠0,即c2>0,故a>b,C正确;对于D,若a>b,不妨取a=-1,b=-2,则a27.BC　当a=2,b=-1时,=-2<1,=>=-1,故A,D错误;c>d -d>-c,结合a>b,可得a-d>b-c,故B正确;由ac2>bc2知c2>0,可得a>b,故C正确.故选BC.
8.证明　证法一:∵a0,∴a-c0,∴(b-a)c=bc-ac>0,∴-ac>-bc,
∴ab-ac>ab-bc,即a(b-c)>b(a-c),故>.
证法二:-=
==,
∵a0,∴b-a>0,a-c<0,b-c<0,
∴>0,即>.
解题模板　证明不等式,要分析不等式左右两边式子的结构,可以利用不等式的性质进行证明,也可以用作差法证明.
9.B　∵x+2y=2(x+y)+(-x),且-2∴-1<-x<2,0<2(x+y)<4,
∴-1+0<2(x+y)+(-x)<4+2,即-1故选B.
10.答案　-4解析　由-211.答案　<<
解析　∵3又∵1能力提升练
1.B 2.C 3.C 4.CD 6.B 7.C 8.ABD
1.B　a-b=+-,因为(+)2=5+2>7,所以a>b;
a-c=2-,因为(2)2=8>6,所以a>c;
b-c=(+)-(+),
因为(+)2=9+2>9+2=(+)2,
所以c>b.所以a>c>b,故选B.
解题模板　比较两式大小时,若两式不好直接比较,可对两式进行相同的变形,如比较含有根式的两式的大小,可先对两式平方,再比较不同部分的大小.
2.C　设手机原价为x,由题意知a>b,且a+b<100,不妨设a=20,b=10,则
①x(1-a%)(1-b%)=x(1-20%)(1-10%)=0.8×0.9x=0.72x;
②x(1-a%)=x(1-0.15)×(1-0.2)=0.85×0.8x=0.68x;
③x=x(1-0.15)×(1-0.15)=0.85×0.85x=0.722 5x;
④x[1-(a+b)%]=0.7x.
因为0.722 5x>0.72x>0.7x>0.68x,所以方案③降价幅度最小.故选C.
方法技巧　对于复杂的代数式的比较大小问题,可以考虑使用特殊值法进行比较.
3.C　设加入乒乓球协会、篮球协会、足球协会的学生人数分别为a,b,c(a,b,c∈N*),
由已知得a,b,c∈N*,
若c=1,则a+b≥3+2=5,不满足3c>a+b;
若c=2,则a+b≥4+3=7,不满足3c>a+b;
若c=3,则a+b≥5+4=9,不满足3c>a+b;
若c=4,则a+b≥6+5=11,存在a,b满足3c>a+b.
则cmin=4,amin=6,bmin=5,则(a+b+c)min=15.故选C.
4.CD　当a,b∈R+且a>b,m>0时,-=<0,即<,A错误;当a,b∈R+且a>b,m<0时,a+m的正负无法确定,故无法判断-=的正负,B错误;当a,b∈R+且a>b,m>0时,-=>0,即>,C正确;令a=3,b=1,m=1,则=0,=,满足<,D正确.故选CD.
5.解析　当x>y时,x3>x2y>xy2>y3,即VA>VB>VC>VD,故x>y时,VA最大.
当xy2x>yx2>x3,即VD>VC>VB>VA,故x又x3+y3-(xy2+x2y)=(x3-x2y)+(y3-xy2)=(x-y)2·(x+y)>0,
∴在不知道x,y的大小的情况下,取A,D能够稳操胜券,其他的方案都没有必胜的把握.
故必胜的方案有1种,就是取A,D.
6.B　由a>b,且(c-a)(c-b)<0,
得c-a<0,c-b>0,即b∵(d-a)(d-b)>0,且d>c>b,∴d>a,
∴d>a>c>b.故选B.
7.C　∵a>b>0,∴b-a<0,a-b>0.
对于A,-==<0,
∴<,故A错误;
对于B,取a=,b=,满足a>b>0,但是a+=+2=,b+=+3=,∴a+对于C,-=a-b+-=a-b+=(a-b)>0,∴a->b-,故C正确;
对于D,-===<0,∴<,故D错误.故选C.
8.ABD　-=,因为ab>0,a>b,所以<成立,A正确;若a>b>0,则a-b>0,则a(a-b)>0,b(a-b)>0,即a2-ab>0,ab-b2>0,所以a2>ab>b2,B正确;当c<0时,由ac>bc可得aa>b>0,则-a<-b,09.答案　-2<<-
解析　由于a>b>c,且a+b+c=0,
所以a>0,c<0,b=-a-c,由b所以2a>-c,>-2,由b>c得-a-c>c,
所以-a>2c,<-,所以-2<<-.
10.解析　(1)因为1则-6<-2b<-2,
又2由1(2)令3a-2b=m(a+b)+n(a-b)(m,n∈R),
即3a-2b=(m+n)a+(m-n)b,
则解得
则≤(a+b)≤,-≤(a-b)≤,
所以-+≤(a-b)+(a+b)≤+,
即-2≤3a-2b≤10,
因此3a-2b的取值范围是-2≤3a-2b≤10.
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