2025人教A版高中数学必修第一册同步练习题--2.3　二次函数与一元二次方程、不等式（含解析）

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2025人教A版高中数学必修第一册
2.3　二次函数与一元二次方程、不等式
基础过关练
题组一　一元二次不等式的解法
1.(2024吉林省实验中学期中)已知A={x∈N*|x≤3},B={x|x2-4x≤0},则A∩B=(　　)
A.{1,2,3}　　　　B.{1,2}　　
C.{x|02.(2024天津耀华中学月考)不等式9x2+6x+1≤0的解集是(　　)
A.　　　　B.　　
C. 　　　　D.
3.(2023北京师大附中月考)不等式x2-2x-3<0的解集是　　　　.
4.(2024吉林长春东北师大附中期中)不等式≤0的解集是　　　　.
5.(2024天津河西期中)已知集合A={x|x2<1},B={x||2x-1|<1},则A∩B=　　　　.
6.(2022江苏南京师范大学附属中学月考)求下列不等式的解集:
(1)2x2-7x+3<0;(2)-3x2+6x≤2;
(3)4x2+4x+1>0;(4)-x2+6x-10>0.
7.求下列关于x的不等式的解集.
(1)≤2;
(2)x2+(a-1)x-a>0(a∈R).
题组二　三个“二次”之间的关系
8.(2023福建南平期中)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则不等式ax2+bx+c>0的解集是(　　)
A.{x|-21}
C.{x|-2≤x≤1}　　　　D.{x|x≤-2或x≥1}
9.已知关于x的不等式(ax-1)(x+1)<0的解集是,则a等于(　　)
A.2　　B.-2　　C.-　　D.
10.(2024黑龙江哈尔滨第一中学质检)不等式ax2+bx+2>0的解集是,则a-b的值为(　　)
A.14　　B.-14　　C.10　　D.-10
11.(2024广东广州真光中学期中)关于x的不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-10的解集为(　　)
A.{x|-22或x<-1}　　
C.{x|x<-1或x>1}　　　　D.{x|x>1或x<-2}
12.(2024河南郑州十所省级示范高中期中联考)已知不等式x2-(a+2)x+b≤0的解集为{x|1≤x≤2}.
(1)求实数a,b的值;
(2)解关于x的不等式:(x-c)(ax-b)>0(c为常数,且c≠2).
题组三　一元二次不等式的恒(能)成立问题
13.若关于x的不等式-x2+mx-1≥0有解,则实数m的取值范围是(　　)
A.{m|m≤-2或m≥2}
B.{m|-2≤m≤2}
C.{m|m<-2或m>2}
D.{m|-214.(2024重庆期中)“m<2”是“ x∈R,x2-4x+m<0是真命题”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
15.(2024江苏扬州五校联考)已知关于x的不等式kx2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立,则k的取值范围是(　　)
A.0≤k≤1　　　　B.0C.k<0或k>1　　　　D.k≤0或k≥1
16.(多选题)(2023吉林省实验中学期中) x∈R,关于x的不等式x2-ax+a>0恒成立的一个必要不充分条件是(　　)
A.0-1
C.017.(2024山东日照实验高级中学段考)若命题“ x∈R,x2+(a-1)x+1<0”是假命题,则实数a的取值范围为　　　　.
18.若不等式ax2+ax-1>0的解集为 ,则实数a的取值范围是　　　　.
题组四　一元二次不等式的实际应用
19.(2024广东深圳名校期中联考)某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁,若每套礼服每天的租价为200元,则所有礼服均被租出;若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高10x元(1≤x≤20,x∈Z),则被租出的礼服会减少10x套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元,则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为(　　)
A.220元　　B.240元　　C.250元　　D.280元
20.(2024辽宁沈阳十一中月考)随着中国经济的腾飞,互联网的快速发展,网络购物需求量不断增大.某物流公司为扩大经营,今年年初用192万元购进一批小型货车,公司每年需要付保险费共计12万元,除保险费外,从第1年到第n年所需维修费等各种费用总额为3n(n-1)万元,且该批小型货车每年给公司带来69万元的收入.
(1)购买该批小型货车后的第几年开始盈利
(2)求购买该批小型货车后的年平均利润的最大值.
能力提升练
题组一　一元二次不等式的解法
1.(2024湖南长沙市一中段考)若关于x的不等式x2+(m+1)x+m<0的解集中恰有两个整数,则实数m的取值范围是(　　)
A.-2≤m<-1
B.-2C.-2≤m<-1或3D.-22.(2024浙江温州十校联合体期中)若“x2-3x+2<0”是“x2-(2a+1)x+a2+a>0”的一个充分不必要条件,则a的取值范围是(　　)
A.02　　
C.a≤0或a≥2　　　　D.13.(多选题)关于x的不等式ax2+(2-4a)x-8>0,下列说法正确的是(　　)
A.a=0时,不等式的解集为{x|x>4}
B.a<0时,不等式的解集为xx>4或x<-
C.a<0时,不等式的解集为
D.a=-时,不等式的解集为
4.(2024河北名校强基联盟期中)不等式x≤的解集是　　　　　　　　.
5.(2023河南郑州期中)不等式--3<0的解集是　　　　　　　　.
6.(2024四川资阳安岳中学期中)已知关于x的不等式ax2-(a+1)x+1>0.
(1)若a=3,解上述关于x的不等式;
(2)若a∈R,解上述关于x的不等式.
题组二　三个“二次”的综合应用
7.(多选题)(2024吉林省实验中学期中)已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤-2或x≥3},则下列说法正确的是(　　)
A.a>0
B.不等式bx+c>0的解集为{x|x<-6}
C.不等式cx2-bx+a<0的解集为
D.a+b+c<0
8.(多选题)(2024江苏苏州吴江中学月考)已知不等式x2+ax+b>0(a>0)的解集是{x|x≠d},则下列四个结论中正确的是(　　)
A.a2=4b
B.a2+≥4
C.若解x2+ax-b<0得x10
D.若解x2+ax+b9.(多选题)(2023山东青岛第一中学阶段检测)已知关于x的不等式a(x-1)(x+3)+2>0的解集是{x|x1A.x1+x2+2=0　　　　B.-3C.x2-x1>4　　　　D.x1x2+3<0
10.(2024河北秦皇岛期中联考)已知二次函数y=ax2+bx+4的图象的顶点坐标为,则不等式bx2+4x+a≥0的解集为　　　　　.
11.(2024山东普通高中大联考)已知函数y=x2+bx+1(b是实数),且y的取值范围是{y|y≥0},若关于x的不等式x2+bx+1题组三　一元二次不等式的恒(能)成立问题
12.(2024广东广州执信中学月考)若关于x的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集不为空集,则实数a的取值范围为(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
13.(2023江苏南京金陵中学月考)关于x的不等式ax2-|x|+2a≥0的解集是R,则实数a的取值范围为(　　)
A.a≥　　　　B.a≤
C.-≤a≤　　　　D.a≤-或a≥
14.(2024山西大学附中模块诊断)若不等式<0对一切x∈R都成立,则实数m的取值范围是　　　　　　.
题组四　一元二次不等式的应用
15.(2022湖北武汉部分学校期中)若使集合A={x|(kx-k2-2k-2)(2x-5)>0,x∈Z}中的元素个数最少,则实数k的取值范围是　　　　　.
16.(2024安徽安庆桐城中学质检)某公司旗下的某商品原来每件的售价为25元,年销售量为8万件.
(1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少0.2万件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元
(2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量,公司决定对该商品进行技术革新和营销策略改革,并提高定价到x元/件.公司拟投入(x2-600)万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入万元作为浮动宣传费用.当该商品改革后的销售量a至少达到多少万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和 并求出此时商品的每件定价.
17.(2024广东佛山一中教学质量检测)如图所示,将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求M在射线AB上,N在射线AD上,且对角线MN过点C,已知AB=4米,AD=3米,设AN=x米.
(1)要使矩形花坛AMPN的面积大于54平方米,则AN的长应在什么范围内
(2)现要在扩建部分铺上大理石,则当AN的长度是多少时,用料最省
答案与分层梯度式解析
2.3　二次函数与一元二次方程、不等式
基础过关练
1.A 2.D 8.A 9.B 10.D 11.D 13.A 14.A
15.A 16.BD 19.C
1.A　由题意得A={x∈N*|x≤3}={1,2,3},B={x|x2-4x≤0}={x|0≤x≤4},∴A∩B={1,2,3},故选A.
2.D　不等式9x2+6x+1≤0可化为(3x+1)2≤0,所以x=-,所以该不等式的解集是.
故选D.
3.答案　{x|-1解析　由x2-2x-3<0,得(x-3)(x+1)<0,解得-14.答案　{x|-4解析　由≤0得解得-4易错警示　解分式不等式,一要注意在分母符号不确定时不能直接去分母(必要时移项、通分),而应分析分子、分母之间的符号关系;二要注意分母不能为零.
5.答案　{x|0解析　依题意得A={x|x2<1}={x|-16.解析　(1)由2x2-7x+3<0,可得(2x-1)(x-3)<0,解得(2)原不等式可化为3x2-6x+2≥0,易知方程3x2-6x+2=0的两根为1±,结合函数y=3x2-6x+2的图象(图略),可得原不等式的解集为xx≤1-或x≥1+.
(3)原不等式可化为(2x+1)2>0,解得x≠-,所以原不等式的解集为.
(4)原不等式可化为x2-6x+10<0,即(x-3)2+1<0,无解,所以原不等式的解集为 .
7.解析　(1)不等式≤2即-2≤0,∴≤0,即≤0,即≥0,∴∴x≥1或x<0,
故原不等式的解集为{x|x≥1或x<0}.
(2)由x2+(a-1)x-a>0,可得(x+a)(x-1)>0①,
则当-a<1,即a>-1时,解不等式①,得x<-a或x>1;
当a=-1时,解不等式①,得x≠1;
当-a>1,即a<-1时,解不等式①,得x<1或x>-a.
综上所述,当a>-1时,不等式的解集为{x|x<-a或x>1},当a=-1时,不等式的解集为{x|x≠1},当a<-1时,不等式的解集为{x|x<1或x>-a}.
8.A　由题图易知y>0对应的x的范围是{x|-29.B　∵关于x的不等式(ax-1)(x+1)<0的解集是,
∴方程(ax-1)(x+1)=0的两根为-1与-,且a<0,
故可得=-,解得a=-2,故选B.
10.D　∵不等式ax2+bx+2>0的解集是x-∴-+=-,-×=,解得a=-12,b=-2,
∴a-b=-12-(-2)=-10,故选D.
11.D　∵关于x的不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-1∴a<0,且-1和2是方程ax2+bx+2=0的两实数根,
则解得
因此不等式bx2-ax-2>0即为x2+x-2>0,解得x<-2或x>1,故选D.
12.解析　(1)因为不等式x2-(a+2)x+b≤0的解集为{x|1≤x≤2},所以1,2是方程x2-(a+2)x+b=0的两实数根,所以解得
(2)将a=1,b=2代入关于x的不等式(x-c)(ax-b)>0,得(x-c)(x-2)>0,
∵c为常数,且c≠2,
∴当c>2时,解集为{x|x>c或x<2},当c<2时,解集为{x|x>2或x13.A　∵关于x的不等式-x2+mx-1≥0有解,且函数y=-x2+mx-1的图象开口向下,∴函数图象与x轴有交点,∴Δ=m2-4≥0,解得m≥2或m≤-2.故选A.
14.A　由 x∈R,x2-4x+m<0是真命题,可得Δ=16-4m>0,即m<4,
因为{m|m<2} {m|m<4},所以“m<2”是“ x∈R,x2-4x+m<0是真命题”的充分不必要条件.故选A.
15.A　当k=0时,不等式kx2-6kx+k+8≥0化为8≥0,恒成立;
当k≠0时,要使不等式kx2-6kx+k+8≥0恒成立,需解得0综上,k的取值范围是{k|0≤k≤1}.故选A.
16.BD　∵ x∈R,关于x的不等式x2-ax+a>0恒成立,
∴Δ=(-a)2-4a<0,解得0设所求的必要不充分条件对应的集合是N,则M N,对比选项可知,选项B,D均符合题意.故选BD.
17.答案　{a|-1≤a≤3}
解析　∵命题“ x∈R,x2+(a-1)x+1<0”是假命题,∴它的否定: x∈R,x2+(a-1)x+1≥0为真命题,∴Δ=(a-1)2-4≤0,∴-1≤a≤3.
故a的取值范围为{a|-1≤a≤3}.
18.答案　{a|-4≤a≤0}
解析　当a=0时,不等式化为-1>0,解集为 ,满足题意;
当a≠0时,若不等式ax2+ax-1>0的解集为 ,则解得-4≤a<0.
综上,实数a的取值范围是{a|-4≤a≤0}.
19.C　依题意得每天有(300-10x)套礼服被租出,
该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入为(300-10x)·(200+10x)=(-100x2+1 000x+60 000)元.
由题意知-100x2+1 000x+60 000>62 400,
即x2-10x+24<0,解得4因为1≤x≤20且x∈Z,所以x=5,
故要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元,则每套礼服每天的租价应定为250元.故选C.
20.解析　(1)由题意,得69n-192-12n-3n(n-1)>0,即-3n2+60n-192>0,
化简得n2-20n+64<0,解得4又n∈N*,所以nmin=5.
所以购买该批小型货车后的第5年开始盈利.
(2)设购买该批小型货车n年后的年平均利润为y万元,
则y==-3+60≤-3×2+60=12,当且仅当n=,即n=8时取“=”.
所以购买该批小型货车后的年平均利润的最大值是12万元.
能力提升练
1.C 2.C 3.AD 7.ABD 8.ABD 9.ACD 12.C 13.A
1.C　不等式x2+(m+1)x+m<0可化为(x+1)(x+m)<0,由已知得m≠1.
当m>1时,-m<-1,解不等式得-m当m<1时,-m>-1,解不等式得-1由不等式的解集中恰有两个整数可得-4≤-m<-3或1<-m≤2,解得32.C　令A={x|x2-3x+2<0},则A={x|(x-1)(x-2)<0}={x|1令B={x|x2-(2a+1)x+a2+a>0},则B={x|(x-a)·[x-(a+1)]>0}={x|x>a+1或x“x2-3x+2<0”是“x2-(2a+1)x+a2+a>0”的一个充分不必要条件,即x∈A是x∈B的充分不必要条件,则A是B的真子集,因此a+1≤1或a≥2,解得a≤0或a≥2.故选C.
3.AD　当a=0时,不等式为2x-8>0,解得x>4,所以不等式的解集为{x|x>4},故A正确.由ax2+(2-4a)x-8>0可得(ax+2)(x-4)>0,当a≠0时,对应方程(ax+2)(x-4)=0的两根为-,4,若即a<-,则原不等式的解集为;若即-易错警示　解决参数的取值范围问题要注意两点:一是对参数进行分类讨论时要全面,二是参数取值范围涉及的端点能否取到需单独考虑.
4.答案　{x|x≤-1或0解析　不等式x≤可化为≤0,即x(x-1)(x+1)≤0且x≠0,利用数轴标根法,
∴不等式的解集为{x|x≤-1或0知识拓展　高次不等式因式分解后,在数轴上标出方程的根,当最高次项系数为正时,最右边一个根的右边为正,向左依次改变符号(偶次项的根符号不变),得出简图写出解集,当最高次项系数为负时,先化为正的再求解.
5.答案　
解析　由--3<0可得1-2x-3x2<0(x≠0),即(x+1)(3x-1)>0(x≠0),解得x<-1或x>,
所以不等式的解集为.
6.解析　(1)当a=3时,原不等式可化为3x2-4x+1>0,
解得x>1或x<,
故不等式的解集为.
(2)原不等式可化为(ax-1)(x-1)>0,
当a=0时,-x+1>0,解得x<1.
当a≠0时,原不等式可化为a(x-1)>0,
若a<0,解不等式得若0或x<1,
若a=1,解不等式得x≠1,
若a>1,解不等式得x<或x>1.
综上,当a=0时,不等式的解集为{x|x<1};当a<0时,不等式的解集为x或x<1;当a=1时,不等式的解集为xx∈R,x≠1;当a>1时,不等式的解集为xx<或x>1.
7.ABD　因为关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤-2或x≥3},所以a>0,且-2,3是方程ax2+bx+c=0的两实数根,所以则
所以bx+c>0即-ax-6a>0,解得x<-6,因此选项A,B正确;不等式cx2-bx+a<0即为-6ax2+ax+a<0,即6x2-x-1>0,解得x<-或x>,因此选项C错误;a+b+c=a-a-6a=-6a<0,因此选项D正确.故选ABD.
8.ABD　对于A,不等式x2+ax+b>0(a>0)的解集是{x|x≠d},即方程x2+ax+b=0有两个相等的根,Δ=a2-4b=0,即a2=4b,A正确;对于B,由a2=4b,得a2+=a2+≥4,当且仅当a=时等号成立,B正确;对于C,若解x2+ax-b<0得x19.ACD　由题意得a(x-1)(x+3)+2=ax2+2ax-3a+2>0的解集为{x|x1∴a<0,且x1,x2是ax2+2ax-3a+2=0的两个根,则
∴x1+x2+2=0,x1x2+3=<0,则A、D正确;
原不等式可化为a(x-1)(x+3)>-2,其解集为{x|x1由图知x1<-3<14,故B错误,C正确.故选ACD.
10.答案　{1}
解析　由已知得a≠0.∵二次函数y=ax2+bx+4的图象的顶点坐标为,
∴解得a=b=-2,
∴不等式bx2+4x+a≥0即-2x2+4x-2≥0,
即x2-2x+1=(x-1)2≤0,∴x=1,
∴所求不等式的解集为{1}.
11.答案　
解析　由已知得二次函数y=x2+bx+1的图象与x轴只有一个交点,则Δ=b2-4=0,解得b=±2,
当b=2时,不等式x2+bx+1由题知该不等式的解集为{x|m-20,
解不等式(x+1)20,符合题意;
当b=-2时,不等式x2+bx+1解得1-0,符合题意.
综上,实数c的值为.
12.C　①当a2-4=0,即a=±2时,
若a=2,则原不等式为4x-1≥0,解得x≥,则不等式的解集为,不是空集;
若a=-2,则原不等式为-1≥0,无解,不符合题意.
②当a2-4≠0,即a≠±2时,
若(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集是空集,则有解得-2则当不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集不为空集时,有a<-2或a≥且a≠2.
综上,实数a的取值范围为.故选C.
13.A　令t=|x|,t≥0,关于x的不等式ax2-|x|+2a≥0的解集是R,
即对于任意t∈{t|t≥0},at2-t+2a≥0恒成立,因此a≥对任意t∈{t|t≥0}恒成立,
当t=0时,a≥0;当t>0时,易知=≤=,当且仅当t=时取“=”,即=,所以a≥.
综上,a≥.故选A.
14.答案　{m|-4解析　∵x2-8x+20=(x-4)2+4≥4>0,
∴mx2-mx-1<0对一切x∈R都成立,
当m=0时,mx2-mx-1=-1<0,不等式成立;
当m≠0时,要使mx2-mx-1<0对一切x∈R都成立,需m<0,且Δ=m2+4m<0,得-4综上,m的取值范围为{m|-415.答案　{k|-2≤k≤-1}
解析　①当k=0时,集合A={x|-2(2x-5)>0,x∈Z}=,则A中元素有无数个,不符合题意.
②当k>0时,(kx-k2-2k-2)(2x-5)>0的解集的形式为{x|xx2}(其中x1,x2为对应方程的根,且x1③当k<0时,易知A=x2+k+故k的取值范围为{k|-2≤k≤-1}.
16.解析　(1)设每件定价为t元,
依题意得t[8-0.2(t-25)]≥25×8,
则t2-65t+1 000=(t-25)(t-40)≤0,
解得25≤t≤40,
所以要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为40元.
(2)依题意得,当x>25时,不等式ax≥25×8+50+(x2-600)+有解,
即当x>25时,a≥++有解,
因为+x≥2=10(当且仅当x=30时等号成立),
所以a≥10.2,此时该商品的每件定价为30元,
当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.
17.解析　(1)由已知得x>3.由DC∥AM,可得=,则=,则AM=,则花坛AMPN的面积(单位:平方米)为AM·AN=,由已知得>54,x>3,
所以2x2-27x+81>0,即(2x-9)(x-9)>0,
所以39,
所以AN的长(单位:米)的取值范围是x39.
(2)根据题意,可得扩建部分的面积(单位:平方米)S=-12,x>3,
令t=x-3(t>0),可得S=-12=4t++12≥2×+12=36,
当且仅当t=3时,等号成立,即AN=x=6米时,用料最省.
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