2025人教A版高中数学必修第一册同步练习题--3.1.1　函数的概念（含解析）

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2025人教A版高中数学必修第一册
第三章　函数的概念与性质
3.1　函数的概念及其表示
3.1.1　函数的概念
基础过关练
题组一　函数的概念
1.(2023浙江宁波余姚中学月考)下列解析式中,y不是x的函数的是(　　)
A.y=x　　　　B.y=|x|　　C.x=|y|　　　　D.y=x2+2x+3
2.(教材习题改编)下列四组函数中,表示同一个函数的是(　　)
A.y=|x|与y=B.y=与s=()2
C.y=2t+1与y=2u+1D.y=1与y=x0
3.(2024北京丰台期中)设M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列四个图形:
　　　
其中,能表示从集合M到集合N的函数关系的是(　　)
A.①　　B.②　　C.③　　D.④
题组二　函数的定义域
4.(教材习题改编)函数f(x)=的定义域是　　　　.
5.(2024广东六校期中联考)已知函数y=f(x)的定义域为[-2,3],则函数y=的定义域为　　　　.
6.已知某矩形的一边长为x,周长为定值a,若该矩形的面积是x的函数,则这个函数的定义域是　　　　.
题组三　函数值及函数的值域
7.(2024湖南长沙长郡中学期中)函数y=f(x)的图象如图所示.观察图象可知函数y=f(x)的定义域、值域分别是(　　)
A.[-5,0]∪[2,6),[0,5]　　　　B.[-5,6),[0,+∞)　　
C.[-5,0]∪[2,6),[0,+∞)　　　　D.[-5,+∞),[2,5]
8.(2024重庆育才中学检测)下列函数中,值域为(0,+∞)的是(　　)
A.y=　　B.y=　　C.y=　　D.y=x2+1
9.(2024福建厦门双十中学段考)函数f(x)=+的值域是　　　　.
10.函数y=的值域为　　　　.
11.(2024湖南长沙明德中学月考)已知函数f(x)=(x≠0).
(1)分别计算f(2)+f, f(3)+f的值;
(2)计算f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 022)+f+f+…+f的值.
能力提升练
题组一　函数的概念
1.(多选题)(2024河南郑州外国语学校月考)下列各组函数中,是同一个函数的是(　　)
A. f(x)=x+2,g(x)=+2
B. f(x)=,g(x)=()2-3
C. f(x)=x2+(x-1)0,g(x)=
D. f(x)=+,g(t)=+
2.(多选题)(2024浙江台金七校联盟期中)如果记圆周率π(3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 88…)的小数点后第n位数字为f(n),则下列说法正确的是(　　)
A.y=f(n),n∈N*是一个函数B.当n=6时, f(n)=3.141 59
C. f(4)=f(8)D. f(n)∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
题组二　函数的定义域
3.(2024湖南长沙雅礼中学月考)若函数y=f(3x+1)的定义域为[-2,4],则y=f(x)的定义域是(　　)
A.[-1,1]　　　　B.[-5,13]　　C.[-5,1]　　　　D.[-1,13]
4.(2024湖北武汉武昌实验中学月考)已知f(x2-1)的定义域为[1,3],则f(2x-1)的定义域为(　　)
A.　　　　B.　　C.　　　　D.
5.(2023吉林长春东北师大附中期中)函数f(x)=的定义域为R的一个充分不必要条件是(　　)
A.m≥　　　　B.m≥
C.m≥　　　　D.m≥
6.(2024湖北新高考联考协作体期中)函数y=的定义域为　　　　.(用区间表示)
题组三　函数值及函数的值域
7.(2023重庆西南大学附中期中)函数y=1+x+的值域是(　　)
A.(-∞,2]　　　　B.
C.　　　　D.[0,+∞)
8.(2024辽宁辽东教学共同体联考)已知函数f(x)=(1≤x≤2),则函数g(x)=2f(x)+f(x2)的值域为(　　)
A.[3,2+2]　　　　B.　　
C.　　　　D.
9.(多选题)(2024广东广州执信中学月考)如果某函数的定义域与其值域的交集是[a,b],则称该函数为“[a,b]交汇函数”,下列函数是“[0,1]交汇函数”的是(　　)
A.y=　　　　B.y=2-x
C.y=　　　　D.y=-|x|
10.(2024山东普通高中大联考)已知函数f(x)的定义域为R,若f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy-1对任意实数x,y都成立,则f(0)=　　　　, f(4)-4f(1)=　　　　.
11.(2024浙江宁波余姚中学质检)函数f(x)=的值域是　　　　.
答案与分层梯度式解析
第三章　函数的概念与性质
3.1　函数的概念及其表示
3.1.1　函数的概念
基础过关练
1.C 2.C 3.B 7.C 8.B
1.C　对于C,当x=1时,y=1或y=-1,由函数的定义可得x=|y|中的y不是x的函数;由函数的定义知y=x,y=|x|,y=x2+2x+3中的y是x的函数.故选C.
2.C　选项A中,y=|x|和y=的定义域都是R,但y==x与y=|x|的对应关系不相同,故不是同一个函数;选项B中,y=的定义域为R,s=()2的定义域为[0,+∞),两者的定义域不同,故不是同一个函数;选项C中,y=2t+1与y=2u+1的定义域与对应关系均相同,故是同一个函数;选项D中,y=1的定义域为R,y=x0的定义域为{x|x≠0},故不是同一个函数.故选C.
3.B　对于①,在集合M中,当14.答案　[-3,1)∪(1,3]
解析　由题意得解得-3≤x<1或15.答案　∪(-1,1]
解析　由题意得
解得-≤x≤1且x≠-1,故定义域为∪(-1,1].
6.答案　
解析　由矩形的一边长为x得其邻边长为=-x,由得07.C　函数的定义域即自变量x的取值范围,由题图可知此函数的定义域为[-5,0]∪[2,6),
函数的值域即函数值y的取值范围,由题图可知此函数的值域为[0,+∞).故选C.
8.B　函数y=的值域为[0,+∞);
函数y=的值域为(0,+∞);
函数y=的值域为(-∞,0)∪(0,+∞);
函数y=x2+1的值域为[1,+∞).
故选B.
9.答案　{0}
解析　由题意得解得x=±1,所以函数f(x)的定义域为{-1,1},又f(-1)=f(1)=0,所以函数的值域是{0}.
10.答案　[,+∞)
解析　∵=≥,
∴所求值域为[,+∞).
11.解析　(1)f(2)+f=+=+=1, f(3)+f=+=+=1.
(2)由f(x)=,可得f(1)=,
f(x)+f=+=+==1(x≠0),
故f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 022)+f+f+…+f=f(1)++f(3)+f+…+=+2 021=.
能力提升练
1.CD 2.ACD 3.B 4.B 5.C 7.A 8.D 9.AB
1.CD　选项A中, f(x)=x+2的定义域为R,g(x)=+2=|x|+2的定义域为R,两函数的定义域相同,但对应关系不相同,故不是同一个函数;选项B中, f(x)==x-3的定义域为(-∞,-3)∪(-3,+∞),g(x)=()2-3=x-3的定义域为[0,+∞),两函数的定义域不同,故不是同一个函数;选项C中, f(x)=x2+(x-1)0=x2+1的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),g(x)===x2+1的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),两函数的定义域相同,对应关系也相同,故是同一个函数;选项D中, f(x)=+的定义域为(0,+∞),g(t)=+的定义域为(0,+∞),两函数的定义域相同,对应关系也相同,故是同一个函数.故选CD.
2.ACD　对任意的n∈N*,都有唯一确定的f(n)与之对应,故y=f(n),n∈N*是一个函数,因此A正确;由题可知f(6)=2,因此B错误;由题可知f(4)=f(8)=5,因此C正确;根据f(n)的定义,可知f(n)的值必定是从0到9的十个自然数中的一个,因此f(n)∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},因此D正确.故选ACD.
3.B　由函数y=f(3x+1)的定义域为[-2,4],
得-2≤x≤4,则-6≤3x≤12,所以-5≤3x+1≤13,
因此函数y=f(x)的定义域是[-5,13].故选B.
4.B　∵f(x2-1)的定义域为[1,3],∴1≤x≤3,
∴1≤x2≤9,∴0≤x2-1≤8,
∴f(x)的定义域为[0,8],
由0≤2x-1≤8,得≤x≤,于是f(2x-1)的定义域为.故选B.
5.C　若f(x)的定义域是R,则mx2+2x+2≥0在R上恒成立,
当m=0时,显然不恒成立;
当m≠0时,只需解得m≥.
故函数f(x)=的定义域为R的充分不必要条件对应的集合是的真子集,结合选项知选C.
6.答案　∪
解析　要使函数有意义,需满足
解得∴-2≤x≤3,且x≠,
∴函数的定义域为∪.
7.A　令t=,则x=,t≥0,
则原函数即y=1++t=-(t-1)2+2,t≥0,结合二次函数的图象可得该函数的值域为(-∞,2],故函数y=1+x+的值域是(-∞,2].故选A.
8.D　由题可知f(x)的定义域为[1,2],
∴解得1≤x≤,
∴g(x)=2f(x)+f(x2)=+(1≤x≤).
令t=,则≤t≤1,∴g(x)=+可转化为h(t)=t2+2t=(t+1)2-1.
由函数y=h(t)的图象知,当≤t≤1时,h≤h(t)≤h(1),即+≤h(t)≤3.
∴函数g(x)=2f(x)+f(x2)的值域为.故选D.
9.AB　选项A中,y=的定义域A=(-∞,1],值域B=[0,+∞),则A∩B=[0,1],因此A正确;
选项B中,y=2-x的定义域A=[0,+∞),令t=,则t≥0,则原函数即y=2t-t2,t≥0,又y=2t-t2=-(t-1)2+1≤1,所以值域B=(-∞,1],则A∩B=[0,1],因此B正确;选项C中,y==,因为(x-1)2≥0,所以(x-1)2+1≥1,因此0<≤1,从而定义域A=R,值域B=(0,1],则A∩B=(0,1],因此C错误;选项D中,令1-x2≥0,得-1≤x≤1,所以定义域A=[-1,1],易得y2=1-x2+x2-2|x|=1-2,由-1≤x≤1,得0≤x2(1-x2)≤,
所以0≤y2≤1,即-1≤y≤1,所以值域B=[-1,1],则A∩B=[-1,1],因此D错误.故选AB.
10.答案　1;9
解析　因为f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy-1对任意实数x,y都成立,
所以令x=y=0,得f(0)=2f(0)-1,解得f(0)=1,
令x=y=1,得f(2)=2f(1)+1,
令x=y=2,得f(4)=2f(2)+7,
所以f(4)=2[2f(1)+1]+7=4f(1)+9,
因此f(4)-4f(1)=9.
解题模板　解决抽象函数问题常用赋值法,赋值的关键是条件与结论的关系.
11.答案　
解析　易知f(x)的定义域为R.
解法一(基本不等式法):当x=0时, f(0)=2.
当x≠0时, f(x)==2+=2+,
当x>0时,∵x+≥2=4,当且仅当x=2时,等号成立,∴0<≤,∴2当x<0时,∵x+=-≤-4,当且仅当x=-2时,等号成立,∴-≤<0,
∴≤f(x)<2.
综上所述, f(x)的值域为.
解法二(判别式法):设y=,则关于x的方程(y-2)x2+(y-3)x+4y-8=0有解.
当y-2=0,即y=2时,x=0;
当y-2≠0,即y≠2时,Δ=(y-3)2-4(y-2)(4y-8)≥0,即(3y-5)(5y-11)≤0,所以≤y≤且y≠2.
综上, f(x)的值域为.
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